Autores: José L. Romero, Nestor V. Queipo

Instituto de Cálculo Aplicado, Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia, Apartado 4011-A-526- Telex LUZ-R-VE-64287 - Tlf. (0261) 4128701 Fax (0261)7512214. {jlromero, nqueipo} @ica.luz.edu.ve

Abstract

Trying to avoid failure in formula SAE vehicles during competition, there is a regulation on the minimum load the brake pedal should withstand, i.e ., 2000 N. Furthermore, the use of conventional design methods and the cited load restriction may lead to potentially oversized brake pedals. In this work, the problem of interest, i.e. , minimize the brake pedal mass (M) subject to structural restrictions was systematically solved: i) defining a numerical model of a FSAE brake pedal, ii) constructing surrogate models to predict mass (M), maximum von Mises stress (Smax) and buckling load factor (fpandeo) from design of experiments and results of numerical simulations, and iii) adaptively optimizing the brake pedal mass using selected surrogates. The effectiveness of the proposed approach was demonstrated in the design of a FSAE brake pedal with eight (8) design variables (geometry) using Kriging and polynomial regression as surrogate models. The optimal design exhibits a mass of 157.5 g, representing a mass reduction in the order of 5.5 % with respect to a functional design for the same safety factor.

Key words: FSAE brake pedal; surrogate models; surrogate based-optimization; structural analysis; buckling.

Diseño óptimo basado en metamodelos de un pedal de freno tipo Fórmula SAE

Resumen

Tratando de evitar la falla del pedal de freno en los vehículos de Fórmula SAE en competencia, se ha impuesto reglamentariamente que el pedal debe soportar como mínimo una carga de 2000 N. Por otro lado, el uso de métodos de diseño convencionales y la citada restricción sobre la carga pueden conducir a pedales de freno sobredimensionados. En este trabajo el problema de interés, i.e. , minimizar la masa del pedal de freno (M) sujeto a restricciones estructurales fue sistemáticamente resuelto: i) definiendo un modelo numérico de un pedal de freno FSAE, ii) construyendo metamodelos para predecir masa (M), máximo esfuerzo de von Mises (Smax) y factor de pandeo (fpandeo) a partir de diseños de experimentos y resultados de simulaciones numéricas, y iii) optimizando adaptativamente la masa del pedal de freno usando metamodelos. La efectividad del enfoque propuesto fue demostrada en el diseño de un pedal de freno tipo FSAE considerando ocho (8) variables de diseño geométricas, y usando Kriging y regresión polinomial como metamodelos. El diseño óptimo obtenido exhibe una masa de 157,5 g, lo que representa una disminución de la masa en el orden del 5,5 % con respecto a un diseño funcional con el mismo factor de seguridad.

Palabras clave: pedal de freno FSAE; metamodelos; optimización basada en metamodelos; análisis estructural; pandeo.

Cuando se diseña un vehículo monoplaza tipo Fórmula SAE cada componente debe ser seguro y ligero para disminuir la masa del vehículo, y obtener la mayor ventaja de la potencia del motor. Antes del año 2011, los equipos FSAE a menudo reducían el factor de seguridad en métodos de diseño convencionales y subestimaban las cargas aplicadas a la pedalera (para reducir su masa). Esto condujo a fallas del pedal de freno durante la competencia dinámica y a una nueva regulación (FSAE, 2011 [1]) que requiere que el pedal de freno resista una carga mínima de 2000 N. El resultado de considerar la nueva regulación y el uso de métodos de diseño convencionales puede ocasionar la implantación de pedales de freno potencialmente sobredimensionados (problema de interés). Recientemente, el equipo FSAE de la Universidad del Zulia-Venezuela [2-4] ha abordado el problema de pedales sobredimensionados usando el enfoque de ensayo y error. Por otra parte, el acople directo del análisis estructural de elementos finitos (EF) y métodos de optimización puede ser computacionalmente costoso y podría ocasionar incumplimientos en el cronograma de la competencia FSAE. Para la optimización de modelos computacionalmente costosos como el planteado en este trabajo se ha propuesto el uso de metamodelos, con aplicaciones exitosas en la industria automotriz [5-9]. La optimización basada en metamodelos se refiere a la idea de construir modelos sustitutos (metamodelos) a partir de resultados de simulación numérica y utilizarlos en procesos de optimización. Este trabajo presenta un enfoque basado en metamodelos para la optimización del pedal de freno de un vehículo de carrera monoplaza que cumpla con el reglamento FSAE 2016 [10]. El problema de interés es sistemáticamente resuelto: i) definiendo un modelo numérico de un pedal de freno, ii) construyendo metamodelos, i.e. , regresión polinomial (PRG) y Kriging (KRG), para predecir los valores de masa (M), máximo esfuerzo de von Mises (S max ) y el factor de carga de pandeo (f pandeo ) del modelo del pedal de freno a partir de resultados de simulación numérica, y iii) optimizando el modelo basado en metamodelos del pedal de freno a través de un enfoque de optimización adaptativa (actualización del metamodelo) basado en gradientes.

Formulación del problema de optimización

Dado un modelo de pedal de freno FSAE con un conjunto de variables y parámetros de diseño (Figura 1),

los subíndices L y U denotan los límites inferior y superior, respectivamente.

Modelo numérico del pedal de Freno tipo FSAE

Variables y parámetros de diseño

La parametrización del modelo geométrico del pedal de freno incluye un conjunto de ocho (8) variables de diseño (Figura 1) seleccionadas usando análisis de sensibilidad global [11] asegurando un razonable, costo computacional y error estimado durante la construcción de los metamodelos. Nótese que estas variables, cuyos límites aparecen reportados en la Tabla 1, permiten un número significativo de formas alternativas del pedal. Las Tablas 2 y 3 muestran los parámetros geométricos del modelo del pedal y las propiedades del material, respectivamente.

Suposiciones en el análisis estructural

El análisis de esfuerzo de elementos finitos (EF) fue estático y lineal.

El análisis de pandeo de EF fue no lineal (grandes desplazamientos) mediante autovalores.

El material fue considerado homogéneo e isotrópico.

La carga máxima fue distribuida uniformemente y gradualmente aplicada (sin impacto).

Carga y condiciones de borde

El pedal de freno debe soportar una carga de 2000 N sin que falle el sistema de freno o la pedalera [10] y está sujeto a las condiciones de borde tipo pasador y planar en una región anular según se especifica en la Figura 2. Nótese que el dominio del modelo numérico del pedal de freno debe ser completo (Figura 2) para efectuar un correcto análisis de pandeo; de haber existido solo el modo de falla por condición de esfuerzo se habría apelado al principio de simetría para reducir el tiempo computacional.

Estudio de refinamiento de la malla

La Tabla 4 muestra los resultados del estudio de la resolución de la malla para nueve (9) longitudes máximas de elementos finitos del modelo numérico del pedal de freno reseñado en la Tabla 5. Nótese que la malla por defecto en el reconocido programa ANSYS Workbench® ofrece el error relativo más alto en el cálculo de S max y f pandeo al compararlo con los mejores resultados obtenidos usando una longitud máxima de 1 mm (valor dea referencia) en los elementos finitos. La malla adoptada de 3 mm de longitud máxima de elementos finitos representa una solución de compromiso entre los errores relativos de S max y f pandeo , y el tiempo computacional. Los tiempos de ejecución con la malla seleccionada son aproximadamente 6 y 7 segundos por análisis estructural y de pandeo, respectivamente, en una computadora Intel Core i7-3630QM CPU @ 2,40 Hz con 6 GB de memoria RAM.

Metodología

Los pasos claves en la optimización basada en metamodelos [13] del pedal de freno tipo FSAE son:

1. Diseño de experimentos (DOE)

2. Simulación numérica de DOE

3. Construcción de metamodelos a partir de DOE (entrada) y resultados de simulaciones numéricas (salida)

4. Optimización basada en metamodelos

1. Diseño de experimentos (DOE)

El DOE se genera usando el procedimiento denominado hipercubo latino (LHS) [14]. En este trabajo, el tamaño de la muestra fue de quinientos (500) puntos (cada punto representando un vector de 8 variables de diseño) muy por encima del mínimo recomendado por Jones [15] (80 puntos) de diez (10) veces el número de variables de diseño. El DOE fue obtenido ejecutando el comando lhsdesign de MATLAB® con criterios de optimización maximin (maximizar la mínima distancia entre puntos).

2. Simulación numérica de DOE

Los valores de M, S_max y f_pandeo asociados a cada una de la muestras del DOE fueron determinados usando análisis de propiedades de masa, y simulaciones numéricas basada en elementos finitos ( S_max y f_pandeo ) con estudios estático lineal y pandeo no lineal disponibles en el programa ANSYS Workbench®, respectivamente.

3. Construcción de metamodelos

Los metamodelos seleccionados para pronosticar los valores de M, S_max y f_pandeo (variables de salida) fueron: i) regresión polinomial, y ii) Kriging. A continuación se presenta una breve reseña de cada uno:

3.1. Regresión polinomial (PRG)

4. Optimización basada en metamodelos

El método de optimización utilizado es basado en gradiente y corresponde al algoritmo conocido como programación secuencial cuadrática (SQP) [20] implementado en el comando fmincon de MATLAB®. El resultado de la aplicación del método de optimización basado en gradientes está influenciado por el punto de partida (vector de valores de variables de diseño) y conduce generalmente a óptimos locales, por lo que en la búsqueda de valores óptimos globales en este trabajo se utilizan múltiples inicializaciones aleatorias (20) del punto de partida.

Esta sección muestra el desempeño de los metamodelos, y los resultados de la optimización del pedal de freno.

Desempeño de los metamodelos

Cuando consideramos los metamodelos de M y f pandeo , y S max , el mejor desempeño se obtiene utilizando el método Kriging con regresión constante (KRG_G0) y función de correlación Gaussiana (M y f pandeo ), y regresión lineal (KRG_L1) con función de correlación lineal (S max ); la Tabla 6 reporta los resultados obtenidos para las diferentes estrategias de metamodelado.

Conclusiones

Este trabajo presenta una estrategia efectiva basada en metamodelos para minimizar la masa de un pedal de freno tipo FSAE (M) sujeto a restricciones estructurales, i.e. , de esfuerzo - S max (relacionado con el esfuerzo de von Mises) y de pandeo–f pandeo . La efectividad de la estrategia propuesta es el resultado del uso de metamodelos (Kriging y regresión polinomial) para las funciones M, S max y f pandeo , y un enfoque de optimización adaptativa (actualización del metamodelo) basado en gradientes.

Aspectos a considerar en futuros trabajos incluyen el modelado de incertidumbre en las propiedades de los materiales, en el modelado numérico del pedal de freno, el diseño óptimo probabilístico basado en confiabilidad versus el obtenido utilizando factores de seguridad, y el impacto en el diseño, de medidas de reducción de incertidumbre de post-diseño.

Referencias

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Recibido el 21 de abril de 2016 En forma revisada el 5 de diciembre de 2016