La conversión simple ordinaria y modal de las oraciones

Simple Ordinary and Modal Conversion of Sentences

Juan Manuel Campos Benítez

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Puebla - México

Resumen

Presentamos la doctrina tradicional de la conversión simple de las oraciones categóricas y de las oraciones modales cuantificadas atendiendo al análisis medieval de las mismas en base a las oraciones de identidad. Estas oraciones de identidad resultan ser necesarias cuando son verdaderas e imposibles cuando son falsas. Simplificamos nuestro tratamiento reduciendo nuestro universo del discurso a pequeños “mundos” de individuos y propiedades recurriendo en parte al simbolismo ordinario y añadiendo un símbolo para la parte modal.

Palabras clave: Conversión simple, análisis, identidad, modalidad.

Abstract

We show the traditional doctrine of simple conversion of categorical and modal quantified sentences. We do this by resorting to the medieval analysis of sentences by means of identity sentences which result necessary when they are true and impossible when when they are false. To simplify we reduce our universe of discourse to small “worlds” of individuals and properties; we use standard symbols but add a new one for the modal treatment.

Key words: Simple conversion, analysis, identity, modality.

Recibido: 22-09-07 Aceptado: 01-12-07

1. La conversión en el cuadrado de oposición

La conversión simple es aquella operación lógica donde cambiamos el sujeto por el predicado de una oración cuantificada y la oración sigue siendo verdadera. Por ejemplo:

(1a) “Algún griego es filósofo”

cuya conversa es

(1b) “Algún filósofo es griego”

Otro ejemplo:

(2a) “Ningún animal es vegetal”

que se convierte en

(2b) “Ningún vegetal es animal”

El lector notará inmediatamente que se trata de oraciones del famoso cuadrado de oposición y equivalencias aristotélico; pero no nos detendremos ahí. Nuestros ejemplos se ubican en el cuadrado de oposición, que trata con oraciones cuantificadas particular y universalmente, afirmativas y negativas. Las oraciones que admiten conversión inmediata son las oraciones particulares afirmativas y universales negativas. Las universales afirmativas y las particulares negativas admiten cierto tipo de conversión no inmediata si realizamos algunas operaciones que tienen que ver con la negación, considerada como complemento de conjuntos y con la contraposición, que tiene que ver también con la negación, pero nos ceñiremos solamente a las que admiten conversión inmediata, simple. Claro que los ejemplos pueden cambiarse.

2. Conversión entre oraciones singulares

Siguiendo sugerencias de autores medievales podemos ir un poco adelante y tratar otro tipo de oraciones.¹ Trataremos oraciones singulares, oraciones cuyo sujeto no está cuantificado, pero si su predicado, aunque no sea obvio esto. Pongamos un ejemplo.

(3a) “Sócrates es filósofo”

donde tenemos una oración cuyo sujeto es un término singular, un nombre propio; el predicado es un término común, pues en efecto “ser filósofo” se aplica a muchos, a Sócrates, a Platón, a Hegel, a Wittgenstein, etcétera. Nuestra conversa sería

(3b) “Filósofo es Sócrates”

Pero podemos objetar que ésta última oración es sospechosa: por una parte suena rara, pues no acostumbramos en español comenzar una oración cuyo sujeto sea un término común y su “predicado” un término singular. De hecho el término singular por definición no es un término común, así que no puede ser predicado. Por otra parte, la conversión ordinaria se da entre términos cuantificados, es decir, entre términos comunes, así que algo anda mal en nuestra exposición.

Podemos interpretar la conversión de oraciones particulares afirmativas como relaciones entre conjuntos: el conjunto de los griegos y el conjunto de filósofos se intersectan mostrando que no se trata de conjuntos vacíos sino que están ejemplificados, por ejemplo por Sócrates, que es un griego que además es filósofo. Si Sócrates es griego, entonces algún griego es filósofo, pero esto nos conduce al punto de partida, nuestra oración (1a), así que no nos sirve para explicar la conversión cuyo sujeto es un término singular. ¿Debemos renunciar a la conversión con términos singulares? Si el término singular puede admitir cierta interpretación que lo acerque a un término común podríamos preservar nuestra conversión. Parece viable esta alternativa, pues la referencia de “Sócrates es griego” a “alguna cosa es griega” no parece cambiar si nos referimos a la misma cosa; el otro lado del problema es encontrar el camino inverso, interpretar de alguna manera el predicado de tal manera que nos acerque al término singular. Hecho esto nos permitirá explicar además la conversión de las oraciones universales negativas. Tratemos pues de explicar esta interpretación.

2.1. Los términos singulares vagos

Sabemos qué Sócrates es griego y que es filósofo, así que si lo tuviéramos enfrente podríamos decir de él, señalándolo “éste es griego” y “éste es filósofo”, e incluso “éste es un filósofo griego”. El problema radica en que no es el único filósofo ni el único griego, pues lo mismo podríamos decir de Aristóteles, o de Platón, o de cualquier otro filósofo griego. Un término singular vago es aquel que se refiere a un individuo específico cuando lo señalamos sin usar un nombre propio: “éste filósofo” se refiere a Sócrates cuando señalamos a Sócrates, y a Platón cuando señalamos a Platón.

Supongamos que hay tres filósofos y cuatro griegos: Sócrates, Platón, Aristóteles y Eurípides. Todos son griegos pero no todos son filósofos; no podemos recurrir a los pronombres demostrativos pues su referencia cambia según los individuos señalados. Pero podemos usar subíndices para distinguirlos: “este filósofo₁”, “este filósofo₂”, “este filósofo₃” se refieren a Sócrates, Platón y Aristóteles respectivamente, y “este griego_1”, “este griego_2”, “este griego_3”, y “este griego_4” se refieren a Sócrates, Platón, Aristóteles y Eurípides respectivamente. Notemos de paso que los únicos términos que admiten un subíndice son los términos comunes o generales, que admiten cuantificación; no lo admiten los términos singulares que son nombres propios, por lo menos en el uso ordinario de los nombres propios (claro que en el caso de sinonímia lo podrían admitir, incluso cuando coincidan nombre y apellido, pero son casos excepcionales). Así pues tenemos varios términos vagos para cada nombre propio, son estos, usando una letra minúscula para términos comunes subindizados que funcionan como términos vagos, cada subíndice apuntando a una cosa diferente, a una sustancia si se quiere, y una minúscula sin subíndice para nombres propios:

Sócrates: s, f_1, g₁

Platón: p, f_2, g₂

Aristóteles: a, f_3, g₃

Eurípides: e _, g₄

y puesto que Eurípides no es filósofo no tenemos “f₄”.

El conjunto de los griegos consta de cuatro individuos:

G: {g₁, g_2, g_3, g₄}

El conjunto de los filósofos consta de tres

F: {f₁, f_2, f₃}

Estamos pues hablando de conjuntos según sus elementos, que son individuos, a esto le llamaremos interpretación extensional. Un conjunto se identifica a través de sus elementos individuales. Se trata de una interpretación nominalista, en el sentido medieval de la expresión, que consiste en referirse a términos comunes en base a sus elementos individuales, y solo a ellos. No es la única interpretación de los términos comunes pero es la que nos ayuda ahora para explicar la conversión, así que recurrimos a ella.²

2.2. La interpretación extensional de los cuantificadores

Si decimos que “Todo filósofo es griego” queremos decir que la totalidad de individuos que pertenecen al conjunto F pertenecen también al conjunto G, que F es subconjunto de G. Pues de hecho todos los filósofos de nuestro pequeño mundo (f₁, f₂ y f₃) son griegos (g₁, g ₂, y g₃). Pero la conversa de la oración universal afirmativa “Todos los griegos son filósofos” no vale pues existe un individuo (cuyo nombre propio es “e” y su término vago es “g₄”) que es griego pero no es filósofo. La universal afirmativa se convierte “por accidente”, es decir, por su particular afirmativa “algún filósofo es griego”, nuestra oración (1b).

Decir que todos los individuos de nuestro mundo son griegos es afirmar algo verdadero, pues afirma que tanto s, p, a y e son griegos. De aquí se sigue la oración particular, algún individuo de este pequeño mundo es griego, pues afirma que al menos uno lo es, es decir, que s, o p, o a o e es griego. Decir que todos son filósofos es falso, pues e –g₄- no lo es.

Pero sí es verdadera la oración particular “Algún filósofo es griego”, pues el conjunto F, además de ser subconjunto de G, podemos considerar su intersección FnG donde tenemos a s, p y a; e queda dentro de G pero no en F.

Tenemos pues nuestros conjuntos:

Podemos intercambiar los nombres propios de cada conjunto por sus términos singulares vagos, así que F= {f₁, f _2, f₃} y G= {g₁, g_2, g_3, g₄}. Pero debemos notar algo más: los términos vagos nos permiten establecer varias identidades, es decir, indicar que dos de tales términos se refieren al mismo objeto; la identidad de los términos se da a través de la referencia, los objetos nombrados.³ Así que tenemos:

s=f_1, s= g_1, y por transitividad f₁= g₁

p=f_2, p= g_2, y por transitividad f₂= g₂

a=f_3, a= g_3, y por transitividad f₃= g₃

e=g₄

Con estos individuos y sus términos singulares (nombres propios y términos vagos) vayamos ahora a la interpretación extensional de la cuantificación. Tomemos una oración cuantificada universalmente, pero con una sola propiedad, digamos por ejemplo que todo en nuestro mundo es F. La oración afirma que cada uno de sus individuos tiene la propiedad de ser filósofo y la conectiva que expresa esto es la conjunción; pero tenemos que g₄ (Eurípides) no es F, así que la oración es falsa ya que uno de sus conyuntos lo es. Pero si afirmamos que algo en nuestro mundo es F, la oración es verdadera, pues hay al menos uno que tiene esa propiedad y de hecho tres la tienen, aunque no todos. La conectiva que expresa esto es la disyunción. Así que la conjunción nos sirve para expresar la cuantificación universal y la disyunción para expresar la cuantificación particular. Vayamos a un ejemplo algo más complejo.

(4a) “Todo griego es filósofo”

Donde afirmamos que cada cosa que tenga la propiedad F o pertenezca al conjunto F tiene también la propiedad G o pertenece al conjunto G. Para simplificar nos quedaremos solamente con los términos vagos, así que lo que afirmamos es que cada individuo que es griego es también filósofo. Usaremos la notación usual, una propiedad expresada con una mayúscula y nuestros términos vagos, más los símbolos para conjunción, disyunción y equivalencia:

Fg₁ Λ Fg₂ Λ Fg₃ Λ Fg₄

Tomemos el primer conyunto, (Fg₁)_, afirma que un individuo (g_1, Sócrates) tiene la propiedad F, es decir, es un filósofo. Es importante aquí el “un”, pues nos sugiere que el cuantificador puede aplicarse a los individuos que tienen esa propiedad; un, alguno quiere decir cuantificación particular. Los individuos bajo F son f₁, f₂ y f₃: si es cierto que g₁ es filósofo, entonces será idéntico a alguno de ellos (no a todos) y como la cuantificación particular se expresa con disyunciones tendremos esta cadena de oraciones de identidad, indicando con cursivass la parte verdadera

Fg_1: g₁=f₁ V g₁ = f₂ V g₁ = f₃

Una disyunción es verdadera cuando al menos una de sus partes lo es, así que esta cadena es verdadera pues su primer disyunto (g₁=f₁) es verdadero. Los otros son falsos, pues afirman que Sócrates es Platón y que Sócrates es Aristóteles, lo cual no puede ser verdadero.⁴ El segundo y el tercer conyunto (Fg₂ y Fg₃) son también verdaderos pues tienen una parte verdadera que indicamos en cursivas

Fg_2: g₂=f₁ V g₂ = f₂ V g₂ = f₃

Fg_3: g₃=f₁ V g₃ = f₂ V g₃ = f₃

pero el cuarto no lo es, veamos porqué

Fg₄: g₄= f₁ V g₄ = f₂ V g₄ = f₃

afirma que Eurípides es o Sócrates, o Platón o Aristóteles, y cada identidad es falsa, así que toda la expresión lo es. Lo cual quiere decir que (Fg₁ Ù Fg₂ Ù Fg₃ Ù Fg₄) es falsa pues una de sus partes lo es. (4a) es pues falsa y su análisis así lo ha mostrado. El lector puede comprobar, siguiendo este análisis, que su subalterna (1a) es verdadera.

3. La conversión de particulares afirmativas

La conversión de oraciones particulares afirmativas nos lleva a cadena de identidades conectadas por la disyunción, siendo suficiente que una sea verdadera. Tendríamos

Fg₁ V Fg₂ V Fg₃ V Fg₄

es verdadera ya que el primer disyunto se analiza como

g₁=f₁ V g₁=f₂ V g₁=f₃

y es una oración verdadera, pues tiene una parte verdadera. Su conversa (1b) “Algún filósofo es griego” tiene esta forma

Gf₁ V Gf₂ V Gf₃

pues solamente hay tres filósofos; el primer disyunto (Gf₁) es verdadero puesto que expresa estas disyunciones

f₁= g₁ V f₁ = g₂ V f₁ = g₃ V f₁ = g₄

cuyo primer disyunto es verdadero. Las conversas tienen ambas el mismo valor de verdad, son equivalentes, expresado en nuestros términos tenemos que

(Fg₁ V Fg₂ V Fg₃ V Fg₄) º (Gf₁ V Gf₂ V Gf₃)

3.1. La conversión con sujeto singular y predicado cuantificado

Nos habíamos preguntado si oraciones como (3a) admiten conversión. Creo que podemos vislumbrar la respuesta, lo que queríamos era encontrar la manera de interpretar el predicado de tal manera que se acercara a los términos singulares. Si interpretamos (3a) “Sócrates es filósofo” de acuerdo a lo que hemos dicho tenemos que

s = f₁ V s= f₂ V s f₃

así que (3b) “Filósofo es Sócrates” admitiría “conversión” dado que toda identidad la admite, pues se pueden conmutar sus términos, así que tendríamos

f₁ = s V f₂ = s V f₃ = s

Con una oración con un término singular y un predicado y su análisis en términos de identidades hemos llegado a su conversión. Se puede convertir pues cada identidad, como hemos dicho, admite intercambiar lugares (también se le puede llamar transposición); ya no hablamos aquí de sujeto y predicado.

También el análisis de las oraciones particulares afirmativas (1a) y (1b) conduce a oraciones de identidad cuya conectiva principal –la disyunción– es verdadera; las conversas tienen el mismo valor de verdad. ¿Podríamos decir entonces que la conversión simple está “basada” en la identidad? Nuestra oración universal afirmativa resulta falsa y no tiene conversa. ¿Podríamos concluir, de nuevo, que la conversión simple, que se aplica a oraciones particulares afirmativas y universales negativas, depende de que su análisis resulte verdadero para ambas oraciones, ya que toda oración de identidad puede “convertirse”?

Pero no nos precipitemos, por dos razones. La primera: piense el lector en lo que pasaría si expulsáramos de nuestro pequeño mundo al buen Eurípides. La segunda razón consiste en que no hemos tratado las universales negativas. Vayamos pues a ellas.

4. La conversión de las universales negativas

Necesitamos aquí también otro pequeño mundo. Digamos que tenemos tres animales: Godzilla, Keiko y Leviatán, y tres vegetales (permítaseme usar descripciones definidas⁵ como términos singulares, es decir, como nombrando una sola cosa): el árbol de la noche triste, a quien llamaremos “Arby”, el maguey del monte, a quien llamaremos “Magy” y el árbol del tule, a quien llamaremos “Tuly”. Tenemos pues nuestros conjuntos

Hagamos nuestra lista de términos singulares

Godzilla: g, a₁ Arby: a, v₄

Keiko: k, a₂ Magy: m, v₅

Leviatán: l, a₃ Tuly: t, v₆

Se trata de conjuntos disjuntos, conjuntos que en nada se intersectan, que no se tocan. En tanto no se tocan podríamos usar los mismos subíndices (1, 2 y 3) para cada conjunto, pero si tuvieran propiedades en común (ser vivo p.e.) conduciría a equívocos. Nuestra oración (2a) afirma que ninguna cosa que esté en A está en V y su conversa (2b) que ninguna cosa que esté en V está en A. Vayamos a su análisis.

(2a) “Ningún animal es vegetal”

Se trata de una oración (primero) universal (y luego) negativa, donde el cuantificador universal afecta al sujeto de la oración negando que los elementos del conjunto A pertenezcan al conjunto V; o si se quiere, afirmando que están fuera de él, que el conjunto A, sus elementos no pertenecen, ninguno, al conjunto V. Usamos la tilde para expresar una negación,⁶ así que tenemos

~Va₁ Λ ~Va₂ Λ ~Va₃

y en nuestro ejemplo de oración singular por parte del sujeto (3a) vimos que la cuantificación del predicado era particular, pues Sócrates es (un) filósofo. Ahora tenemos una negación del predicado, lo cual indica que no se trata de cuantificación particular; de hecho la negación del cuantificador particular equivale a un cuantificador universal seguido de una negación. Podemos leer el primer conyunto (~Va₁) como “a₁ no es (ningún) vegetal”, es decir, no es ni v₄ ni v₅ ni v₆; la conectiva será la conjunción pero ahora negando identidades. Analicemos los tres conyuntos

~Va₁: a₁ ≠ v₄Λ a₁≠ v₅ Λ a₁ ≠ v₆

~Va₂: a₂ ≠ v₄ Ù a₂ ≠ v₅ Ù a₂ ≠ v₆

~Va₃: a₃ ≠ v₄ Ù a₃ ≠ v₅ Ù a₃ ≠ v₆

y como es cierto que a₁ no es ni v₄ ni v₅ ni v _6, pues Godzilla no es ni Arby ni Magy ni Tuly, la oración (~Va₁) es verdadera, lo mismo ocurre con (~Va₂ y ~Va₃) así que toda la expresión lo es pues cada conyunto es verdadero. Veamos su conversa

(2b) “Ningún vegetal es animal”

cuyo análisis es

~Av₄ Λ ~Av₅ Λ ~ Av₆

los conyuntos se analizan como

~Av_4: v₄ ≠ a₁ Λv_{4 ≠} a₂ Λv_{4 ≠} a₃

~Av₅: v₅ ≠ a₁ Λv₅ ≠ a₂ Λv₅ ≠ a₃

~Av6: v₆≠ a₁ Λv₆≠ a₂ Λv₆ ≠ a₃

que son todos verdaderos, pues afirman p.e. (~Av₄) que Arby no es ni Godzilla ni Keiko ni Leviatán, así que las conversas (2a) y (2b) son equivalentes al tener el mismo valor de verdad, como lo muestra su análisis

(~Va₁ Λ ~Va₂ Λ ~Va₃) (~Av₄ Λ ~Va₅ Λ ~Va₆)

Notemos que cada identidad tiene su imagen de espejo, por decirlo así; si consideramos cualquiera de ella, por ejemplo (v₄≠a₁), encontraremos también (a₁≠v₄). También aquí la conversión parece basarse en algo más elemental como lo es la identidad.

Tomemos pues provisionalmente⁷ esta conclusión: la conversión simple ordinaria está fundamentada en una operación que consiste en intercambiar los términos singulares de las oraciones de identidad en las que se analizan las oraciones particulares afirmativas y universales negativas. En estas últimas se aplica la misma operación a las negaciones de identidad, pues si es verdad que Sócrates no es Platón, entonces lo es también que Platón no es idéntico a Sócrates. Pasemos ahora a la conversión modal.

5. La conversión modal

Las oraciones modales son aquellas en donde aparece un modo. Un modo es una expresión como “posible”, “necesario”, “imposible” y “contingente” y califican o modifican una oración de dos maneras, según el lugar donde se ubique el modo, ya sea dentro de la oración o fuera de ella. Ejemplo del primer caso es “algún griego posiblemente es filósofo” (o “algún griego puede ser filósofo” e incluso “algún griego puede que sea filósofo”) y del segundo “es posible que algún griego sea filósofo” (o “puede que algún griego sea filósofo” o “posiblemente algún griego es filósofo”); las primeras se denominan oraciones modales de re o divididas, pues el modo “divide” la oración al insertarse en medio de ella, y las segundas de dicto o compuestas, pues el modo afecta la composición del sujeto el predicado de la oración considerada como unidad. Admiten varias expresiones en la lengua natural, como hemos visto. Trataremos solamente las primeras, las modales divididas.

Las oraciones modales divididas se ubican en un contexto más amplio que no es el caso abordar ahora, pues solo nos interesa la conversión simple de las particulares afirmativas y universales negativas pero ahora atendiendo a los operadores modales presentes en ellas.⁸

Si en la conversión ordinaria se trataba de cambiar el sujeto por el predicado y el predicado por el sujeto, ahora se tratará de casi lo mismo con la salvedad de que habrá de por medio un operador modal. El problema consiste en averiguar como es posible que ocurra esto en las oraciones que admiten conversa cuando tienen un modo en medio de ellas. Para tener una idea de la dificultad comencemos primero mostrando una oración que no admite conversión simple, la universal afirmativa con un modo. Pongamos la oración modal verdadera “Todo hombre necesariamente es animal”; no admite la conversión simple modal “Todo animal necesariamente es hombre”, pues hay animales que no son hombres; la particular afirmativa “algún animal necesariamente es hombre” si vale. La conversión simple se aplica a ella, y también a la universal negativa. El problema es explicar como puede ocurrir esto.

5.1. Una distinción

En nuestros ejemplos (1a) y (2a) hay una diferencia. Los predicados de la primera no se repugnan, es decir, admiten ser predicados de la misma cosa, lo cual no ocurre con el segundo ejemplo; pues se puede ser tanto griego como filósofo pero no se puede ser vegetal y animal (o cualquier otro ejemplo de predicados incompatibles). Y no obstante podemos encontrar ejemplos de oraciones universales negativas cuyos predicados no se repugnen. Supongamos que nuestros griegos son todos barbados, así que será correcto afirmar que ningún griego es lampiño; no obstante los predicados son compatibles pues no es contradictorio que un griego sea lampiño.

La relación entre sujeto y predicado así como la negación de dicha relación puede ser contingente o necesaria. Es contingente cuando admite la composición pero podría no ser el caso como lo afirma la oración. Me explico: un griego puede ser filósofo pero podría no serlo (como en nuestro pequeño mundo el buen Eurípides). Es necesaria cuando el predicado se afirma o niega del sujeto y no puede ser de otra manera, como en el caso de los vegetales y los animales. En el caso de los lampiños y los filósofos ocurre que de hecho no hay filósofos lampiños –por lo menos en la mayoría de los “retratos” conservados–, pero podría haberlos, en el sentido de que no son predicados que se repugnen, es decir, que se contradigan. En nuestro tratamiento abordamos el caso de oraciones necesarias, pero ¿cómo distinguirlas de las que no son necesarias? Para no complicar las cosas⁹ no entraré en este aspecto, solo diré que la diferencia atañe a la cópula “es” de las oraciones universales, tanto afirmativas como negativas; en el caso de las contingentes la cópula se expresa en el simbolismo usual con la implicación material y con implicación estricta para las necesarias, que son las que mayor fuerza modal tienen.

En nuestro ejemplo (2a) corresponde a esta clase. Comenzaremos con ella, y luego diremos algo sobre la conversión modal de las particulares afirmativas.

6. La conversión modal de universales negativas

Vayamos a nuestros ejemplos previos

(2*a) “Ningún animal puede ser vegetal”

admite la conversa

(2*b) “Ningún vegetal puede ser animal”

donde hemos intercambiado el sujeto por el predicado y la oración sigue siendo verdadera, necesariamente verdadera. Hemos dicho que las oraciones tipo E expresan conjuntos disjuntos, así que intuitivamente nos damos cuenta de que si una cosa está en el conjunto expresado por el término sujeto no está en el conjunto expresado por el término predicado. Nuestras oraciones modales afirman algo más fuerte: no solo que no están sino que no pueden estar ahí, lo cual quizá también es intuitivamente evidente.

Si se me permite usar la expresión “puede ser” modificando el predicado, dentro de la expresión, pues tratamos con modales de re, y el símbolo “‡” como abreviatura de “no puede ser (idéntico)” el análisis de (2^*a) corre así:¹⁰

~ puede ser Va₁ Λ ~ puede ser Va₂ Λ ~ puede ser Va₃

donde el primer conyunto (~ puede ser Va₁) se lee “a₁ no puede ser V”, y es verdadera, pues Godzilla no puede ser ningún vegetal, ya que no puede ser ni Arby ni Magy ni Tuly; toda la oración, es decir, los tres conyuntos, se analiza como la conjunción de las siguientes oraciones

~ puede ser Va₁: a₁‡ v₄ Λ a₁‡ v₅ Λ a₁ ‡v₆

~ puede ser Va₂: a₂‡ v₄ Λ a₂‡ v₅ Λ a₂ ‡v₆

~ puede ser Va₃: a₃‡ v₄ Λ a₃‡ v₅ Λ a₃ ‡v₆

El análisis de (2b) corre así

~ puede ser Av₄ Λ~ puede ser Av₅ Λ~ puede ser Av₆

cuyos conyuntos se analizan como

~ no puede ser Av₄: v₄‡ a₁Λ v₄‡ a₂ Λ v₄ ‡a₃

~ no puede ser Av₅: v₅‡ a₁ Λ v₅‡ a₂ Λ v₅ ‡a₃

~ no puede ser Av₆: v₆‡ a₁ Λ v₆‡ a₂ Λ v₆ ‡a₃

donde cada conyunto tiene su imagen de espejo, como en las oraciones no modales, así que la conversión de las modales de re también está basada en la identidad, aunque ahora de manera negativa. Un individuo no puede ser idéntico a otro individuo. Si una cosa, digamos x, tiene que ser y, entonces y tiene que ser x; si x no puede ser y, entonces y no puede ser x. El mismo principio rige en ambos casos, trasmutar los lugares, donde estaba uno, poner el otro. No parece razonable negar este principio, y de ser cierto, es necesariamente cierto, así que la identidad parece estar en el corazón de la conversión.

Vale pues la equivalencia

(~ puede ser Va₁ Λ ~ puede ser Va₂ Λ ~ puede ser Va₃)

º

(~ puede ser Av₄ ~ puede ser Av₅ ~ puede ser Av₆)

7. La conversión modal de las particulares afirmativas

El tratamiento de las particulares afirmativas nos llevaría a lo mismo: aceptar “puede ser” como modificando el predicado o la relación, y luego a buscar un símbolo especial para “a puede ser (idéntico a) b” donde se expresaría la posibilidad de la identidad entre a y b, es decir, modalidad de re, dado que el modo afectaría la relación entre los individuos –la identidad. Veamos porqué el modo está dentro de la oración en esta versión informal

“a puede ser idéntico a b”

Hemos hablado de operadores fuerte (necesidad) y débil (posibilidad), así que nuestro simbolismo debería expresar esa diferencia, pero la nomenclatura usual no nos ayuda para expresar esta distinción en el terreno de la identidad. No cansaré al lector multiplicando ad hoc el simbolismo. Pero sí afirmaré que en el análisis de una oración modal particular afirmativa de re como

(1*a) “Algún griego puede ser filósofo”

Al analizarse como (recuerde el lector la lectura de cada disyunto, el primero se lee “g₁ puede ser un filósofo”)

puede ser Fg₁ V puede ser Fg₂ V puede ser Fg₃ V puede ser Fg₄

y cuyo análisis del primer disyunto, de manera informal, pues no simbolizamos la identidad “débil”, es

g₁ puede ser idéntico a f₁ V g₁ puede ser idéntico a f₂ V g₁ puede ser idéntico a f₃

Si una parte es verdadera (el disyunto en cursiva), es necesariamente verdadera, puesto que es verdadero decir de Sócrates (g₁) que puede ser este filósofo (f₁) y no puede ser de otra forma, es decir, los otros disyuntos; pero las partes falsas son necesariamente falsas, pues sus negaciones nos llevan a nuestro símbolo especial para “no puede ser idéntico a”, que usamos para el análisis la falsedad necesaria de identidades.¹¹

El análisis de

(1*b) “Algún filósofo puede ser griego”

corre paralelo al anterior

puede ser Gf₁ V puede ser Gf₂ V puede ser Gf₃

cuyo primer disyunto, que es verdadero haciendo verdadera toda la oración, pues se trata de disyunciones, se analiza así

f₁ puede ser idéntico a g₁ V f₁ puede ser idéntico a g₂ V f₁ puede ser idéntico a g₃ V f₁ puede ser idéntico a g₄

el segundo y tercer disyuntos se analizan así

f₂ puede ser idéntico a g₁ V f₂ puede ser idéntico a g₂ V f₂ puede ser idéntico a g₃ V f₂ puede ser idéntico a g₄

f₃ puede ser idéntico a g₁ V f₃ puede ser idéntico a g₂ V f₃ puede ser idéntico a g₃ V f₃ puede ser idéntico a g₄

y también descansa en la operación que consiste en cambiar las letras que flanquean la identidad, lo cual es típico de la conversión. Las condiciones de verdad son las mismas, lo cual muestra que son equivalentes

(puede ser Fg₁ V puede ser Fg₂ V puede ser Fg₃ V puede ser Fg₄)

º

(puede ser Gf₁ V puede ser Gf₂ V puede ser Gf₃)

Además, las oraciones de identidad verdaderas son necesarias y las falsas imposibles.¹² En efecto, si Sócrates puede ser es este griego (apuntando a él mismo, lo cual sugiere que ya puede serlo pues ab esse ad posse valet ilatio), entonces tiene que serlo; si Sócrates no puede ser aquel griego (apuntando a otro distinto de él), es necesario que no lo sea, un individuo no puede ser idéntico a otro individuo.

Con esto terminamos nuestra exposición de la conversión simple modal. Pasemos a nuestras consideraciones finales.

8. Consideraciones finales

Hemos presentado la conversión asertórica y modal de las oraciones del cuadrado de oposición explicándolas en términos de oraciones de identidad. Es fácil entender que una oración de identidad puede cambiar los términos que la flanquean, conmutarlos, y en base a esto entender mejor porqué las oraciones cuantificadas admiten la conversión simple. Hemos encontrado que la modalidad está ya presente en la lógica de las co nectivas y su análisis en oraciones de identidad. También, en nuestro estudio, hemos vislumbrado otras posibilidades que merecen la atención del lógico de nuestros días; son también provechosas para el profesor y el estudioso de la lógica.

La lógica medieval nos ha servido de mucho en nuestro análisis; es sintomático que debamos recurrir a nuevos símbolos para capturar las sutilezas de sus intuiciones lógicas. Los problemas tratados están a la orden del día, pues involucran temas como la modalidad y su tratamiento en el sistema más poderoso, S5. Valga este escrito como una invitación a su estudio, puede enseñarnos muchas cosas.

Bibliografias

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Notas

1 Se trata de las operaciones denominadas ascenso y descenso, siendo este último lo que presentamos como “análisis”; se trataban dentro de la teoría de la suppositio. La doctrina está ya presente en Guillermo de Ockham en el siglo xiv y fue desarrollada ampliamente en el siglo de oro. Un texto fundamental para esto es: REDMOND, Walter: La lógica del siglo de oro. Ediciones de la Universidad de Navarra, Pamplona, 2002; también debe consultarse SPADE, Paul Vincent: “The Logic of the Categorical: The Medieval Theory of Descent and Ascent”, en KRETZMANN, Norman (ed.): Meaning and Inference in Medieval Philosophy. Kluwer Academia Publishers, Dordrecht , 1998).

2 Otra interpretación posible es la intencional, en base a la predicación y no a oraciones de identidad; constituye el ascenso, operación complementaria al descenso y fue tratada por autores realistas, antes y después de Ockham. La versión que presentamos era llamada teoría de los dos nombres, pues los términos sujeto y predicado funcionan ambos, en este análisis, como dos nombres de la misma cosa, de ahí su identidad. Véase BEUCHOT, Mauricio: La filosofía del lenguaje en la edad media. UNAM, México, 1991, pp. 93ss.

3 Hay una fuerte discusión contemporánea sobre la identidad. Frege, por ejemplo, se pregunta si la identidad “¿es una relación entre objetos?, ¿o bien entre nombres o signos de objetos?” prefiriendo lo último, cfr. FREGE, Gottlob: Estudios sobre semántica, trad. de Ulises Moulines, Ediciones Folio, Barcelona, 1999, p. 51. Quine, por su parte piensa que “(…) los nombres intervienen en los enunciados de identidad, pero son los objetos nombrados los que son idénticos”. Cfr. su QUINE, Willard Van Orman: Los métodos de la lógica, trad. de Juan José Acero y Nieves Guasch, Barcelona: Planeta-Agostini, 1993, p. 288. Por eso Saul Kripke dice: “Los enunciados de identidad deberían parecer muy sencillos, pero de alguna manera resultan desconcertantes para los filósofos”. Cfr. KRIPKE, Saul: El nombrar y la necesidad, trad. de M. Valdés, México: UNAM, 1985, p.114.

4 lo cual sugiere un componente modal implícito, pero no tratamos ahí esto, pues lo reservamos a la presencia explícita de las expresiones modales en los apartados siguientes. No obstante nótese que podríamos hablar aquí de una disyunción estricta o necesaria. Esto sugiere que el componente modal ya está presente, de manera implícita, desde la conversión asertórica; la modalidad está en el corazón de la lógica. Ya está en la lógica proposicional, en la cuantificación y en la identidad.

5 El lector puede pensar en sus vegetales preferidos para cambiar los ejemplos. “El árbol de la noche triste” se refiere a un árbol donde lloró Hernán Cortes tras una derrota ante los mexicas; “el maguey del monte” alude a una canción muy popular en México hace unos treinta años; “el árbol del Tule” se refiere a un árbol muy grande y muy viejo en las cercanías de la zona arqueológica de Mitla, Oaxaca, en la república mexicana.

6 Decimos “una negación” porque también podría interpretarse como el complemento de conjunto, algo cercano a lo que los medievales expresaban con sus términos “infinitos”, como “no-humano” e incluso aplicado a términos singulares como “no-Sócrates”, todo lo que no es idéntico a Sócrates. Cfr. MUÑÓZ GARCÍA, Ángel: “¿Qué niego cuando niego?”, en su obra Seis preguntas a la lógica medieval, México: UNAM, 2001, pp. 191ss.

7 “Provisionalmente”, pues las oraciones del cuadrado pueden expandirse a formas insospechadas que requieren revisión. Por ejemplo, si formáramos la oración “algún griego no es algún filósofo”, que es particular negativa, aunque no la forma estándar, ella admitiría conversión simple. Lo mismo ocurre si permitiéramos una oración como “todo griego es todo filósofo”, también una forma no estándar de universal afirmativa, estipulando que una sola cosa ejemplifica ambas propiedades. Así que no solo las oraciones E e I son convertibles (la lógica depara sorpresas). El lector puede consultar el citado libro de W. Redmond para darse una idea de la complejidad de estos asuntos.

8 El contexto más amplio es la doctrina lógica sobre la oposición y equivalencia de las modales divididas desarrollado por autores nominalistas del siglo catorce (Jean Buridan y Alberto de Sajonia, para poner dos ejemplos) y plasmado en un “cuadrado” de oposición que tiene ocho extremos y presente en dos autores novohispanos del siglo XVI, Alonso de la Veracruz (Recognitio summularum, México: Juan Pablo Brissense, 1554) y Tomás de Mercado (Comentarii lucidissimi in textum Petri Hispani, Salamanca: Fernando Díaz, 1571). He tratado esto en “El cuadrado escolástico de oposición de la cuantificación y la modalidad” publicado en La lámpara de Diógenes, No. 10-11, Vol. 6, BUAP, 2005, y “El cuadrado de oposición como instrumento de la lógica” (comunicación presentada en el Primer Encuentro de Filosofía Novohispana, Universidad Panamericana, 2007, de próxima aparición).

9 Una complicación es esta: si abordamos las relaciones del cuadrado de oposición atendiendo a la cópula de las universales, cuando tengamos implicación estricta las oraciones contrarias dejarán de serlo para ser contradictorias (“Ningún animal es vegetal” y “Todo animal es vegetal” no pueden ambas falsas ni ambas verdaderas). Las subalternas dejarán de serlo para ser equivalentes (pues si la relación entre ser hombre y ser animal es necesaria, si la particular afirmativa es verdadera, lo será también la universal afirmativa, y viceversa) ¡La lógica modal también da sorpresas! Pero todo esto es material para otro ensayo. La expresión “mayor fuerza modal” se refiere a las implicaciones estrictas, pero una oración con implicación material admite inmediatamente el operador de la posibilidad (usado de dicto), que es débil respecto al de la necesidad.

10 El lector puede preguntarse porqué no utilizo el operador usual de la posibilidad, el diamante “"” pero este operador se utiliza para modificar oraciones, es decir, corresponde a la modalidad de dicto, la cual no estamos tratando. Claro que podría interpretar nuestro símbolo “a‡b” como “~"(a=b)”, lo cual quiere decir interpretar la modalidad de re en términos de la modalidad de dicto (lo mismo vale para nuestro uso de “¹” pues se podría interpretar como la negación de una oración de identidad “~(a=b)”). No presento aquí está interpretación, pero tampoco la excluyo de antemano; es tema de otro estudio propiamente metafísico, fuera del alcance de este ensayo. Para una nomenclatura de las de modales de re puede consultar REDMOND, W., ob. cit., y RESCHER, Nicholas: A theory of Possibility. University of Pittsburgh Press, Pittsburg, 1975. Plantinga defiende la interpretación de re en términos de la de de dicto en PLANTINGA, Alvin: The Nature of Necessity, University of Oxford Press, Oxford, 1974.

11 Afirmar que si una parte del disyunto es verdadera, es necesariamente verdadera, nos conduce al sistema modal S5 de Lewis, dado que el disyunto tiene el operador de la posibilidad: en efecto, si puede ser verdadera, es necesario que pueda serlo, lo cual es el teorema típico de S5 (◊p É◊p); no se afirma que si es posible entonces es necesaria (◊p Ép), lo cual constituye una falacia. De hecho la conversión modal se puede probar en este sistema donde además valen las equivalencias entre modales de dicto y de re cuantificadas, las llamadas fórmulas Barcan. Véase mi “La conversión modal medieval y el sistema S5 de Lewis”, (comunicación presentada en el V Encuentro Boliviano de Estudios Clásicos, Santa Cruz, 2006, de próxima aparición).

12 KRIPKE, S.: ob.cit., p. 121n., lo pone así: “Sin embargo, los mismos tipos de consideraciones que pueden usarse para establecer la necesidad de la identidad, pueden usarse para establecer la necesidad de la diversidad”. Antes había dicho (p.11) que “Si “a” y “b” son designadores rígidos, se sigue que, si “a=b” es verdadero, entonces es una verdad necesaria”. No hemos hablado aquí de los designadores rígidos, pero para una aproximación medieval a estos consulte el lector “Los enunciados contingentes de identidad ¿son posibles o necesarios?”, en MUÑOZ G., Á., ob. cit., pp. 33-63.