Resumen
Los sistemas CAD tradicionales constituyen herramientas de ayuda al diseño y posibilitan preparar decisiones de mayor calidad y en menor tiempo que el diseño manual no automatizado. Sin embargo, sin la aplicación de herramientas de optimización y toma de decisiones estos sistemas no están preparados, conceptualmente, para la realizar diseños que se aproximen al mejor compromiso posible entre los indicadores de eficiencia del diseñador. En el presente trabajo se exponen los resultados de la aplicación del Método de los Algoritmos Genéticos al diseño óptimo multi-objetivo de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos. El sistema diseñado persigue el objetivo de generar opciones de diseños de troqueles que aportan soluciones de compromiso próximas al óptimo global por el valor de una función de utilidad.

Palabras Clave: Optimización multiobjetivo, CAD/CAM, Algoritmos Genéticos.

Summary

The traditional CAD systems constitutes tools for aid in the preparation of design’s decisions with more quality and in lesser time that with the manual not automated design. However, without the application of decisions making tools these systems are not prepared, conceptually, for carrying out designs that approximate to the best possible commitment among the designer’s indicators of efficiency. This work presents the results of the application of Genetic Algorithm Method to the optimal multi-objective design simple and progressive cutting dies. The system pursues the objective of generating design options of dies near to the global optimum of an utility function.

Keywords: Multiobjective Optimization, CAD/CAM, Genetic Algorithm.

1. Introducción.
La reducción del tiempo requerido para el diseño y la fabricación resulta un elemento de considerable interés, especialmente cuando se trata de una herramienta tan compleja como son los troqueles de corte simples y progresivos, uno de los mas complicados tipos de herramientas para prensas.
Un troquel progresivo genera piezas a partir de operaciones en múltiples etapas, lo que conlleva a muchas funciones y una construcción de muy alta complejidad, la que en ocasiones contiene cientos de partes. Dadas estas características, resulta de interés el desarrollo de sistemas CAD para el diseño de troqueles progresivos. En la revisión bibliográfica realizada se destacan por su profundidad y alcance los trabajos de Ebenstein [5], Cheok [3], Ismail [11], Orestova [16], Shirai [17], Song [20], Sun [22], Wang [23, 24], Weck [25], Wu [26], Zenger [27] y otros autores. La mayor parte de ellos desarrollados en el último quinquenio en centros de investigaciones de Alemania, Estados Unidos, Inglaterra, Japón, China y otros paises.
La característica común de estos sistemas es que prácticamente dejan la solución principal del diseño del troquel, es decir, la determinación de los valores de las variables de diseño y la distribución de punzones en manos del diseñador.
Así, la tarea fundamental no solucionada aún en el campo del desarrollo de sistemas CAD para el diseño de troqueles consiste en la automatización del diseño constructivo del troquel y de la distribución de punzones. La solución a estos problemas debe asociarse, necesariamente al logro de valores de diferentes indicadores de eficiencia que satisfagan, en la mayor medida posible, las expectativas del diseñador. La solución cabal a este problema puede ser realizada sobre la base de la aplicación de los resultados de los métodos de optimización multiobjetivo.

La necesidad de aplicar procesos de optimización en el diseño de sistemas CAD es expuesta por muchos autores, entre ellos por Fonseca [7] y Wang [23, 24]. Estos reconocen, entre otras complejidades de los sistemas CAD, el carácter multiobjetivo de las decisiones de diseño en la ingeniería. Circunstancias adicionales que añaden complejidad a la optimización del diseño están dadas por:

· El carácter subjetivo de una parte de los objetivos que persigue el ingeniero durante la búsqueda de soluciones al problema estudiado.
· La necesidad de la conciliación de decisiones elaboradas por sistemas orientados a la solución de tareas interrelacionadas.
· La ausencia de adecuación a las tareas de la ingeniería de los métodos mas conocidos del Análisis de Sistemas
· La complejidad descriptiva de los procesos tecnológicos asociados al diseño.
En el presente artículo se presentan los fundamentos teóricos para el diseño óptimo multiobjetivo de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos y se desarrollan los procedimientos que permiten dar solución práctica a este problema a partir de la aplicación del Enfoque Integrador para la Concepción y el diseño de Sistemas de Ingeniería [2].
La coincidencia de la formulación general de la tarea de diseño de troqueles con la Tarea Generalizada de Selección de Propuestas [2] sugiere la idea de la aplicación del método de los Algoritmos Genéticos en la búsqueda de solución. Entre las características de este método que fundamentan su aplicación al caso estudiado se encuentran su universalidad, la generación paralela de toda una población de soluciones y la proximidad de los valores de la función de valor multiobjetivo para las diferentes soluciones pertenecientes a la última población generada. Esta última característica facilita la presentación, por el sistema al diseñador, de diferentes soluciones caracterizadas por valores suficientemente “buenos” de los indicadores formalizables para la elección de aquellas soluciones concretas que satisfacen, además, sus criterios no formalizables, subjetivos.

2. Variables utilizada durante el diseño de troqueles de corte y punzonado.

La aplicación de la metodología de Análisis de Sistemas de Ingeniería para la preparación de decisiones bajo criterios múltiples expuesta en (Arzola, 2000) a la tarea de diseño de troqueles de corte y punzodo simples y progresivos permitió definir la siguiente composición de variables de esta tarea.

Indicadores de Eficiencia:
1. Aprovechamiento de la chapa
2. Productividad de la prensa
3 Fuerza de corte
4. Costo de fabricación
5. Durabilidad del troquel
6. Precisión

Variables de decisión:
1. Tipo de troquel
     [Simple / Placa Guía / Armazón de columnas]
2. Distribución de piezas en la chapa [1,2,3,4]
3. Elementos Reguladores del paso
     · Recortadores laterales [Uso o No]
4. Tipo de Corte [De la pieza / del desecho]
5. Número de pasadas
6. Sistema de Alimentación [Manual / Automático].
7. Elementos Centradores
8. Tipo de matriz y filo.
9. Elementos de Posicionamiento
     · Regla guía
     · Presionador Lateral
10. Material de la Matriz
11. Material del punzón
12. Bases
       · Tipo (Fundida o laminada)
       · Posición de las columnas
       · Forma de la columna

Todas las variables de decisión son de naturaleza discreta y constituyen decisiones generales que determinan la configuración del diseño.
El procedimiento de cálculo de los indicadores formalizables de eficiencia a partir de las variables de decisión se corresponde con las técnicas más avanzadas de diseño de troqueles aunque por su complejidad no será tratado en este artículo.
En calidad de función objetivo se utiliza la aproximación a la función de valor multiobjetivo siguiente:

                 (1)

donde:
W_i - coeficiente que refleja la importancia concedida por el usuario al indicador de
eficiencia Yi
Y_i^id- valor ideal de criterio de eficiencia Yi , el cual se obtiene como resultado de optimizar individualmente este criterio, desconociendo los restantes.
Y^st- estimación, diferente de 0, del valor de Y_i^id

En el presente caso se tiene un total de 6 indicadores de eficiencia: Aprovechamiento del semiproducto (Apro), productividad del troquel (Pro), fuerza de corte requerida (Fuer), costo del troquel, durabilidad (Dura), precisión del corte (Itac). Cada uno de estos indicadores se calculan como resultado de los valores adoptados por las variables de decisión en el paso dado del proceso de optimización. Se considera, además, como indicador no formalizable, la preferencia subjetiva del diseñador.
Concluido el Análisis del Sistema se requiere elaborar el procedimiento de preparación de decisiones de diseño, el que necesariamente debe considerar la multiplicidad de objetivos, unos de carácter formalizable y otros de carácter no formalizable. En otras palabras, se requiere elaborar el procedimiento de optimización multiobjetivo.
Aplicando los resultados teóricos obtenidos la tarea de diseño óptimo multiobjetivo se enfrenta en correspondencia con el método de los Algoritmos Genéticos. La elección de este método obedece a las siguientes razones:
· La descripción matemática del proceso obedece a un procedimiento complejo de cálculo, el que incluye gran número de operaciones lógicas en la determinación de la viabilidad de cada solución, por lo que se requiere de un método aplicable a descripciones matemáticas de complejidad arbitraria. El método de los Algoritmos Genéticos satisface por completo este requisito.
· La consideración de criterios de carácter subjetivo en la toma de decisiones requiere la generación de un conjunto de soluciones próximas al óptimo encontrado [2]. El método de los Algoritmos Genéticos se caracteriza, precisamente, por la presencia, en la población final, de un conjunto de soluciones próximas a la mejor solución encontrada, lo que aporta el conjunto requerido sin necesidad de introducir modificaciones especiales al método.
· La selección del método de los Algoritmos Genéticos como método de solución a la Tarea Generalizada de Selección de Propuestas ( ver [2]), a la que se corresponde plenamente la tarea de diseño que nos ocupa.

Las posibles soluciones concretas se codifican en forma de cadenas de caracteres binarios. Los valores codificados de las diferentes variables (genes) se agrupan a continuación a lo largo del cromosoma. La creación de una población inicial de cromosomas (soluciones) se realiza de forma aleatoria. Cada solución es evaluada de acuerdo a una función de adaptación (fitness), la que se asocia generalmente a la función objetivo a optimizar. La selección de parejas de padres para su reproducción se realiza de acuerdo al principio de asociación de la probabilidad de selección proporcionalmente al valor del fitness de los cromosomas. Los cromosomas que permanecen en cada nueva población son los de mejor valor de fitness entre los miembros de la población de la generación anterior y sus hijos. Se generan poblaciones hasta que se cumple un criterio de parada. Entre otros criterios de parada se utilizan: generación de un número predeterminado de poblaciones y diferencia inferior a la permisible entre los valores de fitness de la mejor y la peor soluciones.
Así, para el diseño óptimo multiobjetivo de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos con ayuda de los algoritmos genéticos, se requiere determinar:

· Sistema de codificación de todas y cada una de las variables de decisión en cadenas de caracteres binarios. La cadena resultado de la unión a continuación de las cadenas de genes (variables) determina el código de los cromosomas (soluciones).
· El procedimiento de generación de una población inicial y su tamaño.
· Método de evaluación del fitness
· Procedimiento de cruzamiento y mutación de las poblaciones.
· Criterio (s) de parada

3. Formulación matemática de la tarea de diseño
La tarea de diseño óptimo multiobjetivo de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos puede ser formulada de la siguiente forma [18, 19].
Sea S = (1, 2, ... , s, ... , n) el conjunto de tipos de troquel y posibles distribuciones de piezas en la chapa (para s = 1), y diferentes elementos constructivos que conforman un troquel (s ³ 2). Para cada s ÎS se conoce un conjunto de opciones constructivas, ordenadas según un criterio lógico, diferente para cada s

         (2)

El conjunto de posibles diseños de troqueles está dado por el producto cartesiano

Se requiere seleccionar un elemento (diseño)
ek = (k1 , k2 , ... , ks , ... , kn ) Î E de forma tal de minimizar:

(3)
asegurando el cumplimiento de un conjunto de restricciones

  (4)

El conjunto de restricciones (4) en la tarea estudiada está dado por la exigencia de viabilidad de cada diseño ek, es decir, por su factibilidad.
La formulación realizada de la tarea de diseño de troqueles se corresponde por completo con la Tarea Generalizada de Selección de Propuestas (presentada en [2]).

4. Codificación de valores de las variables de decisión

En correspondencia con el esquema clásico de los algoritmos genéticos, se adopta la codificación en código binario de los diferentes valores posibles de las variables de decisión (ver Figura 1).

Fig. 1. Componentes del Código de un Troquel.

5. Generación de la población inicial

La generación de la población inicial de un algoritmo genético puede ser realizada de forma determinística o aleatoria. En este caso, se utiliza la generación aleatoria. Cada cromosoma de la población inicial se genera a partir de un número entre cero y uno, uniformemente distribuido, afectado por el número equivalente a 2¹⁷ (131072) y su conversión a código binario de 17 dígitos.
La necesidad de crear un generador de números aleatorios uniformemente distribuidos se fundamenta por el hecho que los generadores propios de los sistemas de programación disponibles, devuelven siempre una misma secuencia de números, para una cantidad dada de generaciones, lo que determina la misma población inicial en dos corridas diferentes lo que no satisface la condición de aleatoriedad requerida.
Ante cada generación de un “cromosoma” se evalúa la validez del mismo, así como, su existencia o no entre las soluciones obtenidas anteriormente. De esta forma se garantiza una “población inicial” de 30 componentes, diferentes y válidos, cada uno representa un diseño con características diferentes.

6. Método de evaluación del fitness

Esta se realiza totalmente a partir de la evaluación de la función objetivo (1) para los valores de las variables de decisión dados por el código genético de cada solución concreta. En calidad de valores ideales se toman los menores valores de los indicadores de eficiencia alcanzados hasta la población analizada.

7. Procedimiento de cruzamiento y mutación de las poblaciones.

Para la generación de nuevas poblaciones en los AG se utilizan 2 procedimientos fundamentales: el cruzamiento y la mutación. El procedimiento de cruzamiento consiste en la generación de nuevos cromosomas a partir de dos iniciales (padres). Generalmente, a partir de dos padres se generan dos cromosomas hijos. El procedimiento de mutación consiste en la modificación aleatoria de uno de los bits de la cadena del cromosoma. La ocurrencia de una mutación es aleatoria y el carácter binario que se modifica en la cadena es también aleatorio.
La aplicación experimental de los AG al diseño de troqueles mostró una influencia prácticamente despreciable del procedimiento clásico de mutación sobre la calidad, velocidad del proceso de optimización y diversidad genética de las soluciones obtenidas. Por esta razón el autor de esta Tesis no recomienda su aplicación al diseño óptimo multiobjetivo de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos.
En la literatura sobre algoritmos genéticos se entiende como operación de cruzamiento al intercambio genético entre dos cromosomas de la población procesada. En los algoritmos originales de Holland [9], uno de los cromosomas era elegido de acuerdo a su valor de fitness, mientras que el otro era elegido aleatoriamente. Con posterioridad prevaleció la práctica de seleccionar ambos cromosomas de acuerdo a su valor de fitness. Esta operación se denomina en lo adelante, en este trabajo, como cruzamiento propio.
La aplicación del cruzamiento propio al diseño óptimo multiobjetivo de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos conduce a la obtención de soluciones de calidad con la evaluación de tan solo un 3 – 5 % del conjunto de posibles soluciones (factibles o no). La población final se caracteriza generalmente por soluciones muy parecidas entre sí, próximas a un óptimo local, lo que conduce con frecuencia, por una parte, a pérdidas de eficiencia y, por la otra, a una evaluación insatisfactoria de los factores subjetivos durante la toma de decisiones de diseño. Para la superación de estas dificultades en este trabajo se desarrolla una nueva operación genética la que en lo adelante se denominará como cruzamiento impropio.
La operación del cruzamiento impropio consiste en el intercambio genético entre un cromosoma de la población procesada con un cromosoma generado aleatoriamente, sin importar si este último se corresponde con una solución factible.
A pesar que la naturaleza de esta operación presenta características semejantes a la mutación su ejecución no se asocia, en este trabajo, a la verificación del cumplimiento de alguna condición aleatoria, sino a la verificación de una condición lógica, consistente en que un número prefijado de parejas de padres seguidas (15) no generan un par de hijos factibles.
En la literatura se proponen una gran variedad de variantes de aplicación de la operación de cruzamiento.Se experimentaron casi todas las variantes, resultando la más efectiva la variante de cruzamiento con ayuda de máscaras. En calidad de máscara se considera una cadena de bits de igual longitud que los cromosomas de la población [12].
La variante de cruzamiento por máscara, sigue el siguiente procedimiento:
a. Selección de dos cromosomas para realizar la función de padres.
El propósito de la selección de padres es incrementar la probabilidad de reproducir miembros de la población que tengan buenos valores de la función objetivo. La selección de los padres puede variar, por ejemplo, en los algoritmos originales de Holland [9], uno de ellos era elegido de acuerdo a su valor de fitness, mientras que el otro padre era elegido aleatoriamente.
En este caso ambos padres se eligen aleatoriamente, por el método de la Ruleta, con vista a aumentar las probabilidades de barrer el mayor espectro de soluciones posibles. El método de la ruleta parte de la idea de una rueda giratoria en la que a cada individuo corresponde una sección circular directamente proporcional a su fitness. Un paso de selección entonces, sería análogo a un giro de la ruleta la que, al detenerse, selecciona un individuo con una probabilidad proporcional al arco que se le asocia.

b. Creación de un cromosoma máscara ( ver [7]).
El cromosoma máscara, tiene exactamente la misma estructura que los cromosomas de las posibles soluciones y se crea por el mismo mecanismo por el que se generan los cromosomas miembros de la población inicial. Como este cromosoma no tiene asociada solución alguna no se requiere evaluar su factibilidad, ni su fitness.

c. Generación de dos nuevos hijos.
Para generar los hijos se sigue el procedimiento:

· Primer hijo: A cada posición de los bits “1” de la mascara se le hace corresponder el carácter correspondiente del padre 1, al resto de los caracteres se les asigna los valores correspondientes del padre 2.
· Segundo hijo: A cada posición de los bits “1” de la máscara se le hace corresponder el carácter correspondiente del padre 2, al resto de los caracteres se les asigna los valores correspondientes del padre 1.
En el proceso de reproducción se hace cumplir la premisa: “De cada pareja de padres se obtienen, al menos, dos hijos válidos”. Un hijo puede ser rechazado a partir de los siguientes criterios:
· Si forma o ha formado parte de la población.
· Si no posee una buena configuración genética.
I. Se repite 2 y 3 hasta que el número de hijos obtenidos sean 2 ó 3.
II. Sustitución de la población por los hijos.
Si alguno de los hijos tiene mayor valor de fitness que alguno de los padres de la población de partida, estas soluciones reemplazarán a las peores soluciones de la población.

8. Criterio (S) de parada

El procedimiento de cruzamiento y mutación de las poblaciones, se repite hasta alcanzar alguno de los criterios de parada siguiente:
· La diferencia entre los valores del fitness del primer y el último miembro de la población no difiere más de 0.025. Una diferencia menor entre estos dos valores hace el proceso de computo impracticable por el gasto en tiempo. Una diferencia mayor provoca la pérdida no deseada de diversidad genética (diversidad de tipos de troqueles) en las poblaciones.
· Cuando se obtienen 225 soluciones no factibles seguidas, lo cual se corresponde con el análisis de 15 parejas de padres, con 15 máscaras por cada pareja.

· Según puede observarse, se ha elaborado un modelo muy simple de evolución que trata de incorporar los conceptos de supervivencia y selección del más apto. Así, se hace evolucionar una población que ha sido generada aleatoriamente hasta llegar a tener una bien adaptada (es decir, con configuraciones satisfactorias que sean soluciones aproximadas del problema de optimización multiobjetivo planteado).

9. Experimentos computacionales

El sistema TROQUEL 3D, en el que se implementan los resultados expuestos en este artículo [18, 19] ha sido introducido con éxito en explotación en varias empresas cubanas, vinculadas al diseño de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos, siendo operado por especialistas en conformación de metales. En estas condiciones, el proceso propiamente de optimización, incluyendo la consideración del factor subjetivo no ha superado en ningún caso 15 min. Al mismo tiempo, todo el proceso de diseño, incluyendo la generación de los planos de fabricación no demora, como regla, más de 25 minutos de trabajo, para piezas de configuración compleja.
En el caso del diseño del troquel requerido para la sencilla pieza del ejemplo examinado, el diseñador estableció inicialmente iguales pesos para todos y cada uno de los indicadores de eficiencia. Al examinar las primeras 4 soluciones decidió incrementar la importancia concedida al indicador costo. Las primeras 3 soluciones obtenidas para los nuevos pesos considerados, aunque le resultaban satisfactorias por los indicadores formalizables de eficiencia, no le “simpatizaban” por razones de complejidades asociadas al maquinado de algunas de las piezas componentes de los troqueles correspondientes. Este análisis resulta posible a partir de las vistas en 3 dimensiones de las soluciones constructivas asociadas. Las particularidades constructivas del 4to troquel examinado fueron del agrado del diseñador ya que, aunque resultaba mas caro, requería una potencia mayor de la prensa, se caracterizaba por una durabilidad inferior y brindaba un acabado inferior, resultaba más fácil de fabricar que los anteriores troqueles examinados. Satisfecho con la última solución encontrada, el diseñador decidió concluir la búsqueda y se dio de inmediato a la tarea de generar los planos constructivos del troquel para su fabricación en el taller de maquinado. El proceso total de diseño ocupó un total de 30 min., incluida la impresión de los planos.

10. Conclusiones

Como resultado de la aplicación consecuente del Enfoque Integrador para la Concepción y el Diseño de Sistemas de Ingeniería al caso particular del diseño óptimo multiobjetivo de troqueles de corte y punzonado simples y progresivos, se diseñó un sistema que permite al diseñador buscar aquella solución que satisface no solo un compromiso razonable entre los indicadores de eficiencia cuantificables que resultan de su interés, sino también otros indicadores de carácter subjetivo, es decir, el troquel que más le agrada desde todo punto de vista.
En el ejemplo del sistema CAD descrito se puede observar la necesidad de utilizar algoritmos de conciliación de decisiones de tareas de diseño interrelacionadas. En este caso se hizo necesaria la conciliación de las tareas de distribución de piezas en la chapa con la tarea de diseño del troquel. La conciliación de decisiones entre tareas y sistemas interrelacionados tiene presencia universal, pues está determinada por la interdependencia de los procesos y fenómenos del mundo real.
La aplicación exitosa de los Algoritmos Genéticos a la tarea del diseño óptimo multiobjetivo de troqueles de corte y punzonado sugiere la idea de su aplicación a otras muchas tareas de diseño de Sistemas de ayuda al Diseño Óptimo Multiobjetivo para otras muchas aplicaciones CAD. Esta idea se ve reforzada por la independencia del algoritmo de optimización con respecto a la descripción matemática del proceso tecnológico asociado.

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