SIMULACIÓN DE ONDAS GRAVITACIONALES EN COORDENADAS DE BONDI-SACHS

Rosales, Luis 

Jarrouj, Yoliano 

Serrano, Orlando

El Dr. Luís Rosales es Personal académico del Laboratorio de Física Computacional, Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre!, Urb. Villa Asia, final calle China, Puerto Ordaz, Estado Bolívar, Venezuela, Telefax 0286-96113, Correo electrónico luis.rosales2@gmail.com. 

El Ing. Yoliano Jarrouj y el Lic Orlando Serrano son Personal académico de la Universidad Nacional Experimental de Guayana, Urb. Villa Asia, Calle China, Puerto Ordaz, Estado Bolívar, Venezuela, Telf. 0286-9616441, fax 0286-9610172, Código Postal 8050. Correos electrónicos yulianoj@yahoo.com. y oserrano@uneg.edu.ve. respectivamente.

Resumen:

Se hace un estudio sobre las ondas gravitacionales, su simulación y los métodos actuales usados en su detección. Se presenta una comparación de las ondas electromagnéticas con las ondas gravitacionales, así como también los principales esfuerzos tecnológicos para su detección. Se especifican los métodos numéricos usados para su simulación, haciendo énfasis en las técnicas computacionales actualmente usadas. Para ilustrar esto, se resuelve el sistema Einstein-Klein-Gordon 3D cuasiesférico y se calcula numéricamente la radiación escalar y gravitacional en el infinito nulo futuro.

Palabras clave: Ondas gravitacionales/ Simulación/ Métodos numéricos.

SIMULATION OF GRAVITATIONAL WAVES IN BONDI-SACHS COORDINATES

Abstract:

We study of the gravitational waves including simulations and the actually methods used in their detection. We are a comparison of the electromagnetic waves with the gravitational waves, and we show the main technological efforts for its detection. The numerical methods used for their simulation are specified, with emphasis in the computational techniques used. For it we solve numerically the quasispherical Einstein- Klein-Gordon system in 3D and we calculated the radiation gravitational and scalar in the future null infinite.

Key words: Gravitational waves / Simulations / Numerical Methods

Manuscrito finalizado en Ciudad Guayana, Venezuela, el 2007/08/02, recibido el 2007/07/18, en su forma final (aceptado) el 2007/08/06. 

I. INTRODUCCIÓN

En Relatividad General la dinámica del espacio-tiempo está determinada por las ecuaciones de campo de Einstein. Esta teoría predice la existencia de las ondas gravitacionales (OG). La detección de estas ondas es un tema que ocupa a gran parte de la comunidad científica mundial y enormes avances se han logrado por la colaboración entre diversos grupos dedicados a las simulaciones y a los esfuerzos experimentales [1, 2, 3].

Un problema inherente a la detección de las OG es que los equipos diseñados poseen una enorme sensibilidad que cualquier tipo de vibración puede alterar los detectores. Esto incluye microsismos, el tráfico de vehículos y la actividad humana en las inmediaciones de los observatorios, vibraciones térmicas de los dispositivos y moléculas residuales que perturban los haces de rayos láser en el caso de los interferómetros[4,5].

Los experimentos para la detección de las OG comenzaron con Weber en la década de los sesenta[4]. El diseño se basó en una barra metálica cuyas oscilaciones mecánicas son producidas por OG incidentes. En 1979, Drever y Thorne en Caltech inician el proyecto de detección de las ondas gravitacionales con técnicas de interferometría láser, cuyo principio consiste en medir la diferencia entre los desplazamientos de masas que se producen por la incidencia de una OG. En la actualidad se cuenta con una gama de detectores y se estima que en la primera o segunda década de este siglo los detectores registren señales que puedan ser representativas de una onda gravitacional.

El objetivo de este trabajo es mencionar los esfuerzos experimentales para la detección de las OG y mostrar algunos resultados de nuestras simulaciones, en las cuales se emplean métodos computacionales como el formalismo eth y el método de las características nulas. Se resuelve numéricamente el sistema Einstein-Klein-Gordon 3D (tres dimensiones espaciales y una temporal) cuasiesférico y se calcula numéricamente la radiación escalar y gravitacional en el infinito nulo futuro. Este trabajo está distribuido de la siguiente manera: En la sección 1 se trata lo referente a la naturaleza de las OG incluyendo su predicción y una comparación de las ondas electromagnéticas con las ondas gravitacionales. En la sección 2 se describen los tipos de detectores y los métodos experimentales para su detección así como los detectores que existen actualmente. En la sección 3 se describen los métodos computacionales y finalmente en la sección 4 se muestran los resultados de las simulaciones de las ondas gravitacionales. Por último, en la sección III se muestran las conclusiones.

II. DESARROLLO

1. Predicción de las ondas gravitacionales y una comparación con las ondas electromagnéticas

Las OG las predijo Albert Einstein en 1916 como una consecuencia de la teoría de la Relatividad General. En esta teoría la masa perturba el espacio-tiempo y los cambios en la forma y posición de estas causan una distorsión que se propaga por el Universo a la velocidad de la luz. Einstein calculó la potencia radiada por una fuente “Newtoniana” aislada, y encontró que depende cuadráticamente de las variaciones del momento cuadrupolar de la misma. Luego, A. Eddington comprobó que la predicción de Einstein era correcta y demostró que la propagación de las OG débiles a la velocidad de la luz en un espacio-tiempo plano es independiente del sistema de coordenadas, por lo tanto, las ondas gravitacionales no son efecto de una transformación de coordenadas como había supuesto. Bondi en 1957, tratando de explicar sobre la energía transportada por las OG, planteó que si se colocaban anillos en una barra metálica lisa, estos podrían desplazarse bajo la acción de una onda gravitacional incidente y calentar la barra, de tal forma que exista una transferencia de energía. Hacia los años sesenta, Bondi y otros autores estudiaron propiedades asintóticas de las OG en el infinito (Bondi, 1960; Bondi, Van der Burg y Metzner, 1962; Sachs, 1962, 1963; Penrose, 1963, Newman y Penrose, 1963). Estos trabajos sirvieron de base para todos los estudios teóricos que existen sobre las ondas gravitacionales [8,9,10].

Las OG son emitidas por las masas aceleradas, tal como las ondas electromagnéticas son producidas por las cargas aceleradas. Estas ondas portan información acerca de sus orígenes y de la naturaleza de la gravedad. Si se comparan las ondas electromagnéticas y las gravitacionales, la naturaleza es diferente en ambos casos. Las ondas electromagnéticas son oscilaciones de los campos electromagnéticos que se propagan en el espacio-tiempo a la velocidad de la luz, mientras las ondas gravitacionales son propagaciones de las distorsiones del espacio-tiempo propagándose también a la velocidad de la luz. Los mecanismos de emisión son diferentes en ambos casos: las ondas electromagnéticas resultan de la superposición de ondas a partir de átomos, moléculas y partículas, mientras que las OG son emisiones coherentes a partir del movimiento de las masas.

Las ondas electromagnéticas pueden absorberse y dispersarse en la interacción con la materia, mientras que las ondas gravitacionales no se absorben ni se dispersan. Finalmente, la frecuencia de las ondas electromagnéticas se ubica a f > 10⁷Hz (Figura 1), mientras que las ondas gravitacionales se espera que sean detectadas a frecuencias f < 10^sHz (Figura 2) [5,7]. Entre las fuentes más prominentes de OG se tienen: colisión de agujeros negros, estrellas de neutrones rotantes, sistemas binarios de agujeros negros y de estrellas de neutrones.

2. Detección

La investigación experimental de las OG está a la vanguardia con el desarrollo de nuevas tecnologías para los detectores de barra, y el desarrollo de técnicas avanzadas en Interferometría Láser. Si se detectan las ondas gravitacionales, no se amplía el espectro electromagnético, sino que aparece un espectro nuevo, que proporcionaría información sobre la materia oscura existente en el Universo. Es conocido, que el noventa por ciento de la materia del Universo es invisible y la información sobre la materia oscura ayudaría a los astrónomos a comprender mejor aun el nacimiento y el destino del Universo.

Hasta ahora las OG no se han detectado directamente, sin embargo, hay evidencias indirectas de su existencia, resultado de los trabajos de Hulse y Taylor quienes estudiaron el sistema binario PSR1913+16, que consiste en un púlsar describiendo una órbita elíptica alrededor de otro. El púlsar tiene una velocidad orbital de 300 km/s y las variaciones en los tiempos de llegada del pulso a la tierra proporcionan información acerca de la órbita y sobre el período orbital del sistema, el cual es aproximadamente 8 horas. La variación del período orbital del púlsar fue seguido durante 14 años y el resultado está de acuerdo con las predicciones de la Relatividad General. El período orbital del sistema binario está decreciendo y por lo tanto, por la tercera Ley de Kepler, el sistema está perdiendo energía. Esto concuerda con el valor del flujo de energía por radiación gravitacional predicho por la fórmula cuadrupolar de Einstein. Por este trabajo, Hulse y Taylor fueron galardonados con el premio Nóbel de física en 1993 [7].

2.1 Métodos experimentales para la detección

Dos tecnologías se usan actualmente en la detección de las OG. La primera es monitorear los modos de vibración de una barra metálica sólida a muy bajas temperaturas, formando los detectores de Barras Resonantes. La segunda monitorea los desplazamientos relativos de masas usando técnicas de Interferometría Láser. Los interferómetros tienen algunas ventajas sobre los de barras resonantes. Los primeros operan en una amplia banda de frecuencias, mientras los otros operan en una banda reducida de frecuencias. Se espera que a comienzos de este siglo se tengan los primeros resultados sobre la detección de ondas gravitacionales [11]. Existen también algunas propuestas de que las OG se pueden detectar estudiando su efecto sobre un giróscopo [20].

a. Detector de Barras Resonantes: El detector de barras resonantes, consiste en una barra sólida cuyas oscilaciones mecánicas producidas por OG se convierten en señales eléctricas por un transductor. Además consta de un amplificador para la señal eléctrica y un sistema registrador (Figura 3). Para OG de 1 KHz (longitud de onda de 300 km) se usa típicamente una barra de aluminio de 2 m de largo y una masa de 1000 kg (Universidad de Maryland) y 38 Toneladas para una antena esférica de aluminio (Universidad de Louisiana). Estas antenas operan a muy bajas temperaturas para eliminar los ruidos térmicos y se deben aislar de tal forma que no sean afectadas por los microsismos. Actualmente existen varios detectores de barras resonantes cilíndricos: ALLEGRO (Universidad de Louisiana), NIOBE (Universidad de Perth, Australia) y EXPLORER (Universidad de Roma) operando a temperaturas de unos pocos grados Kelvin (temperaturas del helio líquido) y sensibilidades del orden de h ~ 10^-19. Otros detectores operan a temperaturas de unos pocos miliKelvin (~100mK): AURIGA (Universidad de Legarno, Italia) y NAUTILUS (Universidad de Roma) operando a sensibilidades de h ~10^-20. GRAVITÓN es un esfuerzo de científicos brasileros de diversas instituciones para construir una antena resonante capaz de detectar señales de OG provenientes de fuentes astrofísicas. Otros proyectos con similares características son TIGA (Estados Unidos) y GRAIL (Holanda) [5].

b. Detectores basados en Interferometría Láser: Están diseñados para frecuencias entre 1 y 10 KHz, pero es a 1 KHz donde tienen mejor sensibilidad, incluso, argumentos astrofísicos sugieren que las ondas gravitacionales son débiles por encima de 10 KHz. Cuando incide la onda, la diferencia entre los desplazamientos de las masas ubicadas en los extremos de los brazos del Interferómetro, es monitoreada por el sistema óptico: un divisor de rayo en el centro y dos espejos unidos a dos masas en las esquinas del interferómetro. Cuando incide una onda gravitacional perpendicular al plano del equipo podría decrecer la distancia entre las masas de prueba en uno de los brazos, mientras se incrementa en la otra (Figura 4). Los cambios pueden ser detectados si se logra el aislamiento de las masas de prueba de cualquier otra perturbación, tales como microsismos, moléculas de gas en el aire y fluctuaciones del láser.

LIGO es el Observatorio de Interferometría Láser que se esta desarrollando en colaboración Caltech-MIT en Estados Unidos [5]. Se han construido prototipos en ambas instituciones y se usan para ubicar fuentes de OG tales como sistemas binarios, estrellas de neutrones rotantes, supernovas y otros fenómenos cosmológicos y astrofísicos. Los brazos de LIGO están arreglados en forma de L de tal forma que se puedan medir los cambios de distancia entre las masas de prueba suspendidas al final de cada brazo. Este efecto oscila entre los dos brazos a la frecuencia de las ondas gravitacionales ΔL = ΔL1 . ΔL2 = hL, donde h es la amplitud de la onda. Partiendo que este efecto es proporcional a la longitud del interferómetro L, el interfométro debe tener un brazo tan largo como se pueda, para LIGO es 4 km, esto da una amplitud de la onda de h ~10^-21 . Mientras, VIRGO (Francés-Italiano) consiste en un Interferómetro de Michelson formado por dos brazos ortogonales de 3 km de largo. VIRGO está localizado cerca de Pisa y el rango de frecuencias de 10 a 6000 Hz se espera sea sensible a la radiación producida por Supernovas y coalescencia de sistemas binarios en la Vía Láctea y otras galaxias. Para lograr el aislamiento del equipo, se están desarrollando las más avanzadas técnicas en las altas potencias de los Láser, alta reflexión de los espejos y aislamiento sísmico. En Alemania, tenemos GEO600 (Británico-Alemán) construido cerca de Hannover, con brazos de 600 m de longitud. TAMA300 en Japón consiste de Interferómetro Fabry-Perot, está localizado en Tokio y se desarrolla con técnicas avanzadas que permitirán detectar OG provenientes del grupo local de galaxias. Se espera que la coalescencia de estrellas de neutrones binarias, así como las Supernovas puedan producir ondas detectables por este TAMA. El detetctor espacial LISA (ESA-NASA) fue propuesto por la European Space Agency y el Laser Interferometer Space Antenna y se espera que obtenga los primeros resultados el 2014. El objetivo primario de LISA es detectar OG a partir de agujeros negros masivos y estrellas binarias galacticas y extragalacticas en un rango de frecuencias de 10^-4 a 10^-1 Hz. LISA permitirá detectar OG generadas por binarias dentro de nuestra galaxia y por agujeros negros masivos en galaxias distantes. También permitirá estudiar fusiones de agujeros negros supermasivos. ACIGA (Australia) fue propuesto 1989 con el fin de monitorear el hemisferio sur y con la colaboración de los proyectos antes mencionados se han desarrollado técnicas avanzadas de Interferometría Láser. Todos estos proyectos están distribuidos por todo el mundo y en colaboración mutua y trabajando en red, funcionan como un observatorio internacional de ondas gravitacionales.

3. Métodos computacionales

En el contexto de la Relatividad General, el problema de estudiar la radiación gravitacional en forma analítica es difícil por la naturaleza compleja de las ecuaciones. La necesidad de investigar estos sistemas ha dado origen a la Relatividad Numérica, que ha permitido resolver las ecuaciones de campo de Einstein a partir de la prescripción del dato inicial. Por ejemplo, los códigos que existen sugieren que una estrella colapsando puede emitir de 1 a 2% de su masa en forma de radiación gravitacional. La colisión entre agujeros negros, estrellas de neutrones, estrellas de neutrones y agujeros negros, estrellas rotantes son algunos de los problemas que se están tratando de simular. En las últimas dos décadas han surgido dos métodos que permiten especificar y evolucionar datos iniciales para problemas físicos complejos. El método de Cauchy (también conocido como ADM o “3+1”) folia el espacio-tiempo con hipersuperficies tipo espacio. Alternativamente, la aproximación característica usa la foliación de hipersuperficies nulas. La evolución de Cauchy está muy desarrollada y se ha demostrado su utilidad en problemas con materia y campos fuertes. Sin embargo, está limitado a usarse en una región finita del espacio-tiempo y se necesita especificar condiciones de contorno artificiales. La evolución característica permite la compactificación del espacio-tiempo y la incorporación del infinito nulo dentro de una malla computacional finita. En el presente, la unificación de ambos métodos ofrece la mejor oportunidad de atacar el problema de dos cuerpos en la gravitación teórica moderna: la colisión de dos agujeros negros [1,2,3]. En las simulaciones cuyos resultados mostramos en este trabajo usamos la formulación característica.

3.1 Formulación Característica de la Relatividad General

La formulación característica de la Relatividad General tiene su fundamento en el problema del valor inicial característico formulado por Bondi. Entre las ventajas que ofrece esta formulación tenemos la compactificación de la coordenada espacial, lo cual permite transformar un intervalo infinito en una malla computacional finita de puntos y el conjunto de datos iniciales puede ser especificado arbitrariamente. Si definimos la coordenada radial compactificada el infinito está descrito por una hipersuperficie nula x = 1. Un campo en el espacio-tiempo se puede definir ahora globalmente en el intervalo (0 ≤ x ≤ 1). La trascripción de las ecuaciones de campo en esta nueva coordenada es necesaria antes de la implementación numérica y nos proporciona una ecuación de evolución para todos los radios incluyendo x = 1.

3.2 El formalismo eth ()

El Formalismo Eth tiene su fundamento analítico en los artículos de Newman y Penrose en los años sesenta [8,11]. Fue en los años noventa, cuando se empleó una versión discreta de este formalismo para hallar la radiación gravitacional emitida por una fuente cuasi-esférica [6]. El Formalismo Eth permite la implementación numérica (discretización) de las coordenadas angulares, lo cual se ha aplicado a diferentes problemas de la Relatividad General [1,11]. La técnica consiste en cubrir la esfera con dos parches de coordenadas estereográficas tangentes a los hemisferios norte y sur (Figura 5), con una zona llamada de solapamiento entre los parches. Los parches se definen por

Ambos parches se relacionan

3.3 Discretización de las coordenadas angulares

La ecuación de la onda suministra una descripción satisfactoria de ciertos sistemas físicos. La ecuación de onda tridimensional se expresa

donde c es la velocidad de la luz, F es el campo a determinar, representa el operador Laplaciano dado por

en coordenadas esféricas y

en las coordenadas rectangulares estereográficas. Evidentemente a la hora del cálculo numérico la expresión (4) es muy dificil para discretizar, mientras que la expresión (5) es mucho mas sencilla de discretizar. De tal forma que se puede construir una malla de puntos (q_k, p_l) en una región cuadrada, de ancho y alto (Figura 6), con

Donde N_ξ es el numero de puntos de la malla angular.

La aproximación en diferencia centrada para la primera derivada es

donde indica el error de truncamiento. Mientras que para una derivada segunda en términos de p y q se expresa como:

4. Simulación de las ondas gravitacionales

Muchos fenómenos físicos están representados por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. La solución algunas de ellas se realiza de forma aproximada debido a que no se conocen las soluciones analíticas. Por esto se han implementado técnicas para resolverlas numéricamente que han permitido estudiar fenómenos físicos desde los más comunes y fundamentales de la naturaleza, como lo es el movimiento ondulatorio, hasta los más complejos como la colisión de dos agujeros negros [2,3,]. En este trabajo se resuelve numéricamente el sistema Einstrein-Klein-Gordon cuasiesférico en 3D.

El sistema Einstein-Klein-Gordon en forma general

donde T representa la traza del tensor de energía-momentum para el campo escalar de masa nula, R_ab es el tensor de Ricci y gab las componentes del tensor métrico. Se demuestra que las ecuaciones son acopladas mínimamente al campo escalar de masa nula, o el sistema de Einstein-Klein-Gordon cuasiesférico es

y la ecuación de evolución para el campo escalar de masa nula

Donde
es el operador D'lambertiano en coordenadas de Bondi-Sachs. Una versión completa de las ecuaciones que describen el sistema Einstein-Klein-Gordon se halla en la referencia [6]. En este trabajo, se omiten por lo largo y tedioso de las mismas. Explícitamente, el sistema Einstein-Klein- Gordon cuasi-esférico en coordenadas de radiación es

Con

donde la coma representa derivada respecto de la coordenada indicada. Los campos β, W, U, J y Ø son las variables a determinar. Las derivadas angulares respecto a θ y φ se han sustituido por los operadores y usando las coordenadas estereográficas y el formalismo eth. El sistema de ecuaciones a resolver está representado por las ecuaciones (12)-(18). Para problema del valor inicial característico se necesita especificar el dato inicial sobre la primera hipersuperficie y condiciones de frontera sobre el tubo de mundo. En las simulaciones se usa un dato inicial de soporte compacto en la forma

La frontera del tubo de mundo se coloca en x = 2/3 y se usan los parámetros Nξ =24, Nx=64, A=10^-3, Ra = 3.5, Rb = 6. Las condiciones de frontera sobre el tubo de mundo son U = J = β = Ø = 0 y W = 0. Las Figuras 7 y 8 muestran el resultado de resolver el sistema de Einstein-Klein-Gordon 3D cuasiesférico. La Figura 7 muestra la evolución del campo escalar para diferentes tiempos. Puede observarse la suavidad de las curvas. La Figura 8 muestra el patrón de radiación gravitacional, en particular el modo real de polarización de la onda. Es clara la muy baja amplitud de la onda. Cabe destacar que las simulaciones fueron realizadas con un código programado en FORTRAN 90 y corren bajo plataforma de software libre LINUX. Las figuras fueron generadas con el graficador GNUPLOT que también funciona bajo ambiente LINUX.

III. CONCLUSIONES

1. Se espera que en la primera o segunda década de este siglo los detectores registren señales que pudieran ser representativas de una onda gravitacional. La dificultad radica en aislar adecuadamente los detectores de cualquier otro ruido.

2. En cuanto a las simulaciones, el método característico representa una forma ventajosa de estudiar la radiación gravitacional, debido a que el dato inicial es arbitrario.

3. Lo contrario sucede con el formalismo de Cauchy, donde el dato inicial es el resultado de resolver ecuaciones diferenciales adicionales.

4. Los métodos computacionales usados en este trabajo son lo suficientemente generales como para ser usados en simulaciones de Física, Matemática e Ingeniería.

5. En un trabajo futuro, estos métodos se emplearán para resolver numéricamente las ecuaciones de Maxwell. De igual forma, las pruebas de convergencia y estabilidad se mostrarán en un trabajo posterior.

IV. REFERENCIAS

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Agradecimientos: Este trabajo fue financiado en su totalidad por el Departamento de Investigación de la UNEXPO Puerto Ordaz. Los cálculos numéricos fueron realizados entre el Laboratorio de Física Computacional de la UNEXPO y CeCalcULA Mérida. Los detalles y la forma final de este artículo se debe a Nerismar Ángulo.