Selection methodology of mechanical drive system servomotor and transmission through transient power analysis 

Jesús Otero Yugat 

Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad Politécnica de Cataluña. Avenida Diagonal, 647. Barcelona, España. jesus.otero-yugat@upc.edu 

Abstract 

In many industrial processes, are increasingly mechanical drives to be made in a very short time, causing the driving force is used to speed up or slow down the inertia of the system, and not to provide the power required by the receptor. This paper presents a methodology for selecting the servomotor and transmission suitable for a conventional mechanical drive system. It has used a mapping analysis supported by diagrams P’-W, which relate the transient power system regarding its kinetic energy. As an illustration, a situation of industrial application is presented. 

Key words: Mechanical drives, servomotor, transmission, P’-W diagrams, transient power. 

Metodología de selección del servomotor y transmisión de un sistema de accionamiento mecánico por medio del análisis de su potencia transitoria 

Resumen 

Palabras clave: Accionamientos mecánicos, servomotor, transmisión, diagramas P’-W, potencia transitoria.

Recibido el 27 de Noviembre de 2008  Revisada el 28 de Diciembre de 2009 

1. Introducción 

Las tecnologías modernas requieren de accionamientos mecánicos complejos, que deben realizar desplazamientos muy rápidos de piezas o herramientas entre dos posiciones de parada, provocando altas demandas y cargas dinámicas en el motor. En consecuencia, la óptima selección del actuador se basa en las características de dichas cargas, teniendo en cuenta que la relación de transmisión entre el motor y el receptor tiene efectos sobre la relación de velocidades, pero también sobre la disminución de las masas del sistema. Por consiguiente, la relación de transmisión es de igual forma un importante parámetro de diseño del accionamiento. De esta forma, el problema de selección se resume en determinar aquellos motores que cumplen con los requerimientos de una aplicación específica, así como también la relación de transmisión adecuada del reductor entre el motor y el receptor. Algunos autores [1] sugieren una metodología basada en la consideración de una carga inercial pura, con el objetivo de calcular la relación de transmisión óptima, simplificando la duración del movimiento entre dos localizaciones distintas, para un sistema de accionamiento con límite de velocidad. No obstante, para definir la fiabilidad de una transmisión y de la combinación formada por el motor y la carga, se han realizado diversas investigaciones basadas en simulaciones asistidas por computador [2-4], que han permitido obtener un rango de relaciones de transmisión acorde con las necesidades de las aplicaciones industriales desarrolladas.

Al acoplar una transmisión entre el motor y el receptor, se presentan importantes cambios en la dinámica del actuador; en virtud de que una relación de transmisión grande, por ejemplo, disminuye la influencia de las demandas externas del receptor sobre el normal funcionamiento del motor. De igual forma, el motor debe girar a altas velocidades de rotación produciendo, además de un perjudicial estado vibratorio, aceleraciones mayores para un mismo desplazamiento de salida y pares de inercia superiores. Esta situación conlleva a la existencia de picos de potencia, analizados por diversos autores [5, 6], y que no representan un correcto criterio para la escogencia del motor. La existencia de transitorios con elevadas aceleraciones requiere que el sistema de accionamiento entregue la potencia exigida en un tiempo generalmente pequeño. En tal sentido, se ha establecido un procedimiento para estimar la relación de transmisión óptima [7], minimizando el tiempo consumido por el accionamiento para realizar el desplazamiento necesario. 

El presente trabajo esboza una metodología de selección y diseño de un accionamiento mecánico, basada en la determinación de las características y propiedades del actuador y de la transmisión, estableciendo las estrategias y la programación de movimientos de diseño, considerando las demandas y cargas dinámicas de la aplicación, separando gráficamente las características del motor de las del receptor, y definiendo la relación de transmisión que permite reducir las inercias del sistema sin afectar negativamente la relación de velocidades. 

2. Leyes de movimiento 

A pesar de que en la programación final los movimientos a desarrollar por el sistema son variados y complejos, durante el diseño preliminar de la cadena de accionamiento se parte de dos estrategias básicas. La primera de ellas hace referencia al diagrama de velocidades triangular, empleado para desplazamientos pequeños del receptor en los que el motor no llega a la velocidad de saturación; mientras que la segunda se corresponde con un diagrama de velocidades trapezoidal, adecuado para desplazamientos grandes en los que el motor alcanza la velocidad de saturación. Si se tiene el caso en que se desee mover una carga una distancia d_D, o q _D si el movimiento es angular, durante un tiempo T, ambas leyes deben cumplir con la condición de que el área bajo la curva de velocidad debe ser igual al desplazamiento total, según lo expresado en la ecuación 1 y atendiendo a lo precisado en la Figura 1.

Figura 1. Leyes de movimiento triangular y trapezoidal.

Ambas estrategias pueden plantearse en función del factor de saturación x, o relación entre el tiempo T₂ durante el cual el movimiento del sistema tiene velocidad constante, y el tiempo total de movimiento T. Por tanto, para x = 0 se está en la estrategia del diagrama de velocidades triangular, mientras que x= 1 es una situación inalcanzable, ya que significaría que las aceleraciones serían infinitas. Cualquier valor intermedio de este factor de saturación, corresponde a una ley de velocidades trapezoidales. Adicionalmente, si se considera que los tiempos de aceleración y desaceleración son iguales y equivalentes a T₁, los recorridos e_r de cada una de las secciones del movimiento, dependen del valor de la aceleración a_r y de la velocidad de régimen del receptor v_r, de acuerdo a lo formulado en las ecuación 2 [7].

De acuerdo a lo anterior, se obtienen las expresiones asociadas a la aceleración y a la velocidad de régimen en el receptor, mostradas en la ecuación 3. Se observa que en la medida que aumente el factor de saturación, más elevada será la aceleración y menor será la velocidad de régimen requerida por la carga.

3. Cadena de accionamiento. Formulación dinámica 

En un accionamiento constituido por un motor y un receptor, con una transmisión que modifica la relación de velocidades entre estos dos ejes, se establece la ecuación dinámica a partir de las hipótesis de que la cadena cinemática es rígida, por lo que no existen pérdidas por disipación ni deformaciones significativas en el sentido de movimiento, con lo cual la potencia no se divide y se entrega a las sucesivas etapas de la cadena. La Figura 2 muestra la configuración de una cadena de accionamiento simple.

Para calcular la relación de transmisión óptima que reduzca el par solicitado por el motor para las condiciones establecidas por el sistema, se realiza un análisis de las potencias actuantes sobre el motor, la transmisión y el receptor, acorde con los pares que actúan en cada uno de los componentes de la cadena de accionamiento, de acuerdo a la Figura 3 y a la ecuación 4 para movimientos angulares.

siendo J_m y J_r respectivamente las inercias del motor y de la carga, G_m y G_r son los torques presentes en el motor y en el receptor, G_e y G_s son los pares de fuerza a la entrada y a la salida de la transmisión, mientras que a_m y a_r son las aceleraciones angulares del motor y del receptor. Combinando ambas expresiones y simplificando términos, se obtiene la ecuación 5 representativa de la dinámica del sistema y del par requerido en el motor [7, 8], donde i es la relación de transmisión, h es el rendimiento de la transmisión, y w_m y w_r son las velocidades angulares del motor y del receptor.

4. Estimación de la potencia transitoria 

Los principales pares de fuerza en los movimientos ejecutados por el accionamiento mecánico, se derivan de las fuerzas inerciales, mientras que las fuerzas resistentes del receptor tienen valores menores; además, dado que el rendimiento de la transmisión es elevado, se puede considerar que las resistencias pasivas de la carga son nulas y que el rendimiento es unitario. Por otra parte, para optimizar el movimiento, debe minimizarse el tiempo o maximizarse la aceleración. Desde el punto de vista del proceso, reducir el tiempo no es una opción viable, en virtud de que se podrían producir notables sobrecargas en el sistema mecánico; por tanto si se toma en consideración la segunda alternativa, se determina la relación de transmisión de máxima aceleración o relación de transmisión óptima en vacío i₀ para movimientos angulares [7, 8]:

El parámetro adimensional K mide la relación de transmisión del sistema, tomando como referencia la relación óptima en vacío. Si el parámetro es menor a la unidad, la relación de transmisión i es menos reductora que i₀; pero si este parámetro es mayor a la unidad, la relación de transmisión es más reductora que i₀. Introduciendo esta variable en las expresiones previamente expuestas, se ha hallado la ecuación 7 referida a la relación de las potencias transitorias y energía cinética doble del actuador y del receptor.

5. Diagramas P’-W 

Figura 4. Representación de un diagrama P’-W.

En dichos diagramas se representan las curvas características de diferentes motores así como también la curva de la carga provocada por el receptor, descartando aquellos actuadores que se ubiquen por debajo de la representación de la carga. La potencia transitoria máxima del motor y la máxima energía cinética, se calculan respectivamente con el par máximo y con la velocidad máxima, suministrados por medio de los catálogos del fabricante. En el caso del receptor, sus valores máximos de energía cinética doble W_r y de potencia transitoria P_r’, dependen de la ley de movimiento establecida, según la ecuación 8 para desplazamientos lineales.

6. Aplicación industrial. Sistema de manipulación de carga 

Para ilustrar el procedimiento de selección descrito, se ha considerado una situación de ejecución real, que ejemplifica la metodología a seguir. En la empresa SADECT S.A de Barcelona, se dispone de un sistema de manipulación que efectúa desplazamientos de vaivén horizontales de e = 200 mm. En los desplazamientos de ida mueve una carga de m_ida = 10 kg, en un tiempo máximo de T_ida = 0,25 s; y en los desplazamientos de regreso va sin carga en un tiempo máximo de T_regreso = 0,15 s. La corredera con la pinza de sujeción de la carga tienen una masa de m_corredera = 2 kg y para efectos de simplificación se ha despreciado el roce. Para el diseño de los accionamientos requeridos se ha empleado el método del diagrama P’-W basado en la utilización de las potencias transitorias, atendiendo a un diagrama de velocidades trapezoidal como ley de movimiento. Dado que el desplazamiento a realizar es significativo; según lo establecido por esta estrategia, cuando se inicia el movimiento a aceleración máxima, el motor alcanzará su velocidad de saturación antes de la mitad del recorrido a ejecutar. 

En aras de diseñar una estrategia de movimiento que se adapte de manera adecuada a ambas situaciones, se ha considerado un factor de saturación x= 0,3; por lo que es posible determinar el valor de la velocidad y la aceleración de régimen en la saturación del motor, requeridos por el receptor para las dos situaciones propuestas. Sobre la base de lo anterior, las estrategias a utilizar vendrían representadas por diagramas trapezoidales mostrados en las Figuras 5 y 6, definidos a partir de lo detallado en el apartado 2. Se puede observar que la velocidad de saturación es mayor en el caso del regreso que para la ida con carga. Ello se debe a que el tiempo de retorno es menor, por lo que las aceleraciones experimentadas son superiores a las presentes durante la ida.

Figura 5. Diagrama de velocidades trapezoidal para el avance con carga.

Figura 6. Diagrama de velocidades trapezoidal para el regreso sin carga.

Para representar en el diagrama P’-W los puntos que describen los movimientos de ida y regreso desarrollados, se ha obtenido en primer lugar la potencia transitoria y la energía cinética doble presente en el receptor, según la ecuación 8. En atención a este cálculo, se ha tenido en cuenta que durante el trayecto de ida, la corredera transporta la carga de 10 kg, mientras que durante el regreso, el sistema de manipulación no posee carga alguna. De acuerdo a estas premisas, se han obtenido las curvas de accionamiento tangencial tanto para la ida como para la vuelta, representadas en la Figura 7. Por su parte, la selección de los servomotores asociados al sistema, ha estado condicionada a la disponibilidad de actuadores en existencia para la realización del proyecto, cuyos parámetros de funcionamiento han sido tomados del catálogo Mavilor [10], y se aprecian en las Tablas 1 y 2.

Figura 7. Curvas de accionamientos tangenciales y puntos del receptor en el diagrama P’-W.

Tabla 1. Especificaciones de servomotores Mavilor 

Tabla 2. Especificaciones de servomotores Mavilor 

Empleando los valores característicos de funcionamiento anteriormente tabulados, se ha calculado la potencia transitoria y la energía cinética doble para cada punto, para seguidamente representarlos en escala logarítmica con la finalidad de obtener sus respectivas curvas características en el diagrama P’-W. La Figura 8 muestra la inclusión de las mencionadas curvas, en las curvas de accionamientos tangenciales del receptor. Analizando el plano P’-W, se ha concluido que el motor MA 6, es el que mejor se ajusta a los requerimientos del sistema de manipulación para las dos situaciones en estudio, debido a que es el único que puede dar un nivel suficiente de potencia transitoria, tanto para la ida como para el regreso del sistema de manipulación. Por tanto, de entre los cuatros motores estudiados, el proceso de selección se decanta hacia el citado motor MA 6, fijando su velocidad de giro igual a 1500 min^–1.

Figura 8. Curvas de los servomotores y del receptor en el diagrama P’-W.

Una vez seleccionado el servomotor, se ha calculado la relación de transmisión óptima, que permite escoger la transmisión de la cadena de accionamiento. La relación de transmisión de máxima aceleración i₀ se determina por medio de la ecuación 6, la cual permite obtener además la relación de transmisión i del sistema.