Multi-type ant colony system for solving the multiple traveling salesman problem

Yasel José Costa Salas¹*, René Abreu Ledón¹, Norge Isaías Coello Machado², Ann Nowé³

¹ Departamento de Ingeniería Industrial, ² Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas (Cuba). Teléfono: 053-42-281448. ³ Departamento de Ciencia de la Computación, Vrije Universiteit Brussel (Bélgica). * yaselcs@uclv.edu.cu, rabreu@uclv.edu.cu, norgec@uclv.edu.cu, ann.nowe@vub.ac.be

Abstract

The Multiple Traveling Salesman problem (mTSP) is an extension of the well-known Traveling Salesman Problem (TSP), where more than one salesman is allowed to be used in order to visit some cities just once. Furthermore, the formulation of the mTSP seem more relevant for real-life applications, and also can be extended to a wide variety of Vehicle Routing Problems (VRPs) by incorporating some additional side constraints, such as the vehicle capacity and customer demands. Although the literature for the TSP and the VRP is definitely wide, the mTSP has not received the same amount of attention. In that sense, this paper proposes a new algorithm based on Ant Colony Optimization (ACO) for the mTSP, specifically Multi-type Ant Colony System (M-ACS), where each colony represents a possible global solution. Moreover, these colonies cooperate by means of “frequent” pheromone exchanges in order to find a competitive solution for the mTSP. The algorithm performance has been compared with one of the most efficient local search algorithms for mTSP, the Lin-Kernighan algorithm. Computational results confirm the competitiveness and efficiency of the strategy we propose.

Keywords: ant colony optimization (aco), multiple traveling salesman problem (mtsp).

Sistema multi-tipos de colonias de hormigas para la solución del problema de múltiples agentes vendedores

Resumen

El problema de los múltiples viajeros vendedores (Multiple Traveling Salesman Problem, mTSP) es una extensión del bien conocido problema del viajero vendedor (Traveling Salesman Problem, TSP), en dicha extensión se puede utilizar más de un vendedor con la finalidad de visitar un conjunto de ciudades solamente una vez. La formulación del mTSP se ajusta más a los problemas empresariales de la vida real, además puede ser extendida a una amplia variedad de los problemas de enrutamiento de vehículos (Vehicle Routing Problems, VRPs), mediante la incorporación de algunas restricciones, tales como: limitar la capacidad del vehículo y establecer demanda cuantificable en cada cliente o ciudad. A pesar de que la literatura científica para el TSP y los VRPs ha sido abundante, las investigaciones relativas al mTSP han sido limitadas. En este sentido, la presente investigación propone un nuevo algoritmo inspirado en el comportamiento de las hormigas nombrado “Optimización basada en colonias de hormigas (Ant Colony Optimization, ACO)” para la solución del mTSP, específicamente Sistema Multi-tipos de Colonias de Hormigas (M-ACS), donde cada colonia representa una posible solución global del problema. Las colonias cooperan mediante “frecuentes” intercambios de feromona en busca de una solución eficiente para el mTSP. El desempeño del algoritmo propuesto ha sido comparado con uno de los algoritmos de búsqueda local más eficientes para dicho problema, la heurística de Lin-Kernighan. Finalmente, los resultados computacionales obtenidos confirman la competitividad y eficiencia de la estrategia de solución propuesta.

Palabras clave: Optimización basada en colonias de hormigas (ACO), problema de múltiples viajeros vendedores (mTSP), sistema multi-tipos de colonias de hormigas (M-ACS).

Recibido el 4 de Octubre de 2011

En forma de revisada el 9 de Julio de 2012

1. Introducción

El clásico problema del viajero vendedor (TSP) es definitivamente uno de los problemas más estudiados en la Investigación de Operaciones. Sin embargo, el problema de los múltiples viajeros vendedores (mTSP), a pesar de ser una generalización del TSP, ha sido pobremente tratado en la literatura. El mTSP, como problema combinatorial discreto, consiste en encontrar una ruta para cada uno de los m vendedores, los cuales comienzan y retornan a un nodo inicial (depósito). Comparado con el clásico TSP, el mTSP resulta más difícil de resolver computacionalmente debido a que el espacio de solución del mismo es considerablemente mayor. A pesar de que el mTSP sigue siendo un problema de referencia establecido en la literatura científica, sus rasgos fundamentales se asemejan mucho más a los problemas reales [1] que pueden presentarse en las decisiones empresariales (Tabla 1). Distintos algoritmos de solución han sido propuestos para resolver el mTSP, dentro de los que se encuentran los algoritmos exactos. Los algoritmos de cota y poda (Branch and Bound, BB) son los más utilizados de dentro de los enfoques exactos para la solución del mTSP [2-4]. Algunas investigaciones proponen además la estimación de cotas mediante relajaciones lagrangianas [5]. La principal desventaja de estos enfoques exactos se aprecia en el costo computacional que implica el crecimiento de los componentes del problema, ejemplo el número de ciudades a visitar.

Los métodos heurísticos han sido también abordados en la resolución del problema objeto de estudio en la presente investigación [24]. El algoritmo de Lin-Kernighan ha sido una de los métodos heurísticos más eficientes propuesto para el mTSP [25], aunque fue originalmente desarrollado para el TSP. Considerando lo anteriormente planteado, en la presente investigación se propone comparar los resultados del nuevo enfoque (M-ACS) basado en ACO con los resultados de la heurística de Lin-Kernighan reportados en la literatura [26].

Los algoritmos evolutivos tales como, la Programación Evolutiva (Evolutionary Programming, EP) [27] y los Algoritmos Genéticos (Genetic Algorithms, GAs) [10] han sido objeto de estudio para el mTSP. Dichos enfoques evolutivos han sido propuestos fundamentalmente para aplicaciones de secuenciación de tareas en la industria [18, 21, 28].

Las Redes Neuronales Artificiales (Artificial Neural Network, ANN) han reportado resultados significativos en la solución del mTSP, alguno de éstos programas heurísticos proponen el uso de enfoques multiobjetivo en la modelación del problema [29, 30]. Otras proponen abordar el mTSP mediante la solución demestándar TSP [31-33].

La Búsqueda Tabu (Tabu Search, TS) es otra de las metaheurísticas propuestas para el mTSP [21], algunas de ellas proponen solucionar variantes del mTSP en las que están presentes las ventanas de tiempo. Aunque resulta pertinente resaltar que las investigaciones en este sentido han sido considerablemente limitadas. En la última década se han reportado investigaciones que presentan el uso del Recocido Simulado (Simulated Annealing, SA) [34], por lo general la aplicación de esta metaheurística ha sido desarrollada asociando un costo fijo, en la función objetivo, para cada vendedor.

Dentro de los enfoques existentes para la solución del mTSP se encuentran los llamados métodos de transformación, [6] y [35], la aplicación de estos métodos consiste en transformar el mTSP a un clásico TSP [36]. La adición de nodos virtuales [22] es una de las transformaciones más utilizadas, la mismas consiste en añadir un nodo artificial por cada vendedor existente, asignando valor cero (0) entre éstos y los restantes nodos reales en la matriz de distancia relativa C y asignando además el valor infinito (/) entre los nodos virtuales establecidos.

Los algoritmos basados en ACO han evidenciado significativos resultados computacionales en la solución del clásico TSP [37-39] y las múltiples variantes de los VRPs [40]. Sin embargo, de acuerdo con la literatura revisada por los autores de la presente investigación, la solución del mTSP mediante algoritmos basados en ACO no ha sido abordada. Es por ello, que la motivación fundamental en este artículo consiste en la propuesta de un nuevo enfoque, cooperativo y eficiente, el cual posibilita la solución del mTSP basado en ACO. El M-ACS propone la utilización de múltiples colonias, donde cada una construye una solución global de problema y durante el proceso constructivo las colonias cooperan, mediante el intercambio “frecuente” de feromona. Finalmente, la eficiencia del algoritmo propuesto es comprobada comparando los resultados alcanzados con la eficiente heurística de Lin-Kernighan, dicha comparación se desarrolla mediante la aplicación de ambos algoritmos en instancias ya formalizadas en la literatura científica.

Este artículo está estructurado de la forma siguiente: en el epígrafe 2 se presenta la formulación matemática del problema objeto de estudio, luego en la sección 3 se describe el nuevo algoritmo desarrollado para el mTSP. La sección 4 del presente artículo está dedicada a mostrar algunas experiencias computacionales a través de la aplicación del algoritmo propuesto en instancias reconocidas en la literatura especializada. Las conclusiones de la investigación aparecen en el epígrafe 5, finalmente quedaron planteadas algunas de las tareas de investigación en trabajos futuros.

2. Formulación matemática del MTSP

El mTSP puede definirse en un grafo G = (V, A), donde V resulta un conjunto de n nodos y A representa el conjunto de arcos que conectan dichos nodos. Asociado a cada arco del grafo existe una matriz C = (c_ij ), donde c_ij indica mayormente la longitud del arco en unidades de distancia o tiempo. Se define a la matriz C como simétrica [41] cuando cij = cij, "(i, j ) Î A y asimétrica para el caso contrario. El objetivo del problema consiste en encontrar m rutas (una para cada vendedor), las cuales comienzan y culminan en un nodo depósito (representado por el nodo 1 en el caso de la modelación propuesta). Cada vendedor debe visitar sus nodos correspondientes una sola vez, de manera similar, cada nodo debe ser visitado por uno y solo un vendedor.

La variable de decisión queda definida de la forma siguiente:

De manera general la formulación lineal entera del mTSP puede ser establecida como sigue:

La expresión (1) describe la función objetivo del problema, la cual consiste en minimizar la sumatoria de las longitudes asociadas a cada arco (i,j). Las restricciones (2) y (3) aseguran que exactamente m vendedores comiencen y culminen en nodo 1 (depósito), mientras que las ecuaciones (4) y (5) aseguran que los vendedores visiten sus correspondientes nodos solo una vez. Finalmente, las restricciones que se generan con la expresión (6) previenen la creación de subcircuitos en el grafo.

3. Sistema multi-tipos de colonias de hormigas (M-ACS)

El algoritmo M-ACS propuesto en la presente investigación está basado en la siguiente idea: sea CO un conjunto de colonias de hormigas artificiales, las cuales representan posibles soluciones globales para el problema formalizado en la sección 2. Cada colonia construye una solución global mediante la aplicación del clásico algoritmo, Sistema de Colonias de Hormigas (Ant Colony System, ACS) [42], pero durante el proceso de construcción de la solución, las colonias cooperan compartiendo entre ellas información sobre las experiencias alcanzadas hasta una iteración determinada. Dicha cooperación se realiza mediante “frecuentes” intercambios de feromona. De este modo un conjunto de soluciones es construida por las colonias que sean definidas, seleccionado la mejor solución posteriormente a la última iteración.

3.1. Construcción de las rutas

Para resolver el mTSP, hormigas artificiales construyen una ruta mediante la selección sucesiva pseudo-aleatoria e inteligente hasta que todas las ciudades hayan sido visitadas. Las ciudades deben ser visitadas una sola vez y por un único vendedor. En el algoritmo propuesto, la selección de una ciudad no visitada se realiza considerando tres aspectos: qué tan buena fue la elección de dicha ciudad hasta la interacción actual (t_ij rastro de feromona), qué tan promisoria resulta la ciudad analizada (h_ij, medida de deseabilidad) y qué tan buena fueron las elecciones de dicha ciudad respecto a las otras colonias establecidas (f_ij rastro de feromona de la colonia). A diferencia del clásico ACS, en el M-ACS, cada hormiga se mueve desde un nodo actual i hasta el siguiente nodo v mediante la regla pseudo-aleatoria siguiente:

donde U representa el conjunto de nodos a visitar, t_ij es rastro de feromona en el arco (i, j ) y h_ij denota la medida de deseabilidad, la cual puede calcularse mediante la expresión siguiente:

 

donde d_ij indica la distancia entre los nodos i y j. Por otra parte, f_ij denota para el arco (i, j ), en el algoritmo propuesto, el valor promedio de los rastros de feromona de las colonias restantes. El término anterior es determinado posterior a cierta cantidad de iteraciones F. Los parámetros a y b determinan la influencia relativa de la feromona versus la distancia (a, b > 0). El parámetro g es incorporado al algoritmo, dicho parámetro expresa la tendencia existente en cada colonia hacia el uso de su propia experiencia (g =0) o hacia el uso de las experiencia de las colonias restantes (g >0). En el algoritmo se define además el parámetro q₀, el cual se distribuye uniformemente [0, 1] y determina la importancia relativa de la explotación (expresión 8) versus la exploración (expresión 9). El número aleatorio q se genera uniformemente [0, 1], y en caso de que q ≤ q₀ el próximo nodo se incorpora mediante la expresión (8), de lo contrario mediante la expresión (9).

3.2. Actualización de la feromona

La actualización de la feromona en el M-ACS incluye las mismas reglas de actualización (actualización local y global) que las definidas en [38] para el ACS. La regla de actualización local (ver expresión 11) se aplica para cambiar el nivel de feromona de cada arco mientras cada hormiga artificial construye una solución.

donde r se define como el coeficiente de evaporación (0 ≤ r ≤ 1) y (1-r) indica el nivel de evaporación de la feromona. El nivel inicial de feromona (t₀) es alcanzado a través de la clásica heurística del Vecino más Cercano (Nearest Neighbor, NN) y se determina mediante la siguiente expresión:

t₀ = (n ∙ L_nn)^-1     (12)

donde n denota el número de ciudades y L_nn representa el recorrido total aplicando la heurística NN. Posterior a la primera iteración, se realiza la actualización global de la feromona (expresión 13) para aquellos arcos que conformaban la mejor solución alcanzada en la primera iteración.

donde L_Best es la distancia total recorrida de la mejor solución (BestSol) en la iteración.

3.3. Cooperación entre colonias

El M-ACS presenta rasgos significativos de inteligencia colectiva, a diferencia del ACS, en el M-ACS un conjunto de colonias cooperan con la finalidad de encontrar mejores soluciones. El proceso de cooperación, inspirado en [43], consiste en los “frecuentes” intercambios del rastro de feromona alzado por las hormigas que pertenecen a cada colonia. Cada colonia tiene asociado dos matrices de rastros de feromona: la primera de éstas contiene los rastros de feromona de las hormigas que pertenecen a la propia colonia y la segunda matriz contiene los rastros de feromona alcanzado por las hormigas que pertenecen a las colonias restantes. Los “frecuentes” intercambios de feromona son realizados después de una cantidad de iteraciones predefinidas F. Dicho parámetro puede definirse porcentualmente, indicando que cuando el número de iteraciones haya alcanzado el valor porcentual F con respecto al total de iteraciones N se debe realizar el intercambio de feromona entre las colonias. De este modo, el valor de feromona cuando se realiza el intercambio se calcula de la manera siguiente:

donde S representa la colonia actual que obtiene el valor del intercambio, la cual toma el valor promedio de los rastros de feromona de las otras colonia, excluyendo la colonia actual. Finalmente, en el Pseudo-código 1 se detalla el procedimiento general seguido en el M-ACS, dicho procedimiento incluye los mecanismos de intercambio entre las colonias, así como incluye la llamada a otro procedimiento (solución-nueva-hormiga) en el que las hormigas artificiales realizan la construcción de las soluciones (ver Pseudo-código 1).

El procedimiento solución-nueva-hormiga se describe en el Pseudo-código 2.

4. Experiencias computacionales

En la presente sección se muestran alguno resultados computacionales con el objetivo de evaluar el desempeño del algoritmo propuesto en el epígrafe 3. La ejecución del M-ACS ha sido desarrollada en un ordenador personal equipado con un procesador Intel Pentium dual-core 1.6 GHz, una memoria RAM de 1GB. La implementación computacional del algoritmo ha sido programada en Java 1.6.0.

El M-ACS fue probado en seis (6) problemas de referencia en TSPLIP [44]. Estos problemas consisten en clásicos TSPs, los cuales han sido resueltos con enfoques algorítmicos específico para este tipo de problema. Sin embargo, en la presente investigación se desarrolla el experimento computacional resolviendo los problemas mencionados y comparando los resultados alcanzados con los de la heurística Lin-Kernighan [26]. Los seis problemas de referencia presentan un rango de ciudades entre 124 y 783 y el número de vendedores establecidos resultaron 3, 5 y 7 respectivamente. En la Tabla 2 se resumen los principales resultados del experimento computacional, donde la primera columna de dicha tabla indica el tipo de problema (simétrico y asimétrico). Las columnas 2 y 3 muestran el código del problema y las dimensiones de los mismos. Las columnas restantes muestran los valores de función objetivo para las distintas instancias resueltas por ambos algoritmos (M-ACS y Lin-Kernighan).

Los parámetros fijados para el M-ACS fueron los siguientes: q₀ = 0,8, a = b = g =1, r = 0,1 solamente 10 hormigas para cada colonia. Como resultado de un estudio estadístico previo de Análisis de Varianza (Analysis of Variance, ANOVA) se establecieron 3 colonias para la solución de las instancias, así como realizar el intercambio de feromona cada 10 iteraciones (10% de un total de 100 iteraciones).

Partiendo de los resultados obtenidos en la Tabla 2, se obtienen diferencias significativas entre los valores de función objetivo para los algoritmos analizados, resultando ser el algoritmo propuesto el de mayor eficiencia para las instancias resueltas. Las diferencias significativas fueron probadas mediante la aplicación de la prueba estadística no-paramétrica de Wilcoxon, considerando las 10 réplicas del M-ACS se obtuvo un p-value de 0.03. Resulta interesante resaltar que la heurística Lin-Kernighan proveer mejor calidad en las soluciones (mejor valor en la función objetivo) cuando las instancias presentan dimensiones inferiores. Respecto al tiempo de computación, vale señalar que se reportaron tiempos de cómputo(s) despreciables para el caso de 100 iteraciones del M-ACS. Un ejemplo de ello fue reportado en el problema de mayor escala (rat783), en el cual el tiempo de ejecución del algoritmo propuesto no sobrepasó los 120 segundos.

5. Conclusiones

En la presente investigación, se presenta el Sistema Multi-tipos de Colonias de Hormigas como un nuevo enfoque de los algoritmos ACO. La nueva propuesta consiste en los “frecuentes” intercambios de feromona que realizan las hormigas que componen múltiples colonias con la finalidad de compartir experiencias en la construcción de soluciones. El nuevo enfoque de solución se desarrolla para un problema combinatorial poco estudiado (el mTSP) por la familia de los algoritmos basados en ACO. Por otra parte, basado en la solución de seis reconocidos juegos de datos, los resultados computacionales evidencian la efectividad del M-ACS, proporcionando en la mayoría de los casos mejor valor en la función objetivo comparado con la eficiente y bien conocida heurística de Lin-Kernighan. Finalmente, los tiempos de cómputo(s) reportados indican valores razonables teniendo en cuenta las iteraciones ejecutadas por el M-ACS.

Investigaciones futuras

Las investigaciones futuras deben estar encaminadas a la combinación del algoritmo propuesto con estrategias de búsqueda local. De igual modo, extender la aplicación del M-ACS para variantes de los VRPs y de esta manera analizar el desempeño del algoritmos respecto a los resultados de otros enfoques.

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