Propiedades de las Tres Componentes Principales del Movimiento Sísmico

Oscar A. López¹, Ricardo Bonilla¹, Julio J. Hernández² y Aura Fernández³

¹ Profesor, IMME, Facultad de Ingeniería, Universidad Central de Venezuela

² Investigador Asociado, Proyecto IMME-UCV-FONACIT, Ministerio de Ciencia y Tecnología

³ Asistente de Investigación, Proyecto IMME-CDCH, Universidad Central de Venezuela

Resumen

Se presentan las propiedades de los espectros de respuesta de las tres componentes principales del movimiento sísmico para una muestra de 97 eventos registrados en el planeta. Las direcciones principales del movimiento sísmico, dos direcciones cuasi-horizontales y una cuasi-vertical, constituyen una base común para el estudio de sus propiedades espectrales. El espectro de la componente cuasi-horizontal mayor está siempre por encima de la cuasi-horizontal menor en todo el rango de períodos entre 0 y 10 segundos; el cociente entre ambos, g₂, varía entre 0,63 y 0,80, valores que son siempre menores que el valor característico de 0,85 que ha sido utilizado en diversos estudios de respuesta estructural. En los eventos en campo cercano se aprecian mayores diferencias entre ambos espectros cuasi-horizontales en la zona de períodos entre 0,4 y 1,5 segundos aproximadamente. El espectro de la componente cuasi-vertical  puede estar por debajo o por encima de la componente cuasi-horizontal mayor, dependiendo de la distancia a la falla y del período de vibración. En los eventos lejanos, el espectro de la componente cuasi-vertical está siempre por debajo del de la cuasi-horizontal mayor, con cocientes espectrales entre el primero y el segundo, g₃, comprendidos entre 0,34 y 0,69. En los eventos cercanos, estos cocientes espectrales varían entre 1,33 para períodos muy cortos y 0,30, los cuales difieren de g₃ = 2/3, valor éste independiente del período de vibración y de la cercanía de los sismos que se ha utilizado en algunas normas de diseño. La inclinación promedio de la componente principal cuasi-vertical con respecto a un eje vertical es de 11,4°, con una desviación estándar de 9,9°, aún cuando algunos movimientos específicos pueden tener inclinaciones hasta de 50°. Al contrario de la suposición usual, el caso más frecuente (moda estadística) se separa de 0°, estando entre 5° y 10°.  Se recomienda tomar en cuenta la inclinación de la componente cuasi-vertical en estructuras con modos de periodos cercanos y gran participación, unos a componentes horizontales y otros a una componente vertical.

Palabras clave: movimiento sísmico, espectro de respuesta, componentes principales, componente cuasi-vertical.

Properties of the three principal components of seismic motion

ABSTRACT

Se presentan las propiedades de los espectros de respuesta de las tres componentes principales del movimiento sísmico para una muestra de 97 eventos registrados en el planeta. Las direcciones principales del movimiento sísmico, dos direcciones cuasi-horizontales y una cuasi-vertical, constituyen una base común para el estudio de sus propiedades espectrales. El espectro de la componente cuasi-horizontal mayor está siempre por encima de la cuasi-horizontal menor en todo el rango de períodos entre 0 y 10 segundos; el cociente entre ambos, g₂, varía entre 0,63 y 0,80, valores que son siempre menores que el valor característico de 0,85 que ha sido utilizado en diversos estudios de respuesta estructural. En los eventos en campo cercano se aprecian mayores diferencias entre ambos espectros cuasi-horizontales en la zona de períodos entre 0,4 y 1,5 segundos aproximadamente. El espectro de la componente cuasi-vertical  puede estar por debajo o por encima de la componente cuasi-horizontal mayor, dependiendo de la distancia a la falla y del período de vibración. En los eventos lejanos, el espectro de la componente cuasi-vertical está siempre por debajo del de la cuasi-horizontal mayor, con cocientes espectrales entre el primero y el segundo, g₃, comprendidos entre 0,34 y 0,69. En los eventos cercanos, estos cocientes espectrales varían entre 1,33 para períodos muy cortos y 0,30, los cuales difieren de g₃ = 2/3, valor éste independiente del período de vibración y de la cercanía de los sismos que se ha utilizado en algunas normas de diseño. La inclinación promedio de la componente principal cuasi-vertical con respecto a un eje vertical es de 11,4°, con una desviación estándar de 9,9°, aún cuando algunos movimientos específicos pueden tener inclinaciones hasta de 50°. Al contrario de la suposición usual, el caso más frecuente (moda estadística) se separa de 0°, estando entre 5° y 10°.  Se recomienda tomar en cuenta la inclinación de la componente cuasi-vertical en estructuras con modos de periodos cercanos y gran participación, unos a componentes horizontales y otros a una componente vertical.

Key words: seismic motions, response spectra, principal components, quasi-vertical component.

Recibido: 06/01/04    Revisado: 11/02/04      Aceptado: 23/04/04

1. Introducción

El movimiento del terreno durante un terremoto se suele medir mediante el registro de la aceleración de sus tres componentes de traslación mutuamente ortogonales, que suelen orientarse según dos direcciones horizontales arbitrarias y una vertical. Es conocido que puede efectuarse una rotación a las direcciones principales del movimiento donde las tres componentes tienen una correlación nula entre sí [1, 2, 3]. Estas tres direcciones corresponden a las de máxima, una intermedia y mínima intensidad cuadrática de las aceleraciones, entre todas las direcciones posibles de las tres componentes en el espacio.

Por otro lado, los métodos de análisis espectral ante sismos multicomponentes especificados en las normas de diseño sismorresistente [4, 5, 6], se basan en suponer que las componentes del movimiento sísmico no están correlacionadas por lo que necesariamente están asociadas a las direcciones principales del movimiento. Y el cálculo de la respuesta estructural crítica considerando todas las direcciones posibles de incidencia de las componentes sísmicas, requiere de conocer el cociente entre los espectros de las componentes principales [7-11]. Aún cuando  se han efectuado numerosos estudios sobre las propiedades de los espectros de las componentes sísmicas registradas [13,14], se dispone de muy poca información sobre las propiedades de los espectros de las componentes principales. En [15] se utilizaron espectros principales con idéntica forma espectral e intensidades relativas de 1, 0,85 y 0,67 para la componente horizontal mayor, horizontal menor y vertical, respectivamente, mientras que en [10] se utilizaron espectros con distinta forma e intensidad para efectos de estudios de respuesta estructural. En un estudio previo los autores evaluaron las propiedades de los espectros principales, limitado a las componentes horizontales del movimiento con una muestra reducida de 17 eventos sísmicos seleccionados en [16], encontrándose que las componentes mayor y menor tienen formas espectrales distintas [17,18]; se observó que el cociente  entre los espectros promedios menor y mayor oscila entre 0,56 y 0,83 dependiendo del valor del período de vibración. En estudios preliminares con tres componentes sísmicas se ha encontrado que, salvo excepciones, la componente vertical no corresponde exactamente a una dirección principal [12, 19]. y en [12] se ha desarrollado un método de análisis para determinar la respuesta ante tres componentes sísmicas principales, considerando una desviación angular entre una componente principal y la dirección vertical.

Este trabajo tiene como objetivo investigar las propiedades de las tres componentes principales del movimiento sísmico en una muestra de eventos registrados en el globo, incluyendo la desviación de la vertical por parte de una componente principal. En particular se desea determinar los espectros promedio y sus cocientes para las tres componentes principales, y compararlos con los espectros correspondientes a las direcciones de registro, evaluar la influencia de la condición de lejanía o cercanía del movimiento con relación a la falla geológica, y evaluar la desviación de las componentes principales con respecto al eje vertical y al plano horizontal.

2. Direcciones Principales y Espectros del Movimiento Sísmico

2.1 Definiciones

Sean a_x(t), a_y(t) y a_z(t)  las aceleraciones registradas según las direcciones x, y, z, respectivamente, para las cuales sin pérdida de generalidad podemos suponer que sus medias temporales son iguales a cero. En general, los tres registros están correlacionados entre sí. Nos interesa obtener las nuevas componentes rotadas a tres direcciones denominadas principales, para las cuales la correlación es nula. A fin de resolver matemáticamente este problema, definimos como σ a la matriz de intensidad cuadrática del movimiento en un punto, respecto a los ejes de registro x, y, z:

la cual es una matriz simétrica y sus coeficientes están dados por:

σ_xx, σ_yy y σ_zz son las intensidades cuadráticas de a_x(t), a_y(t) y a_z(t), respectivamente, con unidades de aceleración elevada al cuadrado, y describen la severidad del movimiento a lo largo de las direcciones de registro x, y, z, respectivamente, σ_xy, σ_xz y σ_yz son los correspondientes términos cruzados y s es la duración del movimiento. Valores no nulos de los términos cruzados indican que existe correlación entre las componentes registradas.

Las componentes de aceleración según las direcciones de  registro (x, y, z) pueden ser rotadas a las direcciones principales (1, 2, 3) (Figura1-a) según las cuales no están correlacionadas entre sí, mediante la siguiente transformación de coordenadas [1,3]:

Figura 1. Direcciones (x, y, z) de las componentes sísmicas registradas, direcciones principales                (1, 2, 3) para el caso 3D y (1’, 2’, 3’) para el caso 2D

donde A es la matriz de transformación la cual esta constituida por los autovectores de la matriz σ. La nueva matriz de intensidad cuadrática de las componentes principales a₁(t), a₂(t) y a₃(t), σ_p, está dada por:

donde σ₁₁, σ₂₂ y σ₃₃ son los autovalores de la matriz σ. Los términos cruzados entre las componentes a₁(t), a₂(t) y a₃(t) son cero, indicando que ellas son independientes entre sí. Los valores σ₁₁, σ₂₂ y σ₃₃ definen la máxima, la mínima y un valor intermedio de la varianza, entre todas las varianzas asociadas a todas las orientaciones posibles de las componentes sísmicas en el espacio. En este trabajo se designará como dirección principal 3 a la dirección mas próxima al eje vertical con quién forma el ángulo ψ (Figura 1-a), la cual denominaremos dirección cuasi- vertical; las direcciones 1 y 2 se definen tal que σ₁₁³σ₂₂ , por lo que 1 y 2 conforman las direcciones cuasi – horizontales de mayor y menor varianza, respectivamente. Nótese que  σ₃₃ puede ser menor, mayor o igual que σ₁₁ y σ₂₂.

Los coeficientes de correlación entre las componentes registradas (x, y, z) se definen como,

Puede demostrarse que el máximo valor posible de ρ_ij es 1, lo que indicaría correlación perfecta entre las componentes.

Designemos como 3D el caso general de tres componentes sísmicas en el espacio (Figura 1-a). Una simplificación tradicional es suponer que una dirección principal es siempre vertical (ψ = 0º en Figura 1-b). Este caso particular, que denominamos 2D, queda definida por dos componentes principales horizontales a lo largo de los ejes (1', 2'), que pueden adoptar cualquier dirección en el plano horizontal, y la componente sísmica vertical (3'= z). El ángulo θ en la Figura 1-b define la dirección de las componentes horizontales principales (1', 2') con respecto a las registradas (x, y). En el caso 2D despreciamos la correlación entre las componentes horizontales y la vertical: σ_xz = σ_yz = 0 en la Ec. (1) y por lo tanto  ρ_xz = ρ_yz = 0 en la Ec. (5). Igualmente forzamos a que σ₃₃ = σ_zz en la Ec. (4).

2.2 Ejemplos

La Figura 2-a muestra las tres componentes de aceleración registradas en la Estación Santa Cruz, ubicada sobre roca a unos 17 kilómetros del epicentro, durante el terremoto de Loma Prieta del 18 de octubre de 1989. Las aceleraciones máximas fueron de 0,44 g, 0,41g y 0,33 g para las componentes 0º, 90º y vertical, respectivamente. Definiendo a las direcciones x, y, z como las correspondientes a 0º, 90º y vertical, respectivamente, la matriz de covarianza (Ec. 1) resulta ser:

Figura 2.Componentes registradas y principales (3D) de la aceleración del terreno en la estación Santa Cruz durante el terremoto de Loma Prieta (1989)

Los coeficientes de correlación de las  tres componentes registradas (Ec. 5) son ρ_xy = 0,38, ρ_xz = -0,10 y ρ_yz = 0,097.

La aceleración del terreno en las direcciones principales 1, 2 y 3 se presenta en la Figura 2-b, siendo sus aceleraciones máximas 0,49g, 0,41g y 0,26g, respectivamente. La matriz de covarianza de las componentes principales es (Ec. 4):

En donde se puede apreciar que la intensidad cuadrática de la componente 1 es 5132 lo que la hace 1,23 veces más intensa que la mayor entre las componentes registradas. La componente cuasi - vertical 3 forma un ángulo ψ = 25,5º con el eje vertical (Figura 1-a) y posee una intensidad igual a 1510 lo que es igual a 0,90 veces la intensidad de la componente vertical registrada.

En la Figura 3 se presentan los espectros de pseudo – aceleración de las componentes registradas y de las componentes principales, para valores del periodo de vibración T entre 0 y 10 segundos y un amortiguamiento del 5%. Los espectros de las componentes principales cuasi–horizontales (1 y 2) están más separados entre ellos que los espectros de las componentes horizontales registradas (x, y), para la mayor parte del rango de valores del periodo de vibración. Obviamente, esto se debe a que las aceleraciones registradas son combinaciones lineales de las aceleraciones principales, tienen valores intermedios entre éstas, y por su origen están correlacionadas entre sí.  Igualmente se puede apreciar en los gráficos inferiores de la Figura 3 una reducción de los valores espectrales de la componente cuasi – vertical 3 con relación a la componente vertical registrada, en la mayor parte del rango de periodos de vibración.

Figura 3: Espectro de pseudo-aceleración para las componentes registradas (a) y las principales (b) para el movimiento sísmico en la estación Santa Cruz, durante el terremoto de Loma Prieta

Por otro lado, si consideramos el caso 2D definido al final de la sección 2.1, la matriz σ definida por la Ec. (1) se simplifica a:

y la matriz de intensidad cuadrática, de las componentes principales (1', 2', 3'), es:

en donde el ángulo θ es igual a 35,3º (Figura 1-b). Las tres varianzas principales según las direcciones 1,2,3 en el caso 3D (Ec. 7), difieren un 0,05%, 6,7% y 10,8%, respectivamente, de las del caso 2D (Ec. 9), producto de la inclinación ψ = 25,5º de la componente cuasi-vertical.

La Figura 4 compara los espectros de pseudo-aceleración de las componentes principales (1', 2', 3') del caso 2D con los correspondientes a las componentes principales (1, 2, 3) del caso 3D. Se aprecian diferencias importantes entre los espectros 3 y 3', diferencias menores entre los espectros 2 y  2' y una muy buena concordancia entre los espectros 1 y 1'.

Figura 4. Comparación de los espectros de pseudo-aceleración de las componentes principales (1’, 2’ 3’) para el caso 2D y las componentes principales (1, 2, 3) para el caso 3D, para la estación Santa Cruz durante el terremoto de Loma Prieta

Las diferencias entre los espectros 2D y 3D serán mayores en aquellos movimientos que posean una mayor inclinación ψ de la componente cuasi-vertical; al contrario, si  ψ es igual a cero los espectros 3D y 2D son idénticos.

3. Movimientos Sísmicos

3.1 Base de datos

Se utilizó un conjunto de 97 movimientos sísmicos registrados durante 25 terremotos ocurridos en el planeta desde 1934 hasta la fecha, con aceleraciones máximas mayores que 0,10 g, siendo g la aceleración de gravedad (Tablas 1 y 2). Los movimientos fueron separados en dos grupos: cercanos y lejanos a la falla. Los cercanos (Tabla 2) son aquellos movimientos que fueron registrados a una distancia menor de 15 Km. de la falla, los cuales han sido clasificados previamente como movimientos “cercanos” en [20-29]. Los registros a distancias mayores de 15 Km. se clasificaron como “lejanos” (Tabla 1). La definición de “roca” o “suelo” se estableció de acuerdo a la información dada en [20-33]. En términos generales podemos decir que se considera “roca” aquellos sitios que tienen una velocidad de ondas de corte, V_s, mayor a unos 700 m/seg, aun cuando hay algunas diferencias entre los diversos autores. En [30] consideran V_s>760 m/ seg, similar al V_s>750 m/seg considerado en [32]. A titulo referencial, en la norma venezolana [6] se define “roca” por valores de V_s>500 m/seg.

TABLA 1. Sismos y estaciones para los eventos lejanos

TABLA 2. Sismo y estaciones para los eventos cercanos

Todos los acelerogramas fueron obtenidos de la base de datos del PEER [34], con la excepción de los eventos No 9 y 11 (Tabla 1, Roca) que provienen de la NOAA [35] y de los eventos No 1, 3, 9, 10, 16, 19-24 (Tabla 1, Suelo), No 13 (Tabla 1, Roca) y No 7 (Tabla 2, Roca) que provienen del USGS [36].

Aún cuando en los eventos cercanos no hemos efectuado rotación de los registros a fin de expresarlos en términos de sus componentes normal y paralela a la falla, podemos señalar la gran concordancia entre dichas componentes en el caso del registro obtenido en la Estación RRS (terremoto de Northridge, 1994) presentado como Figura 3(a) en [37] y las componentes principales mayor y menor calculadas en este estudio y que se muestran en la Figura 5.

Figura 5. Espectros de pseudo-aceleración de las componentes principales cuasi-horizontales (1, 2).del movimiento sísmico en la estación Rinaldi durante el terremoto de Northridge

En la Tabla 3 se presentan los valores medios de los coeficientes de correlación (ρ_xy, ρ_xz  y ρ_yz ) entre las componentes registradas (Ec. 5), para cada grupo. Se aprecian valores más pequeños de correlación entre cualquiera de las componentes horizontales y la vertical (ρ_xz y ρ_yz) que entre las dos componentes horizontales (ρ_xy).

 TABLA 3. Valores medios de los coeficientes de correlación

3.2 Inclinación de la componente cuasi-vertical

La frecuencia con que se presenta la inclinación ψ de la componente principal 3 con respecto a la vertical (Figura 1-a) se muestra en la Figura 6 para los eventos cercanos, los lejanos y para todos ellos. Se encontró una inclinación promedio de 11,4º para toda la muestra, siendo ligeramente mayor en los eventos cercanos (12,3º) que en los lejanos (10,2º), aún cuando algunos eventos individuales pueden tener inclinaciones de hasta 50º. La desviación estándar es de 9,91º para todos, siendo algo mayor en los cercanos (11,1º) que en los lejanos (8,3º). Es interesante anotar que, al contrario de la suposición usual, el caso más frecuente de inclinación (la moda estadística) se separa de cero, estando entre 5º y 10º.

          Figura 6. Frecuencia relativa del ángulo ψ de la inclinación de la componente cuasi-vertical

4. Espectros Medios y Cocientes Espectrales

4.1 Algoritmos de cálculo

El trabajo requirió de desarrollar diversas herramientas para el cálculo de las direcciones principales de los movimientos sísmicos, de los espectros, de sus valores estadísticos y sus ajustes, tanto en análisis 3D como en 2D, y para el análisis comparativo entre los diferentes subgrupos que conforman la base de datos de 97 eventos conteniendo 291 registros acelerográficos, lo cual significó un gran volumen de cálculo computacional. Para ello se desarrollaron varias rutinas con el programa Matlab aprovechando sus potencialidades para los cálculos estadísticos, el análisis matricial y el manejo automático de gráficos.

4.2 Características de los espectros principales

Sean S_1i(T), S_2i(T) y S_3i(T)  los espectros de seudo-aceleración para las componentes principales 1, 2 y 3, respectivamente, del evento i. Para cada evento i, los espectros se normalizan dividiendo la seudo-aceleración entre la aceleración pico de la componente principal 1 y multiplicando por la aceleración de gravedad g; es decir, A_ki(T)= [S_ki(T)/a_1i]g, k=1,2,3; por tanto, A_1i(T=0)=1g. Los espectros medios, A_1m(T), A_2m(T) y A_3m(T) para las componentes principales 1, 2 y 3, respectivamente, se obtienen como la media aritmética de los espectros normalizados para todos los eventos contenidos en el grupo considerado:

La Figura 7 muestra los espectros medios con 5% de amortiguamiento para los grupos Cercanos, Lejanos, Roca y Suelo, respectivamente, contenidos en las Tablas 1 y 2. Los valores espectrales para la componente principal cuasi-horizontal 1 están siempre por encima de los de la componente cuasi-horizontal 2 para todo el rango de períodos de vibración en los cuatro grupos considerados. Los valores espectrales de la componente cuasi-vertical 3 pueden estar por encima o por debajo de las componentes cuasi-horizontales 1 y 2, dependiendo del período de vibración y del grupo considerado.

              Figura 7. Espectros medios para las componentes principales del movimiento sísmico en cada Grupo

Independientemente de la condición local (suelo o roca), la condición de lejanía o cercanía a la falla introduce cambios importantes en los espectros principales; en los eventos lejanos (Figura 7-a) la componente cuasi-vertical 3 está siempre por debajo de las componentes cuasi-horizontales 1 y 2 , pero en los eventos cercanos (Figura 7-b) la componente 3 excede a las componentes 1 y 2 en la zona de períodos muy cortos (0,03£T£ 0,15 s), patrón éste también observado en [14] en el análisis de espectros de movimientos registrados, sin rotarlos a las direcciones principales. En la zona de períodos cortos (0,1£T£ 0,5 s) los valores espectrales de la componente 1 muestran menor amplificación en los eventos cercanos que en los lejanos, pero esta zona es más ancha en los cercanos que en los lejanos tal como se observó en [37] para espectros de componentes registradas. Independientemente de la condición de cercanía o lejanía a la falla, la condición de roca o suelo incide en la forma de los espectros principales, observándose mayores amplificaciones en roca en la zona de períodos cortos (0,1£T£ 0,5 s) (Figura 7-c y d). Dado que en la base de datos considerada son más abundantes los eventos cercanos en suelo que en roca, se aprecian mayores amplificaciones en la componente cuasi-vertical 3 que en las componentes 1 y 2 para períodos muy cortos.

Aún cuando los espectros presentados en la Figura 7 son los espectros promedio, conviene señalar que existe una notoria variabilidad en los mismos cuando se comparan los espectros individuales entre sí; esta variabilidad se ilustra en la Figura 8 la cual muestra los espectros asociados a la media más una desviación estándar y su relación con los espectros medios, para las tres componentes principales de todos los movimientos sísmicos. Se pueden apreciar dispersiones similares en las dos componentes cuasi-horizontales (1,2) pero mayores en la componente cuasi-vertical.

Figura 8. Espectros medios, y medios más una desviación estándar, de las componentes principales, para todos los movimientos sísmicos

La Figura 9 muestra los cocientes espectrales obtenidos a partir de los espectros medios, los que se definen por:

Figura 9. Cocientes espectrales g₂=A_2m/A_1m y g₃=A_3m/A_1m para las componentes sísmicas principales en cada Grupo

El cociente espectral entre las dos componentes cuasi-horizontales, g₂, es siempre menor que la unidad y muestra cierta dependencia con el valor del período T, con la condición de cercanía o lejanía a la falla y con la condición local de roca o suelo. El cociente espectral g₂ es menor en el grupo Cercano que en el Lejano en la zona de períodos entre 0,4 y 1,5 segundos, y ligeramente mayor para períodos más cortos. Los grupos Roca y Suelo presentan valores de g₂ más semejantes entre sí, a excepción de la zona entre 4 y 6 segundos donde el grupo Roca muestra una amplificación de sus valores.

El cociente espectral entre las componentes cuasi-vertical y la cuasi-horizontal mayor, g₃, varía entre 0,30 y 1,30 considerando todos los grupos, pero muestra una mayor dependencia con el período de vibración y con la cercanía o lejanía a la fuente. Los mayores valores de g₃ ocurren en los eventos cercanos para períodos muy cortos (menores que 0,1 seg.); los menores valores ocurren para períodos intermedios (entre 0,2 y 3 seg.) en todos los grupos. Los valores de g₃ en el Grupo Suelo son parecidos a los del Grupo Cercanos porque en la base de datos predominan los registros en suelos sobre los de roca (Tabla 2).

El pico que aparece en los valores de g₂ en el Grupo Roca para períodos de alrededor de 5 s, proviene esencialmente de los eventos lejanos, tal como se evidencia en la Figura 10 donde se han graficado los valores de g₂ discriminando la contribución de los Grupos Cercano-Roca y Lejano-Roca.

Figura 10. Cociente espectral g₂ para los Grupos Lejanos-Roca y Cercanos-Roca

4.3     Comparación con los espectros de los componentes registrados

Tradicionalmente se han estudiado las propiedades de los espectros de respuesta sin rotarlos a sus direcciones principales, por lo que interesa comparar los espectros principales aquí obtenidos con los provenientes del enfoque tradicional. Sean S_xi(T), S_yi(T) y S_zi(T) los espectros de seudo-aceleración de las componentes registradas x, y, z, respectivamente, para el evento i. En cada evento los espectros se normalizaron dividiéndolos por la mayor aceleración de la componente principal 1 a fin de ser congruente con la normalización empleada para los espectros principales: A_ki(T)= [S_ki(T)/a_1i]g, k=x,y,z.

Definamos a A_hm(T) como el espectro medio de todos los espectros horizontales A_xi(T) y A_yi(T), y a A_zm(T) como el espectro medio de todos los espectros verticales A_zi(T). La Figura 11 presenta resultados para todos los eventos de las Tablas 1 y 2; La Figura 11-a muestra que el espectro medio de las componentes horizontales registradas, A_hm(T), tiene un valor intermedio entre los espectros principales A_1m(T) y A_2m(T). El espectro medio de la componente principal cuasi-vertical, A_3m(T), es bastante cercano al de la componente vertical registrada, A_zm(T), (Figura 11-b) debido a los pequeños valores, en promedio, de la desviación ψ de la componente cuasi-vertical (Figura 6). La Figura 11-c presenta los valores del cociente entre los espectros cuasi-horizontales principales, g₂, (Ec. 10-a) que oscilan entre 0,63 y 0,81 al considerar todos los sismos. Este cociente puede compararse con el valor de 1 que correspondería al criterio tradicional de las normas de diseño sismo-resistente que consideran idéntico espectro en las dos direcciones horizontales. La Figura 11-d compara  el cociente entre los espectros principales cuasi-vertical y cuasi-horizontal mayor, g₃=A_3m/A_1m, con el cociente entre los espectros registrados vertical y el promedio de los horizontales, g_z=A_zm/A_hm; se puede observar que g₃ está siempre por debajo de g_z, y que ambos tienen la misma tendencia a tener valores por encima de uno para períodos cortos entre aproximadamente 0,03 y 0,1 s, y a tener sus menores valores para períodos intermedios cerca de aproximadamente 1 s.

Figura 11.Comparación de los espectros medios para todos los movimientos sísmicos; (a): las componentes principales cuasi-horizontales (A_1m, A_2m) y las horizontales registradas (A_hm), y (b): la componente principal cuasi-vertical (A_3m) y la vertical registrada (A_zm). Comparación de los cocientes espectrales para (c): las componentes principales cuasi-horizontales (g₂), y (d): la componente principal cuasi- vertical (g₃) y la vertical registrada (g_z)

4.4 Influencia del tipo de análisis: 3D o 2D

Una determinación simplificada de los cocientes espectrales g₂ y g₃ puede efectuarse a partir del análisis 2D descrito en la sección 2.1 que considera que una componente principal es vertical (Figura 1-b), el cual se ilustró con el ejemplo de la Figura 4.

Sean A_1'i(T) y A_2'i(T) los espectros normalizados de seudo-aceleración de los componentes horizontales principales del evento i, los cuales corresponden al movimiento sísmico descrito a lo largo de las direcciones horizontales principales 1' y 2', respectivamente (Figura 1b), manteniendo la dirección principal 3' como vertical (caso 2D). El espectro en la dirección 3', A_3'i(T), es el mismo que el de la componente vertical registrada, A_z'i(T). En la normalización de A_1'i(T), A_2'i(T) y A_3'i(T), se siguió el mismo criterio presentado previamente para los espectros en las direcciones (1, 2, 3) y (x, y, z). Sean A_1'm(T), A_2'm(T) y A_3'm(T) los espectros medios para todos los eventos en las direcciones y 1', 2' y 3', respectivamente. Definamos por cociente espectral g'₂ (T) el cociente entre los espectros medios de las componentes horizontales menor 2' y mayor 1', y por g'₃ (T) el cociente entre los espectros medios de la componente 3' y la componente mayor 1':

Los cocientes g'₂ (T) y g'₃ (T) del análisis 2D se comparan con los g₂ (T) y g₃ (T) del análisis 3D en la figura 12, para todos los eventos de las Tablas 1 y 2. Se observa una muy buena concordancia entre los valores g'₂ (T) y g₂ (T); el procedimiento 2D conduce a errores no mayores que 2,5 % en la estimación de g₂. En la estimación de g₃, los errores llegan hasta un 12% para períodos largos pero valen menos de 9% para períodos por debajo de 1 segundo.

Figura 12. Comparación de los cocientes espectrales para el caso 2D (g₂’, g₃’) y el caso 3D (g₂, g₃), para todos los movimientos sísmicos

4.5 Efecto de la normalización

En los resultados precedentes los movimientos sísmicos han sido normalizados tomando como referencia la mayor aceleración del terreno. Interesa investigar la influencia que pueda tener el uso de otro criterio de normalización sobre los cocientes espectrales, como por ejemplo el de fijar la intensidad cuadrática de la componente principal mayor. Sea σ_r una intensidad cuadrática arbitraria de referencia, la cual se escoge igual a 2661 (cm/seg²)² que es la de la conocida componente N-S del registro de El Centro, 1940, para toda la duración del movimiento. Para cada evento, los tres espectros principales se normalizan aquí multiplicando la seudo-aceleración por el factor (σ_r / σ₁₁), siendo σ₁₁ la intensidad espectral de la componente principal 1. Como resultado de esta normalización, la componente principal 1 tiene una intensidad cuadrática igual a σ_r, en cada uno de los eventos, y las otras componentes quedan proporcionales a sus respectivas varianzas.

La Figura 13 compara los valores de los cocientes espectrales g₂=A_2m/A_1m y g₃=A_3m/A_1m provenientes de normalizar con la varianza todos los eventos de las Tablas 1 y 2, con aquellos obtenidos al normalizar con la aceleración que fueron presentados previamente en la Figura 10. Los valores de g₂ son poco dependientes del criterio de normalización empleado, con diferencias relativas no mayores que 8%. Mayor dependencia se aprecia en los valores de g₃ en el cual se pueden tener diferencias relativas hasta de 25%, aún cuando el patrón de variación con el período de vibración es el mismo con ambos criterios de normalización.

Figura 13. Efecto del criterio de normalización de los cocientes espectrales (g₂,g₃) de las componentes principales, para todos los movimientos sísmicos

4.6 Efecto del amortiguamiento

Los resultados previos fueron obtenidos con un amortiguamiento del 5%. La Figura 14 presenta los valores de los cocientes espectrales g₂ y g₃  para coeficientes de amortiguamiento de 2,5%, 5% y 10% considerando todos los eventos de las Tablas 1 y 2. Se aprecia que los valores de g₂ son poco sensibles al valor del amortiguamiento; los valores de g₃ muestran una mayor sensibilidad, especialmente en la zona de períodos muy cortos donde se aprecia su tendencia a disminuir para valores crecientes del amortiguamiento.

Figura 14. Efecto del amortiguamiento en los cocientes espectrales (g₂,g₃) de las componentes principales, para todos los movimientos sísmicos

5. Espectros Suavizados y Cocientes Espectrales

Los espectros medios de seudo-aceleración para un amortiguamiento de 5%, A_jm(T) para las tres componentes principales j=1,2,3 mostrados en Figura 7, están normalizados de manera tal que el espectro de la componente principal mayor es igual a 1g para período cero (A_1m(T=0)=1g en la Ec. 10a). Si se desean determinar los espectros principales para cualquier otro valor distinto, por ejemplo A_1m(T=0)=0,30g, basta con multiplicar por 0,30 los tres espectros principales A_jm(T) para j=1,2,3.

Los espectros medios de seudo-velocidad para las componentes principales 1,2,3 están dados por:

Adoptando un valor  A_1m(T=0)=0,30g y utilizando la Ec. 13 en conjunto con los resultados de la Figura 7, en las Figuras 15, 16 y 17 se presentan los espectros medios de seudo- velocidad para cada componente principal y sus correspondientes cocientes espectrales; los resultados se muestran para los distintos grupos (Figuras 15 y 16) y para todos los sismos (Figura 17), utilizando un formato logarítmico que nos permite visualizar las diferentes zonas espectrales en el rango de períodos entre 0 y 10 segundos: una zona sensible a la aceleración para períodos cortos, sensible a la velocidad para períodos intermedios y sensible al desplazamiento para períodos largos.

Figura 15. Espectros suavizados de seudo-velocidad y cocientes espectrales para las componentes principales. Grupos Lejanos y Cercanos

Figura 16. Espectros suavizados de seudo-velocidad y cocientes espectrales para las componentes principales. Grupos Roca y Suelo

Figura 17. Espectros suavizados de seudo-velocidad y cocientes espectrales para las componentes principales. Todos los movimientos sísmicos

Los espectros suavizados que se ajustan a los correspondientes espectros medios, se determinaron como se indica a continuación. Los espectros suavizados de seudo-velocidad, V(T), y de seudo-aceleración, A(T), se definen mediante una serie de segmentos rectos en el gráfico log-log tal como se describe en la Figura 18, empleando un formato similar al utilizado en [38]:

Figura 18. Espectros de seudo-velocidad V y seudo-aceleración A en escalas logarítmicas

Las rectas que definen los espectros suavizados fueron determinadas mediante un proceso iterativo de ajuste de los parámetros b, p, q, T_a, T_b, T_c y T_d definidos en la Figura 18. Se ajustaron simultáneamente los espectros suavizados de las componentes (1, 2, 3), V₁(T), V₂(T) y V₃(T), a los espectros medios V_1m(T), V_2m(T) y V_3m(T), conjuntamente con el ajuste en sus cocientes espectrales g₂ y g₃. Los valores de los parámetros independientes A_o, b, p, q, T_a, T_b, T_c, T_d, y T_e provenientes del ajuste se muestran en la Tabla 4 para cada grupo de eventos sísmicos, adoptando A_o=1g para la componente 1 en todos los grupos; los valores de A_o para las componentes 2 y 3, se tomaron iguales a los valores de sus correspondientes espectros medios para T=0.

TABLA 4. Parámetros que definen los espectros suavizados para cada componente sísmica principal

* Los espectros están normalizados tal que A_o de la componente mayor es igual a 1g. Para cualquier otro valor deseado de A_o para la componente mayor, se deben multiplicar por el mismo valor los A_o de las otras dos componentes principales.

Los espectros suavizados de seudo-velocidad definidos por la Ec. (14) y la Tabla 4 se presentan y comparan con los espectros medios en las Figuras 15 a 16 para los diferentes grupos y en la Figura 17 para todos los movimientos sísmicos. Para efectos de graficación se adoptó un valor de A_o=0,30g para la componente 1; los valores de A_o para las componentes 2 y 3 en la Tabla 4 se multiplicaron por 0,30, obteniéndose A_o=0,21g y 0,14g, respectivamente. En la parte inferior de las figuras se muestran también los cocientes espectrales suavizados los cuales se definen como:

donde A_j(T) y V_j(T) son los espectros suavizados de seudo-aceleración y seudo–velocidad para la componente principal (j =1, 2, 3).

Los resultados de las Figuras 15 a 17 indican que los espectros suavizados aproximan razonablemente bien los espectros medios, manteniendo un buen grado de aproximación en los correspondientes cocientes espectrales, para todos los grupos considerados.

5.1 Implicaciones en el Análisis Estructural

Los resultados obtenidos permiten valorar cualitativamente los métodos tradicionales para combinar los efectos de las componentes sísmicas, aunque un estudio más preciso requiere la realización de análisis comparativos detallados, tal como se presentan en [39,40].  A tal fin destaquemos que hemos podido concluir que los espectros de las componentes sísmicas principales, las cuales no están mutuamente correlacionadas, típicamente guardan ciertas proporciones entre sí.

En primer lugar, los métodos antiguos que calculaban separadamente los efectos de dos componentes horizontales ortogonales sin combinarlas entre sí son obviamente poco conservadores. La omisión de la combinación habría resultado aproximadamente válida si la proporción entre componentes ortogonales independientes fuera pequeña, es decir más cercana a 0 que a 1. Como, sin embargo está en el orden de 0,7, la acción simultánea tiene importancia y no debe despreciarse.

Por otro lado, la suposición que hacen las normas [4-6] de que los componentes horizontales ortogonales tienen igual intensidad es algo conservadora, pues equivale a usar g₂ = 1, en lugar de un valor cercano a 0,7. Así ocurre en los métodos de "la raíz cuadrada de la suma de cuadrados" y las reglas del 40% y 30%.

En la última década se han desarrollado procedimientos de análisis espectral más exactos para determinar la respuesta máxima probable de estructuras ante sismos multicomponentes [7-12], que toman en cuenta la relación entre los espectros de cada componente. La determinación de la respuesta ante dos componentes sísmicas horizontales actuando según los ejes principales de la estructura ha sido discutida en [3], utilizando un valor de 0,85 para describir la intensidad del espectro de la componente horizontal más débil, siendo  la intensidad de la componente más fuerte igual a 1, lo cual equivale a adoptar un valor de g₂=0,85, constante e independiente del período de vibración. El mismo valor de 0,85 fue utilizado en [15] para determinar la respuesta ante dos componentes horizontales que inciden según cualquier dirección con respecto a los ejes estructurales.

Sin embargo, los resultados aquí presentados señalan que los valores medios de g₂(T) considerando toda la base de datos están siempre por debajo de 0,85, para cualquier valor del período de vibración T y para cualquiera de los grupos de sismos cercanos o lejanos; los valores más probables de g₂ están comprendidos entre 0,60 y 0,80, dependiendo del valor de T. Para efectos de respuesta estructural, cada modo de vibración con su período asociado contribuirá con su correspondiente valor de g₂(T) a la respuesta combinada.

Para efectos de estimar la respuesta crítica ante dos componentes horizontales se ha propuesto en [41] el uso de un valor de g₂ dado por el promedio entre el mayor y el menor valor de g₂(T) en todo el rango de períodos T. De acuerdo a los resultados mostrados en la Figura 17, este valor medio es aproximadamente igual a 0,70. Una mejor aproximación de la respuesta crítica se puede obtener de la Figura 17 determinando un valor de g₂ calculado como el promedio de los valores de g₂(T) correspondientes a los períodos de los modos dominantes para cada componente horizontal del sismo. Un análisis más refinado [8,10] que considera componentes horizontales con espectros distintos puede efectuarse utilizando los espectros principales dados por la Ec. (12) en conjunto con los valores de la Tabla 4, lo que automáticamente toma en cuenta la dependencia de g₂(T) con el período de vibración.

En diversas normas de diseño sismorresistente así como en numerosos publicaciones referidas al análisis y diseño de estructuras ante las componentes sísmicas horizontales y la vertical se ha utilizado un factor g₃=2/3, independiente del período de vibración, para describir la intensidad relativa del espectro de la componente vertical con respecto al de la horizontal. Los resultados aquí presentados destacan que el espectro de la componente principal cuasi-vertical tiene forma distinta y puede ser mayor (g₃>1) o menor (g₃<1) que los espectros de las componentes horizontales, dependiendo significativamente del valor del período de vibración y de la lejanía o cercanía a la falla geológica. Aún cuando esta observación ya había sido hecha por otros autores, más recientemente por [14], considerando componentes registradas (sin rotarlas a las direcciones principales), los resultados aquí encontrados indican diferencias mayores entre los espectros principales a las señaladas previamente entre los espectros registrados horizontal y vertical. En la Figura 15 se aprecian para sismos lejanos (más de 15 km de la falla) valores de g₃ del orden de 0,40 en la zona de períodos entre 0,1 y 1 seg., y valores que varían entre 0,4 y 0,7 para períodos distintos. Para sismos cercanos (menos de 15 km de la falla) los valores de g₃ muestran una variación bastante diferente, con valores hasta de 1,25 para períodos muy cortos (menores que 0,1 seg), y de aproximadamente en el orden de 0,4 para períodos mayores que 0,3 seg, con valores intermedios entre 0,1 y 0,4 seg.

En edificios, los modos que se excitan fundamentalmente con la componente vertical, y cuyos efectos se combinan con los de las componentes horizontales, son de periodo corto. En estos casos el valor usual de g₃=2/3 puede aceptarse para sismos lejanos pero debería ser mayor para sismos cercanos. Para el análisis de estructuras con periodos largos apreciablemente excitados por la componente vertical, se recomienda el uso del espectro vertical o cuasi-vertical más exacto disponible, en lugar de un espectro proporcional al horizontal. La Ec. (14) en conjunto con los valores de la Tabla 4 pueden ser utilizadas para construir espectros principales de las componentes cuasi-horizontales y la cuasi-vertical, los cuales pueden ser utilizados en el análisis y diseño estructural.

Ha sido práctica generalizada en el análisis y diseño de estructuras ante sismos multicomponentes la de mantener una componente principal actuando en la dirección vertical. Recientemente se han propuesto métodos de análisis que permiten asignar una inclinación ψ de la componente principal con respecto al eje vertical de la estructura [12]. Resultados presentados en [40] indican que un análisis tradicional despreciando dicha inclinación (ψ = 0º) puede subestimar significativamente la respuesta crítica al compararlo con otro que considere ángulos de inclinación de hasta 20°. Los resultados aquí presentados ponen de manifiesto que inclinaciones de 20° corresponden aproximadamente a la media más una desviación estándar. El efecto amplificador de la inclinación ψ de la componente cuasi-vertical es importante cuando existen modos de periodos cercanos entre sí con gran participación, unos a sismo horizontal y otros a sismo vertical [12].

6. Conclusiones

Por no estar correlacionadas las direcciones principales del movimiento sísmico, la rotación de sus componentes a dichas direcciones suministra una base común para el estudio de las propiedades espectrales de los sismos. De este estudio se desprenden las siguientes conclusiones:

a)     El espectro de la componente cuasi-horizontal mayor está siempre por encima de la cuasi-horizontal menor en todo el rango de períodos entre 0 y 10 segundos. Aún cuando ambos espectros tienen formas algo diferentes, ellos están caracterizados por una zona sensible a la aceleración para períodos cortos, sensible a la velocidad para períodos intermedios y sensible al desplazamiento para períodos largos. La componente menor muestra una zona sensible a la velocidad que es más ancha que en la componente mayor. El cociente entre los espectros de las componentes menor y mayor, g₂, varía entre 0,63 y 0,80 cuando se consideran todos los movimientos de la base de datos, con los mayores valores en la zona de períodos muy cortos (menores que 0,15 seg.) y en la zona de períodos largos (mayores que 2,5 seg.), y los menores valores en la zona de períodos intermedios. Estos valores de g₂ son siempre menores que el valor característico de 0,85 que ha sido utilizado en diversos estudios de respuesta estructural. Para efectos de la determinación de la respuesta estructural máxima probable ante dos componentes sísmicas horizontales, se recomienda el uso de los espectros principales de las componentes cuasi-horizontales dados por la Ec. (12) en conjunto con los valores de la Tabla 4. Si se desea estimar simplificadamente la respuesta crítica mediante el criterio de la combinación cuadrática completa para tres componentes (CQC3), se puede utilizar un valor de g₂ = 0,70 el cual es una media aproximada para todo el rango de períodos de vibración.

b)    Al comparar las componentes principales cuasi-horizontales de los grupos Cercano y Lejano se aprecia que el primero muestra menor amplificación y mayor anchura en la región sensible a la aceleración que el segundo. El cociente g₂ entre los espectros menor y mayor es menor en el grupo Cercano que en el Lejano en la zona de períodos entre aproximadamente 0,4 y 1,5 segundos, lo cual es indicativo de mayores diferencias entre ambos espectros en este rango. Para los otros períodos los grupos Cercano y Lejano tienen valores similares de g₂. Independientemente de la condición de lejanía o cercanía a la falla, la condición local de roca o suelo influye en la forma de los espectros principales; la zona sensible a aceleraciones (0,1£T£ 0,5 s) es más ancha en suelo que en roca, pero en roca se aprecian mayores amplificaciones.

c)     El espectro de la componente cuasi-vertical puede estar por debajo o por encima de la componente cuasi-horizontal mayor, dependiendo de la distancia a la falla y del período de vibración.  En los eventos lejanos, el espectro de la componente cuasi-vertical está siempre por debajo del de la cuasi-horizontal mayor, con cocientes espectrales entre el primero y el segundo, g₃, comprendidos entre 0,34 y 0,69; los mayores valores ocurren en la zona de períodos muy cortos. En los eventos cercanos el espectro de la componente cuasi-vertical excede al de la cuasi-horizontal mayor para períodos muy cortos (0,03£T£ 0,10 seg.) y al contrario para el resto de períodos; considerando todo el rango de T, los cocientes espectrales entre el primero y el segundo varían entre 0,30 y 1,33. Estos valores difieren del valor  tradicional g₃ = 2/3, valor independiente del período de vibración y de la cercanía de los sismos que se ha utilizado en algunas normas de diseño. Para efectos de calcular la respuesta estructural ante una o dos componentes horizontales y la componente vertical,  los correspondientes espectros principales se pueden determinar con la Ec. (12) y la Tabla 4 tomando en consideración si son sismos cercanos o lejanos. Como simplificación, en el caso de edificios típicos puede mantenerse el uso de g₃ = 2/3 para sismos lejanos, pero debe aumentarse para sismos cercanos.

d)    Los espectros cuasi-horizontales mayor y menor envuelven al espectro promedio de las componentes horizontales registradas en todo el rango de períodos de vibración. Por otro lado el espectro promedio de la componente cuasi-vertical es muy similar al promedio de las componentes verticales registradas.

e)     La inclinación promedio de la componente principal cuasi-vertical con respecto a un eje vertical es de 11,4°, con una desviación estándar de 9,9°, aún cuando algunos movimientos específicos pueden tener inclinaciones hasta de 50°. Al contrario de la suposición usual, el caso más frecuente (moda estadística) se separa de 0°, estando entre 5° y 10°.  Los eventos cercanos mostraron inclinaciones medias un 20% mayores que los lejanos. Se recomienda tomar en cuenta la inclinación de la componente cuasi-vertical en estructuras con modos de periodos cercanos y gran participación, unos a componentes horizontales y otros a una componente vertical

f)      Cuando los efectos de la componente sísmica vertical o cuasi-vertical se puedan despreciar, los espectros principales de las componentes cuasi-horizontales, y su cociente espectral asociado,  se pueden estimar con una buena aproximación mediante un análisis 2D que considera únicamente a las componentes horizontales registradas.

7. Agradecimiento

Se agradece el financiamiento otorgado en el desarrollo de esta investigación por el Consejo de Desarrollo Científico y Humanístico CDCH de la Universidad Central de Venezuela, Proyecto No PG-08-31-4690-2002, y  por el Fondo Nacional de Ciencia, Tecnología e Innovación del Ministerio de Ciencia y Tecnología, Proyecto No S1-2000000606, así como al patrocinio del Instituto de Materiales y Modelos Estructurales, FI-UCV.

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