Naturaleza y aplicabilidad de los modelos matemáticos

Miguel Martínez Miguélez

Que todo nuestro conocimiento empieza con la experiencia,

es efectivamente cosa sobre la cual no hay duda...,

pero, aunque nuestro conocimiento empieza con la experiencia,

no nace todo él de la experiencia.

Immanuel Kant 

Introducción

Las estructuras formales de la matemática son creaciones ideales de la mente humana, pero, bien aplicadas, pueden ser un modelo real del mundo. Sus fundamentos (axiomas, postulados, reglas, etc.) son convencionales. Al seguir el «modelo axiomático», la matemática pura presenta perfecta coherencia y lógica en sus partes intermedias, pero en cuanto aplicada puede no corresponder con las exigencias de la realidad misma, puede no engranar (como dice Wittgenstein, 1967b) con la realidad que quiere representar.

Evidentemente, entrar en esta temática es ir a los fundamentos de la matemática, lo cual es imposible de abordar sin tratar la naturaleza gnoseológica y ontológica de la matemática, es decir, sin entrar en la filosofía de la matemática.

Gnoseología de la matemática

La matemática no nació como ciencia pura, sino como un intento de explicar la realidad que el hombre tenía frente a sí, es decir, con miras a su aplicación a la realidad. Así fue como la fueron desarrollando los babilonios y los egipcios. Posteriormente, algunos hombres, al encontrar ciertas relaciones precisas entre algunas variables físicas, se ilusionaron tanto con su poder explicativo, que pensaron, como Galileo, que «Dios había escrito el libro de la Naturaleza en lenguaje matemático» (Il Saggiatore) o, como Descartes, que había que crear una «ma-thesis universalis» (matemática universal) para someter todos los fenómenos sujetos a orden y medida del universo (res extensa) a una descripción matemática, es decir, a una matematización del universo, a una matematización de todo el saber (Reglas, iv, 9). El mismo Kant había dicho que «la doctrina de la Naturaleza contendría tanta ciencia propiamente dicha cuanta fuera la matemática que en ella se pudiera aplicar» (1786:vii).

El problema, por consiguiente, de la utilidad o conveniencia de una mayor o menor matematización del saber (ya sea su geometrización, aritmetización, algebrización, etc.), es, en el fondo, de naturaleza gnoseológica. Es decir, se trata de conocer si el modelo matemático capta mejor y expresa más adecuadamente la naturaleza y complejidad de una determinada realidad, porque, en fin de cuentas, para eso es la matemática. Este problema ha llevado a los estudiosos del mismo a formular y defender, desde principios de siglo XX, tres posiciones básicas como fundamentación de la matemática: el logicismo, el formalismo y el intuicionismo.

La tesis logicista fue expuesta inicialmente por Gottlob Frege en 1879 (en su obra Begriffsschrift: escrito conceptual), y estructurada después por Bertrand Russell (en colaboración con Whitehead) en su voluminosa obra Principia Mathematica (1910-13), con que reconstruyen toda la matemática clásica a partir de la lógica. Dicha tesis sostiene que la matemática pura es una rama de la lógica, que la naturaleza de la verdad matemática no tiene un referente empírico, sino que trata exclusivamente de las relaciones entre los conceptos. Los logicistas, por tanto, no pretenden decir nada acerca de la relación con la realidad, con el mundo de la experiencia; sin embargo, piensan que han hecho algo más que axiomatizar las matemáticas existentes; creen haber derivado toda la matemática de la lógica pura, sin usar ningún supuesto extralógico.

La tesis formalista, sostenida principalmente por el matemático alemán David Hilbert (1965) y su escuela desde principios del siglo XX, afirma la independencia de la matemática frente a la lógica. Sostiene que la matemática pura es la ciencia de la estructura formal de los símbolos, y arranca de la realidad concreta de los signos.

En realidad –dicen– la condición previa para la aplicación de los razonamientos lógicos es que se dé algo a la representación, a saber: ciertos objetos concretos, extralógicos, que estén presentes en la intuición en tanto que datos vividos de forma inmediata y previa a toda actividad del pensamiento (...) Particularmente en las matemáticas, el objeto de nuestro examen son los signos concretos mismos; (...) y su punto de vista filosófico sólido se puede resumir de esta forma: en el principio era el signo (Ladrière, 1969:26-27; cursivas nuestras).

Como se ve, para Hilbert, la solidez del pensamiento matemático y la validez de sus pretensiones de verdad residen finalmente y sólo en la intuición del signo, intuición que disfruta de una evidencia privilegiada. La matemática es una ciencia sin presuposiciones, los objetos del pensamiento matemático son los símbolos mismos, libres de contenido, es decir, los símbolos per se son la esencia de la matemática.

Sin embargo, esto no dispensa a la matemática de mantener el contacto con ciertas intuiciones previas al signo y la formalización, y que ésta sólo puede ayudar a clarificar; en efecto, el signo siempre es signo de algo, tiene un referente. Puede ser que el signo sea natural, si la relación signo®referente está dictada por la naturaleza (como humo®fuego, gemido®dolor) o artificial, convencional, si se debe a una convención social, histórica, no necesaria como, por ejemplo, los signos del lenguaje.

La tesis intuicionista, sostenida por el matemático y filósofo holandés L.E. Brouwer (1964) y la escuela intuicionista, es la que más subraya, como fundamentos de la matemática, la intuición, la evidencia y la aprehensión o intelección inmediatas de la cantidad pura. En la opinión de Brouwer, la única fuente de conocimiento matemático es la intuición directa de la cantidad pura, prescindiendo de las cualidades y esencia de los seres.

Nos preguntamos ahora cuál es el denominador común de estas tres orientaciones o escuelas. Estas teorías sobre los fundamentos de la matemática tienen un rasgo esencial a todas ellas: la tesis de que los objetos matemáticos son de naturaleza ideal. Sólo que, según H. Weyl, los sistemas formales, en cuanto pueden llegar a ser aplicados, son «formas vacías de posibles ciencias» (Frey, 1972:73).

Wittgenstein acentúa la crítica de este punto, y llega a decir que «los problemas matemáticos de lo que llamamos fundamentos no son más fundamento de las matemáticas para nosotros de lo que una roca pintada es el soporte de una torre pintada» (1967:171), ya que la prueba no nos fuerza ni compele a la aceptación, pues somos nosotros los que construimos la matemática mientras vamos adelante, al igual que construimos el juego del ajedrez cuando establecemos sus reglas.

En consecuencia, debemos concluir que toda aplicación de las formas matemáticas a la realidad de la experiencia supone imprimir estas formas sobre ella o introducirla en un molde conceptual preestablecido. Pero estas formas son, como hemos dicho, de naturaleza ideal, con lo que surge la pregunta de si toda matematización no tendrá que ser considerada como una idealización de nuestra realidad empírica.

Ontología de la matemática

La matemática, en cuanto ciencia, tiene la misión de desarrollar y construir estructuras formales. Por otra parte, puede muy bien afirmarse que la realidad ya tiene determinadas estructuras. Por esto, no sabemos con seguridad cuáles de las estructuras captadas por la mente son las que corresponden a la realidad en sí y cuáles son debidas a nuestro pensamiento en su intento de configurar, estructurar e informar esa realidad.

¿Cómo se gestó históricamente la tendencia actual a la matematización de las diferentes disciplinas?

Descartes, profundo cultivador de la matemática, quedó impresionado por el contraste que se daba entre esta ciencia y la filosofía. Según él (1644), el campo filosófico era discorde, desunido, controvertido e incierto; en la matemática, en cambio, no había discordia alguna, sino certeza y unanimidad plena. Descartes se pregunta: ¿A qué deben las matemáticas tan privilegiada condición? Y se responde: al método con que son tratadas. Este método sigue un procedimiento deductivo. Conclusión: la filosofía y todas las demás disciplinas deberán imitar el método deductivo de la matemática.

En su obra Principia Philosophiae (1644), Descartes ubica la determinación ontológica fundamental del mundo en la extensión, que viene a ser para él idéntica a la espacialidad. Pero considera que el término para designar la naturaleza de un ente cualquiera es el de substancia. Por esto, dice que la extensión es lo que constituye el verdadero ser de la sustancia corpórea que llamamos «mundo» (I, n. 53, p. 25).

La razón fundamental que da Descartes para esta «grave y seria» afirmación es que la extensión es aquella estructura de la materia que presupone todas las demás determinaciones de la sustancia, principalmente la división, la figura y el movimiento, pues éstas sólo son concebibles como «modos» de la extensión (ibidem). Del mismo modo, el color, el peso, la dureza, el sonido y otras cualidades o propiedades que puedan tener los cuerpos, son para él totalmente secundarias. Dice, además, que un cuerpo puede retener su cantidad aumentando la longitud y disminuyendo la latitud, o viceversa; que la extensión es la que constituye el ser de la res corporea porque es divisible, configurable y móvil de diversas maneras mientras permanece constante, y esa constancia es el verdadero ser de ella (ibid., II, n. 4, p. 42).

Lógicamente, el método para el estudio de esta realidad, la única realidad física existente –continúa Descartes– es el método de la matemática y, más concretamente, el de la geometría, ya que todas las cosas que pueden caer en el conocimiento de los hombres se deducen unas de otras de igual modo que en la geometría (ibidem).

Sabemos que el influjo de la filosofía cartesiana en la cultura occidental fue gigantesco. Dominó completamente su propio siglo (XVII) y también el siguiente. L’esprit de géométrie llegó a ser el espíritu del tiempo e impregnó toda la cultura. El estilo científico se identificó con el estudio matemático sin más.

Sin embargo, dos grandes filósofos alemanes (Hegel y Heidegger) le hicieron muy serias objeciones a Descartes. Hegel, en la Fenomenología del espíritu (1807/1966), le señala que en el conocimiento matemático «la intelección es exterior a la cosa, de donde se sigue que con ello se altera la cosa verdadera, que el contenido es falso (...) La evidencia de este defectuoso conocimiento (...) se basa exclusivamente en la pobreza de su fin y en el carácter defectuoso de su materia (...) Su fin o concepto es solamente la magnitud, que es precisamente una relación inesencial y aconceptual (pp. 29-33; cursivas y énfasis nuestros).

Heidegger (1927/1974), analizando los razonamientos de Descartes, puntualiza que «deja sin dilucidar el sentido del ser encerrado en la idea de sustancialidad y el carácter de ‘universalidad’ de esta significación»; que, además, «renuncia radicalmente a la posibilidad de plantear los problemas del ser (...), ocultando una falta de señorío sobre el fundamental problema del ser» (pp. 108-9), y añade que «Descartes da una errada definición ontológica del mundo (...), y no se deja dar por los entes intramundanos la forma de ser éstos, sino que, basándose en una idea del ser de legitimidad no comprobada (ser = constante «ser ante los ojos»), prescribe al mundo su ‘verdadero’ ser». Ahora bien, se pregunta Heidegger, ¿cuál es la forma adecuada de acceso a un ente definido como pura extensión? Y responde: «El único y genuino acceso a este ente es el conocimiento en el sentido físico-matemático» (ibidem, pp. 110-111).

Es evidente, por consiguiente, que no podemos aplicar indiscriminadamente la matemática a la totalidad de la realidad empírica. Es más, como dice Frey (1972), «la aplicabilidad de la matemática a nuestra realidad empírica siempre queda limitada y circunscrita a una pequeña parte de lo cognoscible (...), ya que el matemático intenta prescindir en el mayor grado posible del significado ontológico de los seres, fundamentando los números de un modo estrictamente formalista» (pp. 139-140).

Conviene advertir que esta limitación no es exclusiva de la matemática, sino que es válida para todo tipo de lenguajes: lenguaje verbal, lenguaje gráfico, lenguaje artístico, etc. Wittgenstein, por ejemplo, quiso representar con el lenguaje lógico-verbal todo tipo de realidades, dando con ello un gran respaldo filosófico al positivismo lógico, con su Tractatus Lógico-Pilosophicus (1973, orig. 1922), sin embargo, después se percató de las contradicciones que ello implicaba, y rechazó el positivismo lógico (1967b).

Naturaleza de nuestro universo

Ahora bien, bajo el punto de vista ontológico actual, ¿cómo se nos presenta la realidad, en general, de nuestro universo? Nuestro universo está constituido básicamente por sistemas no-lineales en todos sus niveles: físico, químico, biológico, psicológico y sociocultural. «Si observamos nuestro entorno vemos que estamos inmersos en un mundo de sistemas. Al considerar un árbol, un libro, un área urbana, cualquier aparato, una comunidad social, nuestro lenguaje, un animal, el firmamento, en todos ellos encontramos un rasgo común: se trata de entidades complejas, formadas por partes en interacción mutua, cuya identidad resulta de una adecuada armonía entre sus constituyentes, y dotadas de una sustantividad propia que trasciende a la de esas partes; se trata, en suma, de lo que, de una manera genérica, denominamos sistemas» (Aracil, 1986:13).

Según el físico Fritjof Capra (1992), la teoría cuántica demuestra que todas las partículas se componen dinámicamente unas de otras de manera autoconsistente y, en ese sentido, puede decirse que «contienen» la una a la otra, que se «definen» la una con la otra. De esta forma, la física (la nueva física) es un modelo de ciencia para los nuevos conceptos y métodos de otras disciplinas. En el campo de la biología, Dobzhansky (1967) ha señalado que el genoma, que comprende, tanto genes reguladores como operantes, trabaja como una orquesta y no como un conjunto de solistas. También Köhler y otros (1963, para la psicología) solían decir que «en la estructura (sistema) cada parte conoce dinámicamente a cada una de las otras». Y Ferdinand de Saussure (para la lingüística) afirmaba que «el significado y valor de cada palabra está en las demás», que el sistema es «una totalidad organizada, hecha de elementos solidarios que no pueden ser definidos más que los unos con relación a los otros en función de su lugar en esta totalidad» (1954). Desde el átomo hasta la galaxia –dice Von Bertalanffy y otros– vivimos en un mundo de sistemas (1981:47).

En un «sistema» se da un conjunto de unidades interrelacionadas de tal manera que el comportamiento de cada parte depende del estado de todas las otras, pues todas se encuentran en una estructura que las interconecta. Esta organización y comunicación desafía la lógica tradicional, reemplazando el concepto de energía por el de información, y el de causa-efecto por el de estructura y realimentación. En los seres vivos, y sobre todo en los seres humanos, se dan estructuras de un altísimo nivel de complejidad, las cuales están constituidas por sistemas de sistemas cuya comprensión desafía la agudeza de las mentes más privilegiadas.

Si la significación y el valor de cada elemento de una estructura dinámica o sistema está íntimamente relacionado con los demás, si todo es función de todo, y si cada elemento es necesario para definir a los otros, no podrá ser visto ni entendido «en sí», en forma aislada, sino a través de la posición y de la función o papel que desempeña en esa estructura dinámica o sistema. Y esto sucede con todos los sistemas o estructuras dinámicas que constituyen nuestro mundo: sistemas atómicos, moleculares, celulares, biológicos, psicológicos, sociológicos, culturales, etc.

De aquí nace lo que pudiéramos considerar como un criterio sobre el nivel de adecuación y propiedad para el uso de la matemática, en general, y de los modelos matemáticos, en particular. Hay realidades cuya naturaleza se reduce básica y esencialmente a la extensión (cantidad, magnitud, espacio), como es, por ejemplo, el estudio de la realidad objeto de la geometría. El espacio en sus tres dimensiones define ahí esencialmente el objeto en su plenitud. Lo mismo se podría decir, en el campo de la aritmética, del manejo y cálculos numéricos del dinero, donde no hay diferencia esencial entre el concepto abstracto, por ejemplo, de un dólar, o un bolívar o un peso (o cien), y su realidad concreta: ahí, la magnitud de una cantidad lo dice todo, por donde quiera que se le mire. En estos casos, pudiéramos juzgar que la matemática tiene un nivel de adecuación casi perfecto con el objeto.

Igual apreciación se podría afirmar de otras realidades mucho más complejas, objeto de estudio de otras disciplinas, como las ciencias de la vida y las ciencias humanas, cuando el área específica de interés estudiada se puede desligar o descontextualizar del resto sin desnaturalizarlas. Así sucede cuando queremos conocer, por ejemplo, la intención del voto de una población, y no nos interesa nada más de esas personas, fuera, quizá, de una discriminación por sexo, edad, nivel socioeconómico, etc. Una situación similar tendríamos en muchos otros estudios realizados por medio de las técnicas estadísticas. En general, podríamos señalar, como una especie de referente clave, que la matemática trabaja bien con objetos constituidos por elementos homogéneos e independientes de su contexto, y pierde su capacidad de aplicación en la medida en que éstos son de naturaleza heterogénea o son homogéneos, pero con gran interacción con su contexto, donde entra en acción lo cualitativo.

La adecuación matemática-realidad en la actualidad

¿Qué nivel de adecuación tiene nuestra matemática actual para captar el tipo de realidades que constituye nuestro universo? Nuestra matemática funciona de acuerdo con reglas convencionales preestablecidas e inflexibles, y si no, no sería tal. Estas reglas siguen, básicamente, las leyes aditiva, conmutativa, asociativa y distributiva aplicadas a los elementos con que trabaja. Ahora bien, por todo lo señalado anteriormente, a los elementos que constituyen las estructuras dinámicas o sistemas no se le pueden aplicar estas leyes sin desnaturalizarlos, pues, en realidad, no son elementos ni partes, sino constituyentes de una entidad superior. Ya en la misma estructura del átomo, por ejemplo (y todos los entes de nuestro universo se componen de átomos), el álgebra cuántica no permite aplicar la ley conmutativa de factores, es decir, que no es lo mismo a*b que b*a, lo cual significa que el orden es importante (Frey, 1972:29), como no es lo mismo una parcela de terreno de 10 m de frente por 20 de fondo, que una de 20 m de frente por 10 de fondo. Esta situación aumenta insospechadamente en la medida en que ascendemos a niveles superiores de organización y complejidad, como son las realidades estudiadas por la química, la biología, la psicología, la sociología, la economía y la cultura en general.

En la base, el problema tiene un fondo epistemológico. Bertrand Russell aclara que «la física clásica, ante varias causas que actúan simultáneamente, representa la resultante como una suma vectorial, de modo que, en cierto sentido, cada causa produce su efecto como si no actuara ninguna otra causa» (1977:325).

Conviene que precisemos un poco mejor esto. En general, la ciencia clásica, al usar las ecuaciones matemáticas, aun cuando parezca que trata con un sistema complejo de interacciones, sus resultados los debe exclusivamente al empleo de relaciones de tipo unidireccional, es decir, lo que usa es solamente el famoso principio de superposición de efectos. Se toma en cuenta únicamente la interacción entre variables independientes, y no la que se da entre éstas y las dependientes, con excepción de la realimentación simple en algunos casos. Este principio lo podemos ilustrar con el ejemplo de los efectos que repercuten en cada gota de agua de la superficie de un lago donde se lanzan varias piedras: la posición de cada gota depende de todos los círculos, los cuales se sobreponen montándose unos sobre otros y produciendo efectos aditivos, pero las figuras causadas por las piedras no interactúan entre sí.

En síntesis, todos estos procedimientos matemáticos siguen siendo fieles (o esclavos) de las cuatro leyes fundamentales de la matemática tradicional clásica, que se reducen a la propiedad aditiva, pero lo sistémico no es aditivo, como tampoco es conmutativo, asociativo o distributivo, ni sus elementos se pueden medir previa o aisladamente del resto de todos los otros constituyentes.

Las realidades, en cambio, con una fuerte interacción recíproca entre sus constituyentes, al aplicarles un modelo altamente idealizado como el matemático, serían reducidas a un esquema carente de sentido o significado real. Por esto, todo investigador o profesor está necesariamente involucrado en la situación ineludible de lograr una mayor adecuación y armonía entre los posibles modelos formales (mentales, ideales, convencionales) y la estructura particular y peculiar de su área de estudio.

A este respecto, y refiriéndose a la sociología, dice muy bien Th.W. Adorno:

Parece innegable que el ideal epistemológico de la elegante explicación matemática, unánime y máximamente sencilla, fracasa allí donde el objeto mismo, la sociedad, no es unánime, ni es sencillo, ni viene entregado de manera neutral al deseo o a la conveniencia de la formalización categorial (...) La sociedad es contradictoria, y, sin embargo, determinable; es racional e irracional a un tiempo; es sistema y es ruptura, naturaleza ciega y mediación por la consciencia. A ello debe inclinarse el proceder todo de la Sociología. De lo contrario, incurre, llevada de un celo purista contra la contradicción, en la más funesta de todas: en la contradicción entre su estructura y la de su objeto (Mardones, 1991:331).

Cabe, entonces, la pregunta: ¿Cuándo conviene y cómo se puede matematizar apropiadamente la realidad sin caer en un lenguaje matemático inadecuado, insuficiente y reductivo, sino con modelos ilustrativos eficientes y prácticos? Eichner (1989) nos previene ante una objeción: «La objeción aquí –dice este autor– no es al uso de las matemáticas o al matematicismo, por ejemplo, de la economía. Es (...) al modo cómo las matemáticas han sido usadas por algunos investigadores para dar una fachada pseudocientífica a un cuerpo de la teoría, el cual no puede satisfacer ninguna de las pruebas empíricas mediante las cuales la ciencia se diferencia de la mera superstición o de la ideología pura» (p. 34).

También aquí esto es válido para cualquier otro lenguaje. En el lenguaje verbal, por ejemplo, una buena analogía o una buena metáfora puede ser valiosísima para describir e ilustrar la naturaleza de una realidad. La ciencia ha progresado mucho a lo largo de los siglos gracias a la aplicación de grandes metáforas. La analogía es un instrumento indispensable en el progreso científico (Oppenheimer, 1956). Pero también podemos ser víctimas de las malas metáforas, es decir, aquellas que carecen de la homología adecuada entre el origen y el destino de la metáfora.

Aplicación apropiada de la matemática a las disciplinas

El punto crucial y limitante de la matemática se debe a su carácter abstracto. La abstracción es la posibilidad de considerar un objeto o un grupo de objetos desde un solo punto de vista, prescindiendo de todas las restantes particularidades que pueda tener. Como indicamos más arriba, Hegel critica la matemática, como instrumento cognoscitivo universal (la mathesis universalis de Descartes), por «el carácter inesencial y aconceptual de la relación cuantitativa» (1807/1966:30), que la priva de sustancialidad, de fenomenalidad y aun de existencia concreta; por esto, el mismo Einstein solía repetir que «en la medida en que las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas, y en la medida en que son ciertas, no se refieren a la realidad» (Davies, 1973:1), y Heisenberg, que tantas veces ponderó la exactitud y la precisión de la matemática en la física cuántica, dice que «sería una conclusión prematura afirmar que podemos evitar las dificultades, limitándonos al uso del lenguaje matemático. Ésta no es una salida real, pues no sabemos hasta qué punto puede aplicarse el lenguaje matemático a los fenómenos. En fin de cuentas, también la ciencia tiene que recurrir al lenguaje habitual cotidiano, que es el único que nos permite captar realmente los fenómenos» (1974:186).

«Cuando uno se atiene demasiado a los métodos matemáticos rigurosos –continúa diciendo Heisenberg– fija la atención en cuestiones que no son importantes desde el punto de vista de la física y, en consecuencia, se aparta de la situación experimental. Si uno, en cambio, trata de resolver un problema mediante una matemática aproximada, como principalmente he hecho yo siempre, se ve forzado a pensar continuamente en la situación experimental y, cualesquiera sean las fórmulas que uno escribe, compara esas fórmulas con la realidad y así en cierto modo está más cerca de la realidad que si atendiera tan sólo a los métodos rigurosos» (Salam y otros, 1991:143, 148-9).

Es muy importante que concentremos nuestra atención en la idea nuclear de las palabras (cursivas aquí) de Einstein y Heisenberg; ambas dicen la misma cosa, expresan el mismo concepto: la matemática rigurosa pura no refleja la realidad, nos aleja de ella.

El prominente estadista y diplomático francés Talleyrand hizo notar, una vez, que un idealista no puede serlo por largo tiempo, a menos que también sea realista, y un realista no puede serlo por mucho tiempo a no ser que también sea idealista. John von Neumann, uno de los matemáticos más distinguidos de nuestro tiempo, aplica esto a las matemáticas y se hace eco de esta misma advertencia. En un artículo titulado El matemático, von Neumann escribió: «A medida que una disciplina matemática se separa más y más de su fuente empírica, o aun más si está inspirada en ideas que provienen de la realidad de un modo sólo indirecto, como de segunda o tercera mano, está más cercada por graves peligros. Se va haciendo más y más esteticismo puro, se convierte más y más en un puro arte por el arte. Éste no es necesariamente malo, si el campo en cuestión está rodeado de otros campos relacionados con él que tengan todavía conexiones empíricas más cercanas, o si la disciplina en cuestión está bajo la influencia de hombres dotados de un gusto excepcionalmente bien desarrollado. Pero existe un grave peligro de que este campo venga a desarrollarse a lo largo de las líneas de menor resistencia, de que la corriente, tan lejos de su fuente, venga a separarse en una multitud de ramas insignificantes, de que la disciplina venga a convertirse en una masa desorganizada de detalles y complejidades. En otras palabras, a gran distancia de su fuente empírica, o bien después de mucha incubación abstracta, un campo matemático está en peligro de degeneración» (Kline, 1974:5).

Ciertamente, las abstracciones y generalizaciones desempeñan, especialmente en las matemáticas puras modernas, un papel indispensable, pero las matemáticas han de tomar su motivación de lo concreto y específico y tener como meta, asimismo, algún nivel de la realidad. El vuelo a lo abstracto ha de ser algo más que un mero escape. Despegue y aterrizaje son ambos indispensables.

Veamos un ejemplo concreto de esto en la investigación del mismo Newton:

En principio Newton elaboró su programa para un sistema planetario con un punto fijo que representaba al Sol y un único punto que representaba a un planeta. A partir de ese modelo derivó su ley del inverso del cuadrado para la elipse de Kepler. Pero este modelo contradecía a la tercera ley de la dinámica de Newton y por ello tuvo que ser sustituido por otro... Posteriormente, elaboró el programa para un número mayor de planetas y como si sólo existieran fuerzas heliocéntricas y no interplanetarias. Después, trabajó en el supuesto de que los planetas y el Sol eran bolas de masa y no puntos. De nuevo, este cambio no se debió a la observación de una anomalía..., implicó dificultades matemáticas importantes, absorbió el trabajo de Newton y retrasó la publicación de su obra Principia durante más de una década. Tras haber solucionado este problema, comenzó a trabajar en las «bolas giratorias» y sus oscilaciones. Después, admitió las fuerzas interplanetarias y comenzó a trabajar sobre las perturbaciones. Llegado a este punto, empezó a interesarse con más intensidad por los hechos. Muchos de ellos quedaban perfectamente explicados (cualitativamente) por el modelo, pero sucedía lo contrario con muchos otros. Fue entonces cuando comenzó a trabajar sobre planetas combados y no redondos, etc. (Lakatos, 1983:69).

El problema principal de la aplicación de la matemática está en su nivel de adecuación al estudio de las realidades sistémicas, es decir, a las realidades dinámicas que tienen gran interacción entre los elementos que las constituyen. La necesidad de un enfoque adecuado para tratar con los sistemas se ha sentido en todos los campos de la ciencia. Así fueron naciendo todas las técnicas multivariables de la estadística aplicada a las ciencias sociales –análisis factorial, análisis de regresión múltiple, análisis de vías, análisis de varianza, análisis discriminante, la correlación canónica, el cluster analysis, etc.– que se apoyan en un concepto central, el coeficiente de correlación, que es como el corazón del análisis multivariado; así, nació una serie de enfoques modernos afines como, por ejemplo, la cibernética, la informática, la teoría de conjuntos, la teoría de redes, la teoría de la decisión, la teoría de juegos, los modelos estocásticos y otros, y, en la aplicación práctica, el análisis de sistemas, la ingeniería de sistemas, el estudio de los ecosistemas, la investigación de operaciones, etc. Aunque estas teorías y aplicaciones difieren en algunos supuestos iniciales, técnicas matemáticas y metas coinciden, no obstante, en ocuparse, de una u otra forma y de acuerdo con su área de interés, de «sistemas», «totalidades» y «organización», es decir, están de acuerdo en ser «ciencias de sistemas» que estudian aspectos no atendidos hasta ahora y problemas de interacción de muchas variables, de organización, de regulación, de elección de metas, etc. Todas buscan la configuración estructural sistémica de las realidades que estudian.

Sin embargo, conviene advertir que, ordinariamente y de una u otra forma, las técnicas multivariables y los enfoques matemáticos señalados tratan de resolver los problemas con la teoría matemática de la probabilidad; se sustituye la verdad apodíctica de la mecánica clásica, totalmente insostenible (mecanicismo y determinismo), con la verdad probabilista, es decir, con la verdad estadística. Y, para salirnos de la «verdad» probabilitaria, tendríamos que crear –como dice Von Bertalanffy y otros– unas «matemáticas gestálticas» (1981:34), es decir, unas matemáticas en las cuales lo fundamental no fuera la noción de cantidad, sino más bien la de relación, esto es, la de forma y orden, como nos lo pide la naturaleza estructural-sistémica de muchas de nuestras realidades, sobre todo en el área de las ciencias humanas.

Conclusión

En la medida en que un investigador domine más campos del inmenso arsenal matemático, podrá idear, crear y estructurar modelos matemáticos para representar adecuadamente el área o el problema específico de su investigación.

La naturaleza es un todo polisistémico que se rebela cuando es reducido a sus elementos. Y se rebela, precisamente, porque, así reducido, pierde las cualidades emergentes del «todo» y la acción de éstas sobre cada una de las partes. La sabiduría de uno de los más grandes filósofos en la historia de la humanidad, Aristóteles, lo expresó en un aforisma que todos conocemos: «El todo es más que la suma de sus partes». Por consiguiente, nunca debemos perder ese «más» al estudiar nuestras realidades. Precisamente, la neurociencia actual nos ha hecho ver que disponemos de todo un hemisferio (el derecho) para la captación estereognósica y la comprensión de esos sistemas complejos, de esas estructuras dinámicas, configuracionales y gestálticas.

Por todo ello, la formación académica universitaria debe asumir la responsabilidad de una mayor fidelidad y adecuación entre los modelos matemáticos que se ofrecen y las complejas realidades del mundo actual.

Referencias bibliográficas

1. Aracil, J. (1986). Máquinas, sistemas y modelos, Madrid, Tecnos.        [ Links ]

2. Benacerraf, P. and H. Putnam (1964). Philosophy of Mathematics, Nueva Jersey, Prentice-Hall.        [ Links ]

3. Bertalanffy, L. von y otros (1981). Tendencias en la teoría general de sistemas, Madrid, Alianza.        [ Links ]

4. Beynam, L. (1978). «The Emergent Paradigm in Science», ReVision Journal, 1,2        [ Links ]

5. Black, M. (1965). The Nature of Mathematics, Londres, Routledge.        [ Links ]

6. Bronowski, J. (1978). El sentido común de la ciencia, Barcelona, Península.        [ Links ]

7. Bronowski, J. (1979). El ascenso del hombre, Bogotá, Fondo Educativo Interamericano.        [ Links ]

8. Brouwer, L. (1964). «Intuitionism and Formalism», en Benacerraf and Putnam (1964).        [ Links ]

9. Bunge, M. (1975). La investigación científica, Buenos Aires, Ariel.        [ Links ]

10. Capra, F. (1992). El tao de la física, 3ª edic., Madrid, Luis Cárcamo.        [ Links ]

11. Davies, J.T. (1973). The Scientific Approach, Londres, Academic Press.        [ Links ]

12. Davis, P. and R. Hersh (1990). Descartes’s Dream: The Word According to Mathematics, Londres, Penguin.        [ Links ]

13. Descartes, R. (1897-1910). Principia philosophiae», en Oeuvres, vol. viii, París, edic. Adam-Tannery.        [ Links ]

14. Descartes, R. (1973 ). Meditaciones metafísicas, Buenos Aires, Aguilar.        [ Links ]

15. Descartes, R. (1974, orig. 1637). Discurso del método, Buenos Aires, Losada.        [ Links ]

16. Descartes, R. (1983). Discurso del método y reglas para la dirección de la mente, Barcelona, Orbis.        [ Links ]

17. Dobzhansky, T. (1967). The Biology of Ultimate Concern, Nueva York, The New American Library.        [ Links ]

18. Eichner, A. (1989). «¿Por qué la economía no es todavía una ciencia?», Revista del Banco Central de Venezuela, julio-sept.        [ Links ]

19. Einstein, A. (1905). Zur elektrodynamik bewegter Körper (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento), Annalen der Physik, 1905. Primera publicación de la teoría especial de la relatividad.        [ Links ]

20. Einstein, A. (1933). Prefacio a «Where is Science Going?» de Max Planck, Londres, Allen.        [ Links ]

21. Frege, G. (1964). The Concept of Number, en Benacerraf and Putnam (1964).        [ Links ]

22. Frey, G. (1972). La matematización de nuestro universo, Madrid, G. del Toro.        [ Links ]

23. Galilei, G. (1968). I due massimi sistemi del mondo, en Le opere di Galileo Galilei (20 vols.), vol. II, Barberà, Florencia.        [ Links ]

24. Hanson, N.R. (1977). Patrones de descubrimiento. Observación y explicación, Madrid, Alianza.        [ Links ]

25. Hegel, G. (1966, orig. 1807). Fenomenología del espíritu, México, FCE.        [ Links ]

26. Heidegger, M. (1974, orig. 1927). El ser y el tiempo, México, FCE.        [ Links ]

27. Heisenberg, W. (1958a). Physics and Philosophy: The Revolution of Modern Science, Nueva York, Harper & Row.        [ Links ]

28. Heisenberg, W. (1958b). «The Representation of Nature in Contemporary Physics», Daedalus, 87, 95-108.        [ Links ]

29. Hempel, C. y otros (1974). Matemática, verdad, realidad, Barcelona, Grijalbo.        [ Links ]

30. Hilbert, D. (1965). «Axiomatisches Denken», en Hilbertiana, Darmstadt (Alemania).        [ Links ]

31. Kant, E. (1786). Fundamentos metafísicos de las ciencias de la naturaleza. Original alemán.        [ Links ]

32. Kant, E. (1973). Crítica de la razón pura, Buenos Aires, Losada.        [ Links ]

33. Kline, M. (1974). Matemáticas en el mundo moderno, Madrid, Blume.        [ Links ]

34. Kneebone, G. (1965). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics, Londres, Van Nostrand        [ Links ]

35. Köhler, W. y otros (1963). Psicología de la forma, Buenos Aires, Paidós.        [ Links ]

36. Ladrière, J. (1969). Limitaciones internas de los formalismos, Madrid, Tecnos.        [ Links ]

37. Lakatos, I. (1981). Matemática, ciencia y epistemología, Madrid, Alianza.        [ Links ]

38. Lakatos, I. (1983). Metodología de los programas de investigación científica, Madrid, Alianza.        [ Links ]

39. Lakatos, I. (1994). Pruebas y refutaciones: la lógica del descubrimiento matemático, Madrid, Alianza.        [ Links ]

40. Mardones, J.M. (1991). Filosofía de las ciencias humanas y sociales: materiales para una fundamentación científica, Barcelona, Anthropos.        [ Links ]

41. Margenau, H. (1969). «El nuevo estilo de la ciencia», Cultura Universitaria, n° 8, separata, Universidad Central de Venezuela.        [ Links ]

42. Martínez, M. (1997). El paradigma emergente: hacia una nueva teoría de la racionalidad científica, 2ª edic., México, Trillas (1ª edic. Barcelona, Gedisa).        [ Links ]

43. Martínez, M. (1999). La nueva ciencia: su desafío, lógica y método, México, Trillas.        [ Links ]

44. Merleau-Ponty, M. (1975). Fenomenología de la percepción, Barcelona, Península.        [ Links ]

45. Morin, E. (1983). El método II: la vida de la vida, Madrid, Cátedra.        [ Links ]

46. Newman, J. (1974). Matemática, verdad, realidad, Barcelona, Grijalbo.        [ Links ]

47. Newton, I. (1975, orig. 1687). Mathematical Principles of Natural Phylosophy and his System of the World, Berkeley, University of California Press.        [ Links ]

48. Nietzsche, F. (1972). Más allá del bien y del mal, Madrid, Alianza.        [ Links ]

49. Oppenheimer, R. (1956). «Analogy in Science», American Psychologist, 11:127-135.        [ Links ]

50. Poincaré, H. (1978). Mathematical Creation, en Vernon.        [ Links ]

51. Prigogine, I. and I. Stengers (1988). Entre le temps et l’éternité, París, Fayard.        [ Links ]

52. Rivadulla, A. (1986). Filosofía actual de la ciencia, Madrid, Tecnos.        [ Links ]

53. Rorty, T. (1983). La filosofía y el espejo de la naturaleza, Madrid, Cátedra.        [ Links ]

54. Russell, B. (1964). «Introduction to Mathematical Philosophy», en Benacerraf and Putnam (1964).        [ Links ]

55. Russell, B. (1977). El conocimiento humano, Madrid, Taurus.        [ Links ]

56. Russell, B. and A. Whitehead (1927). Principia mathematica, 3 vols., 2ª edic., Cambridge.        [ Links ]

57. Salam, A.; W. Heisenberg and P. Dirac (1991). La unificación de la fuerzas fundamentales, Barcelona, Gedisa.        [ Links ]

58. Saussure, F. de (1954). Curso de lingüística general, Buenos Aires, Losada.        [ Links ]

59. Tarski, A. (1956). Logic, Semantics, and Metamathematics, Oxford, Clarendon Press.        [ Links ]

60. Thom, R. (1980). Modèles mathematiques de la morphogenese, París, Christian Bourgois.        [ Links ]

61. Tieszen, R. (1989). Mathematical Intuition: Phenomenology and Mathematical Knowledge, Dordrecht, Kluwer.        [ Links ]

62. Wittgenstein, L. (1967a). Remarks on the Foundations of Mathematics, Oxford, Basil Blackwell.        [ Links ]

63. Wittgenstein, L. (1967b). Philosophical investigations, Oxford, Basil Blackwell.        [ Links ]

64. Wittgenstein, L. (1973). Tractatus logico-philosophicus (versión bilingüe alemán-castellano), Madrid, Alianza.        [ Links ]