Universidad de Antioquia, Colombia. wfcastro82@gmail.com

Universidad de Granada, España. jgodino@ugr.es

Sin embargo, la enseñanza del cálculo es conocida por ser una fuente de serios problemas, tanto para los estudiantes como para los profesores (Hitt, 2003), de cara a la comprensión de sus ideas fundamentales. La derivada es uno de los conceptos fundamentales para el estudio del cálculo, aunque un tratamiento excesivamente algebraico del concepto, sin la utilización de otro tipo de representaciones para su enseñanza, puede contribuir al surgimiento de dificultades de cara a su comprensión. Artigue (1995), señala que aunque se puede enseñar a los estudiantes a efectuar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y a resolver algunos problemas estándares, se encuentran grandes dificultades para que logren alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento que conforman el núcleo de este campo de las matemáticas.

Así mismo, Artigue (1998) señala que las investigaciones didácticas evidencian que es difícil para los estudiantes entrar en el campo conceptual del Análisis, cuando éste no se reduce a su parte algebrizada, sino que pretende el desarrollo de los modos de pensamiento y de las técnicas que hoy en día están fundamentadas en él. De esta forma, algunos estudiantes son capaces de resolver ejercicios con la aplicación de las reglas de derivación, no obstante, manifiestan dificultades cuando se les pide usar la derivada, y sus diversos significados, en situaciones no procedimentales.

Algunas investigaciones referentes al significado de la derivada, se han centrado en describir las características de los significados construidos por los estudiantes, mostrando la existencia de conflictos e inconsistencias respecto de los significados formales presentados en los libros de texto (Ferrini-Mundy y Graham, 1994; Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2006). No obstante, diversas investigaciones (Inglada y Font, 2003; Badillo, Font y Azcárate, 2005) evidencian que el origen de los conflictos cognitivos de los estudiantes sobre el significado de la derivada, puede estar asociado a la presentación de la derivada en los libros de texto; por ejemplo, el conflicto causado por la introducción implícita de la función derivada en la definición de la derivada en un punto al usar la notación incremental como primera notación para definir la derivada en un punto. Estos conflictos e inconsistencias también se observan en algunos profesores como señalan diferentes investigaciones. Por ejemplo, Badillo, Azcárate y Font (2011) documentan la confusión, o la no diferenciación, entre los macroobjetos f’(a) y f’(x) por algunos profesores, y la relacionan con su complejidad semiótica.

Para el logro de los objetivos planteados en este trabajo, hemos adoptado el modelo teórico conocido como Enfoque Onto-Semiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemática desarrollado en diversos trabajos por Godino y colaboradores (Godino y Batanero, 1994; Godino, Batanero y Font, 2007). Dicho marco teórico incluye un modelo epistemológico de las matemáticas, sobre bases antropológicas y socioculturales; un modelo cognitivo, sobre bases semióticas de índole pragmatista, y un modelo instruccional coherente con los anteriores.

Concretamente utilizamos la noción de configuración epistémica (Figura 1), la cual nos permite analizar y describir sistemáticamente los objetos matemáticos primarios (situaciones/problemas, elementos lingüísticos, conceptos/definiciones, proposiciones/propiedades, procedimientos y argumentos) que intervienen en las prácticas matemáticas sobre la derivada propuestas en el currículo de matemáticas del nivel bachillerato (Font, Godino y Gallardo, 2013). Es importante aclarar que para el análisis de las prácticas matemáticas sobre la derivada (y los significados de la derivada que estas conllevan) propuestas en el currículo de bachillerato, consideramos tanto el Plan de Estudios de cálculo diferencial como los libros de texto utilizados en dicho nivel.

Finalmente, para contrastar los significados curriculares con el significado global de la derivada, así como para el estudio de la adecuación de los primeros respecto del segundo, utilizamos la noción de idoneidad epistémica. Esta se refiere al grado de representatividad de los significados institucionales pretendidos (o implementados) respecto de un significado de referencia.

La noción de configuración epistémica (CE) nos permitió reconstruir el significado holístico² mediante la identificación de los significados parciales de la derivada, a partir de los informes de investigación y documentos históricos sobre el Cálculo (Pino-Fan, Godino y Font, 2011). Para una institución de enseñanza concreta, el significado de referencia será una parte del significado holístico del objeto matemático.

Para determinar el significado holístico de la derivada, se realizó una revisión histórico-documental desde la matemática griega hasta el siglo XX, en la que se efectuó un análisis de los objetos matemáticos primarios intervinientes en los distintos problemas que fueron abordados en distintas épocas y que culminaron con el surgimiento de dicha noción. A partir de esta revisión, se identificaron nueve configuraciones epistémicas asociadas a los distintos problemas, a saber: 1) tangente en la matemática griega (CE1); 2) variación en la edad media (CE2); 3) métodos algebraicos para hallar tangentes (CE3); 4) concepciones cinemáticas para el trazado de tangentes (CE4); 5) ideas intuitivas de límite para el cálculo de máximos y mínimos (CE5); 6) métodos infinitesimales en el cálculo de tangentes (CE6); 7) cálculo de fluxiones (CE7); 8) cálculo de diferencias (CE8) y, 9) derivada como límite (CE9). Estas configuraciones pueden relacionarse como se muestra en la Figura 2.

Las configuraciones epistémicas se componen de los objetos matemáticos primarios y sus relaciones, que intervienen y emergen de los sistemas de prácticas matemáticas en distintos contextos de uso. Un objeto matemático, como la derivada, puede tener varias configuraciones epistémicas las cuales a su vez llevan asociadas un significado parcial distinto para dicho objeto matemático (Font y Godino, 2006). El significado es aquí entendido en términos sistémico-pragmáticos, esto es, como el sistemas de prácticas que se ponen en juego para resolver un determinado tipo de situaciones-problemas.

Los sistemas de prácticas en los cuales se activan las configuraciones CE₁ a la CE₆, se denominan “primarios”. Las configuraciones activadas en dichos sistemas primarios tienen un carácter extensivo en tanto que se resuelven ciertos tipos de situaciones-problema con métodos y procedimientos particulares.

Las configuraciones CE₁, CE₃ y CE₆ pueden considerarse similares, puesto que activan significados parciales semejantes para la derivada. Por esta razón se pueden agrupar para dar origen a un sistema de prácticas más “genérico”, en el que se abordan situaciones-problema sobre tangentes, denominado Tangentes.

Análogamente, las configuraciones CE₂ y CE₄ pueden agruparse en un nuevo sistema de prácticas más general, con su respectiva configuración asociada, la cual denominamos Variación, Velocidades. La configuración CE₅ la hemos denominado Máximos y Mínimos.

Posteriormente Newton, con base en la configuración subyacente al sistema de prácticas Variación-Velocidades, desarrolla un nuevo sistema de prácticas de la derivada como fluxión, en la cual se activa una configuración más general (CE₇) en la que los nuevos procedimientos, lenguajes, conceptos, definiciones, proposiciones y argumentos, se aplican para resolver situaciones-problema característicos de los sistemas de prácticas Tangentes, Máximos y Mínimos, y Variación-Velocidades.

Del mismo modo Leibniz, con base en la configuración asociada al sistema de prácticas Tangentes, desarrolla un nuevo sistema de prácticas de la derivada como cociente de diferenciales en el que se activa una configuración más general (CE₈). Esta configuración se utiliza para la resolución de situaciones-problema característicos de los sistemas de prácticas sobre Tangentes y sobre Máximos y Mínimos.

Finalmente, matemáticos tales como Euler, Cauchy, Bolzano, Taylor, Lagrange y Weierstrass, quienes sucedieron a Newton y Leibniz, tomaron como base sus desarrollos (CE₇ y CE₈) para generar un nuevo sistema de prácticas de carácter “formal” para la derivada como límite del cociente de incrementos. A este sistema de prácticas se le asocia una configuración (CE₉) que constituye la formalización de la derivada. Los objetos matemáticos primarios que componen CE₉ se aplican para la resolución de problemas propios de los sistemas de prácticas designados con los términos Tangentes, Variación-Velocidades y Máximos y Mínimos.

La consideración conjunta de los elementos y sus relaciones, ilustrados en el esquema de la Figura 2, conforma primordialmente, el significado holístico de la derivada. No obstante, el significado global de la derivada quedaría incompleto si no se consideran las distintas generalizaciones que históricamente ha experimentado dicho objeto matemático tales como derivada parcial, direccional, de Carathéodory, de Fréchet, de Gâteaux, entre otras.

A partir de la reconstrucción del significado global de la derivada, y de las investigaciones que se han realizado en el campo de la didáctica de las matemáticas sobre aspectos de la enseñanza y aprendizaje de la derivada, es posible proponer criterios que permitan analizar y caracterizar los significados de la derivada pretendidos en el currículo de bachillerato. A partir de dicha caracterización es posible emitir juicios de valoración sobre la idoneidad epistémica de los significados de la derivada en el currículo de dicho nivel.

A continuación describimos cuatro criterios que proponemos para el análisis de la idoneidad epistémica de los significados curriculares de la derivada. No obstante cabe señalar que dichos criterios son generales y pueden ser utilizados para el análisis de la idoneidad epistémica de un tópico matemático cualquiera. Para cada uno de los cuatro criterios "genéricos", proponemos subcriterios que están relacionados con el tópico matemático en estudio.

I. Representatividad de los campos de problemas propuestos.

La elección de tareas matemáticas que pongan en juego los objetos y significados matemáticos es crucial para promover aprendizajes significativos. Para Freudenthal: "[La matemática como una actividad humana] es una actividad de resolución de problemas, de buscar problemas, pero es también una actividad de organización de una disciplina…" (Freudenthal, 1971, pp.413-414).

Los significados de un objetos matemático están ligados a los sistemas de prácticas realizadas para resolver un determinado tipo de problemas, estos problemas deben ser representativos del campo correspondiente, a fin de que los significados que se propongan a los estudiantes sean representativos del significado global del objeto en cuestión.

Para el caso de la derivada, los campos de problemas (CP) que identificamos a partir del estudio histórico se pueden resumir en los siguientes:

e) CP5: Cálculo de derivadas a partir de reglas y teoremas de derivación.

a) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar  f (x);

b) El paso de una representación de  f (x) a una forma de representación de f’(x); y  

c) Traducciones y conversiones entre las distintas formas de representar f’(x).

Este criterio se refiere a la enumeración, presentación y relación entre los conocimientos previos a la presentación de la derivada, que se formulan tanto en los libros de texto como en el Plan de Estudios de cálculo diferencial. En este sentido, para el análisis de este tercer criterio, enumeramos los conocimientos centrales previos, tal como aparecen tanto en los libros texto como en los Planes de Estudio de cálculo diferencial. La valoración de la pertinencia se hace con base en el análisis epistémico-histórico del objeto en estudio, la derivada, y en el uso posterior que los autores de los textos dan a estos conocimientos previos presentados.

Una de las tareas que son propias del maestro es el diseño instruccional, en la cual se involucran diversos aspectos tales como los epistémicos (contenidos), los cognitivos o los instruccionales. El conjunto de contenidos matemáticos que se proponen en el Plan de Estudios y en los textos, corresponden a una elección por parte de la institución: el currículo pretendido. Esos contenidos matemáticos y los significados conferidos a estos en los textos representan a los significados institucionales de referencia.

Para que la instrucción sea epistémicamente idónea, este conjunto de objetos y significados institucionales de referencia deben representar al significado global de la derivada. El énfasis en determinados significados y objetos matemáticos, y el desconocimiento de otros puede resultar en un cubrimiento epistémico parcializado que puede afectar la idoneidad del proceso de instrucción.

Es importante señalar que, aunque el significado de un objeto matemático está en función del campo de problemas en el que se utiliza, en el ámbito institucional muchas veces se utiliza un objeto matemático en un sentido distinto al campo de problemas en el que se activa. Por ejemplo, algunos libros de texto introducen la derivada utilizando problemas sobre velocidades pero aplicando la derivada en su acepción de tasa instantánea de variación (límite del cociente de incrementos).

Los cinco criterios de idoneidad epistémica mencionados se operativizan en el siguiente apartado en el que, además de describir las configuraciones de objetos y procesos subyacentes a los sistemas de prácticas de los Planes de Estudio y los libros de texto, realizamos el análisis de la idoneidad epistémica de los significados curriculares sobre la derivada (Tablas IV y V).

Entre las cuestiones que surgen cuando se ha logrado la construcción del significado global de referencia de la derivada, destacamos las siguientes:

● ¿Cuáles son los significados de la derivada que actualmente se pretende en el currículo de matemáticas de bachillerato?

● ¿Cuál es el significado de la derivada propuesto en los Planes de Estudio de cálculo diferencial de nivel bachillerato?

● ¿Cómo se organizan tales significados en los libros de texto?

● ¿Los significados pretendidos tanto en los libros como en los Planes de Estudio de cálculo diferencial, son representativos del significado global de la derivada?

Para responder a estas cuestiones, tomaremos como ejemplo el currículo de matemáticas del sistema de bachillerato de México y analizaremos los significados pretendidos en dicha propuesta curricular. Así mismo, revisamos una muestra de libros de texto de cálculo diferencial de dicho nivel educativo. El análisis conjunto del Plan de Estudios de cálculo diferencial y de los libros de texto, permite indagar cómo se aborda la derivada en el currículo de bachillerato mexicano.

Hasta hace poco, el bachillerato o la Educación Media Superior (EMS) en México, estaba conformada por alrededor de 25 subsistemas con estructuras y formas de organización diversas, que operaban de manera independiente, sin correspondencia con un panorama general articulado, con poca comunicación y complementación entre ellos. Sin embargo, en la actualidad, la Secretaría de Educación Pública (SEP)³, atendiendo a esta desestructuración ha implementado una Reforma Integral de la Educación Media Superior cuya propuesta está centrada en tres principios básicos: 1) Reconocimiento universal de todas las modalidades y subsistemas del bachillerato; 2) Pertinencia y relevancia de los Planes de Estudio; y 3) Tránsito entre subsistemas y escuelas.

Sin embargo, aún persisten subsistemas como los bachilleratos asociados a Universidades Autónomas o los bachilleratos estatales, que "sobreviven" intactos a dicha Reforma. A continuación analizamos el currículo tanto para el bachillerato propuesto por la Reforma Integral de la Educación Media Superior (SEP, 2010) como el currículo para bachillerato asociado a la Universidad Autónoma de Yucatán (UADY, s.f.). El análisis se hará sobre los significados de la derivada pretendidos en dichas propuestas curriculares.

Para efectuar el análisis se utiliza la noción de configuración epistémica (Godino y Font, 2006) la cual permite identificar y describir sistemáticamente los objetos matemáticos primarios (problemas, elementos lingüísticos, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos) que se ponen en juego en la solución de las prácticas matemáticas propuestas.

Este libro contempla dos unidades didácticas para el estudio de la derivada. La primera se orienta a la presentación y definición del objeto, y la segunda se orienta a la aplicación del mismo. Se abordan cuatro tipos de situaciones/problemas: 1) problemas introductorios contextualizados que ayudan a definir conceptos y propiedades; 2) problemas (resueltos) que refuerzan y ejemplifican el uso de los conceptos y propiedades introducidos; 3) problemas contextualizados y no contextualizados para la aplicación de los objetos matemáticos introducidos; y 4) demostraciones de algunos teoremas para derivar funciones.

Se introducen conceptos/definiciones tales como los de velocidad, velocidad promedio, velocidad instantánea, la derivada en un punto como velocidad instantánea y como pendiente de la recta tangente en un punto, función derivada definida como el límite del cociente de incrementos y derivadas de orden superior. Los conceptos de función, límites y continuidad de una función, son considerados conocimientos previos.

Entre las propiedades/proposiciones que se introducen, podemos señalar los teoremas para derivación de funciones, criterios para identificar la derivabilidad de funciones, criterios para el análisis de gráficas de funciones (crecimiento o decrecimiento, extremos, concavidades,…), regla de la cadena, teorema del valor medio para la derivada, teorema de Fermat y teorema de Rolle.

Tanto los conceptos como las proposiciones se entrelazan en los procedimientos los cuales consisten básicamente en el cálculo de velocidades promedio, tiempos y distancias a partir de la relación v=d/t y su interpretación como pendiente de la rectas secantes; cálculo de la derivada de funciones en puntos específicos, cálculo de la derivada de funciones mediante las reglas para derivar, graficación de la función derivada, cálculo de la derivada de segundo orden, derivación de funciones compuestas, análisis de gráficas de funciones con base en los criterios de derivadas, cálculo de máximos y mínimos, cálculo de tangentes y normales, y demostración de teoremas para derivar funciones. Dichos procedimientos, a su vez, dan cuenta de elementos lingüísticos: lenguaje verbal (natural), simbólico y gráfico. Se nota la ausencia de lenguaje tabular.

Como argumentos podemos señalar las justificaciones dadas a la inclusión de conceptos/definiciones o proposiciones, ejemplificación y explicaciones de técnicas a seguir, y del uso de conceptos/definiciones y proposiciones. Además en la resolución de los distintos problemas se hace necesario argumentaciones deductivas y gráfico-visuales.

El libro de Quijano y Navarrete (2003) consta de tres unidades. La primera dedicada al estudio de los límites y continuidades de funciones. La segunda unidad se dedica al estudio de la función derivada y la tercera a las aplicaciones de la derivada. A lo largo de dichas unidades se abordan cuatro tipos de situaciones/problemas: 1) problemas contextualizados para introducir o definir conceptos y propiedades; 2) problemas (resueltos) no contextualizados que refuerzan y ejemplifican el uso de conceptos y propiedades introducidos; 3) problemas contextualizados y no contextualizados para la aplicación de los objetos matemáticos introducidos; y 4) demostraciones de algunos teoremas para derivar funciones. Así mismo, el libro hace uso de elementos lingüísticos tales como el lenguaje natural (verbal) con el cual se introducen los nuevos conceptos, reglas y propiedades. Se distingue el predominio del lenguaje simbólico el cual se intenta vincular con los elementos gráficos para la presentación de algunas definiciones y proposiciones.

Por su parte, los procedimientos dan cuenta del uso predominante de los lenguajes simbólico y gráfico para el cálculo de: 1) derivadas mediante su definición como límite del cociente de incrementos y las reglas para derivar; 2) tangentes, normales, máximos y mínimos, puntos de inflexión; 3) uso de la derivada en el análisis de gráficas de funciones; y 4) uso de la definición de la derivada como límite del cociente de incrementos para demostrar algunos teoremas de derivación de funciones.

Respecto a los conceptos/definiciones, se consideran como previos los de función, límites y continuidad. Como emergentes podemos mencionar los de velocidad promedio, velocidad instantánea, la derivada en un punto como razón instantánea de cambio, la función derivada definida como el límite del cociente de incrementos, derivadas de orden superior y derivación implícita.

Las proposiciones introducidas a lo largo de las tres unidades dedicadas al estudio de la derivada son los teoremas o reglas para la derivación de funciones, criterios para identificar la derivabilidad de funciones, criterios para el análisis de gráficas de funciones (crecimiento o decrecimiento, extremos, concavidades,…) y regla de la cadena. En cuanto a los argumentos destacan las justificaciones dadas a la inclusión de conceptos y proposiciones, la ejemplificación y explicaciones de las técnicas a seguir y del uso de conceptos y proposiciones. Además en la resolución de los problemas se requiere el uso de argumentaciones deductivas y gráfico-visuales.

La Tabla IV muestra el tipo de problemas contemplados en los libros de texto así como las representaciones que se activan tanto en su planteamiento como en su solución. Así, por ejemplo, la celda sombreada en gris que contiene el código 1,7, indica que en los libros 1 y 7 se contemplan problemas sobre el cálculo de tangentes en los que se requiere que el estudiante obtenga, a partir de la expresión simbólica de la función, una expresión simbólica para la derivada de dicha función.

En el análisis se pudo observar que las situaciones/problemas (Figura 6), conceptos/definiciones (Figuras 3 y 5), proposiciones (Figura 4), procedimientos y argumentos que se activan en los textos, independientemente del contexto de uso de la derivada, siempre aludían a un mismo significado: la derivada como límite del cociente de incrementos (Tabla V). Esto se puede distinguir, por ejemplo, en la primera definición que plantea el libro 7 a partir de una situación sobre velocidades (Figura 3).

El análisis realizado de los Planes de Estudio y los libros de texto de cálculo diferencial de nivel bachillerato, revela que en la actualidad el significado de la derivada pretendido en el currículo de bachillerato mexicano es: la derivada como límite del cociente de incrementos (Figura 7). El análisis nos ha permitido contrastar el significado de la derivada pretendido en el currículo de bachillerato (Figura 7) frente al significado holístico de la derivada (Figura 2). Se evidencia que pese a las recomendaciones realizadas desde el campo de investigación en didáctica del cálculo, la configuración que se activa para la resolución de problemas sobre derivadas en el proceso de enseñanza de dicho objeto es la CE9 (Figura 2). Hay que señalar que, como se vio en la sección 3, la configuración CE9 surge por la necesidad de fundamentar con rigor, o bien, de manera formal, el cálculo diferencial establecido sobre los trabajos de Newton y Leibniz. Tal formalización no representa una necesidad primordial para los estudiantes que se enfrentan por primera vez con las nociones del cálculo diferencial.

Los ejemplos, ejercicios y problemas propuestos en los textos, requieren mayoritariamente de la activación de representaciones simbólicas y gráficas. Usualmente se parte o bien de la expresión simbólica de la función y = f(x) para dar la expresión simbólica y/o gráfica de la primera y segunda derivada, o bien, a partir de la representación gráfica y tabular de la función se piden representaciones simbólicas o descripciones verbales para la primera y segunda derivada (Tabla IV). La exploración de vínculos entre las tres funciones: función, primera derivada y segunda derivada en otros contextos (numérico y gráfico), y con otros ordenes de gestión de las representaciones (a partir de la primera derivada dar información sobre la función de la cual fue obtenida o sobre la segunda derivada, etc.) no son numerosos.

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