Time-varying non-linear system identification using dynamical adaptive fuzzy systems

M. Cerrada¹, J. Aguilar², E. Colina³ y A. Titli ⁴

1Departamento de Sistemas de Control, CEMISID, e-mail: cerradam@ing.ula.ve
²Departamento de Computación, CEMISID, e-mail: aguilar@ing.ula.ve
³Postgrado de Control y Automatización, e-mail: ecolina@ing.ula.ve
Universidad de Los Andes, Facultad de Ingeniería. Avenida Tulio Febres Cordero,
Mérida 5101, Venezuela. Telf: 58-274-2402983 Fax: 58-274-2402846.
⁴Laboratoire d’Analysis et d’Architecture de Systèmes (LAAS-CNRS), Groupe DISCO,
e-mail: titli@laas.fr 7, avenue du Colonel Roche-31077, Toulouse, Cedex, France.
Phone: 33-5-61336200 Fax: 33-5-61553577

Abstract

    In processes control, it is required to have a model that describes the process behaviour. Identification techniques provide an approximate representation of the real system behaviour, by using a linguistic or mathematical expression, or an algorithm. In this work, a dynamical adaptive fuzzy model is used in order to propose the input-output identification model of a time-varying non-linear system. This class of fuzzy models permit a generic adaptive approach of the process behaviour through the adaptation of the membership functions to the universes of discourse of the model variables.

Key words: System identification, adaptive fuzzy systems, dynamical fuzzy systems, fuzzy logic.

 

Identificación de un sistema no lineal variante
en el tiempo usando sistemas difusos adaptativos dinámicos

Resumen

    Para realizar las tareas de control de procesos se requiere de un modelo que describa el comportamiento aproximado del proceso en particular bajo estudio. Las técnicas de identificación proporcionan una representación del comportamiento de un sistema real, basándose en una expresión lingüística, matemática o un algoritmo. En este trabajo se propone el uso de modelos difusos adaptativos dinámicos para la obtención de un modelo de identificación entrada-salida de un sistema no lineal variante en el tiempo. La ventaja de usar esta clase de modelos difusos es la de obtener un aproximación genérica del comportamiento del proceso a identificar a partir de la adaptación constante de las funciones de membresía de sus variables sobre todo el universo de discurso.

Palabras clave: Identificación de sistemas, sistemas difusos adaptativos, sistemas difusos dinámicos, lógica difusa.

Recibido el 29 de Octubre de 2001

En forma revisada el 19 de Noviembre de 2002

1. Introducción

    La identificación de sistemas comprende un conjunto de modelos y métodos que permiten aproximar el comportamiento real de un sistema desconocido a través de un modelo matemático válido capaz de describir las propiedades esenciales del sistema. Dichos modelos pueden ser usados posteriormente en tareas de control, manejo de fallas, o cualquier otra actividad en la que se requiera conocer la dinámica del sistema. En la literatura se encuentra una gran variedad de métodos de identificación, los cuales van desde los basados en la teoría clásica [1], hasta las nuevas técnicas basadas en la computación inteligente [2-6].

    El uso de la Lógica Difusa se ha extendido en esta área como herramienta de modelado, utilizando el conocimiento experto para derivar una serie de reglas difusas SI-ENTONCES que permiten obtener un modelo lingüístico aproximado del proceso con la capacidad de manipular la incertidumbre [7]. Sin embargo, si el conocimiento experto es pobre, el modelo difuso obtenido no tendrá un desempeño adecuado. Esta limitación ha dado lugar a la proposición de modelos difusos adaptativos paramétricos que permiten incorporar algoritmos de aprendizaje para la adaptación de sus parámetros [8]. En [9] se propone un modelo difuso adaptativo que es dinámico. Esta propiedad incorpora en las funciones de membresía la dinámica temporal de las variables del modelo difuso, lo que les permite adaptarse a los cambios en los dominios de discurso de sus variables. Esta característica permite mejorar algunas limitaciones encontradas en los sistemas difusos adaptativos clásicos [10].

    El uso de un modelo difuso con esta propiedad en el área de identificación de sistemas es interesante, puesto que permite incorporar en el modelo los cambios que puedan ocurrir en los dominios de las variables del sistema, debido a perturbaciones internas o externas o a dinámicas variantes en el tiempo, logrando un modelo adecuado para aplicaciones posteriores en control, manejo de fallas, etc.

    En este trabajo presentamos una aplicación de los modelos difusos adaptativos dinámicos en la identificación entrada-salida de un sistema no lineal variante en el tiempo, permitiendo proponer un modelo capaz de aproximar el comportamiento del sistema aun bajo cambios bruscos en las señales de entrada. El sistema seleccionado para demostrar las capacidades de estos modelos difusos adaptativos dinámicos es el de un proceso de reacción que se lleva a cabo en un tanque reactor continuamente agitado [11].

    En la segunda sección, se presentan los aspectos teóricos de base sobre el modelo difuso adaptativo dinámico propuesto y su aplicación en la identificación de sistemas. En la tercera parte, se presentan los experimentos realizados para obtener el modelo de identificación del sistema bajo estudio y finalmente, en la cuarta parte, se presentan las conclusiones.

2. El Modelo Difuso Adaptativo Dinámico

    A continuación se dan los aspectos teóricos de base sobre los modelos difusos adaptativos dinámicos (MDAD).

2.1. Preliminares

Definición 1. Un modelo lógico difuso de múltiples entradas y una salida (MIMO, por sus siglas en inglés), es un modelo lingüístico descrito por una base de M reglas difusas de la forma:

(1)

donde X = (x₁ x_2... x_n)^T es un vector de variables lingüísticas de entrada x_i definidas sobre un universo de discurso U_i ; y es la variable lingüística de salida definida sobre un universo de discurso   y son conjuntos difusos sobre U_i y V, respectivamente, i=1,...,n; l=1,...,M, definidos cada uno por sus funciones de membresía.

Definición 2. Una función de membresía es dinámica si su estructura o parámetros cambian dinámicamente en el tiempo.

Definición 3. Un modelo difuso es dinámico si sus funciones de membresía son dinámicas.

Definición 4. Sea x(t_j) el valor de la variable difusa x en el instante de tiempo t_j. La función de membresía gausiana dinámica µ_F(x,t_j) que determina el grado de pertenencia de x(t_j) al conjunto difuso F sobre un universo de discurso U, se define como:

(2)

 

donde a(n,t_j ) y β(w,t_j ) son funciones dependientes del tiempo,ν  y w son vectores de parámetros ajustables, ν  w  . En la Figura 1 se ilustra la idea sobre las funciones de membresía gausianas dinámicas.

 

Figura 1. Funciones de membresia dinámicas para una variable c_i dada.

 

Definición 5. Sea y(t_j) el valores de la variable difusa y en el instante de tiempo t_j. El centro de la función de membresía dinámica que determina el grado de pertenencia de y(t_j) al conjunto difuso G sobre un universo de discurso V, es definida como y(u,t_j), la cual es una función dependiente del tiempo, u es un vector de parámetros ajustables,

    Usando los definiciones anteriores, el MDAD obtenido a partir de la base de reglas (1), usando un mecanismos de inferencia que considera valores difusos de entrada descritas por "singleton" difusos, funciones de membresía gausianas para los conjuntos difusos asociados a las variables difusas de entrada y el método de difusificación de centro promedio ("center-average method", en inglés), es descrito por Cerrada [9]:

 

(3)

 

donde X es un vector de valores de las variables de entrada x_i; y es la variable de salida;α _i^l(n_i^l, t) y β _i^l(w_i^l, t) son funciones que definen la media y la varianza, respectivamente, de la función de membresía gaussiana del conjunto difuso F_i^l; ^γl(u^l, t) es la función que define el centro del conjunto difuso de salida G^l; u^l es un vector de parámetros u_p^l de la función γ ^l; v_i^l es un vector de parámetros v_iq^l la función α _i^l; w_i^l es un vector de parámetros w_ir^l de la función β _i^l, p=1,...,P ; q=1,...,Q; r=1,...,R. u_p^l, n_iq^l y w_ir^l son parámetros ajustables.

Definición 6. Sean x_i ( t_j) los valores de las variables de entrada x_i al MDAD en el instante de tiempo t_j para generar la salida y(t_j). La estructura genérica de las funciones α _i^l (n_i^l, t_j), β _i^l (w_i^l, t_j) y γ ^l(u^l, t_j) del MDAD (3), vienen definidas por las ecuaciones siguientes:

(4)

 

(5)

 

(6)

donde:

(7)

 

(8)

 

(9)

o, alternativamente:

(10)

 En [9] se estudia con más detalles los aspectos relacionados con los MDAD.

 

2.2. Aplicación del MDAD en la identificación de sistemas

    El MDAD definido en la sección anterior puede usarse para proponer modelos de identificación entrada-salida [1]. De esta manera, el objetivo es ajustar los parámetros del MDAD con el fin de minimizar el error entre la salida real del sistema y la salida estimada por el modelo (usualmente llamado "error de identificación" o "error de predicción"). La Figura 2 muestra el esquema clásico que se sigue en tareas de identificación de sistemas basadas en ese enfoque.

 

Figura 2. Esquema de identificación entrada-salida.

 

    De esta manera, usando este esquema de identificación, el vector de entrada X al MDAD descrito por (3) esta formado por los valores de u(t) al sistema real en t y en m instantes anteriores y los valores de su salida y(t) en t–1 y en n instantes anteriores. Esto es:

 

(11)

En este trabajo, se usa un algoritmo de aprendizaje supervisado fuera de línea basado en el descenso del gradiente (DG), como método de ajuste de los parámetros u_p^l, n_iq^l y w_ir^l del MDAD.

Algoritmo de ajuste de parámetros basado en el error de predicción y DG. Sea el promedio de error cuadrático medio ecm entre la salida real y(t_j) y la salida y_e(t_j) estimada por el modelo difuso, sobre una colección de patrones históricos {(X(t_i), y(t_i)), i =1,...,N}, del sistema a modelar:

(12)

Usando el método del descenso del gradiente, las leyes de actualización de los parámetros viene dada por las ecuaciones (13), (14), (15):

(13)

 (14)

 (15)

donde p, q, r son los identificadores de los parámetros; i es el identificador de la variable de entrada; l es el identificador de la regla; K es el número de iteración para la actualización de los parámetros y P_j es la tasa de aprendizaje, j=1,2,3.

Desarrollando las expresiones anteriores, se tiene que:

(16)

(17)

 

(18)

donde:

 

 

Sustituyendo (16), (17) y (18) respectivamente en (13), (14) y (15), se obtienen las leyes de adaptación de los parámetros. Para el caso particular de las funciones propuestas en (4), (5) y (6), se tiene que:

(19)

 

(20)

 

(21)

 

(22)

 

3. Identificación de un Proceso de Reacción No Lineal Variante en el Tiempo

    Considérese un tanque reactor de volumen constante V_r , es cual es alimentado con una tasa volumétrica F [11]. Los reactantes dentro del reactor son continuamente agitados con el fin de mantener una mezcla homogénea, produciéndose una reacción química sucesiva isotérmica A  B C. Los productos son tomados en el fondo del tanque, según se ilustra en la Figura 3.

Figura 3. Tanque reactor continuamente agitado.

 

    En presencia de un sitio de reacción separada sobre el catalizador, la cinética de esos sitios es usualmente diferente y variante en el tiempo. La dinámica de este sistema es descrita por las siguientes ecuaciones:

(23)

donde:

    D_a1 = k₁d₁V_r/F = 3; D_a2 = k₂d₁V_r/F = 0.5; D_a3 = k₃V_r/F = 1; F es la tasa de alimentación volumétrica; d₁ es el primer sitio de reacción sobre el catalizador; d₂(t) es el segundo sitio de reacción sobre el catalizador (d₂(t)= 1+0.1 sin t ); k₁ es la tasa de reacción constante de primer orden; k₂ y k₃ son tasas de reacción constante de segundo orden; V_r es el volumen del reactor; z₁ es la conversión del reactante A; z₂ es la conversión del reactante medio B; z₃ es la conversión del producto C; u es la señal de control (entrada al sistema) y y es la variable de salida.

    Por otro lado, la tasa de reacción k₃ es desconocida, lo que se considera como una incertidumbre paramétrica en este sistema.

    Las características dinámicas de este sistema (sistema con incertidumbre y variante en el tiempo), lo hace particularmente interesante para probar las capacidades de MDAD como identificador difuso.

3.1. Fase experimental

    A continuación, se presentan un conjunto de experimentos que han sido realizados con el fin de proponer un MDAD adecuado para el proceso bajo estudio. En cada experimento se ponen a prueba los elementos fundamentales que definen a un MDAD: la estructura de las funciones de membresía correspondientes a las variables difusas de entrada y la estructura de las funciones que definen a los centros de los conjuntos difusos de salida.

    Los resultados que se presentan en esta sección han sido simulados usando la herramienta de computación MatLab^®, usando una tasa de muestreo de 0.1 seg. En la realización de los experimentos se resaltan los siguientes aspectos:

• La colección de patrones históricos (patrones de entrenamiento) han sido obtenidos a partir de simulaciones del proceso real en lazo abierto y en reposo, usando la herramienta mencionada.
• La fase de ajuste de parámetros del modelo ha sido realizada fuera de línea usando el algoritmo presentado en la sección 2.3.1.
• El desempeño del modelo de identificación obtenido ha sido evaluado en línea, sobre la base de la magnitud del error e:

 

(24)

 

proveniente de comparar el valor de la salida y_e(t_j) estimada por el modelo con el valor de la salida real y(t_j) del proceso ante una entrada u(t) definida básicamente por señales escalones y senoidales. Esta fase ha sido simulada en el ambiente SIMULINK de MatLab^®, según la ecuación (23).

En la fase de ajuste de parámetros del MDAD, los experimentos se realizaron bajo las siguientes condiciones:

• Las variables seleccionadas como entradas al MDAD han sido x₁=u(t_j) y x₂=u(t_j-1). Esto es, m=1 en (11) y no se consideró información sobre la salida del sistema como entrada al modelo difuso.
• Un total de 2000 patrones de entrenamiento se obtuvieron excitando al sistema con diferentes señales de entrada u_i(t_j) generadas aleatoriamente según una distribución uniforme sobre el intervalo [-0.5 0.5].
• Los valores iniciales de los parámetros se seleccionaron aleatoriamente sobre el intervalo [0,1].
• En todos los casos w_i2^l = 0.1; así este parámetro no fue ajustado en la fase de entrenamiento.
• El criterio de parada por error de entrenamiento, usando la ecuación (12), se fijó en 5×10^-4.

Experimento 1

    En este experimento se utilizaron las ecuaciones (4), (5), (6) y la ecuación (9) con δ=1. En la fase de ajuste de parámetros se consideró M=10,12,16 y ρ ₁=ρ ₂= ρ ₃=0.001, 0.005, 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, alcanzando el criterio de parada entre los 3000 y 5000 ciclos de entrenamiento. En la puesta en marcha de los modelos obtenidos, los mejores resultados respecto a la magnitud de la señal de error de identificación (24) se lograron con M=16 y ρ _j=0.1, j=1,2,3. La señal de entrada u(t) seleccionada para probar el desempeño del modelo, se define en la siguiente ecuación:  

                    

                                                  

    En la Figura 4 se muestra el desempeño del modelo de identificación con M=16, ante dicha entrada u(t). Sobre dicha figura se pueden observar la salida real, la salida estimada y el error de identificación definido en la ecuación (24). Se puede observar que el modelo de identificación muestra un desempeño adecuado en los intervalos donde la entrada es constante tendiendo hacia valores alrededor de e=0.

 

Figura 4. Desempeño del MDAD para la entrada u(t) y y(0)=0, en el experimento 1.

 

    En el intervalo donde la entrada cambia bruscamente (entre 300 seg. y 600 seg.), se observa que la magnitud del error e aumenta, si embargo se mantiene acotado entre -0.1 y 0.05, y la salida estimada aproxima adecuadamente a la salida real. Se considera que a pesar de no alcanzar en esta fase un error de menor magnitud (similar a la alcanzada en la fase de ajuste de parámetros), el modelo de identificación obtenido tiene un desempeño adecuado, manteniendo el seguimiento de la salida real, aun bajo cambios bruscos en la señal de entrada.

    La evolución en el tiempo de las funciones α _i^l (n_i^l, t_j),β _i^l (w_i^l, t_j) y γ ^l (u^l, t_j) así como los valores de sus parámetros, se muestran con detalle en Cerrada [9].

Experimento 2

    Los resultados obtenidos con M=16 en el experimento 1, se utilizan para realizar este segundo experimento, con el fin de observar cómo se comporta el modelo de identificación con el mismo número de reglas pero con valores constantes para α _i^l (v_i^l, t_j), b_i^l (w_i^l, t_j). Esto quiere decir que en el MDAD (3) sólo la función γ ^l (u^l, t_j) es dependiente del tiempo y solo se ajustan los parámetros u_i^l.

    Sobre la base de la evolución en el tiempo de las funciones α _i^l (n_i^l, t_j), β _i^l (w_i^l, t_j) obtenidas en el experimento 1 para la entrada u(t) definida, se consideraron los valores promedio que tomaron dichas funciones en el tiempo y se dejaron como valores constantes, es decir α _i^l (n_i^l, t_j)= a y β _i^l (w_i^l, t_j)= β.

    Se realizó una nueva fase de ajuste de parámetros con dichos valores constantes, tomando igualmente a la expresión (9) con d=1 para definir a la función γ ^l (u^l, t_j). En esta nueva fase se consideró M=16 y ρ ₃ = 0.1 y se mantuvo el criterio de parada por error, el cual fue alcanzado luego de los 5000 ciclos de entrenamiento.

    En la puesta en marcha del modelo obtenido se evalúa nuevamente su desempeño ante la entrada u(t) a fin de comparar con los resultados obtenidos en el experimento 1. En la Figura 5 se muestra el desempeño de este nuevo modelo. Allí se resalta, en primer lugar, que la magnitud del error e obtenido en el experimento 1 es desmejorado luego de los 600 seg. De igual manera, para el primer intervalo de tiempo donde la entrada es constante, el error e se mantiene constante, pero no tiende hacia e = 0 como en el experimento anterior.

 

Figura 5. Desempeño del MDAD para la entrada u(t) y y(0)=0, en el experimento 2.

 

    Contrariamente, la magnitud el error e en el intervalo de tiempo donde la entrada cambia bruscamente es mejorado con respecto a lo obtenido en el experimento anterior. En general, los resultados obtenidos considerando solo a γ ^l (u^l, t_j) como función dependiente del tiempo permiten pensar que es posible proponer un MDAD con una adecuada selección de los valores de α y β.

    La evolución en el tiempo de las funciones γ ^l (u^l, t_j) así como los valores de sus parámetros, se muestran con detalle en Cerrada [9].

Experimento 3

    En este experimento se tomó la ecuación dada en (10) para definir a la función γ ^l (u^l, t_j). En la fase de ajuste de parámetros se consideró M=10, 16 y r_j = 0.1, j = 1,2,3. En este experimento el menor valor alcanzado para error de entrenamiento fue de 0.0026 después de 3500 ciclos de entrenamiento. Con el fin de comparar con los resultados obtenidos en el experimento 1, en el cual se ha usado la ecuación (9) para definir a la función γ ^l (u^l, t_j), se usa la misma entrada u(t), para evaluar el desempeño del nuevo modelo.

    Los mejores resultados, con respecto a la magnitud de la señal de error de identificación e definida en (24), se han obtenido con M=16. En la Figura 6 se muestra el desempeño del MDAD.

 

Figura 6. Desempeño del MDAD para la entrada u(t) y y0)=0, en el experimento 3.

 

    Sobre dicha figura, se observa que la magnitud del error e es notablemente desmejorada con respecto a la obtenida en el experimento 1. No se logra que dicho error tienda a valores alrededor de e=0, considerándose resultados poco adecuados teniendo en cuenta la importancia de la precisión en los modelos de identificación. Estos resultados hablan sobre la importancia de una adecuada selección de la función que define a γ ^l (u^l, t_j) en el MDAD.

    La evolución en el tiempo de las funciones α _i^l (n_i^l, t_j), β _i^l (w_i^l, t_j) y γ ^l (u^l, t_j), así como los valores de sus parámetros, se muestran con detalle en Cerrada [9].

3.2. Análisis de resultados

    Los resultados obtenidos en los experimentos 1 y 2 reflejan un desempeño adecuado de los MDAD de identificación propuestos, respecto a la magnitud del error e definido en (24). Los resultados obtenidos en el experimento 3, indican la importancia de la selección de la función γ ^l (u^l, t_j) en el MDAD. Se pueden resaltar los siguientes aspectos:

• Es posible proponer un MDAD de identificación entrada-salida para el proceso bajo estudio a partir del conocimiento de u(t) y u(t-1).
• El comportamiento del error de identificación es satisfactorio, considerando que el sistema es no lineal y variante en el tiempo.
• Para el proceso bajo estudio, el desempeño del modelo se muestra sensible respecto a la definición de la funcion g^l (u^l, t_j), según los resultados obtenidos en los experimentos 1 y 3.
• Para el proceso bajo estudio, es posible mantener en valores constantes a las funciones α _i^l (n_i^l, t_j) y β _i^l (w_i^l, t_j) y proponer un MDAD definiendo solamente a γ ^l (u^l, t_j) como función dependiente del tiempo, según los resultados obtenidos en el experimento 2.

4. Conclusiones y Recomendaciones

    En este trabajo, se propone un modelo difuso adaptativo dinámico a parámetros ajustables para realizar la identificación entrada-salida de un proceso de reacción que exhibe una dinámica no lineal variante en el tiempo.

    La característica dinámica del modelo propuesto es interesante en el área de identificación de sistemas en la cual es importante disponer de modelos genéricos que permitan capturar la dinámica del sistema en el dominio posible de sus variables, los cuales pueden cambiar temporalmente debido a perturbaciones externas o internas, o por dinámicas propias variantes en el tiempo.

    La característica dinámica de las funciones de membresía de este modelo permite resolver algunas de la limitaciones que se presentan en los modelos difusos adaptativos clásicos usados en identificación de sistemas, los cuales son, finalmente, modelos estáticos con una capacidad de generalización dependiente del algoritmo de ajuste de parámetros [2].

    En cuanto a los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas, se resalta un desempeño adecuado de los MDAD propuestos para la identificación del sistema estudiado, sobre la base de magnitud del error de identificación e. Para este sistema particular, se observa que la estructura de las funcionesn γ ^l (u^l, t_j), incide en el desempeño del modelo.

    Se recomienda comparar el MDAD aquí propuesto con otro esquema de identificación, con el fin de enriquecer el análisis sobre su desempeño en la identificación de este proceso de reacción. Se recomienda igualmente estudiar sobre la proposición de una estructura particular para las funciones γ ^l (u^l, t_j), que podrían derivarse de las características dinámicas propias de este sistema.

Referencias Bibliográficas

1. Ljung L. "System Identification. Theory for the User". New Jersey: Prentice Hall, 1997.        [ Links ]

2. Takagi T. y Sugeno M. "Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control". IEEE Transaction on System, Man, Cybernetic, Vol. 15 (1985), 116-132.        [ Links ]

3. Narendra K.S. y Parthasarathy K. "Identification and control of dynamical systems using neural networks". IEEE Transaction on Neural Networks, Vol. 1, No.1 (1990), 4-27.        [ Links ]

4. Sastry P., Santharam G. y Unnikrishnan K. "Memory neuron networks for identification and control of dynamical system". IEEE Transaction on Neural Networks, Vol. 5, No. 2 (1994), 306-319.        [ Links ]

5. Angeline P. y Fogel D. "An Evolutionary Program for the Identification of Dynamical System". Technical Report, Natural Selection, Inc., 1998.        [ Links ]

6. Aguilar J. y Cerrada M. "Genetic programming-based approach for system identification’’. Proceedings (CD) of WSES on Evolutionary Computation EC’01, Tenerife, España, Febrero 2001.        [ Links ]

7. Yager R. and Filev D. "Essentials of Fuzzy Modeling and Control", New York: John Wiley, 1994.        [ Links ]

8. Wang L. "Adaptive Fuzzy Systems and Control. Design and Stability", New Jersey: Prentice Hall, 1994.        [ Links ]

9. Cerrada M. "Systèmes Flous Adaptatifs Dynamiques pour l’identification des Systèmes Non-Linéaires Variants avec le Temps". D.E.A. Report, Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes (LAAS-CNRS), Toulouse, Francia, 2000.        [ Links ]

10. Shi Y. y Mizumoto M. "Some considerations on conventional neuro-fuzzy learning algorithms by gradient descent method". Fuzzy Sets and Systems, Vol. 112, No. 1 (2000), 51-63.        [ Links ]

11. Wu W. y Chou Y.S. "Adaptative feedforward and feedback control of nonlinear time-varying uncertain systems". International Journal of Control, Vol. 72, No. 12 (1999), 1127-12238.        [ Links ]