Superconductor state in a long wire: unidimensional Ginzburg-Landau model 

José José Barba Ortega ¹, Ariel Rey Becerra Becerra ²,
Álvaro Herrera Carrillo ² 

¹ Departamento de Física, Universidade Federal de Pernambuco, Avenida Luiz Freyre s-n. Cidade Universitaria, CEP. 50670-190. Recife, Pernambuco, Brasil.
Telf. 55.81.2126.2288, fax 55.81.32710359. josejbarba@df.ufpe.br  

² Grupo Integrar, Departamento de Física y Geología, Universidad de Pamplona.
Pamplona, Colombia. Km 1 Via Bucaramanga. Telf. 57.7.5685303 arik@unipamplona.edu.co  

Abstract 

The nonlinear one-dimensional Ginzburg-Landau equations (1GLE) are used to study the properties of a long mesoscopic superconducting wire surrounded by an axial external magnetic field. In the framework of the Ginzburg-Landau model, it is possible to solve the 1GLE for the states with axially symmetric distributions of the order parameter. The order parameter and magnetization curves are obtained by a simple variational model and an exact numerical method. We show that, depending on the value of the applied field and the size of cylinder radii, the magnetization curves can have diamagnetic behavior such a way (M<0) as Paramagnetic (M>0). Also it is noted that the value of the order parameter in the boundary diminishes when the Ginzburg-Landau parameter is increased. We obtain a good agreement between the results based on self-consistent solution of 1GLE with those obtained by variational method. 

Key words:  magnetization, superconductor, paramagnetic. 

Resumen 

Las ecuaciones no lineales de Ginzburg-Landau unidimensionales (EGLU) son usadas para estudiar las propiedades de un hilo superconductor mesoscópico rodeado por un campo magnético externo paralelo al eje del hilo. En el marco del modelo Ginzburg-Landau, es posible resolver las EGLU para estados con simetría axial del parámetro de orden. Curvas del parámetro de orden y de magnetización son obtenidas usando tanto el método variacional como un método numérico autoconsistente. Mostramos que, dependiendo del valor del campo magnético aplicado y del tamaño del radio del hilo, la curva de magnetización puede tener un comportamiento diamagnético (M<0) como paramagnético (M>0), además el valor del parámetro de orden en los bordes disminuye cuando el parámetro de Ginzburg-Landau aumenta. Obtenemos una buena concordancia entre los resultados basados en la solución autoconsistente de las EGLU con los obtenidos por el método variacional. 

Palabras clave:  magnetización, superconductor, paramagnético. 

Recibido el 14 de Diciembre de 2009 

En forma revisada el 10 de Enero de 2011 

1. Introducción 

Cuando un superconductor, localizado en un campo magnético es enfriado por debajo de su temperatura de transición T_c, expele todo el campo magnético de su interior, este efecto es llamado efecto Meissner diamagnético. Algunos materiales superconductores pueden atraer el campo magnético presentando un fascinante efecto llamado Efecto Meissner Paramagnético. La teoría de Ginzburg-Landau describe este fenómeno en superconductores finitos como efectos puramente termodinámicos, causados por la presencia de vórtices dentro del superconductor. Es bien sabido que supercorrientes de apantallamiento fluyen en sentido opuesto a las corrientes producidas por el campo magnético externo H_a. Estas dos corrientes contribuyen con signos contrarios al momento magnético de la muestra. El valor resultante de la magnetización M, puede ser negativo (diamagnético) o positivo (paramagnético), dependiendo de la magnitud de H_a [1]. En trabajos recientes, las ecuaciones de Ginzburg-Landau dependientes del tiempo con las condiciones de contorno generales han sido resueltas para analizar la configuración de vórtices en películas finas superconductoras rodeadas por diferentes materiales, se encontró una dependencia de los campos críticos termodinámicos con el tipo de material del cual esté rodeada la película, además, los estados paramagnéticos, causados por la compresión de flujo, dependen fuertemente del parámetro de DeGennes b y pueden ser completamente suprimidos para valores pequeños de b [2-4]. En el presente artículo, resolvemos las ecuaciones no lineales unidimensionales de Ginzburg-Landau [5] para un hilo infinito en presencia de un campo magnético axial. Curvas de magnetización en función del radio del hilo y del campo magnético son obtenidas, así como la dependencia del parámetro de orden con el campo aplicado para varios valores del parámetro de Ginzburg-Landau , donde l es la longitud de penetración y x la longitud de coherencia. Las ecuaciones de Ginzburg-Landau son resueltas usando el método variacional [6] y el método de disparos [7, 8]: Mostramos una buena concordancia numérica entre los resultados obtenidos por ambos métodos. 

2. Modelo teórico 

Consideramos un hilo infinito de radio R en presencia de un campo magnético externo H_a paralelo al eje del hilo. Para el caso undimensional (simetría axial), el parámetro de orden superconductor adopta la forma [9-11], donde r es el módulo del radio vector en la sección transversal, j es el ángulo azimutal y L describe el estado de momento angular o vorticidad (L=0, 1, 2, 3,...) describiendo el estado Meissner (L=0), estado de un vórtice (L=1) y el estado de vórtice gigante (L>1) del hilo. En las coordenadas cilíndricas usuales, el sistema de ecuaciones de Ginzburg-Landau se puede escribir en una forma adimensional: 

,     (1) 

Las condiciones de contorno para el campo magnético y el parámetro de orden son: 

,     

,        (2) 

Las distancias son medidas en unidades de , el campo magnético en unidades de , potencial vectorial en unidades de y el parámetro de orden en unidades de siendo los coeficientes de Ginzburg-Landau, R, a y b son el radio adimensional del hilo, potencial vector e inducción magnética respectivamente, h es el campo magnético adimensional. 

3. Resultados 

En la Figura 1, vemos que existe una buena concordancia en los resultados obtenidos para la distribución espacial del parámetro de orden usando el método variacional (línea sólida), y el método autoconsistente (línea punteada). Podemos apreciar que la solución para el parámetro de orden obedece la relación Y~r^L para L ¹ 0 si r®0 [11] tanto en el caso de vórtice simple, L=1 (comportamiento lineal) como en el caso de vórtice gigante L=4. 

En la Figura 2 mostramos la dependencia del parámetro de orden en función del campo magnético externo para L=0 y (a) k=1.0, (b) k=2.0 y (c) k=5.0. Cuando k aumenta, el parámetro de orden cae mas suavemente para grandes valores del campo magnético. Podemos apreciar que Y=0, (estado normal) en h=1.25 para k=1.0, h=2.2 para k=2.0 y h=2.8 para k=5, el segundo campo crítico termodinámico aumenta con k. 

Las Figuras 3(A) y 3(B) muestran la dependencia de la magnetización M con el campo magnético aplicado. En la Figura 3(A), la curva de magnetización es graficada para un hilo de radio R=1.2x el cual no puede acomodar ningún vórtice, la vorticidad es L=0, presenta una transición suave del estado superconductor al estado normal, el campo magnético penetra suavemente en él impidiendo la formación de vórtices en su interior. En la Figura 3(B), se observan tres ramas de la magnetizacion para un hilo de radio R=2.25x, saltos discontinuos en la magnetización corresponden a la transición entre diferentes estados-L. Cuando se incrementa el campo, la magnetización se empieza a desviar de la ley lineal típica del diamagnetismo perfecto, simultáneamente el parámetro de orden decrece gradualmente en la vecindad de la superficie del hilo y parte del campo externo penetra en la muestra. La sección Meissner finaliza y aparece una caída abrupta de la magnetización hacia h=0.88, donde el sistema pasa a la segunda rama correspondiente al estado de momento angular L=1, en la que es atrapado un cuanto de flujo, posteriormente el campo es aumentado pasando el sistema a la tercera rama correspondiente al estado de vorticidad L=2 con la consiguiente transición del sistema al estado normal. 

En la Figura 4, representamos la dependencia espacial del parámetro de orden en función del radio del hilo para k=5,1,0.5 y un campo magnético igual a h=1.75. Cuando k es incrementado, el valor del parámetro de orden en la frontera disminuye. Esta supresión de la superconductividad en los bordes está relacionada con la disminución de la longitud de coherencia x al aumentar k. El decaimiento de los electrones superconductores en la frontera es cada vez mayor conllevando a una disminución de la superconductividad en los bordes. 

La Figura 5, muestra curvas de magnetización para (A) k=0.5, L=1, R=4; (1) h=0, (2) h=0.195, (3) h=0.48 y (B) k=1.0, L=2, R=2.6x. (1) h=0.45, (2) h=0.985, (3) h=1.52. En las curvas 5A(1) y 5B(1) la inducción magnética es mayor que el campo externo b(r)>0, por lo tanto M(r) >0 obteniéndose curvas paramagnéticas. Igualmente sucede en las (Curvas 2) pero hasta cierto valor del radio del hilo R=2.25x para h=0.195, k=0.5, L=1, y R=1.55x, para h=0.985, k=1.0, L=2. Después de dichos valores observamos un típico comportamiento diamagnético b<h. Si aumentamos aún más el campo (curva 3), la muestra pasa totalmente al estado diamagnético M(r) <0 y la inducción magnética es menor que el campo magnético externo en todo el hilo. 

4. Conclusiones 

En conclusión hemos presentado un estudio de las propiedades de un hilo infinito superconductor en presencia de un campo magnético axial. Obtenemos curvas de magnetización y del parámetro de orden en función del campo magnético aplicado y del radio del hilo. Observamos que para ciertos valores del campo aplicado obtenemos partes paramagnéticas en la curva de magnetización, esto debido a que la inducción magnética dentro de la muestra es mayor que el campo, efecto que ocurre en superconductores finitos y es debido a consideraciones puramente termodinámicas, causadas por la presencia de vórtices dentro del superconductor. Estos resultados fueron obtenidos resolviendo el sistema de ecuaciones GL unidimensional con simetría axial por dos métodos diferentes, el método variacional y un método exacto obteniendo un buen grado de concordancia entre ellos. 

Referencias bibliográficas 

1.  Geim A., Dubonos S., Lok J., Henini M. and Maan J.: “Paramagnetic Meissner effect in small superconductors”. Nature (London), 396, (1998) 144-146. 

2.  Barba J., Souza C., Cabral L. and Aguiar A.: “ Flux trapping and paramagnetic effects in superconducting films: the role of the de Gennes boundary conditions”. Physica C: Superconductivity and its applications, 468 (2008) 718-721. 

3. Barba J. and Aguiar J.: “De Gennes parameter limit for the ocurrence of a single vortex in a square mesoscopic superconductor”. Physica C: Superconductivity and its applications, 469 (2009) 754-755.         [ Links ]
 

4.  Barba J. Souza C. and Aguiar J.: “Superconducting slab in contact with thin superconducting layer at higher crtitical temperature”. Physica C: Superconductivity and its applications, 469 (2009) 852-856.         [ Links ] 

5.  P.G. de Gennes.: “Superconductivity of Metals and Alloys”, Benjamin, New York, 1966.         [ Links ] 

6.  Pogosov W., Rakhmanov A. and Shapoval E.: “Vortex state in mesoscopic cylinders. Variational Approach”. Physica C: Superconductivity and its applications, 356 (2001) 225-232. 

7.  Zharkov G.: “Paramagnetic Meissner effect in superconductors from selft-consistent solution of Ginzburg-Landau equations”. Phys. Rev. B 63 (2001) 214502-1 / 214502-7.         [ Links ] 

8.  Zharkov G.: “First and second order transitions for a superconducting cylinder in a magnetic field obtained from a self consistent solution of the Ginzburg-Landau equations”. Phys. Rev. B 63 (2001) 224513-1-224513-6.         [ Links ] 

9.  Golubovic D., Morelle M., Pogosov W. and Moshchalkov V.: “Nucleation of superconductivity in a superconducting disk with magnetic dots”. Physica C: Superconductivity and its applications, 404 (2004) 182-186. 

10.  Pogosov W., Kugel K., Rakhmanov A. and Brand E.: “Aproximate Ginzburg-Landau solution for the regular flux line lattice: Circular cell method”. Phys. Rev. B 64 (2001) 064517-1 / 064517-8.         [ Links ] 

11.  Zharkov G., Zharkov V. and Zvetkov Y.: “Ginzburg-Landau calculations for a superconducting cylinder in a magnbetic field”. Phys. Rev. B 61 (2000) 12293-12301.