Construyendo la aritmética formal a partir de la informal:

un estudio de caso

From non-formal to formal arithmetic: a case study

Eva REVERAND

Escuela de Educación

Universidad Central de Venezuela

ereverand2002@cantv.net

RESUMEN

Esta investigación tuvo como objetivo establecer relaciones entre el conocimiento matemático informal que han construido niños vendedores a partir de su práctica en el mercado y el conocimiento matemático formal propio de la escuela, previa identificación y caracterización de cada uno de esos conocimientos. Para el logro de este objetivo se realizó un estudio de caso con 2 participantes de 13 y 14 años de edad, vendedores de frutas en el mercado, no escolarizados para el momento del estudio. La investigación se cumplió en tres fases. Primera fase: entrenamiento para la verbalización del pensamiento en voz alta. Segunda fase: diagnóstico del conocimiento matemático formal construido por los niños durante su escolaridad y el conocimiento matemático informal construido a través de sus prácticas en el mercado. Para ello se aplicó una prueba formal y una situación de venta simulada. Tercera fase: intervención para ayudar a los niños a construir significados para los símbolos y procedimientos matemáticos formales a partir de su conocimiento matemático informal. Esta consistió en una serie de actividades de aprendizaje propias de la escuela y centradas en la resolución de problemas aritméticos. Los resultados obtenidos revelan que a través de la intervención el conocimiento aritmético informal propio de las prácticas de la venta en el mercado se transformó en un conocimiento más formalizado. El conocimiento informal que poseían los niños les permitió dar significado a problemas aritméticos propios de la escuela, al relacionarlos con situaciones propias de su trabajo. Los niños ampliaron sus formas de representación simbólica de las operaciones aritméticas, aumentaron el uso de la escritura de números, y desarrollaron métodos de resolución para ejercicios de cálculo y verbales que combinan procedimientos escritos y orales.

Palabras clave: Conocimiento matemático informal, enseñanza de las matemáticas, cognición situada, educación básica.

ABSTRACT

The aim of this research was to establish relationships between non-formal mathematical knowledge that children have constructed from their practice and formal mathematical school knowledge, previous identification and characterization of both knowledges. To this effect, a case study was developed with two participants, 13 and 14 years old, who sell fruits in a city market and were not attending school at the time. The investigation followed three phases. First phase: training in thought verbalization. Second phase: determination of children’s formal and non-formal arithmetic knowledge. Third phase: intervention to help children construct meanings for formal mathematical symbols and procedures, based on their non-formal mathematical knowledge. Results show that, through the intervention, non-formal arithmetic knowledge used in the market was transformed into a more formalized knowledge. Children used their non-formal knowledge to give meaning to school-type arithmetic problems, relating them to situations characteristic of their work at the market. Children increased their symbolic representation of arithmetic calculations, and their use of numbers in writing, and developed methods for the resolution of arithmetic calculations combining oral and written procedures.

Key words: Non-formal mathematical knowledge, mathematical education, situated cognition, elementary education.

1. INTRODUCCIÓN

En los últimos años varios investigadores han descrito dos tipos de conocimiento matemático (v.g. Hiebert y Lefevre, 1986; Putnam, Lampert y Petersen, 1990). El primero es el conocimiento matemático informal que es adquirido por el niño fuera del contexto escolar. Ese conocimiento se desarrolla, básicamente, a través de la interacción del niño con su medio ambiente y de la imitación de los adultos, y es reconocido como conocimiento aplicado, circunstancial y utilizado para resolver problemas planteados en el contexto de la vida real, particularmente en aquellas situaciones familiares al niño. El segundo es el conocimiento matemático formal constituido por símbolos, conceptos, reglas y algoritmos que permiten abordar la solución de problemas y realizar tareas matemáticas en el contexto escolar (Hiebert y Lefevre, 1986; Leinhart,1988).

De acuerdo con lo anterior, se acepta que el aprendizaje de la matemática no está limitado a la adquisición de los procedimientos algorítmicos enseñados en la escuela, sino que también ocurre fuera del ambiente escolar. Asimismo, algunos investigadores han enfatizado la importancia de las conexiones existentes entre el conocimiento de las matemáticas simbólicas enseñadas en la escuela y el conocimiento matemático informal, intuitivo, obtenido a partir de la experiencia en la vida diaria (Resnick, 1987; Ginsburg, 1987). Este argumento se apoya sobre dos supuestos básicos acerca de la naturaleza de la comprensión matemática. Primero, que el conocimiento informal es una poderosa base sobre la cual se puede construir el conocimiento matemático formal. El conocimiento matemático informal, que parece estar enraizado en los principios básicos tales como la composición aditiva, puede proveer referentes significativos para los símbolos matemáticos enseñados en la escuela. Por tanto, el conocimiento informal puede darle significado a las matemáticas formales. Segundo, al establecer la relación de los conocimientos aritméticos formales adquiridos por los estudiantes con el conocimiento informal basado en la experiencia, los estudiantes tendrán mayor capacidad para aplicar su conocimiento formal matemático en la solución de problemas encontrados fuera de los ambientes escolares (Putnam, Lampert y Petersen, 1990).

Según Kaplan, Yamamoto y Ginsburg (1989), las dificultades que confrontan los estudiantes en el aprendizaje de la matemática obedecen a la falta de conexión entre estos dos tipos de conocimientos. En consecuencia, la relación entre los conocimientos matemáticos formales e informales es crucial para la comprensión matemática.

Las teorías de la enseñanza para la comprensión matemática conciben el desarrollo de ésta como un proceso de crecimiento no lineal, dinámico, en el que los sujetos llegan a comprender las ideas gradualmente a lo largo de un determinado período (Gutstein y Mack, 1999). Además, los investigadores sugieren que el desarrollo de la comprensión matemática se caracteriza por el número y la solidez de las conexiones que un individuo establece entre las ideas y entre las diferentes formas de representación (Brandsford y Vye, 1989; Hiebert y Carpenter, 1992). Es decir, para que ocurra la comprensión matemática, la nueva información debe ser conectada apropiadamente con el conocimiento previamente estructurado y el estudiante debe conocer las diferentes formas de representarlo (Davis, 1986; Ginsburg, 1987).

Igualmente, los resultados provenientes de investigaciones sobre la cognición en la vida diaria señalan que las diferencias observadas en el desempeño de niños escolarizados y no escolarizados, en pruebas formales y no formales, parecen obedecer a que los niños estructuran sus actividades mentales de diferentes maneras, ello se debe a las diferencias entre los sistemas de representación usados en la matemática informal y en la matemática escolar. La matemática informal es oral en tanto que la matemática formal es escrita (Nunes, Schliemann y Carraher, 1993). Por eso, para poder establecer las conexiones entre el conocimiento matemático formal y el informal y lograr la comprensión, se requiere reestructurar la actividad mental del niño, a través de un cambio en los sistemas de símbolos disponibles en las actividades matemáticas formales o informales a las cuales el niño ha estado expuesto, y en las que esos sistemas de símbolos son usados. A este respecto, Lave y Wenger (1991) proponen la teoría de la Legítima Participación Periférica. El interés de esta teoría está en el aprendizaje tal como éste se produce a través de la práctica, que permite adquirir ciertas habilidades que resultan adecuadas para adaptarse a un grupo social o comunidad de práctica. La participación periférica refiere un modo de acceder a las fuentes del conocimiento y la comprensión, a través de la creciente introducción en el proceso de aprendizaje dentro de una comunidad. Es de pensar, entonces, que los niños en el contexto escolar a medida que transcurre la escolaridad estructurarán su actividad mental de acuerdo con el sistema de símbolos disponible en la comunidad de conocimiento presente en la escuela, es decir, lectura y escritura de números, algoritmos, y la solución de problemas matemáticos de acuerdo con los modelos y patrones aprendidos en esa comunidad. Asimismo, el niño fuera del contexto escolar enfrenta situaciones matemáticas que resolverá en función de su experiencia dentro de una determinada comunidad de práctica, tal como el mercado, el abasto o la buhonería. En palabras de Lave y Wenger (1991):

El aprendizaje, visto como actividad situada, tiene su característica central en un proceso al que llamamos legítima participación periférica. Con ello queremos llamar la atención hacia el hecho de que los que aprenden, inevitablemente, participan en comunidades de "practicantes" y que el dominio del conocimiento y la habilidad exige a los recién llegados progresar hacia la plena participación en la práctica sociocultural de la comunidad. La legítima participación periférica aporta un modo de hablar sobre las relaciones entre los recién llegados y los veteranos, así como sobre las actividades, identidades, artefactos y comunidades de conocimientos y práctica. Se refiere al proceso por el que los recién llegados llegan a formar parte de una comunidad de práctica (p.29).

Es decir, los niños en sus primeros grados de escuela son unos recién llegados a esa comunidad y, poco a poco, a medida que transcurre su permanencia en la escuela, deben llegar a dominar aquellos conocimientos matemáticos propios de la escuela, planteados en los planes y programas escolares.

Por tanto, para lograr la conexión o la comprensión entre los conocimientos formales e informales, es necesario que los niños sean expuestos a contextos formales e informales para que reestructuren su actividad mental y logren dominar los sistemas de símbolos y los procedimientos propios de dichas comunidades. Sin embargo, en la escuela, la mayoría es expuesta solamente a las actividades matemáticas formales y, en consecuencia, el aprendizaje que toma lugar es el matemático formal, sin ninguna conexión con las actividades matemáticas que ocurren fuera de ella. Por ello, se observa que muchos niños exitosos en la solución de problemas dentro de la escuela fallan ante tareas matemáticas planteadas fuera de ese contexto (Masingila, Davidenko y Wisniowska, 1996).

Con el fin de contribuir a solventar esas dificultades, los autores recomiendan que los profesores ayuden a los niños a establecer explícitamente esas conexiones para que ellos puedan desarrollar la comprensión (Hiebert, Carpenter y Fennema, 1997). Esto se logra activando el conocimiento matemático informal adquirido por los niños fuera del contexto escolar, el cual debe constituir la base del nuevo conocimiento impartido en la escuela. Con este fin, a los niños se les solicita que con ese conocimiento resuelvan una serie de tareas matemáticas propias de la escuela para evidenciar los procedimientos y conceptos subyacentes a éstos. A partir de este conocimiento se debe ayudar al niño a construir las relaciones entre su conocimiento informal y el conocimiento formal propio de la escuela, mediante el monitoreo de sus acciones a través de un cuestionamiento constante que ayude al niño a darse cuenta de las relaciones, los significados y las reglas (Kamii, 1986).

En un estudio previo realizado en la ciudad de Santa Cruz de la Sierra en la República de Bolivia, con el propósito de evidenciar los conocimientos matemáticos formales e informales adquiridos por niños que cursan el tercero y sexto grado de educación primaria, se encontró que un alto porcentaje de niños escolarizados no logran dominar los algoritmos aritméticos escolares, y además fracasan al enfrentar situaciones de la vida cotidiana cuyas soluciones ameritan la aplicación de esos procedimientos. Es decir, los niños de esa muestra exhibieron en su desempeño matemático poca conexión entre el conocimiento aritmético formal e informal que habían adquirido (Reverand, 1999). Ante estos resultados se decidió indagar: ¿Cómo toma lugar el conocimiento matemático formal en niños vendedores no escolarizados cuyos conocimientos matemáticos han sido adquiridos en la comunidad de práctica del mercado?

Para responder a esta interrogante se diseñó un estudio de casos de cómo dos niños desarrollan la comprensión del conocimiento matemático formal a partir de la comprensión previa del conocimiento matemático informal.

2. OBJETIVOS

2.A. General

Establecer relaciones entre el conocimiento matemático informal que han adquirido niños vendedores en su práctica del mercado y el conocimiento matemático formal propio de la escuela.

2.B. Específicos

• Caracterizar, previa identificación, los conocimientos matemáticos informales que han adquirido niños vendedores en su práctica en el mercado.
  

• Caracterizar, previa identificación, los conocimiento matemáticos formales que adquirieron los niños vendedores durante su escolaridad.
  

• Relacionar los conocimientos matemáticos informales que han adquirido los niños vendedores con el conocimiento matemático formal propio de la escuela.

3. MÉTODO

3.A. Participantes

Los sujetos invitados a participar en este estudio fueron dos niños –Marcos (M) y Luis (L)- de 13 y 14 años de edad respectivamente, vendedores de frutas en el mercado "El Abasto" en la ciudad de Santa Cruz, Bolivia. Marcos estudió hasta tercer grado de primaria y para el momento del estudio había abandonado la escuela hacía dos años. Mientras que Luis sólo estudió hasta cuarto grado y había abandonado la escuela hacía cuatro años. (Para mayor información ver Anexo A).

3.B. Procedimiento

El estudio se realizó en tres fases:

1. Primera fase. Entrenamiento para la verbalización del pensamiento en voz alta.

2. Segunda fase. Diagnóstico del conocimiento matemático formal adquirido por los niños durante su escolaridad y el conocimiento informal adquirido a través de su práctica en el mercado.

3. Tercera fase. Intervención para ayudar a los niños a construir significados para los símbolos y procedimientos matemáticos formales a partir de su conocimiento matemático informal.

La tabla 1 resume las fases del estudio. A continuación se describe cada una de ellas con mayor detalle.

Fase de entrenamiento. Los niños fueron entrenados para que expresaran su pensamiento en voz alta. Esto se realizó, de acuerdo con las recomendaciones de Ericsson y Simon (1993), a través de la verbalización de la solución de problemas sencillos, verbalización del recuerdo de rutinas diarias ejecutadas por el niño, y el uso de consignas como: ‘Piensa en voz alta’, ‘Mantente pensando en voz alta’. Luego se realizaron tres sesiones de entrenamiento con una duración promedio de 45 minutos, esas sesiones fueron grabadas (ver Anexo B).

Fase de diagnóstico. Después de estar seguros de que los niños podían verbalizar sin dificultad, se procedió a identificar las características del conocimiento aritmético formal adquirido por los niños durante su escolaridad y el conocimiento aritmético informal adquirido por los niños en sus prácticas del mercado. Para ello se aplicó una prueba formal conformada por 6 ejercicios de cómputo y 6 problemas verbales y una situación de venta simulada donde el niño hacía de vendedor y el experimentador de comprador (ver Anexo C). Los problemas planteados en ambas situaciones fueron presentados en forma oral, y se les dio la opción de usar lápiz y papel para resolverlos. Cada niño fue entrevistado individualmente, y debía verbalizar en voz alta su pensamiento, mientras hallaba sus respuestas. Todas las entrevistas fueron grabadas.

Tabla 1.

Descripción de las fases del estudio

Fase de intervención. Ésta consistió en una serie de actividades de aprendizaje propias de la escuela y centradas en la resolución de problemas aritméticos (ver Anexo D). Las actividades se desarrollaron durante un período de mes y medio, y fueron las que se especifican a continuación.

1. Tareas relevantes al Sistema de Numeración Decimal.

2. Resolución de problemas aritméticos: b.1. Resolución de problemas de adición; b.2. Resolución de problemas de substracción; b.3. Resolución de problemas de multiplicación y, b.4. Resolución de problemas de división.

Las actividades de aprendizaje realizadas durante la intervención se describen a continuación:

• Tareas relevantes al Sistema de Numeración Decimal. A los niños se les presentó una serie de contenidos matemáticos, tales como: a. Escritura de números hasta de cuatro cifras; b. Equivalencia entre las unidades, decenas y centenas. A partir de las explicaciones de estos tópicos, los niños realizaron actividades tales como: representación de números, lectura y escritura de números, y respuestas a preguntas acerca de las representaciones numéricas realizadas. Estas actividades se llevaron a cabo durante cinco sesiones con una duración aproximada de 60 minutos cada una.
  

• Resolución de problemas aritméticos. Los niños fueron invitados a resolver una serie de problemas de cada operación aritmética: adición, substracción, multiplicación y división (ver Anexo E). Los problemas fueron presentados en situación de ejercicios de cómputo y de problemas verbales. Se les leyó cada problema y el orden de presentación fue al azar. Se les solicitó que verbalizaran, en voz alta, lo que pensaban a medida que resolvían los problemas, y que escribieran cada uno de los cómputos que realizaban mentalmente, para ello se les proporcionó papel y lápiz. Cuando el sujeto no atendía esta solicitud, se sugería con la pregunta: ‘¿Por qué no lo escribes?’ o bien ‘Trata de escribirlo’. Durante las entrevistas se formulaban interrogantes, para que el niño explicitara su razonamiento (Rowan y Robles, 1998; Kamii, 1986). Todas las entrevistas fueron realizadas en forma individual y grabadas en casete. La tabla 2 describe los objetivos, contenidos y actividades de aprendizaje, el tiempo y sesiones de la intervención.

Tabla 2.

Descripcion de la intervencion

4. RESULTADOS

4.A. Resultados de la prueba formal

El conocimiento aritmético exhibido por los niños en la prueba formal presentó las siguientes características.

• Los niños no usan la aritmética escrita. Si se les solicita tal uso, lo hacen con errores, no escriben los símbolos aritméticos correspondientes, ni el signo de igualdad. Escriben los términos de la operación separados por guiones . Por ejemplo: 23 + 42 = 65, escriben: 23 - 42 - 65.
• Presentan dificultades para escribir números de cuatro dígitos.
• No reconocen los signos de las operaciones aritméticas, ni el signo de igualdad.
• Desconocen los nombres que reciben los términos de las operaciones aritméticas.
• No reconocen las propiedades de las operaciones aritméticas.
• Resuelven los problemas aritméticos usando el cálculo mental y cuentan con los dedos.
• En el cálculo mental no usan los algoritmos aritméticos.
• Presentan dificultades para escribir números que tienen el cero como cifra intermedia. Por ejemplo: 205; 1038; 1507, etc. La figura 1 ilustra la dificultad que presentó uno de los niños para escribir números y signos.

Figura 1. 

Escritura de números y  de signos de la operación adición.

Los resultados de la prueba formal demuestran que el conocimiento aritmético exhibido por los niños participantes de este estudio es poco formalizado.

4.B. Resultados de la situación de venta simulada

Los niños en su desempeño en la situación de ‘venta simulada’ exhibieron el conocimiento aritmético informal que han adquirido a través de sus prácticas laborales fuera del aula.

Los niños de la muestra utilizan los procedimientos aritméticos informales reseñados por la literatura: hacen cálculos mentales; suman de izquierda a derecha; el orden que siguen al sumar es centenas, decenas, unidades; usan la descomposición de números; asocian y conmutan números; usan números redondos; cuentan con los dedos u otros artefactos.

4.C. Resultados de la intervención

A continuación, se presentan los datos obtenidos de cada sujeto por operación, durante la intervención. En primer lugar, se describen las sesiones iniciales; en segundo término, se muestran ejemplos de los protocolos que recogen cómo ellos inicialmente resolvían los problemas; y, en tercer término, se muestran protocolos de cómo ellos van desarrollando los algoritmos de solución; por último, se muestra cómo resolvían los problemas al final de la intervención.

a. Tareas relevantes al Sistema de Numeración Decimal

A los niños les fueron presentados una serie de contenidos matemáticos, tales como: 1. Escritura de números hasta de cuatro cifras. 2. Equivalencia entre unidades, decenas y centenas. A partir de las explicaciones de estos tópicos, los niños realizaron actividades como: representación de números, lectura y escritura de números y respondieron preguntas acerca de las representaciones numéricas realizadas.

Las actividades anteriores se realizaron durante cuatro sesiones con una duración de 60 minutos cada una. La figura 2 es una copia del material escrito producido por los niños durante una de esas sesiones.

Figura 2. 

Material escrito producido por los niños usando el sistema de numeración decimal. 

b. Resolución de problemas de adición en situación de ejercicio de cómputo y problemas verbales

Al iniciar las sesiones de intervención, se indicó a los niños que resolvieran los problemas en la misma forma como ellos lo hacían en el mercado, pero que escribieran cada uno de los cálculos que realizaban mentalmente. Durante las dos primeras sesiones los niños produjeron muy poco material escrito, confrontaron dificultades con la escritura del signo de sumar y el de igualdad, y los números los escribían en forma desorganizada. Ante ello, se les indicó cómo escribir el signo de sumar, y cuándo usar el signo de igualdad.

Después de recibir estas indicaciones los niños comenzaron a usar los signos, pero en forma poco sistemática. Uno de los niños comenzó a escribir todos los cómputos parciales a partir de la cuarta sesión, y el otro a partir de la quinta. La figura 3 muestra una copia del material escrito por Marcos en una de las primeras sesiones. En la figura 3a se observa que separa las cifras con un semicírculo; no escribe el signo de igualdad y escribe los números en forma desorganizada. La figura 3b muestra el avance de Marcos en la escritura de las operaciones: usa un arreglo horizontal, escribe los signos de sumar y de igualdad, pero aún no escribe todas las operaciones parciales que realiza en su mente.

                       

            Fig.3^a                                                              Fig.3^b

                           Figura 3. 

Copia del material escrito producido por Marcos en las primeras sesiones de resolución de problemas aritméticos.

La figura 4 muestra una copia del material escrito producido por Luis en las primeras sesiones. En la figura 4a se observa que el niño trata de usar un arreglo vertical, que recuerda las prácticas escolares. Sin embargo el signo de sumar lo coloca entre los dos sumandos y no ordena las cifras. Asimismo, encierra en una figura los números que está sumando mentalmente. El niño escribió el resultado debajo de su arreglo vertical, después de haber calculado mentalmente la suma total. Comparando las figuras 4a y 4 b se puede notar el avance de Luis en la escritura de las operaciones.

                   

                                                            Fig. 4a                                                             Fig. 4b

Figura 4. 

Copia del material escrito producido por Luis en las primeras sesiones de resolución de problemas aritméticos.  

Igualmente, en las primeras sesiones hubo poca producción de material escrito. Sin embargo, se trató de animar a los niños para que escribieran las operaciones. A partir de la tercera sesión, se logró que los niños comenzaran a registrar por escrito sus operaciones. Inicialmente escribían la operación a realizar y después de hallar la respuesta aplicando su procedimiento informal, entonces el niño escribía el resultado. En estas sesiones los niños aún no escriben todas las operaciones parciales.

La transcripción del protocolo verbal que se presenta a continuación, ilustra el proceso de solución seguido por un niño durante la solución del problema 10, en la tercera sesión.

Tabla 3.

Actuación del niño M en la tercera sesión, frente al problema de cómputo 10

Según el protocolo anterior, M muestra un énfasis en la aritmética oral en sus prácticas aritméticas, porque resuelve el problema usando su conocimiento informal, es decir suma de izquierda a derecha, usa el cálculo mental, y aplica estrategias como: descomposición, números redondos, asociación y cuenta con los dedos.

Sin embargo, aunque M no escribe ninguna de las operaciones parciales, se considera que ha habido un pequeño avance en el uso de la aritmética escrita o formal, porque hace uso de ésta en dos oportunidades: al inicio, escribe la operación, y al final escribe el signo de igualdad y el resultado, después de haber calculado mentalmente la suma total.

Igualmente, se observa que en un primer momento M presenta dificultades al tratar de sumar el dígito 7 del 73 a 320. Esto pone de manifiesto una comprensión inadecuada del valor de posición o valor relativo de un número, y de las reglas de cómo sumar los dígitos de un número con los de otro. M se da cuenta de su error cuando el entrevistador le pregunta acerca del valor de la cifra en cuestión.

A continuación, la siguiente transcripción ilustra cómo M ha avanzado en la escritura de las operaciones.

Tabla 4.

Actuación del niño M en la séptima sesión, frente al problema de cómputo 21

En el protocolo anterior se observa que hay un mayor uso de la aritmética escrita. El niño fue más sistemático en el uso de los signos de igualdad y de suma, y escribió las sumas parciales usando el arreglo horizontal. Cada una de las sumas parciales las registró por escrito a medida que iba aplicando el siguiente procedimiento: separó con un semicírculo las cifras de las unidades, aplicó la descomposición, usó números redondos, asoció, y sumó en el orden de las centenas, decenas y unidades. La figura de semicírculo parece ayudar al niño en el proceso de solución, específicamente en la descomposición de los números.

El siguiente protocolo ilustra cómo Luis al querer aplicar el algoritmo de la suma comete error, y no logra hallar la respuesta correcta. Luis resolvió el problema cuando estableció una relación entre el problema y sus prácticas aritméticas del mercado, y halló la respuesta aplicando su procedimiento informal.

Tabla 5.

Actuación del niño L en la quinta sesión, frente al problema de cómputo 8

En la transcripción anterior, L manifiesta una falta de comprensión de las reglas para aplicar los algoritmos escritos. Esta observación se apoya en que L hace un arreglo vertical, escribe los sumandos sin respetar el orden de colocación de las cifras, y al sumar no sigue el orden de derecha a izquierda. L resuelve el problema cuando el examinador plantea el problema usando una situación de la vida diaria del niño. Así, los números a ser sumados fueron explícitamente relacionados con el contexto del mercado. Cada sumando pasó a representar cantidades de naranjas, y el niño pudo darle significado al problema, y lo resolvió con su procedimiento informal.

Tabla 6.

Actuación del niño L en la séptima sesión, frente al problema de cómputo 16

El protocolo anterior muestra un avance en el uso de la aritmética escrita, porque el niño escribió las operaciones parciales para llegar al resultado. Sin embargo, confrontó dificultades para usar el signo de igualdad. Esto indica que el niño tiene poca familiaridad con los signos usados en la aritmética escrita. Además, escribe la operación inicial usando un arreglo vertical, pero no aplica las reglas de los algoritmos escritos. Por último, resuelve aplicando su procedimiento informal: suma de izquierda a derecha, comenzando por las centenas, usa números redondos, aplica la descomposición, y usa combinaciones numéricas.

Después que, en cada uno de los problemas, M y L lograron escribir las operaciones parciales necesarias para llegar a los resultados, entonces se les enseñó el algoritmo de la suma. Una vez que el algoritmo fue explicado, se solicitó a los niños resolver problemas aplicando los dos procedimientos: su procedimiento informal y el algoritmo. En ningún momento se insistió en que el niño usara únicamente el algoritmo. Se trataba siempre de que el niño se diera cuenta de que con ambos procedimientos obtenía la misma respuesta.

A continuación, se transcribe un protocolo realizado después de que los niños recibieron instrucciones acerca del algoritmo de la suma. El protocolo sugiere que han ocurrido cambios en el conocimiento aritmético que adquirió el niño en sus prácticas en el mercado. Se observa que al conocimiento aritmético informal se han incorporado algunos elementos de los algoritmos escritos. Sin embargo, el niño aún no está familiarizado con las prácticas para aplicar los algoritmos escritos. Por ello, el niño en su desempeño manifiesta una falta de comprensión de las reglas de los algoritmos escolares.

Tabla 7.

Actuación del niño M en la novena sesión, frente al Problema de Cómputo 1

En el protocolo anterior se solicitó a M resolver el problema aplicando el algoritmo de la suma. En el primer intento, se observa que M trata de aplicar el algoritmo: ordena verticalmente y suma en columnas. Pero M suma los valores relativos de las cifras, sigue el orden de izquierda a derecha y los resultados finales los escribe bajo la columna respectiva siguiendo el orden decenas – unidades, y sin reagrupar. Éstos son aspectos de su procedimiento informal. Además, M indica que el resultado es 43, pero escribe en su arreglo vertical 1030. A partir del desempeño de M, se evidencia un conflicto: M trata de resolver el problema con el nuevo procedimiento formal que está aprendiendo, pero prevalecen aspectos de su conocimiento informal. Él percibe un desequilibrio al tratar de resolver el problema asimilando la situación a los esquemas existentes y, al no lograrlo, trata de reconstruir el esquema para acomodarlo a la situación. Esto muestra que en M se ha iniciado el proceso de comprensión y está familiarizándose con las reglas para desempeñar algoritmos escritos.

M resuelve el problema después de que el entrevistador relaciona los números con cantidades propias del contexto del mercado. Esto permitió que la situación se hiciera significativa para él. Finalmente, a petición del entrevistador, resuelve el problema aplicando los dos procedimientos: el procedimiento informal y el algoritmo. En el segundo intento, aplicó correctamente las reglas del algoritmo.

La transcripción del protocolo verbal que se presenta a continuación muestra el avance de Marcos en el uso de la aritmética escrita: registra por escrito todas las operaciones que realiza mentalmente, escribe los símbolos aritméticos, usa el arreglo vertical y aplica, correctamente, las reglas de los algoritmos escritos.

Tabla 8.

Actuación del niño M en la décima sesión, frente al Problema de Cómputo 18

El protocolo anterior ilustra el progreso de M en la aplicación de las reglas del algoritmo de la suma: ordena verticalmente, suma los valores relativos de las cifras, reagrupa y coloca en la suma total sólo el valor absoluto de los números. Esto revela una comprensión del sistema de numeración decimal, de las reglas de cómo llevar a cabo el cálculo, y de cómo colocar los sumandos en los algoritmos. Por tanto, a través de la intervención, M ha incorporado a su conocimiento informal un nuevo conocimiento. Este conocimiento es formal y está representado por el algoritmo de la suma y sus reglas. Además, parece que los dos conocimientos (formal e informal) coexisten y se complementan.

La transcripción del protocolo verbal que se presenta a continuación, ilustra el procedimiento seguido por Luis durante la solución del problema 7.

Tabla 9.

Actuación del niño L en la décima sesión, frente al Problema de Cómputo 7

El protocolo anterior muestra el avance de L en la aritmética escrita. Ahora escribe todas las operaciones que realiza mentalmente y resuelve los problemas aplicando su procedimiento informal y el algoritmo escrito. Inicialmente, L calculaba sólo mentalmente, ahora, a través de la intervención, escribe los problemas usando el arreglo vertical, y usa los signos de la suma y de igualdad en forma correcta. Además, escribe en forma ordenada los sumandos y aplica las reglas del algoritmo.

c. Resolución de problemas de substracción en situación de ejercicio de cómputo y problema verbal

La intervención en substracción se realizó en seis (6) sesiones de 50 minutos cada una. Se resolvieron un total de 40 problemas de substracción, en los cuales el minuendo y el sustraendo estuvieron conformados por números de máximo tres cifras. Todas las sesiones fueron grabadas. Cada niño fue entrevistado individualmente.

En la primera sesión, se indicó a M y L que resolvieran los problemas de la misma forma como ellos los hacían en el mercado, que trataran de escribir todas las operaciones que realizaban mentalmente, y que expresaran en voz alta sus pensamientos mientras resolvían los problemas. En esa sesión cada niño resolvió un total de siete problemas.

Inicialmente, los niños resolvieron los problemas aplicando su conocimiento informal: descomposición, redondeo de números y conteo. Cuando se les solicitó que escribieran la operación, escribían sólo los dos números a ser restados seguidos por la respuesta. Ante esto, se les recordó el uso y la escritura del signo de restar y el de igualdad. Luego L y M comenzaron a escribir la operación usando los signos y el arreglo vertical u horizontal.

La transcripción del protocolo verbal que se presenta a continuación, ilustra el procedimiento que siguió L durante la solución del problema 3, en la primera sesión en substracción.

Tabla 10.

Actuación del niño L en la primera sesión, frente al Problema de Cómputo 3

En el protocolo anterior, L usó su conocimiento informal: resta de izquierda a derecha. Primero resta las decenas y luego las unidades, para ello descompone el minuendo y el sustraendo en términos de decenas y unidades. Luego escribe la operación e identifica al signo de restar con la expresión "sacar". L escribe la operación después de que el entrevistador se lo solicita.

Aunque el procedimiento informal aplicado fue exitoso en la resolución de algunos problemas, L confrontó dificultades en aquellas substracciones donde la cifra de las unidades del sustraendo era mayor que su correspondiente en el minuendo. En esas situaciones, L restaba la cifra mayor de la menor, lo cual indica una falta de comprensión de las reglas de la substracción, porque no toma en cuenta los términos de la resta. Esto manifiesta una falta de comprensión acerca de cómo los dígitos de un número pueden ser restados de los de otro número. El siguiente protocolo ilustra lo reseñado anteriormente.

Tabla 11.

Actuación del niño L en la primera sesión, frente al Problema de Cómputo 6

En el protocolo anterior, se observa que L usa el procedimiento informal, pero cuando va a restar las unidades, resta el número menor del mayor sin tomar en cuenta los términos de la substracción. Esto demuestra un desconocimiento de las reglas de la substracción Su procedimiento no incluye el método de préstamo o método de compensación.

Con el fin de ayudar a L a comprender las reglas de la substracción, se resolvieron varios problemas haciendo énfasis en aquellos donde la cifra de las unidades del minuendo era menor que su correspondiente del sustraendo. Para ello se usaron billetes de monopolio y monedas. Además se utilizó la tablilla de representación de números en el Sistema de Numeración Decimal y con estos recursos se le enseñó el algoritmo de la substracción.

Tabla 12.

Actuación del niño L en la primera sesión, frente al Problema de Cómputo 3

Según el protocolo anterior se puede afirmar que L comprendió la regla de cómo los dígitos de un número pueden ser restados de los de otro. Su conocimiento informal lo conectó con el conocimiento formal, pues ahora usa la representación escrita de las operaciones que antes sólo realizaba mentalmente y aplica el algoritmo de la substracción.

Con el fin de evidenciar la comprensión de la regla, se solicitó a L resolver otros problemas. A continuación se transcribe un protocolo que ilustra cómo L aplica el algoritmo de la substracción evidenciando la comprensión de la regla.

Tabla 13.

Actuación del niño L en la cuarta sesión, frente al Problema de Cómputo 9

El protocolo anterior muestra cómo L aplica, con éxito, el algoritmo de la substracción. Anteriormente fallaba porque desconocía las reglas para substraer un número de otro. Igualmente, se observa que L usa el arreglo horizontal y el vertical, y en ambos resuelve aplicando aspectos de su conocimiento matemático formal e informal, porque resta aplicando el algoritmo y considera los valores relativos de las cifras que forman los números.

El protocolo siguiente muestra el uso del procedimiento informal reconocido en la literatura como ‘conteo hacia delante’ (Barody y Ginsburg, 1986). Esta estrategia informal es reseñada como de gran uso por los niños del preescolar y primeros grados de escolaridad.

Tabla 14.

Actuación del niño M en la primera sesión, frente al Problema de Cómputo 3

Según el protocolo anterior, M resuelve el problema utilizando la estrategia informal del conteo hacía delante. Cuenta de diez en diez comenzando por el sustraendo hasta llegar al minuendo, y controla el proceso con la ayuda de sus dedos.

En la entrevista que se transcribe a continuación, se observa que el niño sigue un procedimiento que tiene implícitos una serie de principios matemáticos que sirven de base conceptual a ese procedimiento.

Tabla 15.

Actuación del niño M en la segunda sesión, frente al Problema de Cómputo 4

M realiza la substracción de izquierda a derecha y descompone los términos de una forma que permite inferir que la estrategia utilizada para resolver el problema se apoya en los siguientes principios o teoremas de acción (Vergnaud, 1991):

a. Un número está compuesto de partes que pueden ser separadas sin alterar su valor. Por ejemplo: 64 = 60 + 4 ó 64 = (45 + 15) + 4 ó 19 = 15 + 4.

b. La adición y la substracción pueden ser realizadas sobre esas partes sin alterar el resultado final. Por ejemplo: 45 + (15 + 4) – 19 = 45 + (19 – 19) = 45.

Las acciones mentales seguidas por el niño para resolver el problema anterior parecen ser realizadas con el fin de hallar, a partir del minuendo, el opuesto o simétrico del sustraendo.

Esas acciones parecen ser las siguientes:

64 - 19 = (60 + 4) – 19 = (45 +15) + 4 ) – 19 = 45 + (15 + 4) – 19 = 45 + (19 – 19) = 45.

El conocimiento anterior corresponde a la propiedad asociativa de la adición y la substracción. Estas propiedades son aplicadas a fin de obtener a partir del minuendo, el opuesto o simétrico del sustraendo. Esta propiedad es la base de los algoritmos escritos enseñados en la escuela. Además, en el procedimiento anterior están implícitos los conceptos de elemento neutro para la adición y simétrico de un número. En consecuencia, a pesar de su escasa escolaridad, el niño manifiesta en su procedimiento que comprende los principios implícitos en los algoritmos de la suma y resta en columnas. A pesar de esta competencia el niño manifestó, el primer día, no saber restar.

Tabla 16.

Actuación del niño M en la tercera sesión, frente al Problema de Cómputo 5

El protocolo anterior muestra que M tiene un conocimiento implícito de las reglas de la substracción, y resuelve el problema aplicando su procedimiento informal y el algoritmo, lo cual indica que el niño comprende la substracción. En la sesión siguiente, M pidió resolver los problemas aplicando el algoritmo, porque consideraba que los resolvía más rápido. La transcripción siguiente ilustra el uso del algoritmo de la substracción.

TABLA 17.

Actuación del niño M en la tercera sesión, frente al problema de Cómputo 7

E: ¿Cuánto es 47 – 19? (M, repite en voz alta: cuarenta y siete. Escribe 47. Menos, escribe el signo menos. Diecinueve, M escribe 19. Igual, M traza una línea que separa al sustraendo de la diferencia o resultado). M: Del cuarenta me presto diez, tengo diecisiete. Diecisiete menos nueve son diez, once, doce, trece, catorce, quince, dieciseis y diecisiete. Son ocho. (M; cuenta con los dedos). (M; escribe 8 bajo la columna de las unidades en el arreglo vertical). M: Del cuarenta me quedan treinta, treinta menos diez son veinte. (M, escribe la cifra 2 debajo de la columna de las decenas). E: ¿Cuánto es? M: Es veintiocho.

d. Resolución de problemas de multiplicación en situación de problema verbal y ejercicio de cómputo

La intervención en multiplicación se realizó en cinco (5) sesiones de 45 minutos cada una. Se resolvieron un total de 60 problemas de multiplicar en situaciones de ejercicios de cómputo y problema verbal. En las combinaciones numéricas utilizadas, el multiplicando estuvo conformado por números de una y dos cifras, y el multiplicador por números de una sola cifra. Todas las sesiones fueron grabadas.

En la primera sesión se solicitó a M y L que resolvieran los problemas en la misma forma como lo hacían en el mercado, pero que escribieran cada uno de los cálculos que realizaban mentalmente, y que pensaran en voz alta.

A continuación, se refieren datos del desempeño de M durante esta intervención: en la primera sesión, M resolvió los problemas aplicando su conocimiento informal representado por el uso constante de agrupamientos repetidos. El niño hallaba el producto de los dos números por medio de sumas sucesivas, cuando no recordaba o no había memorizado el producto de la combinación implícita en el problema. En ocasiones agrupó los valores sumados formando bloques que luego volvía a sumar. Usó sus dedos o movimientos de cabeza para mantener el control sobre los productos intermedios y monitorear el avance hacia la respuesta. El cálculo finalizaba cuando el número de veces había sido sumado.

Cuando se le solicitó que escribiera la operación, M reconoció que el problema era de multiplicación, pero confrontó dificultades para identificar los términos de la operación. Esta dificultad parece obedecer a que en las prácticas del mercado se usa el procedimiento oral de las sumas repetidas, el cual enfatiza el uso de un solo término, que es sumado repetidas veces. El niño parece desconocer cómo escribir la operación en función de dos términos. En consecuencia, durante la entrevista se le instruyó acerca de cómo escribir la operación usando los dos factores, y luego aplicar el algoritmo de la multiplicación.

Tabla 18.

Actuación del niño M en la primera sesión, frente al Problema verbal 6

En el protocolo anterior, se le formulan preguntas a M para que él se dé cuenta de que la suma repetida puede ser sustituida por la multiplicación de dos números, es decir, el número que se suma repetidas veces, por el número de veces que se repite el número. Igualmente, se trató que el niño a partir de las sumas repetidas construyera el algoritmo de la multiplicación.

Después de haber instruido al niño en el algoritmo de la multiplicación, se le solicitó que resolviera otros problemas, pero aplicando el algoritmo. Cuando no recordaba o no había memorizado el producto de dos números se le indicaba que hiciera el cálculo con su procedimiento informal. Se observó que el niño memorizó pocas combinaciones numéricas, no aplicó la propiedad conmutativa de la multiplicación y para calcular el producto de dos números repitió la tabla de multiplicar desde el uno hasta llegar al número correspondiente. A continuación se transcribe un protocolo que refiere lo antes señalado.

Tabla 19.

Actuación del niño M en la cuarta sesión, frente al Problema de Cómputo 7

En el protocolo anterior, se observa que M aplica el algoritmo de la multiplicación y multiplica comenzando por la unidad, además no aplica la propiedad conmutativa.

A continuación, se presenta el caso de Luis y los datos acerca de su desempeño durante la intervención en multiplicación.

L usó constantemente los agrupamientos repetidos, y controló el proceso de cálculo usando sus dedos. Ahora, su conocimiento informal coexiste con el conocimiento formal aprendido. Los dos conocimientos se han relacionado porque aprendió a representar en forma escrita la operación de multiplicación, aplica el algoritmo de la multiplicación y usa el procedimiento informal del agrupamiento repetido, porque aún no ha memorizado las ‘tablas de multiplicar’ el cual es un conocimiento formal que se debe aprender en la escuela. A continuación se transcribe una entrevista realizada en la primera sesión de esa intervención.

Tabla 20.

Actuación del niño L en la primera sesión, frente al Problema Verbal 3

A partir de la entrevista anterior, L resolvió otros problemas usando el algoritmo de la multiplicación, pero haciendo el cálculo de los productos mediante el uso de los agrupamientos repetidos.

Tabla 21.

Actuación del niño L en la tercera sesión, frente al Problema Verbal 6

El uso de la estrategia de los agrupamientos repetidos para realizar la multiplicación muestra que L comprende la situación lógico matemática planteada. El niño usa el algoritmo, y también usa las sumas repetidas para calcular los productos de los factores. Esto muestra que el niño ha conectado sus dos tipos de conocimiento, y se sirve de ambos para resolver el problema.

e. Resolución de problemas de división presentados en situación de ejercicios de cómputo y de problema verbal

La intervención en división se realizó en cinco (5) sesiones, con una duración aproximada de 60 minutos cada una. Se resolvieron un total de 50 problemas. Las divisiones propuestas fueron divisiones exactas. El dividendo estuvo conformado por números de máximo tres cifras y el divisor fueron números de una sola cifra. Todas las sesiones fueron grabadas.

En la primera sesión, se indicó a M y L que resolvieran los problemas como ellos los hacían en el mercado, que escribieran todas las operaciones que realizaban en su mente y que pensaran en voz alta mientras resolvían los problemas.

En general, M y L durante la intervención hicieron uso de sus procedimientos informales: los agrupamientos repetidos, el conteo con los dedos, algunas combinaciones numéricas memorizadas (datos numéricos) y aproximaciones. El algoritmo de la división se explicó después de resolver los primeros 5 ejercicios.

La trasncripción del protocolo verbal que se presenta a continuación ilustra el procedimiento seguido por M cuando resuelve el problema 2 durante la segunda sesión.

Tabla 22.

Actuación del niño M en la segunda sesión, frente al Problema Verbal 2

El protocolo anterior ilustra el procedimiento informal seguido por M para resolver el problema: M inicia el proceso de solución haciendo aproximaciones y descarta una posible respuesta porque al multiplicarla por el número entre el que hay que repartir obtiene una cantidad menor que el dividendo o cantidad a repartir. Además, aplica los agrupamientos repetidos. M usa su procedimiento informal representado por estimaciones y agrupamientos repetidos. En ese procedimiento está implícito el conocimiento del principio matemático que establece a la división como la operación inversa a la multiplicación. Es decir, si a , b , y c son números naturales y se tiene que:

a. b = c entonces a = c / b y b = c / a

Tabla 23.

Actuación del niño L la segunda sesión, frente al Problema Verbal 5

En el protocolo anterior, M resuelve el problema aplicando los dos procedimientos: el informal representado por las sumas repetidas y el formal representado por la escritura de la operación y el uso del algoritmo.

A partir de esta sesión, M resolvió los problemas tratando de aplicar el procedimiento formal. Escribía la operación usando la galera y usó combinaciones numéricas memorizadas. En ocasiones, para hallar el cociente repetía la tabla de multiplicar del divisor hasta hallar el dividendo, y contó con los dedos cuando los productos eran combinaciones numéricas que no tenía en su memoria. Usó las sumas repetidas cuando en la secuencia de la tabla de multiplicar no recordaba uno de los productos. A continuación se transcribe una entrevista que ilustra el comentario anterior.

Tabla 24.

Actuación del niño M en la tercera sesión, frente al Problema Verbal 3

A continuación se transcribe una entrevista en la cual el niño resuelve un problema usando primero la aproximación y luego restas sucesivas.

Tabla 25.

Actuación del niño L en la tercera sesión, frente al Problema Verbal 7

En el protocolo anterior, M usa la aproximación y toma a 10 como el agrupamiento más conveniente para ser distribuido a cada niño. Correspondiéndole a cada uno de los cuatro niños del ejemplo un total de diez caramelos, lo que da un total de cuarenta; luego los diez y seis caramelos restantes fueron distribuidos entre los cuatro niños, dándole a cada uno cuatro caramelos más, lo que completó un total de 14 para cada uno.

En los párrafos anteriores se han descrito cualitativamente los cambios ocurridos en el conocimiento matemático de los niños vendedores, a través de su participación en actividades matemáticas propias de la escuela simuladas en este estudio. A continuación, se describen cuantitativamente esos cambios. Para ello, se analizaron las transcripciones de los protocolos verbales, las notas del observador no participante, y el material escrito producido por los niños en las sesiones de los días: 0 (antes de la intervención), 8 y 14.

f. Cambios ocurridos en el conocimiento aritmético de los niños: Modelos aritméticos de transición trabajo - escuela

El análisis se realizó tomando en consideración las categorías de los modelos aritméticos de transición: trabajo – escuela, propuestos por Beach (1993). Las categorías consideradas son:

• Tipos de artefactos simbólicos usados por los participantes como recurso para el cálculo: a. Usan solamente numerales escritos; b. No usan numerales escritos, sino cálculo mental o bien artefactos externos tales como piedras, dedos, marcas, etc., c. Usan una combinación de ambos.
• Tipos de estrategias usadas por los participantes en sus cálculos: a. Usan solamente algoritmos en columnas; b. Usan solamente descomposición, iteración, estimación, conteo; c. Usan una combinación de ambos.

La tabla 26 que se presenta a continuación, resume los porcentajes de uso de los modelos de transición aritmética observados en las sesiones arriba indicadas.

TABLA 26

Porcentaje de Uso de los Modelos de Transición aritmética.

DIAS
	0	8	14
Tipo de recurso usado  para el cálculo
Solamente usan numerales escritos	0	10	20
No usan numerales escritos.
Usan  sólo cálculo mental, dedos, marcas, etc.	90	40	10
Usan una combinación de ambos	10	50	70
Operaciones o procedimientos
Usan sólo algoritmos en columna	0	10	20
Usan descomposición estimación, conteo	90	30	10
Usan una combinación de ambos.	10	60	70

Porcentajes calculados sobre el número de problemas resueltos en las sesiones indicadas.

La Tabla anterior muestra que los niños vendedores participantes de este estudio, a lo largo de la intervención, incrementaron el uso de los numerales escritos, y redujeron el uso de recursos externos para el cálculo, tales como contar con los dedos. Al final de la intervención, se observó que los niños resolvían los problemas usando un repertorio flexible de recursos para el cálculo, y habían ampliado su repertorio de estrategias de resolución de problemas aritméticos. Ahora usan una combinación de estrategias que abarca la descomposición, el conteo, y los algoritmos aritméticos escritos.

5. DISCUSION

El conocimiento aritmético informal adquirido por los niños a través de las prácticas aritméticas del mercado se transformó en un conocimiento más formalizado mientras los niños participaban en las prácticas aritméticas escolares simuladas en este estudio.

En general, el proceso de transformación ocurrido durante la intervención, en cada una de las operaciones aritméticas, puede ser resumido como se indica a continuación: A. Al iniciar la intervención, los niños no escribían los símbolos aritméticos. B. Comienzan a escribir los términos de las operaciones en forma desorganizada. C. Escriben los términos, los signos de cada operación, el signo de igualdad y el resultado. Usan un arreglo horizontal. D. Comienzan a escribir algunos de los cálculos que van realizando en su cabeza. E. Escriben todas y cada una de las operaciones que realizan mentalmente hasta llegar al resultado. Continúan usando el arreglo horizontal y su conocimiento informal. F. Comienzan a escribir los términos de las operaciones usando el arreglo vertical y aplican las reglas de los algoritmos escritos en forma deficiente. G. Usan el arreglo vertical y aplican las reglas de los algoritmos correctamente. H. Resuelven los problemas aplicando correctamente las reglas de los algoritmos.

Los progresos en la adquisición del conocimiento aritmético formal arriba citados, tuvieron como base el conocimiento aritmético informal adquirido por los niños en sus prácticas en el mercado. Ese conocimiento informal que poseían los niños, les permitió que dieran significado a problemas aritméticos propios de la escuela, al relacionarlos con situaciones aritméticas que se presentan en su trabajo. Esto los ayudó a resolver los problemas. Igualmente, como el conocimiento aritmético informal preserva el valor relativo de los números, se considera que este conocimiento fue la base para que los niños comprendieran las reglas del algoritmo, porque ellos operaron columna por columna con los valores relativos, y escribieron el valor absoluto en el resultado. Esto pone de manifiesto la conexión entre los dos tipos de conocimiento.

Asimismo, se pudiera afirmar que los niños ampliaron su forma de representación simbólica de las operaciones aritméticas, porque inicialmente usaban su sistema de representación oral propia de la actividad aritmética que ellos realizan en los mercados y tiendas y, a medida que fueron participando en las situaciones aritméticas escolares planteadas en la intervención, tales como ejercicios de cómputo y problemas verbales, los niños comenzaron a utilizar el sistema de representación escrita.

Los cambios ocurridos en el conocimiento aritmético informal que, acerca de las operaciones aritméticas, habían adquirido los niños en sus prácticas del mercado, no indican la sustitución de un tipo de conocimiento por otro, sino la ampliación del conocimiento aritmético. El conocimiento informal no desaparece como efecto de la intervención, ni tampoco el hecho de que exista el conocimiento informal impide la adquisición, por parte de los que lo poseen, del conocimiento formal correspondiente. Los niños vendedores que participaron en este estudio aumentaron el uso de la escritura de números y desarrollaron métodos de solución para resolver ejercicios de cómputo y problemas verbales que combinan procedimientos escritos y orales. Esto demuestra que, mediante las intervenciones, se establecieron las conexiones entre el conocimiento aritmético informal y el conocimiento aritmético formal adquirido por los niños, lográndose así la comprensión. La actividad mental de los niños fue reestructurada, a través de un cambio desde el sistema de símbolos disponible y usado en las actividades matemáticas informales del mercado, al sistema de símbolos disponible y usado en la escuela, y al cual los niños fueron expuestos durante la intervención.

Tres factores pueden haber contribuido al establecimiento de las conexiones entre los conocimientos aritméticos formales e informales. Primero, el conocimiento aritmético informal adquirido por los niños mediante sus experiencias de compra y venta en el mercado, porque el manejo de dinero en monedas o billetes permite la comprensión de las propiedades del sistema de numeración decimal (Carraher, Carraher y Schliemann, 1988). Segundo, sus experiencias en la escuela, porque los niños, aunque no escolarizados, tal vez en su corta permanencia en el sistema escolar aprendieron a escribir tanto dígitos de dos y tres cifras como el arreglo vertical. Tercero, las actividades de intervención, porque siempre se solicitó a los niños que explicaran sus respuestas, que escribieran las operaciones que realizaban mentalmente, y se les formulaban preguntas a fin de generar conflictos cognitivos. Además, cada uno de los algoritmos aritméticos fueron enseñados tomando como base sus conocimientos previos. Esto contribuyó a que los niños aprendieran los signos de la aritmética escrita y los algoritmos escritos como una forma de representar en forma escrita las operaciones que realizaban mentalmente.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Barody, J. A. y Ginsburg, H. P. (1986). The relationship between initial meaningful and mechanical knowledge of arithmetic. En J. Hiebert (Ed.). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics, (pp.75 – 107). Hillsdale, N.J.: Erlbaum.        [ Links ]

2. Beach, K. D. (1992). The role of leading and no-leading activities in transforming arithmetic between school and work. Ponencia presentada en la Reunión Anual de la American Educational Research Association. San Francisco, Estados Unidos.        [ Links ]

3. Brandsford. J. D. y Vye, N. J. (1989). A perspective on cognitive research and its implications for instruction. En L. B. Resnick y L. E. Klopfer. (Eds.). Toward the thinking curriculum: Current cognitive research, (pp. 174-205). Washington D.C.: ASCD.        [ Links ]

4. Carraher, T., Carraher, D. y Schliemann, A. D. (1988). En la vida diez, en la escuela cero. México: Siglo XXI.        [ Links ]

5. Davis, R. B. (1986). Conceptual and procedural in mathematics: A summary analysis. En J. Hiebert (Ed.). Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics, (pp. 265- 298). Hillsdale, N. J.: Erlbaum.        [ Links ]

6. Ericsson, K. A. y Simon, H. A. (1993). Protocol Analysis. Cambridge, MA.: The MIT Press.         [ Links ]

7. Ginsburg, H. P. (1987). Children’s arithmetic: Learning process. Nueva York: Van Nostrand.        [ Links ]

8. Gutstein, E. y Mack, N. K. (1999). Learning about teaching for understanding through the study of tutoring. Journal of Mathematical Behavior. 17 (4): 44-465.        [ Links ]

9. Hiebert, J. y Carpenter, T. P. (1992). Learning and teaching with understanding. En D. A. Grouws (Ed.). Handbook of research on mathematics teaching and learning. Nueva York: Macmillan.        [ Links ]

10. Hiebert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Olivier, A. y Human, P. (1997). Making sense: Teaching and learning mathematics with understanding. Portsmouth, NH: Heinemann.        [ Links ]

11. Hiebert, J., y Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge. An introductory analysis. En J. Hiebert (Ed.). Conceptual and procedural knowledge: The case of Mathematics, (pp.1-27). Hillsdale, NJ: Erlbaum.        [ Links ]

12. Kamii, C. (1986). El niño reinventa la aritmética. Implicaciones de la Teoría de Piaget. Madrid: Visor.        [ Links ]

13. Kaplan, R., Yamamoto, T. y Ginsburg, H. (1989). Teaching mathematics concepts. En L. B. Resnick y L. E. Klopfer (Ed.). Toward the thinking curriculum: Current Cognitive Research, (pp 59- 82).Washington D.C.: ASCD.        [ Links ]

14. Lave, J. y Wenger, E. (1991). Situated Learning. Cambridge: Cambridge University Press.        [ Links ]

15. Leinhardt, G. (1988). Getting to know: Tracing student’s mathematical knowledge from intuition to competence. Educational Psychologist. 23 (2): 119 – 144.        [ Links ]

16. Masingila, J., Davidenko, S. y Wisniowska, E. (1996). Mathematics learning and practice in and out of school: A framework for connecting these experiences. Educational Studies in Mathematics. 31: 175-200.        [ Links ]

17. Nunes, T., Schliemann, A. D. y Carraher, W. D. (1993). Street mathematics and school mathematics. Cambridge: Cambridge University Press.        [ Links ]

18. Putnam, R., Lampert, M, y Peterson, P. (1990). Alternative perspectives on knowing Mathematics in elementary schools. Review of Research in Education. 16: 57 –150. Washington, D.C.: AERA.        [ Links ]

19. Resnick, L. B. (1987). Learning in school and out. Educational Research. 16 (9): 13-20.        [ Links ]

20. Reverand, E. (1999). Niveles de comprensión aritmética en escolares de tercero y sexto grado de Educación Primaria en Santa Cruz de la Sierra. Estudio no publicado.        [ Links ]

21. Rowan, T. E. y Robles, J. (1998). Using questions to help children build mathematical Power. Teaching Children Mathematics. 4 (9): 504-509.        [ Links ]

22. Schliemann, A. D., Santos, C. M. y Canuto, S. F. (1993). Constructing written algorithms: A case study. Journal of Mathematical Behavior. 12: 155-172.        [ Links ]

23. Vergnaud, G. (1995). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.        [ Links ]

ANEXO A

Tabla 1. Información referida a las edades, experiencia escolar y experiencia de trabajo.

Características	Sujetos
	M	L
Edad (años)	13	14
Experiencia escolar	2º	4º
Experiencia en ventas (años)	7	8

                n = 2

ANEXO B

ENTRENAMIENTO EN VERBALIZACIÓN DEL PENSAMIENTO EN VOZ ALTA

Con el propósito de obtener datos acerca de los procesos mentales que ocurren durante la solución de los problemas aritméticos planteados durante la intervención, se entrenó a los niños en la verbalización de sus pensamientos mientras resuelven problemas. Para ello, se tomaron en cuenta los aportes de Ericsson y Simon (1993).

Instrucciones

Antes de hacer el experimento, yo estoy interesada en que tú me digas cómo tú haces algunas tareas que te voy a dar. Para ello te pido que HABLES EN VOZ ALTA como tú resuelves esos problemas. Si tú te quedas en silencio por algún tiempo, yo te recordaré que debes mantenerte hablando en voz alta. Para ello voy a usar estos avisos (mostrar consignas: PIENSA EN VOZ ALTA. MANTENTE HABLANDO EN VOZ ALTA).

Lo que yo quiero es que tú digas en voz alta cualquier cosa que tú te digas a ti mismo en forma silenciosa, lo que tú piensas cuando estás resolviendo la tarea. Actúa como si estuvieras solo hablando contigo mismo.

¿Tú comprendes lo que yo quiero?

Antes de hacer el experimento verdadero haremos unos problemas para practicar. Yo quiero que hables en voz alta mientras haces estos problemas.

Primero yo quiero que sumes dos números en tu cabeza.

Entonces, por favor HABLA EN VOZ ALTA mientras sumas 25 más 30.

Muy bien.

Ahora, HABLA EN VOZ ALTA mientras piensas por cuáles sitios de la ciudad tú pasas cuando vienes al mercado.

Muy bien.

Ahora, habla en voz alta tus pensamientos mientras resuelves este pequeño rompecabezas.

Muy bien.

Cada una de estas tarjetas tiene una letra. Tu tarea es hallar una palabra que contenga todas esas letras. Por ejemplo, si las letras son P, S, E, O, tú puedes ver que esas letras forman la palabra PESO. ¿Está claro? ¿Tienes alguna pregunta?

Muy bien.

ANEXO C

PRUEBA FORMAL

EJERCICIOS DE COMPUTO

80 + 240                130 + 70                      12 x 50

75 * 5             155 + 15           240 – 130

PROBLEMAS VERBALES

- En una escuela hay 6 salones de clase. En cada salón hay 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en la escuela?

- La mamá de Pedro compró una blusa en 60 bolivianos y unos zapatos en 240 bolivianos. ¿Cuántos bolivianos gastó en total?

- María tenía 143 creyones y regaló 60. ¿Cuántos creyones le quedan?

- Juan tenía 250 stickers y su papá le regaló 25. ¿Cuántos stickers tiene ahora?

- María pagó 100 bolivianos a cuatro albañiles, cada albañil cobró la misma cantidad. ¿Cuántos bolivianos le correspondió a cada albañil?

- Juan compró un libro en 35 bolivianos y pagó con un billete de 200 bolivianos. ¿Cuánto es su cambio?

PRUEBA INFORMAL

1. Las chupetas cuestan 3 por un boliviano. Yo quiero comprar 12 chupetas. Si pago con un billete de 10 bolivianos. ¿Cuánto es mi cambio?

2. Las mentitas cuestan 2 bolivianos cada una. Quiero comprar 16 mentitas. ¿Cuánto te tengo que pagar?

3. La caja de chiclets tiene 12 chiclets y cuesta 24 bolivianos. ¿Cuánto cuesta un chiclets?

4. Los cigarrillos cuestan 6 bolivianos, las galletas 1 boliviano y los chocolates cuestan 3 Bs. Quiero comprar tres cajas de cigarrillos , 2 paquetes de galletas y 2 chocolates. ¿Cuánto tengo que pagar?

5. Las chupetas pinta boca cuestan 3Bs. cada una. ¿Cuánto debo pagar por 22 chupetas pinta boca?

6. Si compro 2 cajas de cigarrillo y pago con un billete de 200 Bs ¿ Cuánto es mi cambio?

ANEXO D

CRONOGRAMA DE LA INTERVENCION EN OPERACIONES ARITMETICAS.

DÍA	FECHA	ACTIVIDADES	OBSERVACIONES
Sábado	26/06/99	Entrevista inicial con los sujetos. Registro de datos personales.
Lunes	28/06/99	Entrenamiento en verbalización del pensamiento en voz alta.
Miércoles	30/06/99	Entrenamiento en verbalización del pensamiento en voz alta.
Jueves	01/07/99	Entrenamiento en verbalización del pensamiento en voz alta.
Lunes	05/07/99	Prueba Formal
Miércoles	07/07/99	Prueba Formal	DIA 0
Jueves	08/07/99	Entrevista previa a la intervención. Compromiso.	No contar
Lunes	12/07/99	Inicio intervención en Suma. Contenido: lectura y escritura de números.	60´
Miércoles	14/07/99	Lectura y escritura de números.	60´
Jueves	15/07/99	Lectura y escritura de números. Equivalencia UDC.	45´
Lunes	19/07/99	Lectura y escritura de números. Equivalencia. Sistema decimal.	45´
Miércoles	21/07/99	Resolución de Problemas aditivos: Cómputo y verbal.	45´
Jueves	22/07/99	Resolución de problemas aditivos.	Escribir operaciones parciales.
Lunes	26/07/99	Resolución de problemas aditivos.	Escribir operaciones parciales.
Miércoles	28/07/99	Resolución de problemas aditivos.	Escribir operaciones parciales. DIA 8
Jueves	29/07/99	Resolución de problemas aplicando Algoritmo escrito.	Explicación del algoritmo. Adición de 2 sumandos con 1 y 2 cifras.
Lunes	02/08/99	Resolución de problemas aplicando Algoritmo escrito.	Adición de 2 sumandos con 3 y 4 cifras.
Miércoles	04/08/99	Resolución de problemas aplicando Algoritmo escrito.	5 y 6 de Agosto día de fiesta en Santa Cruz. ( Sin actividad). DIA 11
Jueves	09/08/99	Resolución de problemas aplicando Algoritmo escrito.	Problemas verbales
Lunes	10/08/99	Resolución de problemas aplicando Algoritmo escrito.

 

ANEXO E

DESCRIPCIÓN DE LA INTERVENCIÓN REALIZADA CON EL FIN DE INCIDIR

EN EL CONOCIMENTO ARITMÉTICO ADQUIRIDO POR NIÑOS

TRABAJADORES NO ESCOLARIZADOS

I. OBJETIVOS DE LA INTERVENCION

1. Leer y escribir números de tres cifras correctamente.

2. Reconocer el valor relativo o de posición de las cifras que forman un número.

3. Ayudar al niño a representar en forma escrita las computaciones que realiza mentalmente.

4. Tratar de que el niño construya el conocimiento aritmético formal a partir del conocimiento aritmético informal previo que tiene el niño.

II. ACTIVIDADES

Para el logro de los objetivos 1 y 2

a) Explicación de la escritura de números hasta de cuatro cifras, usando la tablilla de Unidades, Decenas y Centenas (UDC), y fichas de diferentes colores y tamaños: a) unidades: fichas blancas pequeñas; b) decenas: fichas verdes medianas; c) centenas: fichas azules grandes. Se explicó la equivalencia entre las unidades, decenas y centenas, y las reglas para colocar las fichas en cada recuadro.

b) Representación de números utilizando las tablillas y fichas.

c) Lectura y escritura de números representados en las tablillas

d) A partir de representaciones de números se formularon preguntas como las siguientes:

¿ Qué pasaría si aumentamos 3 fichas en el recuadro de las unidades?

¿ Qué pasaría si aumentamos 4 cuatro fichas en las decenas?

¿ Cómo se lee el número representado por tres centenas, cuatro decenas y dos

unidades?

¿Qué cifra ocupa el lugar de las centenas en el número 345?

¿Qué cifra ocupa el lugar de las unidades en el número 410?

Las actividades anteriores se realizaron durante cinco (5) sesiones con una duración aproximada de 60 minutos cada una.

Para el logro de los objetivos 3 y 4.

Las actividades que a continuación se reseñan fueron realizadas siguiendo los lineamientos de las siguientes lecturas:

a) Cuestionamiento continuo al niño: mientras el niño resolvía los problemas se formularon preguntas y sugerencias tales como:

¿Cómo tú haces eso?

¿Cómo obtienes ese resultado?

¿Dime qué estabas pensando?

Explícame, ¿cómo obtienes esa respuesta?

Tú quieres escribir eso...

¿Tú crees que ese resultado es cierto?

¿ Por qué?

¿ Por qué no?

El cuestionamiento fue utilizado durante todas las sesiones de la intervención.

b) Resolver problemas aditivos en condición de ejercicio de cómputo y problemas verbales.

• Se realizaron un total de 5 sesiones de aproximadamente 45 minutos cada una. Se plantearon un total de 38 problemas aditivos, distribuidos entre ejercicios de cómputo y problemas verbales. Cada problema constaba de dos sumandos. El máximo número de cifras de los sumandos fue de 4.
• Cada ejercicio fue leído a los niños. Se les solicitó que verbalizaran en voz alta lo que pensaban a medida que resolvían los problemas, y que escribieran cada una de los cómputos que realizaban mentalmente, para ello se les proporcionó papel y lápiz. Cuando el sujeto no atendía esta solicitud, se sugería con la pregunta ¿Por qué no lo escribes? ‘Trata de escribirlo’.
• Al iniciar estas sesiones se indicó al niño que resolviera los problemas en la misma forma como él lo hacía en el mercado, pero que escribiera cada uno de los cálculos que realizaba en su cabeza. Durante las dos primeras sesiones los niños produjeron muy poco material escrito, confrontaron dificultades con la escritura del signo de sumar y el de igualdad. Ante ello, se les indicó cómo escribir el signo de sumar, y cuándo usar el signo de igualdad. Después de recibir estas indicaciones los niños comenzaron a usar los signos, pero en forma poco sistemática.
• Inicialmente, a pesar de la solicitud de escribir todas los cómputos que realizaban mentalmente, los niños solo escribían los sumandos y el resultado. Uno de los niños comenzó a escribir todos los cómputos parciales a partir de la cuarta sesión, y el otro niño a partir de la quinta sesión.
• Durante estas sesiones se reforzó el conocimiento del sistema de numeración decimal y el valor de posición porque cada niño debía leer el resultado y responder preguntas acerca de las centenas, decenas o unidades del resultado.
• Se dio por culminada esta fase de la intervención cuando los niños lograron escribir todas las operaciones parciales necesarias para obtener el resultado o suma final.

Después de que los niños lograron escribir todas las operaciones parciales necesarias para llegar al resultado, entonces se les enseñó el algoritmo de la suma. Para ello se trabajó de nuevo con las tablillas UDC, las fichas, y se recordaron las reglas para escribir números.

• Se realizaron un total de cinco (5) sesiones y se resolvieron un total de 20 problemas. En la primera sesión se les enseñó el algoritmo usando los materiales arriba indicados. En las sesiones siguientes cuando los niños confrontaban dificultades se trabajaba de nuevo con las tablillas y las fichas y con un juego de Monopolio, a fin de que los niños chequearan sus respuestas y les dieran significado.
• Una vez que el algoritmo fue explicado, se solicitó a los niños resolver problemas aplicando su procedimiento informal y el algoritmo. En ningún momento se insistió en que el niño usara únicamente el algoritmo. Se trataba siempre de que el niño se diera cuenta de que con ambos procedimientos obtenía la misma respuesta.

Un procedimiento similar fue seguido para la instrucción sobre los algoritmos de la substracción, la multiplicación y la división.

ANEXO F

LISTADO DE PROBLEMAS DE ADICIÓN

A continuación, la Tabla indica las combinaciones numéricas usadas en los ejercicios de cómputo y problemas verbales aditivos resueltos durante la intervención.

A	24 + 19	22 + 16	28 +11	28 + 6	27 + 15	18 + 13	36 +46
B	112 +74	215 + 83	328 + 73	485 + 49	346 +29	185 + 57	240 + 80
C	185 + 213	325 + 142	437 + 223	238 + 197	247 + 116	225 + 112	248 + 215
	240+ 135	325 +80	342 +200	247+116	158 + 161	124 + 114
D	1240+ 1030	1235 + 1420	1451+1332	1345+1225	1182+1510	1438+2397	3136+5486
	4039+3774	1248+1023	2026+1354	2248+3123
Total 38

La Tabla muestra las combinaciones numéricas usadas durante una intervención realizada para observar los procedimientos usados por los niños no escolarizados al resolver tareas aritméticas similares a las utilizadas en el ámbito escolar, y los posibles cambios ocurridos en dichos procedimientos después de recibir instrucción sobre el algoritmo de la suma. Las combinaciones numéricas fueron seleccionadas al azar de los libros de texto de tercer grado de primaria utilizados en las escuelas de Santa Cruz, y de acuerdo con los programas de matemáticas vigentes.

Características de las combinaciones numéricas.

1. Todas las combinaciones numéricas seleccionadas constaron de dos sumandos.
2. Las combinaciones fueron agrupadas según el número de cifras de los sumandos. Grupo A, formado por adiciones cuyos sumandos tienen una o dos cifras. Grupo B, formado por adiciones con un sumando de tres cifras y el otro de dos cifras. Grupo C, combinaciones con sumandos de tres cifras. Por último, el grupo D con sumandos de cuatro cifras cada uno.

La intervención fue realizada en 15 sesiones con una duración promedio de 45 minutos cada una.