DEPENDENCIA DE LA TEMPLABILIDAD EN FUNCIÓN DEL GROSOR EN MATERIALES TERMOVISCOELASTICOS

P. Báiz N. L. Troyani

Centro de Métodos Numéricos en Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Oriente, Apdo. 4327, Puerto La Cruz, Venezuela. e-mail pedrobaiz@latinmail.com, e-mail ntroyani@cantv.net

RESUMEN

En el trabajo se examina la magnitud de los esfuerzos residuales que se obtiene al someter piezas de diversos tamaños de una clase de materiales termoviscoelásticos, los llamados termoreologicamente simples, a un cierto grado de templado. El procedimiento numérico utilizado en la parte mecánica del trabajo ( determinación de desplazamientos, deformaciones y esfuerzos) se realiza discretizando el dominio a través de elementos finitos; en la parte térmica transitoria la discretización espacial se realiza por diferencias finitas de espaciado no uniforme y la discretización temporal a través de un esquema Crank-Nicolson. El procedimiento es empleado para un cilindro infinito de vidrio flotado, determinándose que los esfuerzos residuales son más intensos para cilindros más gruesos. Este efecto, no presenta un límite claramente definido, identificándose una tendencia continuamente creciente.

Palabras clave: termoviscoelasticidad, elementos finitos, esfuerzos residuales.

SIZE DEPENDENCY OF THE TEMPERABILITY OF THERMOVISCOELASTIC MATERIALS

ABSTRACT

In this work the temperability of a certain class of thermoviscoelastic materials, called thermorheologically simple, is examined by determining the magnitude of the residual stresses when subjecting different size pieces to a particular tempering intensity (fast cooling). The numerical procedure employed in the work to determine the mechanical response (displacements, strains and stresses) is based on a discretization using displacement based finite elements. The evolution of temperature is determined by using a non uniform mesh finite difference scheme for the spatial dependency and through a time discretization based on a Crank-Nicolson procedure. The stated numerical scheme is employed in the cooling of an infinite cylinder of float glass. It was established that the magnitude of the residual stresses increases with size. This effect does not seem to show a clearly defined limit, rather, a continuously increasing tendency was determined.

Key Words: Residual Stresses, Float Glass, Finite Elements, Tempering

1. INTRODUCCIÓN

Luego del trabajo experimental de W. Weber [1], cuando el llamado "efecto elástico posterior" fue identificado, se ha hecho evidente que estos efectos se deben tomar en consideración cuando se modela materiales viscoelásticos, especialmente en presencia de campos de temperatura variable, por la conocida sensibilidad de los mencionados materiales a los citados campos. Bajo estas condiciones existe una variedad de aspectos de interés en el modelado de materiales termoviscoelásticos. El foco del presente trabajo, en virtud de diversas aplicaciones potenciales, es la posibilidad de predecir computacionalmente los esfuerzos residuales (deseables en algunas aplicaciones e indeseables en otras) para materiales termoviscoelásticos de diferentes grosores cuando se los somete a un enfriamiento de cierta intensidad.

En particular, se describe un procedimiento para realizar los citados cómputos para una clase de materiales llamados termoreologicamente simples por F. Schwartz y A. J. Staverman [2] sobre las observaciones reportadas por H. Leaderman [3] y J. D. Ferry [4] según las cuales para un grupo de materiales amorfos las curvas de relajación isotérmicas exhiben formas similares y difieren solo en una cierta cantidad de desplazamiento a lo largo de la escala logarítmica de tiempo (corrimiento horizontal) llamado desplazamiento de tiempo. Estableciéndose así, una equivalencia entre el tiempo y la temperatura para el modelado matemático basada en escalados temporales.

El problema que presentan los campos de temperatura continuamente variables (el caso que nos ocupa), fue tratado por L. W. Moreland y H. Lee [5], al proponer una ley constitutiva que incorpora en la descripción del comportamiento mecánico del material la dependencia de los citados campos de temperatura variable, además de incluir las otras respuestas viscoelásticas normales, la dependencia de la historia de deformaciones, por ejemplo.

En este trabajo el problema planteado es considerado de deformación plana, y para su resolución se utiliza la ley constitutiva de Moreland y Lee, Op. Cit., conjuntamente con un esquema de elementos finitos (CST), para determinar la dependencia de la magnitud de los esfuerzos residuales que se obtienen al templar (enfriamiento súbito) un cilindro infinito de vidrio flotado en función del radio, considerado este material como termoreologicamente simple. El procedimiento descrito y empleado en este trabajo se puede aplicar a materiales poliméricos [6] y metálicos a altas temperaturas [7]

Algunas de las ideas empleadas en este trabajo han sido descritas y utilizadas con éxito en trabajos como Troyani [8], Troyani y Woo [9], donde se realiza un análisis de los esfuerzos residuales en barras rectangulares; Troyani [10], en el cual se presenta una discusión de las técnicas computacionales involucradas en este tipo de trabajo y Troyani [11] donde se estudia el efecto de la severidad del templado sobre los esfuerzos residuales.

    2.  LEY CONSTITUTIVA

La ley constitutiva utilizada esta representada por las ecuaciones que se dan a continuación. En primer lugar la parte deviatorica y la volumétrica, respectivamente, de la ley constitutiva para campos de temperatura continuamente variables.

(1)

(2)

donde G₁ y G₂ representan las funciones de relajación deviatorica y volumétrica respectivamente, x_k representa posición de partícula e i representa índice asociado con cada dirección coordenada (1, 2 y 3), ξ representa el llamado tiempo reducido y se determina a travιs de:

(3)

en esta expresión, f representa la función de corrimiento (determinada experimentalmente), la cual establece la cantidad de desplazamiento horizontal (escala de tiempo en las curvas de relajación del material viscoelástico) a partir de una curva de relajación obtenida experimentalmente, isotérmicamente a una temperatura T y una curva obtenida de modo análogo a temperatura T_b. T(x_k ,τ) representa el campo de temperatura dependiente del espacio y el tiempo, y

(4)

representa la llamada seudo temperatura, a _o y a (T) a su vez, representan el coeficiente de expansión térmica a una temperatura base y el coeficiente de expansión térmica dependiente de la temperatura. Nótese que los límites inferiores de las integrales en las ecuaciones 1 y 2, 0^-, se fija de tal manera que un evento instantáneo, es decir en tiempo cero, pueda ser incluido en el análisis.

    3.  ECUACIONES ADICIONALES

En este trabajo los efectos de acoplamiento termomecánico se consideran pequeños con relación a los otros efectos considerados y por lo tanto se excluyen del análisis, en consecuencia se supone que el campo de temperatura es determinable de modo independiente de las deformaciones que ocurren en el continuo. Y que esta determinación descansa solo sobre las condiciones iniciales, propiedades térmicas del material y las condiciones de transferencia de calor imperantes. En este trabajo la forma operacional de este campo es la siguiente:

(5)

donde T y T₀ representan campo de temperatura y una temperatura inicial uniforme para todo el medio objeto de estudio, respectivamente.

Vale notar que en el caso que nos ocupa, las condiciones de borde del tipo natural son nulas. De hecho, la "fuerza motora" que genera el campo de esfuerzos es el campo de temperatura continuamente variable en el tiempo y espacio.

Las condiciones de equilibrio en ausencia de fuerzas volumétricas, que se desprecian en este caso por ser de magnitudes marginales con relación a las fuerzas asociadas con los esfuerzos térmicos, se reducen en nuestro caso a:

(6)

donde, s _{i j , j} representan las derivadas de las componentes del tensor de esfuerzo con respecto a las coordenadas x_j.

Para deformaciones pequeñas, es decir despreciando términos de segundo orden, las componentes del tensor de deformaciones están dadas por:

(7)

donde u_i,j representan las derivadas de las componentes de las funciones de desplazamiento de campo con relación a las coordenadas x_j.

La solución por elementos finitos para la determinación de la respuesta mecánica de cualquier material que exhiba algún grado de complejidad se realiza usualmente utilizando el principio del trabajo virtual como marco de referencia.

Cuando se utiliza este esquema, como es el caso presente, todas las soluciones incrementales poseen la virtud de satisfacer los requisitos del equilibrio. Utilizando, entonces, este esquema, la forma incremental de las ecuaciones globales, para determinar los desplazamientos nodales, adopta la siguiente forma:

(8)

 

donde, T*_n , D v_m , v_o representan el vector de las tracciones nodales al tiempo t, el vector de los incrementos de los desplazamientos y un desplazamiento inicial, respectivamente. El resto de los términos representan expresiones vectoriales y matriciales relacionadas con el comportamiento viscoelástico del material. Al lector interesado se le sugiere ver [10].

El campo transitorio de temperatura (para cada incremento del tiempo) para el cilindro infinito de vidrio flotado se determina a partir de la siguiente ecuación de transferencia de calor por conducción:

(9)

r y a representan coordenada radial y la difusividad térmica del material respectivamente. Las condiciones iniciales y de borde utilizadas son, respectivamente, las siguientes:

(10)

q ₀ representa una temperatura inicial uniforme para el cilindro, y

(11)

donde k, h, q ¥ y b representan: conductividad térmica, coeficiente fílmico de transferencia de calor, temperatura ambiente y radio externo del cilindro respectivamente.

La solución al modelo dado en las ecuaciones 9 a 11 se determinó utilizando un esquema implícito de diferencias finitas de espaciado variable.

    4.  CALCULO DE ESFUERZOS RESIDUALES

Los resultados presentados en este trabajo se refieren al vidrio flotado, para el cual los valores pertinentes de las propiedades relevantes son los siguientes: a = 0.0000498 [m²/s], a = 9.2x10^-6 [1/ºK], razón de Poisson v = 0.244, que se considera constante en este trabajo, por lo que el módulo volumétrico, en consecuencia, exhibe una forma de dependencia del tiempo.

La curva tensil de relajación del vidrio flotado, determinada experimentalmente a 538.0º C, y su aproximación a través de mínimos cuadrados utilizando una serie de exponenciales negativos (serie de Dirichlet) se muestra en la figura. Se hace la observación de que esta aproximación no es única y que depende de una serie de aspectos relacionados con la aproximación por serie de exponenciales negativos. Se refiere al lector al trabajo de Bazant y Asghari [12]. En cualquier caso, el esquema computacional propuesto utiliza esta forma de aproximación de la curva de relajación con el fin de establecer una forma eficiente para realizar los cálculos objeto de este trabajo.

Figura 1. Módulo de relajación tensil y su aproximación por serie de exponenciales negativos

La figura 2, muestra la sección transversal del cilindro infinito, y la parte del mismo con la que se trabajará, mientras que la figura 3 muestra la malla de elementos finitos utilizada en los cómputos. Con esto se aprovecha el alto grado de simetría de la geometría que se estudia, reduciendo de manera apreciable el esfuerzo computacional.

Figura 2. Sección transversal del cilindro infinito indicando subdominio utilizado para el modelo computacional



3. Malla de elementos finitos utilizada en los cálculos

El esquema descrito fue utilizado para calcular esfuerzos radiales y tangenciales en cilindros infinitos de vidrio flotado de diferentes radios, inicialmente a 621,0 °C, y súbitamente sumergido en un ambiente a 30.0 °C, para un valor del coeficiente fílmico de transferencia de calor de 0.000507 W / (m²* K).

    5.  RESULTADOS Y DISCUSIÓN

En la figura 4 se muestra el resultado de dos de los cálculos realizados para la determinación de esfuerzos residuales (esfuerzos tangenciales y radiales para b = 0,0127 m y b = 0,0254 m). En esta figura se aprecia que para ambos casos el valor máximo de los esfuerzos residuales se obtiene cerca de r = b para los esfuerzos tangenciales (compresivos) y en r = 0 para los esfuerzos radiales. El valor relativamente alto de los esfuerzos de compresión tangenciales en las fibras superficiales del cilindro tiene como consecuencia un incremento apreciable de la resistencia a la fractura en aplicaciones donde se usa el material utilizado en este estudio.

Figura 4. Variación de los esfuerzos residuales con el radio del cilindro

La variación de los esfuerzos residuales en función del radio del cilindro se muestra en la figura 5, los radios de prueba escogidos fueron: 0.0254 m, 0.01905 m, 0.0127 m, 0.00635 m y 0.003175 m respectivamente. Los esfuerzos representados en esta figura corresponden a los valores máximos (ver figura 4) obtenidos para cada radio, tanto para los esfuerzos residuales tangenciales como para los radiales.

La mencionada figura muestra, que los esfuerzos residuales aumentan con el grosor del cilindro, es decir, a mayor radio mayores esfuerzos residuales; observándose que la dependencia de los esfuerzos residuales citados en función del radio tiene una tendencia notablemente creciente, no apreciándose un límite para dicho comportamiento.

Figura 5. Esfuerzos residuales máximos vs. radio del cilindro




Figura 6. Variación de los esfuerzos residuales tangenciales durante el enfriamiento vs. distancia radial para r = 0.0127m en nueve etapas computacionales

En la figura 6 se aprecia la evolución de los esfuerzos residuales tangenciales desde el comienzo del enfriamiento hasta el final del mismo. En esta figura se reflejan 9 resultados parciales seleccionados. Se puede apreciar en la misma, a través de una medida adecuada de áreas como se satisface la condición de equilibrio del cilindro a lo largo del enfriamiento, ya que para cada curva de distribución de temperaturas el área por arriba del eje de esfuerzo 0 es igual al área por debajo de el.

Un asunto que queda por resolver, probablemente experimentalmente, es el relacionado con la capacidad del material de resistir los elevados esfuerzos transitorios de tensión correspondientes a las etapas V y VI de la figura 6.

1. REFERENCIAS

1. Weber, W.: Ueber die Elasticitat der Seidenfaden, Analen der Physic und Chemie, 34, (2), 1835, pp. 247-257.
2. Schwartzl, F., Staverman A. J.: Time-Temperature Dependence of Linear Viscoelastic Behavior, Journal of Applied Physics, 23, 1952, pp. 38-45.
3. Leaderman, H.: Elastic and Creep Properties of Filamentous Materials and other High Polymers, Textile Foundation, Washington D. C., 1943,175-182.
4. Ferry, J. D.: Mechanical Properties of Substances of High Molecular Weight, III, Dispersion in Concentrated Polymer Solutions and its Dependence upon Temperature and Concentration, Journal of the American Chemical Society, 72, 1950, 3746-3754.
5. Moreland, L. W., Lee E. H.:. Stress Analysis for Linear Viscoelastic Materials with Temperature Variation, Transactions of the Society of Rheology, 4, 1960, pp. 233-263.
6. Oshhunov, M., M., Ozden, S., General Stress and Strain Relationship in Non-linear Materials, International Journal of Non-Linear Materials, v 35, n 5, 2000, pp 763-767.
7. Chen, X., Lam, Y. C., Li, D., C., Analysis of Thermal Residual Stress in Plastic Injection Moulding, Journal of Material Processing Technology, v 101, n 1, 2000, pp 275-280.
8. Troyani, N.: Comparación de Dos Hipótesis para el Espacio Mecánico Termoviscoélastico. XV Congreso Panamericano de Ingeniería Mecánica Electrica y Ramas Afines. Panamá, 1995.
9. Troyani, N., Woo, T. C.: Determinación de Esfuerzos Residuales en un Continuo Termoviscoelástico Utilizando Técnicas Numéricas. Proc. VII Congresso Latino-Americano Sobre Métodos Computacionais para Engenharia, 1986, pp. 437-444.
10. Troyani N., Some Computational Issues in the Numerical Modelling of Thermoviscoelastic Materials, Simulación con Métodos Numéricos: Nuevas Tendencias y Aplicaciones. Prado, Rao y Cerrolaza Eds., SVMN, 1998.
11. Troyani N. Efecto de la Severidad del Templado en Materiales Termoviscoelásticos, III Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica, La Habana, Cuba, 1997.
12. Bazant, Z. P., Asghari, A.: Computation of Age-Dependent Relaxation Spectra, Cement and Concrete Research, 4,1974, pp. 45-60.