Estudio del modelo de masas en la identificación de la rigidez de sistemas compuestos por muros

Garcés, Francisco; Genatios, Carlos; Lafuente, Marianela; Mébarki, Ahmed

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versión impresa ISSN 0376-723X

IMME v.43 n.1 Caracas mar. 2005

ESTUDIO DEL MODELO DE MASAS EN LA IDENTIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ DE SISTEMAS COMPUESTOS POR MUROS

Francisco Garcés¹, Carlos Genatios¹, Marianela Lafuente¹, Ahmed Mébarki²

1 Instituto de Materiales y Modelos Estructurales (IMME), Facultad de Ingeniería, Universidad Central (Venezuela)

^{2 Laboratoire de Mécanique, Université de Marne la Vallée (France)
Resumen
Este trabajo presenta un método de identificación de la rigidez a cortante (GA) y a Flexión (EI) a partir de datos dinámicos experimentales, y evalúa la calidad de la identificación ante diferentes modelos de masa. Adicionalmente se propone una metodología para estimar los posibles cambios de rigidez de una estructura compuesta por muros. En primer lugar, se describe la formulación del método de identificación de la rigidez de estructuras compuestas por muros y un método de ajuste no paramétrico de la matriz de masa, los cuales requieren de un estudio dinámico experimental previo. Posteriormente se evalúa la calidad de la estimación de la rigidez de modelos numéricos en función del modelo de masa considerado. Una metodología de estimación del cambio de rigidez de una estructura compuesta por muros, es aplicada a un ejemplo numérico con resultados bastante satisfactorios. Finalmente se presentan las conclusiones y recomendaciones del trabajo.
Palabras Claves: Identificación, Análisis Modal, Matriz de Masa, Muros, Rigidez.
INFLUENCE OF MASS MODELS ON STIFFNESS IDENTIFICATION FOR SHEAR WALL BUILDINGS
ABSTRACT
This article presents an identification method for the assessment of stiffness coefficients due to shear (GA) and flexural (EI) behavior. The numerical evaluation is based on experimental data and considers the influence of various mass models. An additional methodology is included, allowing the evaluation of stiffness variations of a shear wall building. In the first step a non parametric method is employed for mass model identification, and an identification method is presented for the evaluation of the stiffness of shear wall structures, both requiring experimental data. The influence of various mass models is evaluated. A procedure employed in the evaluation of the stiffness variation of shear wall buildings is proposed, and a numerical example is evaluated, leading to satisfactory results. Conclusions and recommendations are included.
Keywords: Identification, Modal Analysis, Mass Matrix, Walls, Stiffness.
Recibido: 03/08/04 Revisado: 02/03/05 Aceptado: 24/05/05
1. IntroducCión
La reducción del riesgo ante la amenaza de un sismo, pasa necesariamente por la mejora de los modelos de análisis, así como por la certificación de las condiciones de servicio y predicción de la posible respuesta de las estructuras ante un próximo evento. También se requiere conocer el estado o cambio de las condiciones de rigidez de una estructura posterior al evento, con el fin de estimar su estado y poder tomar decisiones respecto al futuro de la misma, como puede ser el caso de una reparación o inclusive de una demolición. Al respecto también es conveniente, una vez realizadas las reparaciones, evaluar la nueva respuesta. Las ideas antes señaladas conducen a la búsqueda de metodologías que permitan cuantificar el estado y la respuesta estructural de las construcciones.
Los ensayos dinámicos experimentales permiten obtener valores "reales" de las condiciones de la estructura para el momento del ensayo, pudiéndose luego a partir de un ensayo posterior cuantificar posibles cambios ocurridos. De la misma manera, estas experimentaciones permiten certificar la validez de diferentes hipótesis de análisis comúnmente usadas en el cálculo de estructuras [3, 10, 20]. Desarrollos analíticos, basados en la experimentación, proponen estimaciones de la respuesta dinámica de edificios aporticados y de muros [11, 24], así como mediante el estudio de la tipología estructural en combinación con información dinámica experimental se proponen métodos de estimación de la rigidez y daño de estructuras con aplicaciones en la ingeniería aeronáutica y civil [2, 4, 13, 25], edificios aporticados [6,23], voladizos [15] y estructuras compuestas por muros [1, 7, 14, 17, 21].
Diversos métodos de estimación de la rigidez de estructuras consideran a la masa del sistema como un valor conocido, generalmente proveniente de un modelo teórico (masas concentradas en los nodos, masas consistentes) [22, 16, 7, 15, 23]. En el presente trabajo, se evalúa la importancia de la escogencia de la matriz de masa para un método de identificación de la matriz de rigidez de sistemas compuesto por muros. Inicialmente, se presenta el método de identificación de la rigidez y las expresiones finales de un método de reajuste de la matriz de masa, junto a sus hipótesis principales. Posteriormente se describe brevemente los modelos numéricos implementados, así como las variables a medir en el proceso de identificación de la rigidez. Una vez definidos estos criterios básicos se presentan y discuten los resultados de la estimación de la rigidez de una estructura de muros con diferentes consideraciones de masa. Adicionalmente se propone una metodología de estimación de la variación de la rigidez de sistemas compuestos por muros.
2. Método de identificación de la rigidez de piso para edificios compuestos por muros
2.1 Identificación de la matriz de rigidez
En lo siguiente se presenta un método de identificación de la rigidez a flexión y cortante en edificios compuestos por muros, ver Fig 1 [7]. Para la aplicación de este método, es necesario disponer de un análisis experimental previo del cual se conozca al menos dos frecuencias de vibración y sus respectivas formas modales, además de la matriz de masa del sistema. Se presenta brevemente la descripción del método así como las expresiones derivadas de su formulación.

Figura 1. Estructura de muros de N GDL (grados de libertad)
Los parámetros dinámicos de la estructura de la figura 1 podrían ser determinados a partir de la resolución del sistema de ecuaciones siguiente, [7]:
( l_i^-1 - F.M) f _i = 0 (1)}

donde : F=matriz de flexibilidad del sistema, M= Matriz de masa, l_i= w_i², f i = vector propio "i" y w_i = frecuencia propia "i".

Una vez organizados los elementos provenientes de la sustitución de las matrices F y M en (1), teniendo como premisa la búsqueda de los valores desconocidos (EI) y (GA/g) de cada piso, resuelta la singularidad presentada en el piso N se llega a la siguiente expresión para la obtención de los valores descocidos entre los pisos 1 y (N-1) [7]:

La ecuación (2) permite establecer un sistema de 2(N-1) ecuaciones con 2(N-1) incógnitas, debido a que existen 2(N-1) coeficientes de rigidez desconocidos por piso (EI) y (GA/g), se hace entonces necesario disponer de dos formas modales, de manera de obtener 2(N-1) ecuaciones. Se propone utilizar la siguiente notación para los vectores modales [7]:

Entonces, los coeficientes del sistema (2) son los siguientes:

donde: H_k = altura del piso "k", E_k = módulo de elasticidad del piso "k", G_k = módulo de corte del piso "k, (A_k /g)= sección transversal de corte del nivel "k".

Para conocer los valores de rigidez del último piso, se propone que el nivel de daño puede ser descrito por un indicador definido como sigue:

donde: D^f= indicador de daño en flexión, D^v= indicador de daño en corte, = Rigidez a flexión inicial, = Rigidez en cortante inicial

Para el último piso "N", sólo es posible obtener una relación entre los coeficientes de rigidez de flexión y corte, ecuación (2). En este caso particular, se podría suponer, a falta de una aproximación más precisa, que el mismo nivel de daño afectaría a la rigidez en corte y en flexión [7]. Es decir:

Una vez conocidos los valores de EI y GA, obtenidos para cada piso, se puede construir la matriz de rigidez del sistema.

2.2 Ajuste matricial directo no paramétrico de la matriz de masa

A continuación se presenta un método de ajuste matricial directo no paramétrico desarrollado previamente y aplicado exitosamente en este trabajo, para la identificación de la matriz de masa de sistemas estructurales [8,18]. En primer lugar se presenta la formulación matemática del método junto a las condiciones del problema a estudiar [8,18], y las expresiones finales que permitirán implementar el método.

2.2.1 Presentación del problema

Considérese un sistema estructural donde su matriz de masa M es desconocida, pero se dice conocer un valor aproximado de ella (generalmente procedente de un cálculo teórico). Para este problema se utilizará la notación siguiente:

: matriz de masa inicial.

M: matriz de masa ajustada de dimensión (NxN). Es la matriz que se desea determinar.

N: Número de grados de libertad de la estructura.

F: matriz que contiene los modos de vibración medidos experimentalmente. Estos son, los modos propios de la estructura real. El número de modos de vibración medidos experimentalmente no es necesariamente igual a N, generalmente es inferior a N. Si el número de deformadas medidas es L, la matriz F tendrá dimensiones (N,L).

2.2.2 Reajuste de la matriz de masa

Para determinar la matriz de masa real M, se busca minimizar la "distancia" entre las matrices M y , en este caso representada mediante la función f(M):

Con el fin de resolver el problema anterior se aplica el Teorema de Lagrange a la función objetivo f(M):

h(M,L) = f(M) + Lg(M) (10)

siendo L la matriz que contiene los operadores de Lagrange.

Las condiciones necesarias para que haya un mínimo se reducen a:

Finalmente, se llega al sistema siguiente [8,18]:

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior que tiene como incógnitas a M y L , se tiene M solución [8,18]:

3. Metodología de evaluación

3.1 Definiciones y esquema de trabajo

En la figura 2 se muestra el esquema de trabajo a seguir. En primer lugar se simula el edificio de muros utilizando el programa SAP2000 (figura 2a), a este modelo se le realiza un análisis modal de donde se obtienen los parámetros dinámicos que se sustituirán en el sistema de ecuaciones presentados en la expresión (2), habiendo antes definido el modelo de masa a utilizar. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se obtiene la estimación de EI y GA de cada piso (figura 2b).

Figura 2. Proceso de evaluación del método de estimación

Se considera que el modelo de elementos finitos reproduce los valores "exactos" de rigidez del sistema, comparándose respecto a ellos los factores de rigidez a flexión y cortante finalmente obtenidos. Las expresiones que medirán esta diferencia se presenta a continuación:

3.2 Descripción de la simulación en elementos finitos

Se utilizará el elemento de "Shell" para el modelado de la pared de cada sección, este elemento es capaz de tener un comportamiento de membrana y placa, o cada uno por separado. El mismo posee grados de libertad de traslación y rotación, siendo posible la transmisión de fuerzas y momentos (Figura 3) [19]. Se utilizó un elemento "Shell" plano cuadrilátero de 4 nodos con 10 centímetros de lado y el mismo espesor de la pared del muro.

Figura 3. Elemento Shell

En los modelos estudiados, se consideró un sistema de entrepiso donde todos los nodos pertenecientes al mismo tienen igual desplazamiento en la dirección X. Esta consideración fue escogida luego de ser comparada con la condición libre de restricciones. Se compararon los valores modales y desplazamientos ante cargas laterales, siendo la diferencia, entre los valores arrojados de ambas condiciones, menor del 2% para los casos analizados [9]. Las masas de las paredes son consideradas como distribuidas uniformemente en cada uno de los nodos de la pared, adicionalmente se distribuye la masa de la losa en los nodos correspondientes al sistema de entrepiso. El modelo está empotrado en la base y el comportamiento asumido en cada análisis es siempre lineal.

3.3 Modelos de Masa a Considerar

En la evaluación a realizar se consideran cuatro configuraciones diferentes de la matriz de masa, las cuales son utilizadas junto a los parámetros dinámicos en la estimación de la rigidez de cada piso, según el método expuesto en la sección 2. A continuación se detallan cada una de las 4 matrices de masa utilizada:

a) Matriz de Masa Diagonal (MD): Este es el modelo de masa más sencillo y comúnmente utilizado para el cálculo de estructuras simplificadas. La misma considera que la masa del sistema está concentrada en cada una de las losas.

b) Matriz de Masa Consistente (MC): Para este caso se conforma la matriz de masa global del sistema a partir de la definición de la masa de una viga de 3 grados de libertad por nodo (figura 4) [5].

Figura 4. Elemento de viga y su matriz de masa

En este caso la estructura de muro se considera un voladizo de N pisos (figura 1a), donde la matriz de masa global del sistema es ensamblada a partir de la contribución de las secciones de viga de cada piso, presentadas en la figura 4. La matriz de masa final contiene 2N grados de libertad en total, la cual será reducida a los grados de libertad traslacionales mediante la aplicación de la Reducción dinámica de Guyan [12], siendo esta matriz reducida la utilizada posteriormente en la estimación de los valores de rigidez de cada piso para el edificio en estudio.

c) Matriz de Masa Diagonal Ajustada (MDA): Esta matriz de masa es obtenida mediante el ajuste de la matriz diagonal (MD) presentada anteriormente siguiendo el método directo no paramétrico expuesto previamente. En este caso se introducen en la expresión (15) la Matriz de Masa Diagonal y los valores de las dos frecuencias modales y sus respectivas formas modales experimentales que serán utilizadas en la posterior estimación de los factores de rigidez de cada piso.

d) Matriz de Masa Consistente Ajustada (MCA): Esta matriz de masa es obtenida mediante el ajuste de la Matriz Consistente (MC) presentada anteriormente siguiendo el método directo no paramétrico expuesto previamente. En este caso se introducen en la expresión (15) la Matriz de Masa Diagonal y los valores de las dos frecuencias modales y sus respectivas formas modales experimentales que serán utilizadas en la posterior estimación de los factores de rigidez de cada piso.

4. RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DEL MÉTODO DE IDENTIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ

En esta sección se presenta el resultado de la estimación de los factores de rigidez (EI) y (GA) en cada piso para diferentes modelos de edificios compuestos de muros, siguiendo el método expuesto previamente. Se realiza el análisis de un edificio de 5 pisos con 1, 2 y 3 vanos, ver Figura 6; adicionalmente se presenta el resultado para el análisis de un edificio de 10 pisos.

Figura 6. Edificios de muros de 5 pisos y diferente número de vanos

4.1 Edificio de 5 Pisos

4.1.1 Datos de las simulaciones

En todos los modelos se asumen los siguientes valores:

L_v= 3 m (ancho del vano)

H_p= 3 m (altura de entrepiso)

Espesor del muro = 0.2 m

E= 2,5 x 10 ⁹Kgf/m² (módulo de elasticidad)

G= 1,0417 x 10 ⁹Kgf/m² (módulo de cortante)

Para cada edificio la masa traslacional concentrada en cada nivel es de 500, 1000, 1500 kgf*s²/m para las secciones de 1, 2 y 3 vanos respectivamente.

4.1.2 Consideraciones de la estimación de los factores de rigidez con diferentes modelos de masa para un edificio de 5 pisos

Los resultados de la estimación de los factores de la rigidez a cortante y flexión para el edificio de 5 pisos con 3, 2 y 1 vano muestran una clara diferencia entre la utilización de un modelo de masas previamente ajustado y los modelos teóricos no optimizados respecto a los valores propios (ver Tablas del 1 a 3). La estimación de los factores de flexión y cortante son realizados con buena precisión cuando se utilizan los modelos MDA y MCA, siendo los errores de estimación de EI menores que los de GA. Los mayores errores son obtenidos en el piso 5, con un máximo de 15%. Para los pisos inferiores el mayor error es de 9 % para GA en el primer piso de un edificio de 3 vanos. Cuando se utiliza los modelos de masa MD y MC, los resultado son aceptables para los dos primeros pisos, desmejorando de manera importante para los últimos tres pisos, de tal manera que los mismos carecen de sentido en muchos casos. En este caso los resultados de la estimación resultan levemente mejores para el modelo MCA, respecto al MDA.

Tabla 1. Error cometido en el ajuste de los factores de rigidez a flexión para un edificio de 5 pisos y 3 vanos

Tabla 2. Error cometido en el ajuste de los factores de rigidez a flexión para un edificio de 5 pisos y 2 vanos

Tabla 3. Error cometido en el ajuste de los factores de rigidez a flexión para un edificio de 5 pisos y 1 vanos

4.2 Edificio de 10 Pisos

Se realizó la estimación de la rigidez de un modelo compuesto por muros de 10 pisos de altura (30 m), 9 m de ancho y un espesor de 0.3 m. La masa distribuida en la losa fue de 1500 kgf*s²/m, conservándose las mismas hipótesis de modelado planteadas en la sección 3, y manteniendo las mismas propiedades mecánicas de los materiales que en los modelos anteriores.

Tabla 4. Error cometido en el ajuste de los factores de rigidez a flexión y cortante para un edificio de 10 pisos

Consideraciones de la estimación de los factores de rigidez con diferentes modelos de masa para un edificio de 10 pisos

La estimación de los factores de rigidez de piso (EI) y (GA) de un edificio de 10 pisos compuesto por muros portantes fue realizado con bastante calidad cuando se utiliza la optimización de la matriz de masa teórica siguiendo el método de ajuste descrito previamente. Los resultados obtenidos con la utilización de los modelos MDA y MCA son mucho mejores que los arrojados cuando se utilizan los modelos MA y MC. El error máximo obtenido siguiendo el Modelo MCA fue de 10% para el factor EI del piso 9 y de 8% para el factor EI y GA del piso 10 siguiendo el Modelo MCA. Los modelos denominados como MD y MA arrojan resultados aceptables y buenos para los pisos inferiores al 5, pero desmejoran sustancialmente a partir de éste.

4.3 Estimación del cambio de rigidez

En esta sección se propone una metodología para estimar posibles cambios de rigidez en estructuras de muros. Para la estimación del cambio de rigidez, se propone la definición de una rigidez de piso equivalente (K_EI) a partir de los valores de (EI)_iy (GA)_iidentificados con el método propuesto en secciones anteriores, y evaluada según la expresión siguiente:

A continuación se evalúa la capacidad del método de estimación de la sección 2 para cuantificar los cambios de rigidez que puede tener una estructura entre dos condiciones. Para ello se realiza un análisis, antes y otro después de realizar cambios en la rigidez de cada piso. El estudio es hecho para el edificio de 5 pisos y 3 vanos presentada previamente. En la estimación de la rigidez se utiliza una matriz de masa consistente optimizada (MCA). La metodología de estudio es la siguiente:

En primer lugar se simula la estructura en el programa SAP 2000. De este análisis se obtienen las dos frecuencias y sus respectivos valores modales (tabla 5.A) con los cuales se estimará los factores (EI) y (GA) por nivel, para luego con ellos obtener la rigidez equivalente de cada piso según la expresión (18). Posteriormente utilizando el SAP 2000, al mismo edificio se le asignaran factores de reducción de la rigidez. Nuevamente se realiza el análisis modal y se obtienen los parámetros dinámicos (tabla 5.B), para posteriormente estimar los valores de rigidez equivalente en cada piso (tabla 6), en este caso para la nueva condición de rigidez del edificio. La calidad del proceso será establecida mediante la comparación del factor de rigidez introducido en el programa de elementos finitos y el determinado por el cambio de rigidez antes y después del daño producido (tabla 6) . La rigidez de cada piso será multiplicada por 0.5, 0.7, 0.4, 0.8 y 0.9 para los pisos 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente.

Tabla 5. Valores modales del edificio inicial sin daño (A) y el edificio con daño (B)

Tabla 6. Error de estimación en la reducción de la rigidez de piso equivalente

Los resultados obtenidos en la Tabla 6 dan testimonio de la capacidad de estimar los cambios de rigidez en una estructura de muros, siguiendo la metodología de estimación de rigidez desarrollada en este trabajo con una matriz de masa optimizada. Se evidencia la utilidad de la consideración de la rigidez de piso equivalente propuesta en la expresión (18) para evaluar los cambios de rigidez del sistema en cada piso. Los errores obtenidos van de 2 % como mínimo y 7 % máximo, lo cual puede considerarse como bastante buenos.

5. CONCLUSIONES

En este trabajo se presentó el desarrollo e implementación de una metodología que permite estimar los valores de los factores EI y GA en cada nivel para estructuras, con un sistema resistente a cargas laterales compuesto por muros. Esta estimación es realizada teniendo como punto de partida solamente el conocimiento de dos frecuencias de vibración con sus respectivas formas modales y la consideración de una matriz de masa.

Se demostró la importancia que tiene la escogencia del modelo de masas utilizado para la estimación de la rigidez de cada piso. La utilización de modelos de masa en los cuales se concentren la masa en la losa (MD) o aquel que se construye la matriz de masa a partir de las consideraciones de una viga en voladizo (MC), demostraron introducir errores de gran importancia en la estimación de los pisos superiores a un tercio de la altura total del edificio. Los errores de estimación de la contribución de la rigidez a flexión EI y la de rigidez a cortante GA fueron importantemente reducidos mediante la optimización de la matrices de masa antes señaladas siguiendo el método matricial directo no paramétrico, en este trabajo denominadas como MDA y MCA.

Mediante el ajuste de la matriz de masa, se procede a obtener una matriz de masa que como mínimo es ortogonal a los dos modos obtenidos experimentalmente, con lo cual se mejora considerablemente los resultados en el posterior proceso de estimación de los factores de rigidez a flexión y cortante en cada piso. La condición de ortogonalidad no es cumplida por los modelos MD y MC, por lo que los valores de rigidez obtenidos están solamente limitados a satisfacer las ecuaciones algebraicas, con los valores impuestos por la matriz de masa no optimizada y los parámetros dinámicos experimentales. De esta manera se considera el ajuste previo de la matriz de masa como indispensable para la posterior estimación de la rigidez.

Se encontró adecuada la metodología de estimación de los cambios de rigidez que pueda sufrir una estructura de muros en el tiempo, tomando como parámetro de comparación la rigidez de piso equivalente. La estimación del cambio de rigidez logró realizarse con errores muy bajos.

En particular se logró demostrar la disposición de una herramienta adecuada para la cuantificación de la rigidez lateral de sistemas estructurales, posterior a un ensayo dinámico. Las hipótesis de desarrollo del método permiten una estimación de rigidez con pocos datos, siendo en muchos casos bastante posible la obtención de dos frecuencias modales en un ensayo experimental. Esta herramienta permite la posibilidad de monitorear los cambios que pueda sufrir una estructura de las características estudiadas en el tiempo. En particular serviría de apoyo en la toma de decisiones en cuanto a la reparación o reforzamiento de una estructura, antes o después de la ocurrencia de un sismo.

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