A Fokker-Planck equation with a boundary condition 

Jorge Guíñez, Ángel Rueda y Robert Quintero 

Centro de Investigación de Matemática Aplicada (CIMA), Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia 

Abstract 

The steady state u of the Fokker-Planck Equation associated to a vector field X on a compact, orientable and without boundary Riemannian manifold M fulfils the boundary condition in an arbitrary domain W if X is a gradient vector field. In some non-gradient cases we give domains W in which u even fulfils that condition. 

Key words: Fokker-Planck integrable, Laplace Beltrami operator. 

2000 Mathematics subject classification: 35R35, 58J05. 

Una ecuación de Fokker-Planck con una condición de frontera 

Resumen 

La solución estacionaria u de la Ecuación de Fokker-Planck relativa a un campo de vectores X, en una variedad de Riemann, compacta, orientable y sin borde M, satisface la condición de frontera en un dominio arbitrario W si X es un campo gradiente. En el caso de algunos campos no gradientes, determinamos dominios W para los cuales, la solución u satisface todavía la condición de frontera citada. 

Palabras clave: Fokker-Planck Integrable, Operador de Laplace Beltrami. 

2000 Mathematics subject classification: 35R35, 58J05. 

Recibido el 23 de Abril de 2002 

En forma revisada el 17 de Noviembre de 2003 

1. Introducción 

Consideraremos un campo X definido sobre una variedad de Riemann M, compacta, orientable, sin borde y usando el operador de Laplace-Beltrami y el de la divergencia sobre la variedad, definiremos la ecuación de Fokker-Planck sobre M. A partir de condiciones sobre la descomposición de Hodge de X obtenemos relaciones entre la solución estacionaria global [1] de la ecuación de Fokker-Planck: 

 

y las soluciones del problema con condición de frontera: 

eDu - div(uX) = 0        en W. 

     ¶W       (2) 

donde W es un dominio de M cuya frontera es ¶W y h es la normal a ¶W. En el teorema 3, para el caso de un campo X en el toro T¹, probamos que cuando la solución estacionaria del problema (1) resuelve el problema (2), entonces X es un gradiente. En la sección 2, nosotros describimos el operador de Fokker-Planck en una variedad compacta y damos algunos ejemplos de cálculo específico. En la sección 3, hacemos algunas observaciones necesarias sobre la descomposición de Hodge de un campo X. Finalmente en la sección 4, estudiamos casos no gradientes en los cuales la solución global satisface la condición de frontera para un cierto dominio W y proporcionamos algunos ejemplos. 

2. El operador de Fokker-Planck 

En lo que sigue M será una variedad de Riemann orientable, compacta y sin borde. En estas circunstancias M posee en el espacio tangente, un producto escalar 

T_x(M) ´ T_x(M) ® R 

               (a,b) ® a . b    (3) 

que depende diferenciablemente del punto x. De este modo, si f es una función diferenciable en M y X es un campo, la función df(X) que da en cada punto x la derivada de f en la dirección X(x), está bien determinada y el gradiente Ñf, de f en M, queda definido por el único campo que verifica: 

(Ñf)(x) . X(x) =  df(X)(x),          x Î M.    (4) 

La elección de un sistema x₁,...,x_n de coordenadas, en un abierto U de M, permite definir campos de vectores . Entonces un campo X de clase C^∞ se puede expresar como: 

 

donde los X_i tienen la misma clase de diferenciabilidad de X. Por otra parte, las formas diferenciales (dx_i ) permiten expresar, en U, cualquier forma diferencial de grado 1 como: 

ω = åω_i dx_i       (6) 

y dado que dx₁,...,dx_n constituyen un sistema de generadores para el álgebra exterior de formas diferenciales, entonces: 

. 

En particular, en U, se considera 

ω_v = dx₁ Λ...Λ dx_n

forma de grado n, que tiene la propiedad de que cualquier otra forma de grado n es un múltiplo de ella. Así: 

ω = fdx₁ Λ...Λ dx_n.    en W.  

Si X es un campo de vectores, entonces 

Esta posibilidad de definir la div(X) para cualquier campo de clase C^∞, no depende de la elección del abierto U. 

Ahora podemos definir un operador asociado al campo X de clase C^∞: 

L_X : C^∞(M) ® C^∞(M)

L_X (u) = div(eÑu - uX) = eDu - div(uX)     (7) 

donde 

D(u) = div(Ñu)        (8) 

es el operador de Laplace-Beltrami. La ecuación diferencial 

 

es la ecuación de Fokker-Planck, para la convexión X y el coeficiente de difusión e. 

Ejemplos 

1. Sea M un abierto de Rⁿ y para xÎ M consideremos el producto escalar de Rⁿ identificado con T_x(M). Consideremos un campo de vectores , entonces la ecuación de Fokker-Planck correspondiente es: 

 

2. Si M = Tⁿ es el toro n-dimensional de período 1 con la estructura riemanniana usual; entonces, cuando se representan las funciones de Tⁿ como funciones de Rⁿ, periódicas en todas las variables, la ecuación de Fokker-Planck toma la forma anterior (10). 

3. En la esfera n-dimensional Sⁿ de radio 1 podemos considerar funciones de clase C^∞ como restricciones de funciones de clase C^∞ en Rⁿ⁺¹. A condición de que el campo X sea tangente a todas las esferas vecinas de Sⁿ, la ecuación de Fokker-Planck que corresponde a la estructura de Riemann inducida por la de Rⁿ⁺¹, es la siguiente [2]: 

 

3. Descomposición de Hodge de un campo de vectores 

Sea f una función de clase C^∞ tal que ò_M f = 0. Entonces la ecuación de Poisson: 

Du = f(x)

tiene una solución única salvo una constante. Consecuentemente, si X es un campo de vectores C^∞ en M, 

ò(divX) = 0

y X se puede expresar de manera única como: 

X = Ñf + W        (12) 

donde f verifica  Df = divX y puesto que M tiene borde vacío, entonces W es un campo de divergencia nula. 

Ejemplos 

1. Sea X = (sen(2p(x + y)), cos(3py)), considerado como campo en el toro T². Entonces 

divX = 2pcos(2p(x + y)) - 3psen(3py)    (13) 

y por lo tanto, Df = divX  implica: 

 

y así: 

X = Ñf + W.        (17) 

2. Consideremos 

X = x(0, z, -y) + y(y, -x, 0) = (y², xz - xy, -xy)            (18) 

como un campo tangente a la esfera S². Entonces 

div(X) = -x       (19) 

y usando (11), se tiene: 

 

4. Soluciones globales que verifican una condición de frontera 

Teorema 1 

Sea X un campo gradiente en M. Entonces la solución estacionaria de (1) es también solución de (2) para cualquier dominio W. 

Prueba: En efecto si X = Ñf  entonces y la condición de frontera en (2) implica: 

  

Observación: Si la descomposición de Hodge: X = Ñf + W, es tal que W¹0, las soluciones globales no están, en general, obligadas a satisfacer una tal condición de frontera, no obstante es posible exhibir ejemplos en dicha dirección. 

Teorema 2 

Si X es un campo Fokker-Planck Integrable, es decir, la descomposición de Hodge X = Ñf + W  verifica Ñf(x) . W(x) = 0, para todo punto x de M, si W es una región y si ¶W está incluida en una unión de superficies de nivel de f, entonces la solución estacionaria de (1) es también solución de (2). 

Prueba: En efecto (ver [1], [3]), la solución estacionaria de (1) toma la forma y, por lo tanto, se puede escribir: 

ya que h es un múltiplo de Ñ( f ) en los puntos de la frontera. 

Teorema 3 

Sea X un campo del toro T¹ y sea . Si la solución estacionaria de (1) es también solución de (2), entonces X es un campo gradiente. 

Prueba: Para toda región W tal que , el campo puede ser considerado como un campo en R y por el Teorema 1, es una solución de (2). De otra parte si la solución global (ver [4]) verifica (2), entonces existe un punto x₀ÎT¹ tal que ev'(x₀) = (f '(x₀) + W)v(x₀) . pero esta relación implica W=0.

Ejemplos 

1. Consideremos la función f(x,y) = sen(4px)sen(4py) definida sobre el toro T² de período 1 y la región W determinada por  . La frontera de esta región está contenida en conjuntos de nivel de f. Cualquiera sea la función diferenciable ω(f), si denotamos , entonces el campo X = Ñf + ω(f)(Ñf)^ es Fokker-Planck Integrable y es una solución de (1) que cumple las condiciones de frontera en (2). 

2. En la esfera S² de radio 1, consideremos la función f(x, y, z) = (z - b)g(x, y, z) y la región W determinada por 0 < b< z < 1. La frontera de esta región está contenida en conjuntos de nivel de f. Entonces, cualquiera que sea la función diferenciable ω(f), el campo X = Ñf + ω(f)(Ñf)^ es Fokker-Planck Integrable en S² y es una solución de (1) que cumple las condiciones de frontera en (2). 

Agradecimientos 

Esta investigación es financiada parcialmente por el Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico (CONDES) de la Universidad del Zulia. 

Referencias Bibliográficas 

1. Guíñez et al.: Calculating Steady State for a Fokker-Planck Equation. Acta Math. Hungar 91(4)(2001), 311-323.         [ Links ]

2. Guíñez J., Rueda A.: Steady State for a Fokker-Planck Equation on S_n. Acta Math. Hungar 94(3)(2002), 217-228.         [ Links ]

3. Rueda, A.: A class of vector fields which are Fokker-Planck integrables. Annales Univ., Sci. Budapest (1993).         [ Links ]

4. Zeemann, C.: Estability of dynamical systems. Nonlinarity (1988), 115-155.         [ Links ]