2 Investigador Asociado, Proyecto Conicit–IMME–Facultad de Ingeniería, UCV.

Este trabajo tiene como finalidad proponer y evaluar la validez de un procedimiento de análisis para determinar la respuesta crítica elástica de estructuras cuando las dos componentes horizontales de aceleración del movimiento sísmico tengan diferente forma espectral. Los espectros suavizados de las componentes horizontales mayor y menor de un conjunto dado de movimientos registrados se utilizaron para calcular la respuesta estructural crítica, la cual se define como la mayor respuesta para todos los ángulos posibles de incidencia de estas dos componentes. La respuesta crítica es estimada mediante un procedimiento de análisis que utiliza el método CQC3 y un cociente constante de intensidad espectral, g _c  definido por el promedio de los valores correspondientes a los modos con la mayor contribución para sismo actuando según los dos ejes horizontales de referencia de la estructura. Análisis paramétricos en edificios de un piso, simétricos, uni-asimétricos y bi-asimétricos, variando las propiedades de los mismos, y análisis numéricos en dos edificios de varios pisos muestran que el uso del método CQC3 con g _c suministra resultados que no difieren más de un 5% de la respuesta crítica, destacando así la precisión del método propuesto para efectos del diseño estructural.

Palabras clave: CQC3, respuesta crítica, espectros principales, componentes horizontales.

Key words: CQC3, critical response, multicomponent analysis, principal spectra, horizontal components.

1. Introducción

De acuerdo a las normas modernas de diseño el análisis de estructuras localizadas en zonas de elevada amenaza sísmica debe considerar la acción simultánea de las componentes horizontales del movimiento del terreno. Bajo el marco de los métodos de análisis espectral contemplado en las normas, la acción sísmica se especifica en términos de los espectros de respuesta de las dos componentes horizontales correspondientes a las direcciones principales del movimiento. Una dirección principal define la componente de mayor intensidad y la ortogonal define la dirección principal de menor intensidad. A lo largo de estas direcciones principales las dos componentes de aceleración no están correlacionadas [ 1] .

Las dos direcciones horizontales principales del movimiento sísmico pueden formar cualquier ángulo con los ejes de la estructura. Con la finalidad de tener la misma probabilidad de excedencia para las respuestas máximas a usar en el diseño estructural, cada respuesta debe determinarse considerando todos los valores posibles del ángulo de incidencia de estas componentes sísmicas. La respuesta crítica se define como la mayor respuesta entre todas las respuestas asociadas a cada valor posible del ángulo de incidencia. En el método de análisis espectral la respuesta crítica se puede determinar mediante un procedimiento general que considera la diferencia entre los espectros de las dos componentes sísmicas horizontales [ 3,6] . Otro procedimiento más sencillo que reduce el volumen de calculo numérico, es el denominado Combinación Cuadrática Completa con 3 Componentes (CQC3 por sus siglas en inglés) el cual se basa en aceptar que una componente principal es de dirección fija vertical y las dos componentes sísmicas horizontales tienen la misma forma espectral aún cuando tengan diferente intensidad; es decir, se supone que el cociente g  entre los espectros de las componentes horizontales menor y mayor es una constante, independiente del valor del período de vibración [ 3,4,5] . Aún cuando estudios de respuesta estructural han utilizado un valor de g = 0,85 [ 2] , estudios recientes sobre las propiedades de los sismos utilizando conjuntos de acelerogramas registrados en diversos lugares del planeta han puesto de manifiesto que los espectros horizontales principales no tienen la misma forma y que el cociente γ de intensidad espectral varía entre 0,5 y 0,85, dependiendo del valor del período de vibración y de la cercanía o lejanía a la falla del sitio en estudio [ 7] . Este trabajo tiene como finalidad proponer e investigar la precisión de un procedimiento de análisis basado en el método CQC3 para la determinación de la respuesta crítica de estructuras sujetas a dos componentes sísmicas horizontales con espectros distintos que tome en cuenta la variabilidad de la intensidad espectral considerando el caso más desfavorable del efecto de la componente vertical. La valoración de la precisión se efectúa por comparación con el cálculo más exacto posible dentro del marco del Método de Análisis Espectral. Escapa a este trabajo la comparación con resultados de análisis en el tiempo, los cuales realmente evaluarían la validez de los métodos espectrales.

2. MOVIMIENTO SÍSMICO

Los espectros de las dos componentes horizontales principales han sido determinados a partir de los espectros medios de un conjunto de acelerogramas correspondientes a movimientos registrados en diversos lugares del planeta [ 7] . El conjunto está constituido por 17 pares de componentes horizontales seleccionadas por el Centro de Ingeniería Sísmica del Pacífico PEER [ 8] , las cuales se listan en la Tabla 1.

Terremoto	Estación
Chile 03/03/85	Valparaíso
Michoacán 19/09/85	]]> Caletas de Campos
Michoacán 19/09/85	OCTT
Miyagi-Oki 2/06/78	Ofunato Bochi
Chile 03/03/85	Llolleo
Chile 03/03/85	Viña del Mar
Olympia 13/04/49	]]> Seattle Army Base
Tokachi-Oki 16/05/68	Hachinohe Harbor

El movimiento sísmico a fines de este estudio se define mediante la suavización de dichos espectros medios a fin de darle la forma típica utilizada en las normas. En la Figura 1(a) se presentan los espectros suavizados de seudo-aceleración, S₁ y S₂, de las componentes horizontales mayor y menor del movimiento sísmico, respectivamente, graficados en función del período natural de vibración T, para un amortiguamiento del 5%. Los valores de la seudo-aceleración se expresan como una fracción de la aceleración de gravedad, g. La componente mayor tiene una aceleración máxima del terreno igual a 0,5g mientras que dicha aceleración para la componente menor es de 0,37g. En la Figura 1(a) se aprecia que ambas componentes tienen formas espectrales distintas, con una mayor contribución de períodos intermedios y largos en la componente mayor. El cociente de intensidad espectral se define como g (T) =S₂ /S₁ , y se presenta en la Figura 1(b) como una función del período de vibración. Los valores de g(T) varían entre 0,73 y 0,83 para períodos cortos (T<0,5 s), valen aproximadamente 0,56 para períodos intermedios y aproximadamente 0,59 para períodos largos (T>2,6 s). Aunque se grafican resultados solo hasta T = 5 seg, se ha verificado la validez de los valores de g hasta T = 10 seg.

El espectro de la componente vertical puede ser cualquiera. Sin embargo el mayor error en la respuesta CQC3, respecto a la respuesta crítica, ocurre cuando la respuesta a la componente vertical es nula ya que el incremento en el valor de esta respuesta tiende a acercar ambos resultados. Por consiguiente, en lo que sigue, y a los fines de determinar el mayor error posible, se omite la acción de la componente vertical.

Figura 1. (a) Espectros suavizados de seudo-aceleración de la componente mayor (S₁) y menor (S₂) del movimiento sísmico

Figura 1. (b) cociente de intensidad espectral g = S₂ / S _1.

3. RESPUESTA CRÍTICA DE ESTRUCTURAS ANTE DOS COMPONENTES HORIZONTALES DEL SISMO

Sea la estructura genérica indicada en la Figura 2 que está sujeta a la acción de las dos componentes sísmicas horizontales definidas por sus espectros S₁ y S₂ actuando a lo largo de sus direcciones principales (1, 2) las cuales forman un ángulo q con los ejes (x , y) de referencia de la estructura. El valor crítico de una determinada respuesta se define como el mayor valor entre las respuestas generadas al considerar todos los valores posibles del ángulo q . Un diseño que considere los valores críticos de cada parámetro de respuesta (fuerzas cortantes, momentos flectores, fuerzas axiales, etc.), suministraría una probabilidad similar de excedencia para cada una y ha sido propuesto como criterio de diseño sismorresistente [ 3, 4, 5] . Si las dos componentes sísmicas tienen idéntica forma espectral, es decir si el cociente de intensidad espectral g (T) = S₂ / S ₁ es una constante, entonces la respuesta crítica elástica está dada por el denominado método CQC3 [ 4,5] . A continuación se describen sucintamente las metodologías para calcular la respuesta crítica y la respuesta CQC3, a ser utilizadas en las evaluaciones posteriores.

Figura 2. Ejes principales (1, 2) del movimiento sísmico y ejes (x, y) de la estructura

Bajo el marco de referencia del método de análisis espectral el valor máximo probable de una determinada respuesta r ante la acción de las dos componentes horizontales principales del sismo que pueden tener diferentes formas espectrales, está dado en función del ángulo de incidencia q (Figura 2) por [ 6] :

(1)

Donde se ha supuesto que la respuesta a la componente vertical es nula; r_{1x  y} r_1y  son los valores máximos de la respuesta r debido a la aplicación de una sola componente sísmica definida por el espectro S₁ actuando primero según la dirección x y luego según la dirección y de la estructura, respectivamente. Análogamente, r_{2x  y} r_2y   se definen como los valores máximos de r cuando se aplica el espectro S₂ en la dirección x y en la dirección y, respectivamente. Cada una de las respuestas r_{1x  y} r_1y , r_{2x  y} r_2y se obtienen de combinar las respuestas máximas en cada modo de vibración utilizando el criterio de la Combinación Cuadrática Completa (CQC son sus siglas en inglés) [ 9,10] :

(2a)

(2b)

(2c)

(2d)

donde r_nki,  , n = 1,2 k = x,y, es la respuesta máxima en el modo i de vibración,   r_ij es el coeficiente de correlación modal entre los modos i y j [ 9,10] y N es el número de modos de vibración. 

Los términos  r_{1xy  y}  r_2xy  que aparecen en la Ecuación (1) son los términos cruzados de las respuestas modales que contribuyen a las respuestas  r_{1x  y}  r_1y, r_{2x  y} r_2y  respectivamente. Los términos cruzados r_1xy  y  r_2xy  están dados por:

(3a)

(3b)

Se debe señalar que los términos cruzados  r_1xy  y  r_2xy   están asociados con la correlación entre las respuestas r_1x  y  r_1y ,r_2x  y  r_2y , respectivamente. En efecto, definiendo a y como los coeficientes de correlación entre las respuestas  r_1x  y  r_1y ,r_2x  y  r_2y   respectivamente, se puede demostrar que -1<a₁<1 y -1<a₂ <1 [ 5,11] . Conviene señalar que estos términos de correlación marcan la diferencia con otras metodologías propuestas que suministran resultados aproximados [12].

Derivando r en la Ecuación (1) con respecto al ángulo q e igualando a cero el resultado se obtienen los valores críticos,q_cr  del ángulo de incidencia [ 6] :

(4)

La Ecuación (4) suministra dos valores de ø _cr comprendidos entre 0° y 180° , los cuales están separados entre sí 90° ; cuando estos dos valores de _cr  son sustituidos en la Ecuación (1) se obtienen el valor máximo y el valor mínimo de la respuesta r. El valor máximo se define como la respuesta crítica  r_cr , la cual constituye la mayor respuesta para todos los ángulos posibles de incidencia de las dos componentes sísmicas ortogonales.

3.2 La respuesta CQC3

Si los espectros de las dos componentes horizontales actuando según las direcciones 1 y 2 (Figura 1(a)) tuviesen la misma forma, podemos decir que el espectro de la componente menor es S₂ = g_c S₁, donde g_c<1 se define como el cociente constante de intensidad espectral. En este caso la respuesta máxima r ante la acción de las componentes sísmicas ortogonales S₁ y  g_c S₁ está dada en función del ángulo de incidencia   q (Figura 2) por el método CQC3 [ 3,4,5,6] :

(5)

Donde de nuevo se ha supuesto que la respuesta a la componente vertical es nula.

La Ecuación (5) se puede obtener a partir de la más general Ecuación (1); en efecto, bajo la hipótesis S₂ = g_c S₁, de las ecuaciones (2) y (3) observamos que , y . Sustituyendo estas relaciones en (1) se obtiene    (5).

La respuesta CQC3, r_CQC3 , se define como la mayor respuesta r considerando todos los valores posibles del ángulo de incidencia _q. Una fórmula explícita de  r_CQC3 está dada por [ 3,5] :

(6)

El ángulo de incidencia de las componentes sísmicas que da lugar a la respuesta CQC3 se obtiene de:

(7)

La Ecuación (7) suministra dos valores del ángulo q; uno corresponde a la máxima respuesta, la cual definimos como la respuesta CQC3 (Ecuación (6)), y la otra corresponde a la mínima.

3.3 Método propuesto para estimar la respuesta crítica

Si el cociente de intensidad espectral, g(T), de las dos componentes horizontales del sismo fuera constante, independiente del período de vibración T, la respuesta CQC3 dada por la Ecuación (6) sería idéntica a la respuesta crítica dada por la Ecuación (1). Puesto que γ varía con T (Figura 1(b)), para utilizar la respuesta CQC3 y estimar la respuesta crítica r_cr se requiere de la definición de un cociente de intensidad espectral constante, o efectiva, para poder aplicar la fórmula (6); la respuesta resultante será entonces una aproximación a .r_cr Con este objeto, el cociente de intensidad espectral constante, g_c lo definimos de la siguiente manera:

(8)

donde T_x y  T_y son los períodos de vibración de los modos que poseen la mayor masa participativa para sismo en dirección x y en dirección y, respectivamente. El método propuesto consiste por lo tanto en la determinación previa del cociente de intensidad espectral constante mediante la Ecuación (8) y el cálculo de la respuesta r_CQC3  mediante la Ecuación (6). La motivación subyacente a esta selección de g_c, parte de suponer que: a) en gran parte de los casos los modos de mayor masa participativa serán los principales contribuyentes a la respuesta; b) en tal caso un valor de g constante que ajuste la r_CQC3 a la  r_cr   debe estar con gran probabilidad entre los g(T_x) y los ; g(T_y)  por simplicidad se escoge el valor intermedio.

4. Evaluación del método propuesto

Los ejemplos que siguen a continuación tienen como finalidad comparar la respuesta crítica con la respuesta determinada utilizando el método CQC3 en conjunto con el valor constante del cociente de intensidad espectral, .g_c Las comparaciones se presentan mediante estudios paramétricos en edificios de un piso y luego mediante ejemplos numéricos en edificios de varios pisos.

4.1 Edificios simétricos de un piso

La Figura 3 muestra un edificio ideal de un piso constituido por cuatro columnas sin masa, empotradas en el conjunto losa-vigas y en la base, de altura igual a 0,4 L siendo L la distancia entre columnas. El edificio es simétrico según cada eje (x, y), por lo que solo consideraremos dos grados de libertad según dichas direcciones. Un modo de vibración de período T_x solo posee traslación según la dirección x, y el otro modo de período T_y ]]> y. Debido a la simetría del edificio y al carácter traslacional de movimiento sísmico, el modo torsional de la planta tiene participación nula y el edificio responde dinámicamente en traslación sin rotar. Adoptamos un amortiguamiento igual al 5% para ambos modos. Como valor de respuesta consideraremos únicamente la fuerza axial en la columna a indicada en la Figura 3. No evaluamos en detalle momentos flectores, fuerzas cortantes o desplazamientos en las direcciones (x, y), porque para ellos r_CQC3 =. r_crEn efecto, por ejemplo para la fuerza cortante o el momento flector actuando en dirección x, tenemos que r_1y = r_2y= 0 debido a la simetría de la planta del edificio; por tanto de la Ecuación (3) se tiene r_1xy = r_2xy= 0, los ángulos críticos (Ecuación (4)) son 0  y 90° , y la respuesta crítica (Ecuación (1)) r_cr= r_1x para q = 0° . Adicionalmente, de la ]]> Ecuación (6)  tenemos  que r_CQC3   =   r_1x  y por tanto concluimos que r_CQC3 = r_cr Similarmente, la respuesta CQC3 también es idéntica a la respuesta crítica r_cr  para cualquier otro valor de respuesta orientado a lo largo del eje y, por lo que no es necesario determinar sus valores numéricos. La respuesta crítica r_cr  escogida, la fuerza axial, ante los dos espectros S₁ ]]> S₂ fue determinada mediante la Ecuaciones (1) y (4). La respuesta CQC3, r_CQC3 a los espectros S₁ y  g_c S₁se calculó con la Ecuación (6), donde γ _c está dado por la Ecuación (8). El cociente r_CQC3 ]]> / r_cr se grafica en la Figura 4 en función del cociente de períodos T_x/T_y para diversos valores de T_y  comprendidos entre 0.25 y 3 segundos. Valores de r_CQC3 / r_cr= 1 corresponden a aquellos casos donde T_x y T_y ]]> g(T) es constante en la Figura 1(a). Nótese en la Figura 4 que cuando T_x=T_y , el cociente r_CQC3/  r_cr es igual a uno para cualquier valor del período T_y. El cociente r_CQC3/  r_cr es diferente de uno cuando  T_x y T_{y ]]>} se localizan en ramas distintas de _g(T) (Figura 1(a)), indicando que en este caso la respuesta CQC3 difiere de la respuesta crítica.