Roberto Aguiar¹, Anuar González²

¹ Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Quito-Ecuador, email: raguiar@espe.edu.ec 

² Escuela de Ingeniería Civil. Universidad Técnica de Manabí. Portoviejo-Ecuador

Resumen

Se presenta una metodología para evaluar en forma rápida la deriva máxima de pisos en edificios de hormigón armado conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, en la que cada uno de los parámetros que intervienen en el cálculo, han sido obtenidos a partir de sismos registrados en Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina. Además se ha considerado la forma como se construye en el Ecuador, la calidad del acero y el hormigón que usualmente se utiliza en las construcciones para la selección de las estructuras.

Posteriormente se obtiene la deriva máxima de piso de 72 edificios simétricos, de 1 a 6 pisos, ante la acción de 25 registros sísmicos, mediante análisis no lineal dinámico y se comparan los 1800 resultados obtenidos con los valores que se encuentran al aplicar la metodología rápida de evaluación.

Palabras claves: Deriva máxima de piso, deriva global, inelástico.

Quick evaluation of the maximum drift in buildings without shear walls

ABSTRACT

Later on the maximum drift of 72 buildings is obtained, from 1 to 6 floors, before the action of 25 seismic registrations, by means of dynamic non lineal analysis and the 1800 results obtained are compared with the values that are found when applying the quick methodology of evaluation.

Key words: Maximum derived of floor, global derive, inelastic.

Recibido: 09/01/06    Revisado:  04/05/06   Aceptado: 16/05/06

1. Introducción

En la última década del siglo pasado se dio gran importancia al desarrollo de métodos simplificados que reportan el punto de desempeño de una estructura ante una determinada acción sísmica, punto que está determinado por un desplazamiento lateral máximo o una deriva de piso máxima. Para el efecto se desarrollaron varios algoritmos para el Método del Espectro de Capacidad que fueron recomendados por el ATC-40 (1996).

Varias son las contribuciones realizadas para determinar el punto de desempeño empleando el Método del Espectro de Capacidad, entre las que se puede citar a las formuladas por Bertero (1995), Reinhorn (1997), Chopra y Goel (2002), entre otras. Lo cierto es que en todas estas metodologías se debe suministrar, a un programa de ordenador, la geometría de la estructura, el armado de los elementos y la calidad de los materiales. Información que demanda un tiempo considerable, pero es un poco menor a la que se suministra cuando se utilizan programas de análisis no lineal, paso a paso, pero la interpretación de resultados es más fácil que este último.

Con el propósito de encontrar el punto de desempeño en una forma  rápida, se han propuesto ecuaciones empíricas,  orientadas fundamentalmente a la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de un conjunto de estructuras, las mismas que demandarían demasiado tiempo si se pretenden analizar con el Método del Espectro de Capacidad o peor aún con los algoritmos de análisis no lineal dinámico, paso a paso.

Una de las ecuaciones empíricas es la propuesta por Miranda (1997, 1999) y sirve para encontrar la deriva máxima de piso , empleando la siguiente ecuación.

         (1)

Una vez que se determina la deriva máxima de piso, ante una acción sísmica dada se puede inferir el desempeño de la misma, utilizando los valores recomendados por Ghobarah (2004) o por el comité VISION 2000 (1995). También se puede encontrar el desempeño utilizando las curvas de fragilidad propuestas por Aguiar y Bobadilla (2005) para cuatro niveles de daño denominadas: leve, moderado, extensivo y completo.

2. MODIFICACIÓN A LA ECUACIÓN PROPUESTA

Los modelos constitutivos de los materiales que han sido utilizados por la mayor parte de investigadores (Miranda 2000, Whittaker et al 1998, Nassar y Krawinkler 1991, Shimazaki y Sozen 1984, entre otros)  para determinar alguno de los parámetros indicados en la ecuación (1)  no han contemplado el deterioro de rigidez en la descarga, la pérdida de resistencia y el efecto de cierre de grietas (pinching). En efecto la mayor parte de ellos consideraron un modelo elasto perfectamente plástico o un modelo bilineal que contempla rigidez post fluencia.

Por este motivo es que se incorporó el parámetro b₅ , que toma en cuenta la pérdida de rigidez, de resistencia y efecto pinching, quedando la ecuación (1) de la siguiente manera:

       (2)

La ecuación (2) es la que se utilizará para encontrar la deriva máxima de piso, bajo el título de metodología rápida y cuyos valores serán comparados con los que reporta el programa IDARC2D al realizar un análisis no lineal dinámico, paso a paso, pero antes de ello se describen a continuación los estudios realizados, en este artículo, para la determinación de cada uno de los parámetros.

3. PARÁMETRO b₁ 

El factor b₁ no es más que el factor de participación modal evaluado en el último piso, de tal manera que puede calcularse con la siguiente ecuación:

    (3)

Tabla 1. Valores de b₁  recomendados por FEMA 356

Existen fórmulas simplificadas para el cálculo de b₁  como la propuesta por Algan (1982) la misma que se indica en la ecuación ( 4 ) pero fue deducida a partir de una viga de flexión de sección constante de tal manera que su aplicación tendrá mejor aproximación en edificios con muros de corte.

    (4)

Por otra parte, Miranda y Reyes (2002) resuelven un sistema acoplado de una viga de flexión con una viga de corte, de sección variable, en función del parámetro adimensional a₀ que se indica a continuación:

    (5)

siendo GA₀ la rigidez al corte y EL₀ la rigidez a flexión. Para edificios con muros de corte el valor de a₀ es menor a 2; para edificios con un sistema dual formado por muros de corte y vigas y columnas el valor de a₀ se encuentra entre 1.5 y 6. Finalmente para edificios en base a vigas y columnas el valor de a₀ está entre 5 y 20.

En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen a partir de los resultados de Miranda y Reyes (2002), para sección constante y para a₀=2 que vendría a ser el límite superior de edificios con muros de corte; para a₀=5 que es el límite inferior para el caso de edificios con vigas y columnas; para  a₀=10 que es un caso intermedio de edificios con vigas y columnas. En estos tres casos se ha considerado que la carga actuante es triangular. La carga lateral si influye en el valor de b₁, en efecto, si la carga es uniforme distribuida se encuentran menores valores de b₁. Se indica también las curvas que se obtiene con la propuesta de Algan y con la recomendada por FEMA 356.

En la figura 1, se observa que la propuesta de FEMA 356 presenta valores más altos que los obtenidos con la ecuación de Algan. Así mismo para edificios menores a 7 pisos, los valores de FEMA 356 se aproximan mejor, a los que se encuentra con Miranda y Reyes para a₀=2 que son para estructuras con muros de corte. De tal manera que para edificios en base a un sistema de vigas y columnas, los valores recomendados por FEMA 356 son bastante altos. Al trabajar con los valores obtenidos para a₀=5 se tendría un buen margen de seguridad para edificios en base a vigas y columnas de tal forma que se recomienda utilizar los valores indicados en la tabla 2 para esta tipología estructural.

Figura 1. Comparación de valores de b₁

Tabla 2. Valores recomendados de  b₁para edificios en base a vigas y columnas

4. PARÁMETRO b₂

Se analizaron 120 estructuras de hormigón armado de 1 a 10 pisos con la configuración en planta indicada en la figura 2. Las estructuras responden a una forma, como se construye en el Ecuador, cuya tendencia es no tener vigas descolgadas por este motivo el ancho de las vigas es mayor que el peralte, no son vigas banda ya que si aparece una pequeña dimensión fuera de la losa. En la tabla 3 se indican las dimensiones de las secciones transversales de columnas y vigas y la carga permanente; para todos los casos la carga transitoria fue de 200 kg/m²., y para el análisis sísmico se consideró la carga permanente más el 25% de la carga transitoria.

Figura 2. Planta tipo de edificios analizados

Tabla 3. Secciones y cargas de las estructuras

Tanto las secciones de vigas y columnas se mantienen constantes en todos los pisos así por ejemplo, para los edificios de 5 pisos las columnas son de 40cm./40cm., para todos los pisos, lo propio sucede con las vigas.  La altura de los entrepisos es igual y vale 3.0 m., Bobadilla (2006).

La armadura longitudinal de las columnas varió de 1% a 2% y la armadura longitudinal de las vigas varió de 0.5% a 1.5%, los casos considerados de armado se indican en la tabla 4. Una vez seleccionado el porcentaje de armadura longitudinal de vigas y columnas se mantienen constantes estos valores en todos los vanos y pisos. El refuerzo transversal, tanto de vigas como de columnas es  de 8 mm., de diámetro espaciado cada 10 cm., en los extremos del elemento y cada 20 cm., en el centro de la luz.

Tabla 4. Armadura longitudinal y transversal considerada en el estudio

Se encontró la respuesta no lineal, considerando nudos rígidos, ante la acción de 32 acelerogramas registrados en Colombia, Ecuador, Perú, Argentina y Chile, dando un total de 3840 datos con los cuales se obtuvo la relación entre la deriva máxima de piso con respecto a la deriva global, obteniéndose de esta manera el valor de b₂. En la tabla 9 se indican los parámetros más importantes de 25 de los registros utilizados.

En la figura 3 se presentan los valores obtenidos de b₂ para el caso 1 en que la armadura longitudinal de columnas es el 1% y la armadura de vigas es 0.5% en la parte inferior y 0.75% en la parte superior; se aprecia que los valores de b₂ son superiores a la unidad y menores a 3.6. De igual forma se observa que hay más dispersión de b₂ en edificios de mayor número de pisos. Los valores medios que se obtuvieron de los 3840 datos se indican en la figura 4, donde también se presenta la curva que mejor se ajusta a los puntos la misma que está definida por la siguiente ecuación:

     (6)

Figura 3. Valores de b₂ obtenidos para el caso 1 de armadura longitudinal

donde N es el número de pisos de la estructura. El valor de  b₂ tiene que ser mayor o igual a la unidad. En base a esta ecuación se halla el valor de  b₂  en la evaluación de la deriva máxima de piso, aplicando la metodología rápida.

Figura 4. Valores medios obtenidos y ajuste de curva para determinar b₂ 

Se hace notar que el parámetro b₂  se obtuvo del análisis de edificios de 1 a 10 pisos pero la comparación de la deriva máxima de piso utilizando la metodología rápida y el análisis no lineal se realizó con edificios de 1 a 6 pisos.

5. PARÁMETRO b₃

El parámetro b₃ relaciona el desplazamiento lateral máximo inelástico con respecto al desplazamiento lateral máximo elástico, en sistemas de un grado de libertad, con este recordatorio se debe manifestar que se han propuesto ecuaciones para el cálculo de b₃ por parte de Miranda (2000), Nassar y Krawinkler (1991), entre otros, las mismas que fueron obtenidas en base a sismos registrados en los Estados Unidos de Norte América, razón por la cual era necesario encontrar una ecuación similar pero trabajando en base a registros sísmicos de Sur América, Guerrero (2005).

Aguiar y Guerrero (2005) en base al análisis de 63 acelerogramas registrados en Colombia, Perú, Chile y Argentina, recomiendan las siguientes ecuaciones para calcular b₃, que son las que mejor se ajustan a los resultados obtenidos y que se indican en las figuras 5 y 6.

     (7)

    (8)

    (9)

Siendo a la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica de la curva de capacidad sísmica resistente que relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo. Siempre se deberá considerar b₃ mayor que 1.

Figura 5. Valores medios de b₃  para a =0.05

Figura 6. Valores medios de b₃   para a =0.05

Para obtener b₃  se obtuvieron los espectros de desplazamiento, elásticos e inelásticos para ductilidades de 2, 3 y 4 empleando el programa DEGTRA. Cada espectro se calculó con 300 puntos, se obtuvo espectros para a =0  y para a =0.05

Figura 7. Valores medios de b₃   y ajuste para ductilidad 4 y a =0

En la figura 8 se presenta la desviación estándar de los valores de b₃  para a =0.05 se aprecia que para períodos cortos la desviación tiene un valor que está alrededor de 0.6 para una ductilidad de 4 y disminuye para las restantes ductilidades. Por esta razón se recomienda, al valor de b₃  calculado con las ecuaciones (7) a (9), sumarle 0.5 para las construcciones de 1 piso y 0.3 para las de 2 pisos.

Figura 8. Valores de la desviación estándar de b₃  para a =0

6. PARÁMETRO b₄

Para el cálculo de b₄ se analizaron 72 estructuras de 1 a 6 pisos, cuya configuración en planta, dimensiones y armado de sus elementos es la indicada en el apartado 4, ante la acción de 27 registros sísmicos de Colombia (9), Ecuador (1), Perú (7), Chile (8) y Argentina (2), de tal manera que se obtuvieron 1944 valores de b₄ empleando la siguiente ecuación:

El parámetro b₄ no es más que la relación del parámetro b₂ calculado en el rango  inelástico, con relación al parámetro b₂ calculado en el rango elástico. En la figura 9 se presentan los valores obtenidos para el caso 1 de armado de las estructuras. Con línea continua se presenta la curva de valores medios para las estructuras 1 a 6 pisos.

Figura 9. Valores de b₄ para las estructuras con armadura correspondiente al CASO 1

En la figura 10 se muestran las curvas de valores medios para cada una de los doce casos de armado y la curva media de todos ellos, la misma que se vuelve a enseñar en la figura 11 en la que se aprecia que la tendencia de los puntos medios es de tipo lineal, razón por la cual se ajustaron los puntos con una recta que es función del número de pisos N.

   (11)

Figura 10. Curvas de valores medios de b₄ para cada caso de análisis

Figura 11. Ajuste de puntos obtenidos en el estudio con una recta

7. PARÁMETRO b₅

Los estudios realizados para determinar los parámetros b₂, b₃ y b₄no contemplan deterioro de rigidez en la descarga, deterioro de resistencia en un ciclo de histéresis y efecto de cierre de grietas. Estos tres factores son incluidos en el modelo numérico de cálculo de la deriva máxima de piso mediante el parámetro b_5.

Lee et al (1999) analizaron la influencia de cada uno de los factores que intervienen en el modelo constitutivo, indicados en el párrafo anterior, con relación al modelo elasto perfectamente plástico, para ello utilizaron la nomenclatura indicada en la figura 12, en la que a₁ es un factor que considera el incremento de rigidez en la post fluencia con respecto al modelo elasto perfectamente plástico, este factor si ha sido considerado en la determinación de los otros parámetros y se lo había denominado a por lo que no se lo incluye en la determinación de b₅.  El factor a₂ indicado en la figura 12 considera la degradación de resistencia; el factor a₃ considera el deterioro de rigidez en la descarga y el factor a₄ el efecto de cierre de grietas

Figura 12. Modelos histeréticos: (a) Bilineal; (b) Degradación de Resistencia;                                   (c) Degradación de rigidez en la descarga y (d) efecto de cierre de grietas

Lee et al (1999) en su estudio lo que hallaron fue en que porcentaje se incrementa o disminuye el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R_m debido al modelo de histéresis pero al sacar la inversa se encuentra el factor de corrección con el que se obtienen los desplazamientos inelásticos.

Tabla 5. Efecto de la degradación de resistencia en R_m 

Tabla 6. Efecto de la degradación de rigidez en R_m 

En la tabla 7 se aprecia la variación de R_m  en función del parámetro a₄ que cuantifica el efecto de cierre de grietas que se produce cuando un elemento ingresa al rango no lineal y empieza a deformarse en sentido contrario.

Tabla 7. Efecto del cierre de grietas en R_m 

Al obtener la inversa del producto de los valores promedios indicados en la última columna de las tablas 5 a 7 se encuentra el parámetro a ₅ y se indica en la tabla 8 para diferentes valores de ductilidad.

Tabla 8. Valores de b₅ en función de la demanda de ductilidad

El período efectivo T_e con el cual se ingresa al espectro elástico para calcular el desplazamiento S_d, de acuerdo a FEMA 356 se evalúa con la siguiente ecuación: 

        (12)

donde K_i es la rigidez inicial de la estructura que se la obtiene de la curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el cortante basal con el desplazamiento lateral máximo; K_e es una rigidez secante a la curva de capacidad que pasa por el punto cuya ordenada es igual a 0.6 del cortante de fluencia V_y; T_i es el período de vibración inicial de la estructura en el rango elástico. Emplear esta ecuación implica conocer la curva de capacidad sísmica resistente y para ello se debe suministrar la geometría de la estructura y la armadura longitudinal y transversal de cada uno de sus elementos, lo que demanda un tiempo apreciable que no estaría de acuerdo con la filosofía de la metodología rápida de evaluación de la deriva máxima de piso, por lo que se recomienda calcular tres valores de T_e  y hallar tres valores espectrales de S_d y por ende tres derivas de piso máximo con la ecuación (2) y de estas encontrar el valor medio.

Se propone el cálculo de T_e  con las siguientes ecuaciones, la primera es la obtenida de registros sísmicos con aceleraciones mayores al 15% de la aceleración de la gravedad en edificios de hormigón armado sin muros de corte, de tal manera que las estructuras sobrepasaron el punto de agrietamiento, la ecuación propuesta por Goel y Chopra (1997) es:

     (13)

Donde H es la altura total del edificio expresada en metros. La segunda ecuación que se propone para el cálculo de T_e  es la propuesta por el UBC-97 que se indica a continuación: 

   (14)

De igual manera la altura total se expresa en metros. La tercera ecuación es la obtenida en México en edificios de hormigón armado sin muros de corte y está en función del número de pisos N.

   (15)

La geometría y armado de las 72 estructuras de 1 a 6 pisos que se analizaron se indicó en el apartado 4 de este artículo.

El hormigón utilizado tiene una resistencia máxima a la comprensión de 21 MPa y el acero un límite de fluencia de 420 MPa. Los acelerogramas con los cuales se obtuvo la deriva máxima de piso utilizando el programa IDARC2D, mediante análisis no lineal dinámico, se presentan en la tabla 9. Se destaca que es análisis no lineal dinámico ya que en el programa IDARC2D se puede realizar también un análisis no lineal estático para encontrar la curva de capacidad sísmica empleando la técnica del pushover.

Tabla 9. Parámetros más importantes de los sismos considerados en el estudio

10. ANÁLISIS NO LINEAL Y RESULTADOS

Se analizaron 1800 valores que corresponden a las 72 estructuras sometidas a los 25 registros indicados en la tabla 9. El análisis se realizó de dos maneras, la primera utilizando el programa IDARC2D y la segunda empleando la ecuación (2). Para el primer caso se encontró la respuesta no lineal, paso a paso, de un pórtico central del edificio, interesaba ver únicamente la distorsión máxima de piso y la demanda de ductilidad la misma que en la mayoría de los casos fue superior a 4. Posteriormente se evaluó la deriva máxima de piso por medio de la ecuación (2) empleando los parámetros b₁ a b₅  que han sido indicados en este artículo. Se destaca que en la metodología rápida se obtuvieron primero los espectros de desplazamiento elástico de cada uno de los sismos y los desplazamientos espectrales, S_d se hallaron para los tres períodos indicados en las ecuaciones (13) a (15) luego se obtuvo la deriva de piso máxima aplicando la ecuación (2) y finalmente se halló un promedio de estos valores.

Se denomina g_ID a la deriva máxima de piso obtenida con el programa IDARC2D y g a la deriva máxima de piso encontrada con la ecuación (2). Para poder visualizar los resultados en una sola figura se define la relación g_ID / g. Si esta relación tiende a 1 significa que la aproximación de la deriva máxima de piso que se encuentra en forma rápida con la ecuación (2) reporta muy buenos resultados. En la figura 13 se presenta esta relación para  los 1800 puntos.

Figura 13. Relación g_ID / g  encontrada en el estudio

La línea continua de la figura 13, que une a todos los pisos, corresponde al valor medio encontrado con los valores de cada piso, se aprecia que una gran cantidad de puntos se encuentra bajo la línea de valores medios, el promedio sube por que existen valores que presentan una muy alta relación  g_ID / g.

En la tabla 10 se indican los valores medios encontrados para las estructuras analizadas y que corresponde a la línea continua que une los diferentes pisos en la figura 12.

Tabla 10. Valores medios de g_ID / g 

En base a sismos registrados en Colombia, Ecuador, Perú, Chile y Argentina y tomando en cuenta la forma como se construye los edificios de hormigón armado en el Ecuador se han determinado varios parámetros que intervienen en la evaluación de la deriva máxima de piso mediante una sola ecuación, que se ha denominado metodología rápida. Posteriormente se analizaron 1800 resultados de las derivas máximas de piso que se obtuvieron al utilizar un programa de análisis no lineal dinámico, como es el IDARC2D y se compararon los resultados con los que se encuentran con la ecuación que contempla cinco parámetros y de los valores medios se desprenden las siguientes conclusiones:

• Para los edificios de 4, 5 y 6 pisos los valores obtenidos con la metodología rápida, reporta resultados muy satisfactorios a los que se obtienen del análisis no lineal dinámico. El valor medio de los casos analizados establece que la deriva máxima de piso encontrada con la metodología rápida es prácticamente la misma que la reportada por el programa IDARC2D.

• Para los edificios de 3 pisos se considera satisfactorio los resultados obtenidos con la metodología rápida ya que el valor medio está alrededor de tres.

• Para las estructuras de 1 y 2 pisos la metodología rápida reporta valores bastante bajos en comparación con los que se hallan en el análisis no lineal dinámico.

12. AGRADECIMIENTOS

A los directivos de la Escuela Politécnica del Ejército por haber financiado el Proyecto de Investigación: “Evaluación rápida  de la deriva máxima de piso en edificios de hormigón armado”.

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