Ecuación fundamental de la edad para la datación de minerales y su adaptación a la ecuación práctica
para el Método de Huellas de Fisión

MAURICIO A. BERMÚDEZ †, PEDRO ALSON*, JORGE L. MORA †

†Laboratorio de Termocronología, Departamento de Geología, Escuela de Geología, Minas y Geofísica, Facultad de Ingeniería, Universidad Central de Venezuela.
*Escuela de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Central de Venezuela.

RESUMEN

Este artículo intenta familiarizar al lector con los fundamentos teóricos básicos que rigen el método de datación radiométrica por fisión nuclear utilizado en el Laboratorio de Termocronología de la Universidad Central de Venezuela para la datación de material rocoso tanto en cuencas sedimentarias como en terrenos fuentes. En el estudio de la Ecuación Fundamental de la Edad, se cubre desde la deducción de esta ecuación hasta su respectiva adaptación al Método de Huellas de Fisión (MHF). Diversas manipulaciones realizadas por los investigadores del área son presentadas, dando una justificación geológica-matemática.

Palabras claves: ecuación fundamental de la edad, método de huellas de fisión, datación radiométrica, geotermómetro, edad, método de poblaciones, métodos grano a grano, técnica del detector externo, factor Z, afluencia, minerales accesorios, apatito, circón.

FUNDAMENTAL AGE EQUATION FOR MINERAL DATING AND ITS ADAPTATION TO THE PRACTICAL EQUATION FOR THE FISSION TRACKS DATING METHOD

ABSTRACT

This article attempts to familiarize the reader with the basic theoretical foundations that govern the radiometric dating method by nuclear fission. This method is used in the Thermochronology Laboratory of the Universidad Central de Venezuela to date minerals present in sedimentary basins or terrain sources. The study of the Fundamental Age Equation ranges from the deduction of this equation until its respective adaptation to the Fission Tracks Dating Method (FTDM). Several manipulations carried out by researchers in the area are presented, providing a geological-mathematical justification.

Key words and phrases: fundamental age equation, fission tracks dating method, radiometric dating, geothermometer, age, population methods, grain by grain methods, external detector method, Z Factor, affluence, accessory minerals, apatite, zircon.

Recibido: Abril de 2003 Recibido en forma final revisado: Febrero de 2005

INTRODUCCIÓN

En 1995, por gestiones del Prof. Mora del Departamento de Geología de la Escuela de Geología, Minas y Geofísica de la Facultad de Ingeniería, Universidad Central de Venezuela se fundó el Laboratorio de Termocronología de la UCV. Dicho laboratorio, se encarga de fechar eventos geológicos utilizando la fisión espontánea de los átomos de uranio presentes en los minerales accesorios que constituyen las rocas. A partir de ese momento se ha iniciado una ardua labor con la finalidad de no sólo datar tales eventos, sino también de entender el proceso físico y las propiedades matemáticas asociadas a la ecuación de edad básica para estos procedimientos. En el Departamento de Geología actualmente se dicta de forma electiva una materia relacionada con esta área, llamada Métodos de Huellas de Fisión, la cual proporciona al estudiante de la Facultad de Ingeniería de la UCV los principales fundamentos teóricos de la geocronología por huellas de fisión. Con la finalidad de que el lector también se familiarice con los principios teórico-prácticos de esta técnica se realizó el presente artículo donde se explica detalladamente como surge la Ecuación Fundamental de la Edad y el problema matemático subyacente que trae como consecuencia la adaptación de esta ecuación a la práctica para el Método de Huellas de Fisión, esta adaptación hace necesaria la introducción de nuevas variables. Aquí se hace un compendio de las pocas referencias existentes en el área, ya que se encuentran muy dispersas.
El resto de este artículo está distribuido de la siguiente forma. En la próxima sección se establecerá explícitamente la Ecuación Fundamental de Edad (EFE) de dos maneras: según el enunciado existente en la bibliografía[3] de Rutherford y Soddy, y de manera probabilística. Seguidamente se dará una breve explicación del Método de Huellas de Fisión junto con la adaptación de la EFE a tal método. Luego se describirán las distintas técnicas y las suposiciones físicas necesarias para el conteo de las huellas de fisión, haciendo énfasis en la Técnica del Detector Externo (TDE).

ECUACION FUNDAMENTAL DE LA EDAD

El decaimiento radioactivo de un átomo cualquiera viene expresado de acuerdo a la Teoría de Rutherford y Soddy descrita en [3] de la siguiente manera: "La tasa de átomos que decaen radioactivamente es proporcional al número de átomos N en cualquier instante de tiempo t". Esta afirmación conduce a la siguiente ecuación diferencial:
(1.1)

que junto con la condición N(0)=N0 constituye el Problema de Valor Inicial (P.V.I) a resolver y donde ?d es la constante de decaimiento radioactivo total.

Al resolver este P.V.I se obtiene que:

(1.2)

El número de átomos radioactivos que han decaído, se denota como D, y puede ser calculado restando a la cantidad inicial de átomos N0 al momento de originarse la roca, el número de átomos N(t) presentes en el tiempo t, es decir:

(1.3)

Despejando N0 de (1.2) y sustituyendo en (1.3) se obtiene:
(1.4)

En el caso particular de que la masa del elemento radioactivo decae a la mitad de su valor original, es decir, N0/2, se obtiene la siguiente expresión la cual es definida[1] como la "vida media" del elemento:

En virtud de que la vida media del isótopo inestable más común en la naturaleza, Uranio-238 (238U) es de 4500 millones de años (Ma), éste es de vital importancia para el cálculo de edades de material rocoso o de eventos geológicos.

Despejando t de la ecuación (1.4) se deduce:

(1.5)

La cual es conocida en la literatura[3] como "Ecuación Fundamental de la Edad". Esta misma expresión puede ser obtenida sin necesidad de utilizar la Teoría de Rutherford y Soddy, sino desde un punto de vista probabilístico de la siguiente manera:

DEDUCCION PROBABILISTICA DE LA ECUACION DE EDAD

Según la referencia[4] en 1905, E. Von Schweidler usó las conclusiones derivadas del análisis de Rutherford y formuló una nueva descripción del decaimiento radioactivo en términos de eventos estadísticamente independientes, con la finalidad de calcular la probabilidad de que estos ocurran en la naturaleza. La suposición fundamental fue: que la probabilidad p de que un elemento radioactivo se desintegre en un intervalo de tiempo ?t es independiente de las circunstancias pasadas, éste sólo depende de la longitud del intervalo de tiempo, el cual para intervalos suficientemente cortos es proporcional a ?t, es decir, p = ??t, donde ? es la constante de proporcionalidad.

La probabilidad de que un átomo dado no se desintegre durante un corto intervalo de tiempo es:

Si el átomo ha sobrevivido durante este intervalo, entonces la probabilidad de que no se desintegre en el próximo es nuevamente 1- λΔt y así sucesivamente. Por lo tanto, la probabilidad de que el átomo dado sobreviva n de esos intervalos de igual longitud y por la independencia asumida sería (1- λΔt)ⁿ. Para mayor detalle sobre eventos independientes el lector puede revisar la referencia[5]. Haciendo nΔt = t el tiempo total, se obtiene una probabilidad de supervivencia de

Para generalizar esto a un conjunto no finito de átomos, es necesario tomar el límite cuando n tiende a infinito, así, la probabilidad de que un átomo permanezca inalterado después de un tiempo t viene dada por:

Considerando un número N0 de átomos radioactivos y tomando la fracción que permanece inalterada después del tiempo t se obtiene:

donde N es el número de átomos que no cambian en el tiempo t, ésta ley de decaimiento exponencial coincide con la ecuación (1.2).

NOCION DE HUELLA DE FISION ESPONTANEA

Existen diversos tipos de decaimiento radioactivo[3]: emisión de partículas a, positrón ß+, negatrón ß-, captura del electrón, fisión nuclear, etc., y dependiendo del átomo inestable estudiado, hay una gran variedad de métodos de datación radiométrica[1], como por ejemplo: Carbono-14, Argón-Argón (Ar/Ar), Rubidio-Estroncio (Rb/Sr), Uranio-Plomo (U/Pb), Potasio-Argón (K/Ar), etc. De todos estos, el Método de Huellas de Fisión (MHF) resulta el más económico y es usado en el Laboratorio de Termocronología de la UCV. Este método consiste en el cálculo de edades de rocas utilizando la fisión espontánea de los átomos de ²³⁸U presentes en los minerales accesorios (apatito, circón, esfenas, etc.) que constituyen la roca.

Los átomos de ²³⁸U al decaer por fisión nuclear natural ionizan los átomos adyacentes, los cuales al repelerse producen una zona de daño rectilínea, esta zona es conocida como huella de fisión ("fission track")[6]. Este fenómeno es representado esquemáticamente en la figura 1.1 donde el átomo que está en el centro de color negro en el lado derecho de la figura 1, representa el átomo de 238U en estado de excitación previa a la fisión. En el lado izquierdo de esta figura se observa la configuración atómica después de la fisión nuclear.

Figura 1: Formación de una huella de fisión.
(Tomada de [1])

En la parte central de la figura.2 se muestra, dentro del mineral accesorio apatito contenido en la roca, una serie de pequeñas manchas oscuras alargadas que representan las huellas de fisión espontáneas.

Figura 2: Huellas de fisión espontáneas en el mineral apatito.
(Tomada de www.earthsci.gla.ac.uk/staff/jolivet.html)

Algunos mecanismos de deformación de la litosfera (eventos geológicos) producen exhumación de las rocas y otras su soterramiento, disminuyendo o incrementando la temperatura de éstas. Durante estos movimientos las rocas atraviesan ciertas "superficies" de temperaturas denominadas isotermas que van desde una mayor temperatura en el interior de la Tierra a una menor temperatura a medida que se acerca a la zona externa del planeta. Cada mineral tiene una isoterma específica en la cual la huella de fisión se preserva, el valor de esta temperatura es conocida[4] como temperatura de cierre ("closure temperature"). En los casos particulares del apatito y el circón estas temperaturas son aproximadamente: 110 ºC y 150 ºC respectivamente.
Sin embargo, no existe una temperatura de cierre en la cual el sistema resulte cerrado completamente; en realidad lo que existe es una zona o rango de temperaturas donde las huellas de fisión sufren desvanecimiento parcial. Este rango de temperaturas es llamado Zona de Desvanecimiento Parcial[4] ("PAZ: Partial Annealing Zone"). Las huellas de fisión espontáneas tienen una longitud promedio cuando no han sido alteradas de 16 µm, y cuando éstas pasan mucho tiempo en la PAZ o son sometidas a una temperatura mayor a su temperatura de cierre tienden a reducirse o a desvanecerse.

ECUACION DE EDAD ADAPTADA AL MHF

El elemento radioactivo 238U puede decaer de dos formas[6]: por fisión nuclear y por emisión de partículas alfa (a), así la constante de decaimiento total ?d, viene dada por:

donde λ_α y λ_f son las constantes de decaimiento por emisión de partículas alfa y por fisión nuclear respectivamente. ( y )

Para determinar el número total de átomos de ²³⁸U que han decaído según la ecuación (1.4), es necesario considerar los dos tipos de decaimiento para este átomo, es decir, esto equivale a considerar aditivamente[6] la ecuación (1.4) para cada tipo de decaimiento.

(1.6)

en esta expresión ²³⁸N es el número total de átomos de ²³⁸U que están por decaer, Da y Df representan el número de átomos de ²³⁸U que han decaído naturalmente por emisión de partículas alfa y por fisión nuclear respectivamente.

Asumiendo que cada átomo que se fisiona produce una huella espontánea, (Df = Ns), lo cual es razonablemente debido a que al fisionarse un átomo automáticamente crea daños en la estructura cristalina del mineral, produciendo una huella de fisión natural. Así, se tiene de (1.6) que:

(1.7)

Como el decaimiento por fisión nuclear es menor en varios órdenes de magnitud que el decaimiento por emisión de partículas alfa[6], puede decirse que λ_d ≈ λ_α y por lo tanto:

Despejando t de la ecuación (1.7) se obtiene:

(1.8)

En esta última ecuación, la variable que interesa conocer es t, y ésta depende de otras dos variables: el número de huellas espontáneas Ns y el número total de átomos ²³⁸N al momento de fechar la roca. A partir de esta observación surge un problema matemático sencillo, determinístico, ya que hay dos variables desconocidas, éstas son: t y ²³⁸N.

El conocer sólo Ns y desconocer ²³⁸N equivale a desconocer, en la figura 3, cuál curva Ci (i = 1,2,…,n) que depende del valor ²³⁸N representa el fenómeno particularmente estudiado.

Figura 3: Problema determinístico derivado de la EFE.
(Tomado de [1])

Para resolver el problema planteado; es decir, para poder hallar un único valor de t, es necesario hallar o al menos estimar el valor de ²³⁸N . En la sección que sigue se explica cómo se procede para ello.

NOCIÓN DE HUELLAS DE FISIÓN INDUCIDAS

El procedimiento habitual para obtener un estimado de 238N es mediante la irradiación del separado de minerales accesorios en un reactor nuclear[6]. Este procedimiento produce un decaimiento radioactivo que a su vez genera huellas inducidas, cuyo número se denotará con Ni. Este número guarda estrecha relación con la N en la ecuación (1.5). Sin embargo, a nivel de laboratorio no es sencillo obtener Ni, por lo tanto, a continuación se darán algunos detalles de este procedimiento.

La fisión es generada por la colisión entre los neutrones y los átomos de 235U debido a que la sección transversal s de estos últimos es mayor a la de los átomos de ²³⁸U y es por ello se utiliza la siguiente relación[6]:

(1.9)

donde f  es la afluencia de neutrones utilizada en el reactor nuclear.

En virtud de que el cociente entre el número de átomos de ²³⁵U y ²³⁸U es constante^[6], es decir,

la ecuación (1.9) quedaría como:

.Al sustituir esta última en la ecuación (1.8) se obtiene una expresión para determinar la edad de la roca:

(1.10)

así, el cálculo de la edad se puede hacer si se determinan el número de huellas espontáneas Ns , el número de huellas inducidas Ni y la afluencia de neutrones .

Para registrar las huellas inducidas N_i, se emplea un detector, monitor o mica de bajo contenido de uranio sobre los granos a fechar previamente pulidos. En este monitor, se graban las huellas inducidas producidas por los átomos justo en el momento de ser irradiadas en el reactor. Además, debe considerarse la siguiente expresión^[6] para la densidad superficial de huellas espontáneas ρ_s e inducidas ρ_i, según sea el caso.

(1.11)

donde:

El factor de geometría tiene dos valores dependiendo de cómo se coloque el detector sobre la muestra, es decir:

 

en el caso g = 1 se dice que la superficie es interna, y en el otro caso se dice que es externa[6].

En la figura 4 se aprecia como es colocado el detector sobre un grano del mineral apatito no alterado, según la geometría externa.

Figura.4: Arreglo del detector según
la geometría externa.
(Tomado de [1])

En la figura 5 pueden observarse las huellas espontáneas sobre un grano de circón y las huellas inducidas en la mica colocada sobre el grano.

Figura 5 (A) Huellas de fisión espontáneas sobre un grano de circón, (B) sobre la mica.
(Tomada con autorización del Dr. J. Garver)
El factor de eficiencia de grabado η_s,i es una constante que depende del sometimiento de la muestra a ácidos, procedimiento que se conoce con el nombre de revelado[6]. Este procedimiento es necesario para poder observar las huellas al microscopio. Por otro lado, el factor de observación qs,i es una constante que depende de la distancia intraocular de la persona encargada en contar el número de huellas por superficie bajo el microscopio. Por último, el factor de tiempo prolongado f(t) también es constante y ésta depende del tiempo empleado para revelar la huella.

Así, despejando Ns y Ni de la ecuación (1.11) y sustituyendo en (1.10) se obtiene, la ecuación de edad[6] para el método de huellas de fisión:

(1.12)

donde          se define como el factor de geometría inicial y

como el factor de procedimiento[2]. Nótese que si las huellas espontáneas e inducidas son reveladas y contadas bajo condiciones idénticas se tiene que Q = 1.

Sin embargo, para determinar la edad de una roca es necesario conocer la afluencia de neutrones f   , por lo tanto, no es posible utilizar esta expresión (1.12) de manera práctica en el laboratorio. Para subsanar este problema, según la literatura^[6] el Dr. T. Hurford en 1983, desarrolló una técnica la cual es conocida como Método de Calibración ξ ó Factor Z.

 

MÉTODO DE CALIBRACIÓN ξ, O FACTOR Z:

Esta técnica consiste en irradiar varias muestras, de edad conocida (t_c ) por otros métodos de datación radiométrica, ésta muestra es llamada estándar, intercaladas con el detector de bajo contenido de uranio y las muestras de edad desconocida. Asumiendo que la afluencia de neutrones ( f   ) a utilizar en el reactor nuclear, es proporcional a la densidad (ρ_m) de ²³⁸U, presente en el detector o monitor, se obtiene la siguiente relación[6]:

 

donde B es una constante de proporcionalidad conocida, y llamando        , la ecuación de edad (1.12)

puede ser escrita como:

(1.13)

Para la muestra estándar, o de edad conocida (tc) se tiene una ecuación similar a (1.13) de la cual Z es despejada, este procedimiento es realizado de esta manera ya que puede ser calibrado en el laboratorio, obteniéndose un sólo valor de Z, el cual será utilizado para fechar la muestra de edad desconocida, así:

esta última expresión es conocida[6] como "Factor Z" o "Factor de Calibración ?". La ecuación (1.13) es conocida como "Ecuación Práctica de la Edad para el Método de Huellas de Fisión". Esta ecuación junto con las condiciones         y Q = 1 es la usada en el Laboratorio de Termocronología de la UCV para determinar

la edad de las rocas. Cabe recordar, que estas condiciones para G y Q indican que el detector se está colocando sobre la parte superior del mineral (detector externo) y que las condiciones de revelado son idénticas para todas las muestras a fechar.

METODOS DE CONTAJE PARA DETERMINAR LAS DENSIDADES

Las densidades de las huellas espontáneas e inducidas ?s y ?i se obtienen utilizando las siguientes expresiones[5]:

(1.14)

donde N_sj  y N_ij denotan la cantidad de huellas espontáneas e inducidas contadas en el j-ésimo cristal del mineral accesorio (apatito o circón) A_sj  y A_ij denotan el área del j-ésimo cristal donde se realizó el conteo de las huellas. Para realizar tal conteo existen dos grandes métodos reportados en la literatura[6]:
Método de Poblaciones:

Es comúnmente utilizado para datar material rocoso usando el mineral accesorio apatito^[6] y consiste en dividir un gran número de granos de este mineral en dos porciones. La primera, la cual será revelada químicamente con la finalidad de determinar la densidad de las huellas espontáneas ρ_s; la segunda porción es enviada al reactor para ser irradiada y así poder estimar ρ_i. Para esto último existen dos alternativas:

1.- De la segunda porción que ha sido irradiada, se obtiene una densidad total ρ_t = ρ_i + ρ_s, así: ρ_i = ρ_t.- ρ_s. Esto es llamado Método con Sustracción.   

2.- Mediante técnicas experimentales, las huellas de fisión son desvanecidas antes de la irradiación y así     ρ_s= 0. Después de la irradiación, todas las huellas observadas en los separados son inducidas. Esta alternativa es llamada Método Sin Sustracción.

Según la literatura^[6], el Método de Poblaciones proporciona resultados muy precisos siempre y cuando la distribución del ²³⁸U sea uniforme o el mineral tenga una única historia térmica. Con la finalidad de eliminar pequeñas heterogeneidades en el contenido del ²³⁸U y algunos efectos de la orientación del cristal se seleccionan aquellos granos cuyo eje es paralelo al eje C, el cual es el eje de máxima elongación del cristal.

Métodos Grano a Grano:

CConsisten en el análisis de las huellas espontáneas e inducidas dentro del mismo grano del mineral; de esta manera, puede obtenerse el valor del cociente  para cada grano y por lo tanto puede determinarse la edad

individual por el MHF utilizando la ecuación (1.13). Estos métodos pueden ser utilizados cuando existen grandes heterogeneidades en la distribución del ²³⁸U o cuando la muestra esté compuesta, por granos de diferentes edades de huellas de fisión, lo que particularmente sucede en rocas detríticas, es decir, aquellas que se encuentran en las cuencas sedimentarias geológicas. Dentro de estos métodos existen tres técnicas, éstas son:

1.- Técnica de Regrabado

En ésta las huellas de fisión inducidas se obtienen mediante un segundo revelado después de la irradiación de la muestra que contiene las huellas espontáneas. La forma de distinguir ambos tipos de huellas está basado en el tamaño de ellas; sin embargo, cuando no hay una distinción clara, es necesario aplicar el método con sustracción. Aunque las huellas espontáneas e inducidas son reveladas en el mismo material, Q ≠1. En la figura 6 puede apreciarse el tamaño de las huellas espontáneas e inducidas bajo un microscopio óptico con luz transmitida.

Huellas espontáneas Huellas inducidas
Figura 6: Vista de las huellas de fisión sobre un grano y sobre la mica, bajo el microscopio
usando luz transmitida.
(Tomado de [6] )

2.- Técnica de Repulido

Inicialmente se cuentan las huellas espontáneas, posteriormente la muestra es pulida por medio de lijadoras o pulidoras especiales hasta desvanecer las huellas espontáneas, luego es irradiada y revelada nuevamente obteniéndose de esta manera ρ_i. Como este ensayo es muy destructivo no permite revisar el valor inicial de ρ_s razón por la cual no es muy utilizado.

 

3.- Técnica del Detector Externo (TDE)

Consiste en tomar un separado de minerales accesorios (apatitos, circones, esfenas, etc.) cementarlos sobre un portaobjetos usando para ello una resina y un endurecedor, y pulirlos con la finalidad de exponer su superficie interna para luego revelar las huellas espontáneas ρ_s. Luego, este montaje es cubierto con una película de mica de muy bajo contenido de uranio con la finalidad de ser irradiado y así estimar ρ_i .Separando esta mica del primer montaje y revelándola, se obtienen las huellas inducidas. Luego con mucho cuidado y precisión pueden ubicarse, sobre los granos, las huellas espontáneas y las huellas inducidas justo en las mismas coordenadas sobre la mica. De esta manera, como las huellas espontáneas e inducidas son contadas exactamente sobre la misma área se tiene, usando las expresiones (1.14), la siguiente expresión:

Para el conteo de las huellas espontáneas e inducidas del j-ésimo cristal se emplea una malla 10 10 la cual puede ser apreciada en la figura 1.7 para el caso del cristal y la mica. Esta última técnica combina las ventajas del análisis grano a grano con el hecho de que las huellas espontáneas e inducidas son reveladas y contadas en montajes separados, lo que permite revisar rápidamente los valores de , además de discriminar entre fuertes heterogeneidades en las distribuciones de las huellas, las cuales pueden ser imputadas a errores experimentales o a posibles eventos tectotérmicos.

 

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido financiado bajo el Proyecto FONACIT número S12000000636. También agradecemos al personal del Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares de México (ININ) por facilitarnos algunas referencias, al Prof. Jorge Nieto del Departamento de Geología de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), al Dr. J. Garver del Union College, New York, USA por permitirnos el uso de algunas ilustraciones y al Dr. C.W Naeser del U.S Geological Survey, Colorado, USA por las referencias y por sus comentarios, y al Dr. M. Brandon de Yale University por sus comentarios.

REFERENCIAS

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA, Trabajo Especial de Grado. (2002). Estudio de métodos estadísticos para la datación de material rocoso utilizando huellas de fisión. Caracas, Venezuela: Bermúdez, M.        [ Links ]

2. BURCHART, J. (1981). Evaluation of uncertainties in fission track dating: some statistical and geochemical problems. Nucl. Tracks,5, 1, 87-92.

3. FAURE, G. (1986). Principles of isotope geology. Second Edition. New York: John Wiley & Sons, 589 p.
4. FRIEDLANDER, G., KENNEDY, J.W. & MILLER J.M. (1964). Nuclear and radiochemistry. Second Edition. New York: Chapter 6, Wiley,

5. GREEN, P.F. (1981). A new look at statistics in fission track dating, Nucl. Tracks,5, ½ , 77-86.

6. WAGNER G. & VAN DEN HAUTE P. (1992). Fission track dating. Netherlands: Solid Earth Sciences Library, Kluwer Academic Publishers.