Julio J. Hernández¹, Oscar A. López²

¹ Asesor, Fundación Venezolana de Investigaciones Sismológicas (FUNVISIS), Calle Mara, El Llanito, Caracas 1070, Venezuela.  Correo-e: julher@cantv.net.

² Profesor, IMME, Facultad de Ingeniería, Universidad Central de Venezuela, Caracas, Venezuela.

Resumen

Se presenta una investigación de las respuestas sísmicas críticas, es decir las más desfavorables, que se presentan en los sistemas estructurales cuando se incluyen las acciones que conducen a la torsión accidental: componente sísmica rotacional y variaciones de las excentricidades entre los centros de masa y de rigidez, considerando diversas propiedades del sistema estructural. Se estudian sistemas de un piso en el rango elástico de respuesta, sujetos a la acción de un espectro rotacional y espectros traslacionales principales en dos direcciones horizontales, considerando las respuestas máximas ante la variación del ángulo de incidencia. Se consideran excentricidades nominales y accidentales según las dos direcciones principales de la planta. El trabajo atiende a los desplazamientos máximos en los extremos de la planta, los cuales sobrellevan las mayores solicitaciones sísmicas, identificando los casos críticos. Los efectos accidentales estudiados cubren la respuesta a sismos moderados y son una referencia de la respuesta posible a sismos severos y de la respuesta de edificios de varios pisos, indicando situaciones peligrosas posibles. En función de los resultados obtenidos, se revisa la relativa precisión de las prescripciones torsionales contenidas en las normas sísmicas de Venezuela, México y Estados Unidos, así como del procedimiento de De La Llera y Chopra.

Palabras clave: torsión accidental, excentricidad accidental, componente rotacional, momento torsor, respuesta sísmica, espectro de respuesta, sistema asimétrico, norma sísmica, procedimiento torsional.

Investigation of critical seismic responses including accidental torsion.

ABSTRACT

This paper presents a research of the critical, i.e. the more unfavorable, seismic responses of structural systems when actions leading to accidental torsion are included: rotational seismic component and variation of the eccentricities between the stiffness and mass centers, considering several structural system properties. Elastic one-story systems are studied, subjected to rotational spectrum and principal translational spectra along two horizontal directions, considering the maximum responses due to the variation of the incident angle. Nominal and accidental eccentricities along the two plan directions are included. This work looks at the peak displacements at plan edges, which withstand the larger seismic forces, identifying the critical cases. The studied accidental effects cover the response to moderate seismic motions, and are a reference of the possible response to severe seismic motions and of the response of multi-storey buildings, pointing out possible hazardous situations. The obtained results allow an evaluation of the relative accuracy of several torsional specifications incorporated in the seismic codes of Venezuela, Mexico and USA, as well as that of De La Llera and Chopra procedure.

Recibido: 27/03/07  Revisado: 07/08/07 Aceptado: 20/08/07

1. IntroducCión

1.1 Daños por torsión en terremotos

Desde hace bastante tiempo se han reconocido los efectos sísmicos torsionales como una fuente posible de daños de las edificaciones [Ayre, 1938; Ayre, 1943; Housner y Outinen, 1958] y se han emitido recomendaciones para afrontarlos desde 1957 y 1959 en las normas mexicana [Distrito Federal, 1957] y californiana, respectivamente [SEAOC, 1959]. Además, en importantes libros de la época se expuso la metodología de implementación [Blume et al., 1961]. En Venezuela se incorporaron en 1967 en la norma antisísmica, tras el terremoto de Caracas [MOP, 1967]. Sin embargo, pese a la difusión internacional de estas prescripciones, estos dañinos efectos continuaron manifestándose en varios terremotos a lo largo del siglo XX, incluyendo fechas recientes. Por ejemplo, en el terremoto de Guatemala de 1976 (M = 7.5) el Hotel Terminal en la capital falló debido a la torsión generada por el excéntrico núcleo de servicios. En la Figura 1 se observan la fachada y una columna del segundo entrepiso que no resistió la fuerza cortante asociada al momento torsor de la planta superior.

Figura 1. Falla del Hotel Terminal, Ciudad de Guatemala, 1976 [Godden Collection, 1980].

En la Figura 2 se observa el colapso del Hotel New Society en Cotabato City, Mindanao, Filipinas, debido a la torsión global que condujo a la falla de las columnas de una esquina en el primer piso, ocurrido en el terremoto de Mindanao de 1976 (M = 7.9). La fuerte rotación se debió a la gran diferencia de rigidez entre los planos de fachada (observados en la Figura) y los otros dos planos no visibles. En la Figura 3 se observa la fachada de un edificio reciente y el colapso de una columna a nivel del estacionamiento, ocurrido en la ciudad de Kobe durante el terremoto Hyogo-ken-Nanbu, Japón, 1995 (M = 6.9), debido a una combinación de torsión de la planta, entrepiso blando y diseño poco dúctil. Aún más recientemente, en el terremoto de Chi-Chi, Taiwán, 1999 (M = 7.6) podemos encontrar un edificio con falla torsional debida a la poca rigidez de dos planos de fachada (Figura 4), que condujo a su inclinación global.

Figura 2. Colapso del primer piso y giro global del Hotel New Society, Cotabato City, Mindanao, Filipinas, 1976 [Selna y Tso, 1980].

Figura 3. Falla por torsión más otras deficiencias de edificio en Kobe, Japón, 1995 [EERI, 1998].

Figura 4. Falla torsional y consecuente inclinación de edificio en Taiwán, 1999 [Taiwan Collection, 2000].

En Venezuela, en el terremoto de Cariaco, 1997 (M = 6.9), el edificio Miramar (Cumaná) se derrumbó; estaba constituido por pórticos de concreto armado y muros de gran rigidez en los núcleos de escalera y ascensor hacia un extremo de las plantas. Obsérvese el edificio de 8 pisos antes del terremoto en la Figura 5 y un esquema estructural de su Planta Tipo en la Figura 6 [Malaver y Barreiro, 1997]. La ubicación de los muros impuso una gran excentricidad entre los centros de masa y rigidez y ocasionó importantes efectos torsionales, que junto con otras debilidades de la edificación condujeron a su colapso [IMME, 1998]. En la Figura 7 se observa que sólo quedaron en pie dos pisos de los núcleos excéntricos, alrededor de los cuales el edificio giró [EERI, 1997].

Figura 5. Vista del Edificio Miramar, Cumaná, antes del terremoto de 1.997.

Figura 6. Esquema estructural de la Planta Tipo del edificio Miramar, Cumaná, mostrando los muros de los núcleos excéntricos de escalera y ascensor [Malaver y Barreiro, 1997].

De estas experiencias, que no son las únicas, se infiere que aún queda mucho por hacer para la implementación de buenos diseños y que la investigación asociada es importante. Se trata de estimar adecuadamente los requerimientos de los diferentes planos resistentes, de modo que no colapse ninguno, logrando que las distribuciones de masa, rigidez, resistencia y ductilidad en planta, sean lo más balanceadas posibles. En general, se pueden conseguir diseños relativamente seguros sin incrementar excesivamente los costos de construcción [Hernández, 1993].

1.2 Conceptos y definiciones

Las normas antisísmicas prescriben que los efectos torsionales se añadan a los efectos traslacionales para el análisis sísmico. La torsión global se refiere al fenómeno de equilibrio mecánico entre las deformaciones estructurales manifestadas como rotaciones de las plantas de la edificación en su plano (horizontal) y las solicitaciones resultantes según el eje vertical, denominadas pares de fuerzas o momentos torsores (o torques acumulados, designando como torques a los pares de fuerzas directamente aplicados). Se utiliza la palabra torsión y sus derivadas: respuesta torsional, efectos torsionales, etc., cuando se alude al fenómeno mecánico de fuerzas o esfuerzos versus deformaciones; mientras que se usa la palabra rotación y similares: deformaciones angulares, giros, etc., cuando nos referimos al fenómeno puramente geométrico: Un ejemplo de estas denominaciones son: a) la de vibración torsional, para referirse a la respuesta dinámica de la estructura que depende de las propiedades inerciales (masas, inercias rotacionales) y las estructurales, las cuales conducen a un equilibrio dinámico entre fuerzas inerciales, elásticas y disipativas; b) la de excitación rotacional para referirse a la variación geométrica de la posición angular de la base (aunque a su vez dependa del fenómeno mecánico de transmisión de ondas en el medio terrestre).

Es obvio que con estas denominaciones se está haciendo un símil entre el edificio y la idealización de una barra vertical empotrada, siendo el empotramiento una representación de las fundaciones del edificio. Conexamente, se usa la denominación de momento de volcamiento o de vuelco (en dirección del eje horizontal), que está asociado a las fuerzas cortantes horizontales y se manifiesta como deformación del edificio en un símil de flexión lateral. Una respuesta torsional pura (sólo momentos torsores y deformaciones angulares de las plantas) es improbable y sólo posible por efecto de una pura excitación rotacional de la base. En la mayor parte de los casos tendremos que la torsión se acopla con la traslación: la torsión sísmica se desarrolla debido al acoplamiento lateral-torsional que generan las asimetrías de la edificación, cuando el edificio es excitado principalmente en traslación.

Un parámetro que caracteriza los sistemas asimétricos de un piso es la excentricidad entre el centro de masa y el centro de rigidez, la cual está asociada a determinada dirección. El centro de rigidez es el punto donde al aplicar una fuerza horizontal el sistema se desplaza sin rotar; puede demostrarse que siempre existe para todo tipo de estructura de un piso y que es también el centro instantáneo de rotación cuando se aplica un torque a la planta [Hernández, 1997a]; en el caso de sistemas de varios pisos, los centros de rigidez sólo pueden definirse en forma aproximada. En los análisis sísmicos estáticos de edificaciones suele utilizarse el concepto de centro de cortante por piso, que es el centro de acción de las fuerzas cortantes horizontales (en dos direcciones perpendiculares) que actúan en el piso, definidas como la suma de las fuerzas horizontales aplicadas (en cada dirección) en los centros de masa de cada piso por encima del considerado más el propio piso en cuestión. Es importante anotar que los centros de cortantes son dependientes de los valores de las fuerzas aplicadas para cada dirección de ellas, mientras que los centros de masa son una propiedad del sistema. En los análisis sísmicos dinámicos de edificios de varios pisos no es necesario utilizar ni centros de cortantes ni de rigidez, sino solamente centros de masa; la definición precisa de la estructura suple la indefinición de centros de rigidez. Sin embargo, como se comenta más adelante, dada la complejidad de las respuestas torsionales, conviene estudiar éstas en sistemas de un piso para luego extenderlas a los edificios de varios pisos, tras asociar adecuadamente los distintos centros definidos en cada estructura.

La torsión global elástica puede dividirse [Hernández y López, 2003] en: a) torsión intrínseca, inducida por las componentes sísmicas de traslación del terreno en función de las frecuencias de los modos de vibración, que derivan de las distribuciones nominales de masa y rigidez de las plantas de los sistemas asimétricos; b) torsión accidental, inducida por las mismas componentes en función de las variaciones aleatorias o inciertas de las distribuciones antedichas y por la componente sísmica rotacional del terreno. Estos elementos (variaciones aleatorias y componente rotacional) los denominamos acciones accidentales, pues generan torsión accidental o efectos accidentales.

En el caso de respuesta inelástica del sistema, la torsión global depende adicionalmente de la distribución de resistencias de los diversos planos resistentes (pórticos, muros), debido a que ellos no alcanzan simultáneamente el rango elástico; aquella puede considerarse como parte de las acciones accidentales (aunque en compleja interacción con la torsión intrínseca) desde una perspectiva normativa de la estimación estática de las respuestas sísmicas. Dentro de las distribuciones de masa, rigidez y resistencia (elásticas e inelásticas, en este caso), que afectan el comportamiento torsional del sistema, deben considerarse las derivadas de la tabiquería, las cuales normalmente tienen una incertidumbre o variabilidad superior a la de la estructura. Por consiguiente, de no analizarse en forma más precisa, es conveniente incluirlas como parte de las acciones accidentales. En conclusión, es notoria la importancia de estudiar adecuadamente los efectos torsionales accidentales pues, adicionalmente a los efectos intrínsecos debidos a la excitación sísmica traslacional, ellos representan los efectos de los movimientos rotacionales del terreno y de las variaciones elásticas e inelásticas de las propiedades de la estructura y la tabiquería.

1.3 Antecedentes

Es importante anotar que, frente a antiguas metodologías en términos del momento torsor de piso, cuyo valor puede afinarse con cierta exactitud [Rosenblueth y Elorduy, 1969], se ha demostrado que los efectos torsionales elásticos deben evaluarse en términos de sus efectos en las líneas o planos resistentes, fundamentalmente en los extremos, donde son más desfavorables [Dempsey y Tso, 1982; Hernández y López, 1984], y que denominaremos críticos. Esta necesidad se debe principalmente a la no simultaneidad de los respectivos valores máximos de los cortantes de piso y momentos torsores, la cual sería necesario considerar para estimar con precisión la demanda en el extremo flexible de las plantas y conduciría al requerimiento de otro valor y otro signo del momento torsor, para estimar la demanda en el extremo rígido de las plantas. En lugar de esa complicación, lo más práctico es calcular directamente los desplazamientos críticos en cada plano resistente. Es obvio que, además, de este modo las evaluaciones elásticas se pueden comparar con las inelásticas, las cuales se efectúan en los planos resistentes, de acuerdo a la demanda de deformación en cada uno. Es de recordar, también, la importancia de considerar la excitación sísmica bidireccional en las evaluaciones de la torsión elástica e inelástica [Hernández, 1997a; De Stefano et al., 1998; Hernández y López, 1999a; Hernández y López, 1999b; Hernández y López, 2000].

Modernamente se ha hecho énfasis en la conveniencia de diseñar las edificaciones para varios niveles de desempeño sísmico, exigibles para correspondientes niveles de intensidad sísmica [SEAOC, 1995; Hernández, 1997b; FEMA, 2000; Lobo, 2005]. Por lo tanto, es de suma importancia el estudio de los efectos accidentales en el rango elástico, el cual se corresponde con un desempeño sin daños o daños leves. En realidad, se puede comprobar que para muchos casos de plantas, en este rango se producen amplificaciones torsionales mayores que en el rango inelástico; por lo tanto, no sería conservador usar los resultados inelásticos como única referencia. Esto es de primordial importancia, considerando el requisito de que una estructura exhiba un desempeño elástico ante sismos moderados, es decir sin daños en ningún plano resistente; para lograrlo hay que estimar la máxima amplificación que se puede producir en ellos, a fin de que todos dispongan de resistencias elásticas superiores a las demandas. Algunos trabajos han planteado métodos para diseñar conjuntamente para los casos de torsión sísmica elástica e inelástica [Goel y Chopra, 1994], pero no han cubierto todas las variantes de plantas posibles.

La calibración de los efectos accidentales no ha atendido a la variación de todos los parámetros estructurales. Por ejemplo, en el trabajo de De La Llera y Chopra (1994) limitado al rango elástico, se toman en cuenta la rigidez torsional y la relación de aspecto de la planta, pero no las excentricidades, ni los períodos en la dirección perpendicular, ni la acción sísmica bidireccional. El período estructural de la dirección estudiada fue incorporado en una revisión posterior [Lin et al., 2001]. Muchos estudios se han efectuado en el mundo para calibrar la respuesta de estructuras asimétricas en el rango inelástico. En varios casos, éstos no han incluido las acciones accidentales como parte de la excitación sísmica, sino que han evaluado si las prescripciones accidentales normativas prevén las fuerzas inelásticas, que se asimilan a los efectos accidentales, p. ej.: [Wong y Tso, 1994]. Sin embargo, la naturaleza exacta del problema supone que las acciones accidentales se incluyan como parte de la acción sísmica completa y se estudien sus implicaciones en el rango inelástico de respuesta. Es conveniente diferenciar entre acciones accidentales y efectos accidentales: éstos deben quedar cubiertos mediante la aplicación de los “parámetros accidentales” normativos de diseño, en el supuesto de la ocurrencia de aquellas acciones.

Dadas las incertidumbres, una evaluación precisa de los efectos accidentales requiere un tratamiento probabilístico, tanto si se trabaja en el rango elástico [De La Llera y Chopra, 1994], como en el rango inelástico [De-la-Colina y Almeida, 2004]. Posteriormente, las recomendaciones de diseño deben atender a las probabilidades de excedencia aceptables. Sin embargo, para el propósito que nos ocupa, como información parcial es importante conocer la variación de los valores medios o las medianas de las respuestas, para cada situación posible. Es decir, conviene establecer los patrones o tendencias de variación de los valores centrales de las respuestas accidentales, en función de los valores centrales de las acciones accidentales (medias de las variaciones de las propiedades del sistema y de las excitaciones rotacionales).

Dada su complejidad, se ha venido trabajando sobre todo con sistemas de un piso, a los que se considera representativos de los edificios de varios pisos. Esto es prácticamente exacto para la torsión intrínseca de edificios con centros de masa alineados y distribución de rigideces semejante en cada planta [Kan y  Chopra, 1976]. Para otros, los resultados obtenidos son indicativos del tipo de fenómeno torsional, aunque variaciones accidentales de las excentricidades, en direcciones o sentidos diferentes en distintas plantas, conducirán a algunas desviaciones de los valores precisos.

1.4 Objetivos y alcance

En este trabajo se estudia la influencia de diversas variaciones de las propiedades de sistemas estructurales de un piso, en el rango de respuesta elástica, para valores centrales de las acciones accidentales. Uno de los objetivos es el de investigar las condiciones críticas de las propiedades del sistema, que podrían conducir a solicitaciones excesivas; al respecto, un trabajo previo ha presentado un estudio parcial de la influencia de las propiedades del sistema estructural en las respuestas sísmicas con torsión accidental [Hernández y López, 2004]. En la evaluación se admiten excentricidades nominales en las dos direcciones de la planta, e igualmente las excentricidades accidentales se consideran simultáneamente según ambas. Se atiende a los desplazamientos máximos en los extremos de la planta, los cuales sobrellevan las mayores solicitaciones sísmicas. Otro objetivo es el de comparar los resultados obtenidos para cada condición del sistema, con los valores derivados de la aplicación de varios procedimientos torsionales de diseño: la norma venezolana [COVENIN, 2001], la mexicana [Distrito Federal, 1995], la norteamericana [ICC, 2003] y el procedimiento planteado por De La Llera y Chopra (1994). Podrán sustentarse así, algunas recomendaciones de mejoras de las normas o de los procedimientos torsionales, en general.

Dos simplificaciones asumidas en este trabajo, sistemas de un piso y rango elástico, establecen alguna limitación sobre la extrapolación de los resultados a edificios de varios pisos y al rango inelástico. Sin embargo, ellos representan un aporte a la dilucidación general de los casos críticos torsionales que pueden ocurrir, gracias al estudio de variables antes omitidas. Representan una más completa evaluación de los efectos torsionales posibles para sistemas sencillos, que puede ampliarse para estudiar edificios de varios pisos. Para la respuesta elástica ante sismos moderados, en edificios de estructuración semejante en elevación, los resultados obtenidos serán del mismo orden [Kan y   Chopra, 1976] e indicativos de las situaciones críticas en un caso más general. Por otro lado, pueden servir de guía para el estudio de la respuesta inelástica ante sismos severos, ampliando trabajos anteriores como el de Ayala y Escobar (1992), mediante la investigación de las situaciones críticas detectadas. En efecto, se encuentra que para sistemas de un piso con propiedades determinadas, los patrones de respuesta torsional elástica son similares a los de la correspondiente inelástica [Perušy Fajfar, 2005]. Además, pueden ser una referencia para orientar análisis inelásticos de edificios de varios pisos que también suelen mostrar patrones de respuestas similares [Marušić y Fajfar, 2005], aunque los resultados serán algo conservadores tras considerar rotulaciones plásticas en las vigas en lugar de en las columnas, como suele asumirse en los sistemas sencillos [Rutenberg y Tso, 2004].

2. MODELO Y METODOLOGÍA

2.1 Idealización mecánica del edificio

Figura 8. Sistemas de un piso: (a) uni-asimétricos; (b) bi-asimétricos.

Para cada dirección, identificamos como sector rígido de la planta a la zona a un lado del C.R. que no incluye al C.M. y sector flexible al resto, con sus respectivos extremos rígido y flexible. Estos nombres derivan de las respuestas estáticas de la planta a cargas típicas. Dada una fuerza horizontal estática aplicada en el C.M., el sistema gira en torno al C.R., los desplazamientos de las líneas resistentes del sector rígido son menores a los del C.R., mientras que los de las líneas del sector flexible son mayores a él. O bien, dado un torque estático aplicado en la planta, las líneas del sector flexible se desplazan más que las correspondientes simétricas del sector rígido.

Designamos por e_x y e_y  a las excentricidades normalizadas: ε_x = e_x / ρ , ε_y = e_y / ρ , donde ρ es el radio de giro inercial de la planta (= inercia rotacional / masa); W es la razón entre las frecuencias desacopladas torsional y lateral de un sistema simétrico equivalente con iguales rigideces globales, frecuencia torsional (w_q) y frecuencia traslacional (w_y): W = w_q / w_y, estableciendo una dirección preferencial de análisis (en este caso la dirección Y). Este parámetro es un índice de la relativa rigidez torsional del sistema: valores pequeños de W, menores a 0.8 aproximadamente (el límite teórico inferior es e_x para sistemas uni-asimétricos), representan sistemas torsionalmente flexibles (desarrollan rotaciones grandes en comparación con las traslaciones); valores grandes de W, mayores de 1.2 aproximadamente (el límite teórico superior es variable, pero suele estar entre 1.7 y 2), representan sistemas torsionalmente rígidos (desarrollan rotaciones pequeñas en comparación con las traslaciones). El resto de casos, que es muy frecuente, con W entre 0.8 y 1.2 se consideran sistemas de rigidez torsional moderada. Adicionalmente, designamos por T_x y T_y a los períodos de vibración lateral de un sistema simétrico (o desacoplado) con iguales rigideces globales y por B_x y B_y a las dimensiones de la planta (Figura 8), llamando relación de aspecto a B_x / B_y.

La presentación de la Figura 8 con dos líneas resistentes en cada dirección es simbólica, representando cualquier número de tales líneas para sistemas elásticos; sólo en caso de estudiarse sistemas inelásticos sería preciso definir exactamente el número y posición de las líneas resistentes, aparte de la resistencia y ductilidad de cada una. El conjunto de parámetros listados arriba representa completamente a los sistemas elásticos, independientemente del número de líneas y de su diseño resistente; en un caso real interesan las rigideces de cada línea, pero ellas conducen a la posición del C.R. y a las relaciones entre las frecuencias de vibración, las cuales condicionan exactamente la respuesta torsional. Por consiguiente, a fines de obtener respuestas de carácter general, podemos obviar la distribución precisa de los planos resistentes, utilizando los parámetros listados; cada grupo particular de valores de parámetros representa múltiples situaciones reales que conducen a ellos.

2.2 Acciones sísmicas: nominales y accidentales

Analizamos las respuestas estructurales en rango elástico, mediante el método de análisis espectral, el cual combina las respuestas máximas modales a fin de estimar la respuesta global máxima. La excitación sísmica se define mediante los espectros para 5% de amortiguamiento crítico de las dos componentes de traslación horizontales y la componente rotacional, que actúan en la base del sistema. Utilizamos las componentes horizontales principales, es decir las correspondientes a las direcciones con nula correlación mutua, tipificadas para perfil de suelo intermedio. En la Figura 9 pueden observarse valores tipificados de ambos espectros.

Figura 9. Espectros normalizados de pseudo-aceleración espectral: A₁/g : espectro principal horizontal mayor; A₂/g : espectro principal horizontal menor; rA_q/g : espectro equivalente rotacional.

Como simplificación de los modelos a utilizar, para el estudio de la torsión accidental asumimos que la variación de las distribuciones de masa y rigidez de la planta puede representarse por la variación accidental de la posición del C.M., a partir de su posición nominal en el centro geométrico de la planta, dejando fijo el C.R. en la posición definida por sus excentricidades nominales con el C.M. nominal. Obtenemos variaciones de excentricidades (D'e) entre el C.R. y los C.M. accidentales, que conducen a excentricidades accidentales, bajo las cuales investigamos la torsión accidental. Siguiendo una práctica habitual en las investigaciones mundiales del tema, suponemos que para una cierta tasa de ocurrencia, esta variación del C.M. puede modelarse por medio de un valor medio estadístico De en cada dirección principal de la planta, igual a una determinada proporción (z) de la longitud de la planta en esa dirección: Δe_k = ζB_k ; k = X ó Y. Asumimos que existe la misma probabilidad de ocurrencia de variación del C.M. en cualquier dirección en una planta cuadrada, quedando representada por una circunferencia con centro en el C.M. Por extensión, en una planta rectangular cualquiera, las posiciones correspondientes de variación del C.M. se encuentran a lo largo de una elipse centrada en el C.M. nominal, que pasa por los puntos de variación de las direcciones principales (Figura 10). En los análisis de respuesta del sistema ante la acción accidental que representa la ocurrencia de De, consideramos 9 posiciones del C.M.: Punto 0 para la posición nominal y puntos 1 a 8 para las posiciones accidentales: variación según las direcciones principales (puntos 1, 3, 5 y 7) y variación según las diagonales del rectángulo circunscrito a la elipse (puntos 2, 4, 6 y 8).

Figura 10.  Centros de masa: Punto 0 = C.M. nominal; Puntos 1 a 8 = C.M. accidentales, en elipse de variación accidental de la posición del C.M.

2.3 Método de análisis

En general, denominamos “r” al desplazamiento sísmico esperado, calculado en un plano resistente extremo de la planta, ante cualquier variante de acciones. Su valor lo normalizamos respecto al que ocurriría en un sistema ideal desacoplado (sin excentricidades), sometido a la componente sísmica traslacional mayor (de espectro A₁), actuando paralelamente al plano. Por consiguiente, todos los valores presentados, además de cumplir otras funciones, son una referencia de la amplificación torsional respecto a ese caso ideal sin torsión.

Para un sistema con propiedades determinadas calculamos las respuestas siguiendo los pasos:

a) Sometemos el sistema a la acción de cada componente sísmica por separado, calculando las respuestas máximas modales de los desplazamientos estudiados y las combinamos mediante la regla de la combinación cuadrática completa (CQC por sus siglas en inglés) [Rosenblueth y Elorduy, 1969; Der Kiureghian, 1981]. Ésta toma en cuenta la correlación entre las respuestas de modos de frecuencias cercanas, asunto muy importante en el análisis de la respuesta torsional, ya que debido al acoplamiento lateral-torsional es frecuente la cercanía entre los períodos de los modos de vibración. Es bueno recordar que la regla de la CQC - o la regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, cuando no existen frecuencias cercanas - consideran probabilísticamente la no simultaneidad de los máximos modales, obteniendo una buena aproximación del promedio de los casos reales, bajo la hipótesis de respuesta a acelerogramas con amplio contenido de frecuencias; mientras que con análisis dinámicos temporales se necesitaría analizar muchos casos con acelerogramas independientes para obtener un buen estimado.

b)    Calculamos la respuesta crítica del sistema ante la acción conjunta de todas las componentes sísmicas mediante la regla de la combinación cuadrática completa con 3 componentes (CQC3 por sus siglas en inglés) [Smeby y Der Kiureghian, 1985; Menun y Der Kiureghian, 1998; López et al., 2000], considerando los posibles ángulos de incidencia de las componentes horizontales y que la componente rotacional no está correlacionada con las otras.

c) El valor nominal r_nom para el caso en que no se suponen acciones accidentales: el C.M. colocado sólo en el Punto 0 y sin acción de la componente rotacional, pero tomando en cuenta los ángulos de incidencia posibles de las componentes traslacionales. Corresponde a la torsión intrínseca.

d) El valor máximo r_acc de los efectos accidentales, definido como el máximo entre los valores críticos de los diversos casos de acciones accidentales: las nueve posiciones del C.M. consideradas (0 a 8; Figura 10), ante las componentes traslacionales (en todas las direcciones posibles) junto con la componente rotacional del sismo. Uno de los casos (Punto 0) supone acciones accidentales debidas únicamente a esta componente, mientras que los demás las incluyen tanto por ella como por las variaciones accidentales de excentricidad.

Dado que hemos utilizado valores medios de las acciones accidentales, podemos suponer que habremos obtenido un estimado (r_acc) de las medias del valor máximo de los efectos accidentales torsionales. La relación r_acc / r_nom mide la influencia relativa de las acciones accidentales previstas, respecto a la respuesta crítica intrínseca de las líneas extremas de la planta.

3. VALORACIÓN DE LAS ACCIONES UTILIZADAS

A continuación se presentan resultados correspondientes a la influencia de las acciones utilizadas en el estudio, a fin de que pueda valorarse su relativa importancia. En primer lugar se presenta la valoración de la importancia de las componentes sísmicas traslacionales y su combinación y en segundo lugar la valoración de las diversas direcciones de las variaciones aleatorias (accidentales) de las excentricidades. Por último, se examina la influencia de los valores de las variaciones accidentales consideradas y de la magnitud del espectro rotacional respecto a los traslacionales, utilizando una planta referencial.

3.1 Acciones sísmicas traslacionales

En la Figura 11 puede observarse la diferencia entre las respuestas, ante distintos casos de acción y combinación de las componentes sísmicas traslacionales, obtenidas para los desplazamientos en dirección Y de los extremos rígido y flexible de sistemas bi-asimétricos de rigidez semejante en ambas direcciones, definidos mediante ε_x = 0.1 ; ε_y = 0.2; B_x / B_y = 2.5; T_x / T_y = 1; T_y =0.5 s,  sin incorporar acciones accidentales (Δe / B = 0; σ = 0). En la Figura 12 puede observarse el mismo tipo de resultados para los desplazamientos en dirección Y de los extremos rígido y flexibles de sistemas bi-asimétricos con períodos fundamentales diferentes en cada dirección, definidos mediante ε_x = 0.2 ; ε_y = 0.2; B_x / B_y = 2.5; T_x / T_y = 1.5; T_y =0.5 s, igualmente sin considerar acciones accidentales (Δe / B = 0; σ = 0), para los mismos casos de acción y combinación de las componentes sísmicas traslacionales.

Figura 12. Respuesta intrínseca (Δe / B = 0; σ = 0 en dirección Y, de sistemas definidos por  εx = 0.2 ; εy = 0.2; Bx / By = 2.5; Tx / Ty = 1.5; Ty =0.5 s; a) extremo rígido; b) extremo flexible.

Las menores respuestas se obtienen para el caso {Y}, correspondiente a la única acción de la componente sísmica mayor actuando en dirección Y, es decir con excitación uni-axial. Si se considera la posibilidad de dirección variable de esta única componente, podemos obtener la respuesta crítica indicada por {Y}_c que produce resultados sensiblemente mayores. Podemos considerar la acción de una componente ortogonal igual al 70% de la anterior, bien fija en dirección X para obtener la respuesta {0.7X ; Y} combinando la respuesta de cada componente con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, o bien en dirección variable para obtener la respuesta crítica {0.7X ; Y}_c, cuyo valor puede calcularse con la citada regla de la CQC3. Por último puede considerarse la acción de dos componentes sísmicas iguales, combinadas con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (en este caso se obtienen iguales resultados para cualquier dirección de aplicación), para obtener la respuesta {X ; Y}, que es la mayor de todas.

De estos, y otros casos no mostrados, puede inferirse que en general para estimar la respuesta sísmica torsional de sistemas bi-asimétricos de rigidez torsional pequeña o moderada (valores W ≤ 1.2), tanto de la zona rígida como de la zona flexible de las plantas, es de fundamental importancia la inclusión en el análisis de la variación direccional de la componente sísmica mayor o bien considerar ambas componentes horizontales. Considerar únicamente una componente sísmica en la dirección del desplazamiento analizado puede conducir a graves errores, que pueden estar entre el 30% al 50%, o más, del valor probable. Por el contrario, la respuesta crítica de una sola componente (con todas las direcciones posibles) casi alcanza a la respuesta crítica con dos componentes, que a su vez es muy cercana a la respuesta con dos componentes iguales. Considerando que el caso más exacto viene a ser el de la respuesta crítica con las dos componentes horizontales (método CQC3) y que el esfuerzo de cálculo es casi el mismo para igual respuesta con una sola componente, es recomendable aplicar aquel, que es el cálculo que se efectúa en lo sucesivo en este estudio. Sin embargo, cabe anotar que el más sencillo cálculo con dos componentes sísmicas iguales conduce a resultados no excesivamente conservadores. Por el contrario, para sistemas torsionalmente rígidos, es de poca importancia la componente ortogonal a la dirección analizada. En todo caso, como práctica general conviene efectuar análisis que incluyan ambas componentes sísmicas, cual estipulan las modernas normas antisísmicas. Es de interés indicar que la           valoración indicada en las Figuras 11 y 12 corresponde a sistemas bi-asimétricos, a sabiendas que en sistemas uni-asimétricos la componente ortogonal a la dirección analizada no produce efectos sobre ésta; pero este caso es de menor importancia, dado que al analizar variaciones accidentales se incluirán siempre excentricidades en dirección ortogonal (Figura 10) y siempre se tendrán sistemas accidentalmente bi-asimétricos, que responden torsionalmente a la componente ortogonal.

3.2 Direcciones de la excentricidad accidental

A título de ilustración, a continuación se presentan gráficos que muestran la relativa importancia de efectuar variaciones de excentricidades accidentales según distintas direcciones de la planta. Consideramos aquí la respuesta accidental parcial (racc), ante la acción de las componentes sísmicas traslacionales sin componente sísmica rotacional (s = 0), igual a la máxima obtenida al efectuar variaciones accidentales según una parte de las direcciones previstas en la Figura 10, escogiendo tres casos: a) “Dir. X” cuando variamos la excentricidad sólo en dirección X: puntos 0, 1 y 5; b) “Dir. Y” cuando variamos la excentricidad sólo en dirección Y: puntos 0, 3 y 7; y  c) “Diag.” cuando variamos la excentricidad en ambas direcciones: puntos 0, 2, 4, 6 y 8. Obviamente, la envolvente de esas tres respuestas accidentales parciales es la respuesta accidental máxima para el caso particular de componente rotacional nula.

En la Figura 13 se presentan las relaciones (racc / rnom) entre las respuestas accidentales parciales y  las respuestas nominales en dirección Y de ambos extremos de plantas cuadradas (Bx / By = 1), para los casos de simetría en ambas direcciones (ex = ey = 0) y de cierta uni-asimetría ortogonal (ex = 0; ey = 0.2), con períodos fundamentales de 0.5 s en ambas direcciones, tomando variaciones accidentales de excentricidad básicas iguales a De / B = 0.05. Las respuestas valen para ambas direcciones debido a la simetría en dirección Y presente en ambos casos (ex = 0). En la Figura 14 se muestran las mismas relaciones obtenidas para un sistema bi-asimétrico (ex = 0.1 ; ey = 0.2) con diferentes valores de los períodos desacoplados en las direcciones principales (Ty = 0.5 s ; Tx = 1 s), para los extremos rígido y flexible de la planta.

Figura 13. Respuesta accidental parcial en relación a la nominal, de extremos de plantas cuadradas de períodos Ty = 0.5 s y Tx / Ty = 1, con variaciones accidentales De / B = 0.05 según la dirección X, la dirección Y y las direcciones diagonales, para: a) simetría global: ex =  ey = 0; b) uni-asimetría ortogonal: ex = 0; ey = 0.2.

Figura 14. Respuesta accidental parcial respecto a la nominal, de los extremos de planta cuadrada bi-asimétrica (ex = 0.1 ; ey = 0.2), de períodos Ty = 0.5 s y Tx / Ty = 2, con variaciones accidentales de excentricidad De / B = 0.5 según la dirección X, la dirección Y y las diagonales; a) extremo rígido; b) extremo flexible.

Se observa que para un sistema simétrico (Figura 13a) basta utilizar la variación de excentricidad en dirección X (perpendicular a la dirección de desplazamientos estudiada), y en general para los sistemas torsionalmente más rígidos (W ≥ 1), independientemente de la condición de asimetría. Sin embargo, no es así para los sistemas torsionalmente más flexibles (W < 1), para los cuales pueden ser críticas las variaciones en dirección Y o en diagonal. Se concluye, que para cubrir la generalidad de los casos es completamente procedente la decisión tomada de estudiar la excentricidad accidental considerando variaciones en todas las direcciones.

3.3 Acciones sísmicas accidentales

A fin de examinar la relativa influencia del grado de variación de las variaciones accidentales y de la magnitud del espectro rotacional (normalizado respecto a los traslacionales) se eligen tres sistemas referenciales: a) un sistema simétrico: e_x = e_y = 0; b) un sistema  ligeramente uni-asimétrico en la dirección del desplazamiento estudiado: e_x = 0.1; e_y = 0; c) un sistema moderadamente uni-asimétrico en la dirección del desplazamiento estudiado: e_x = 0.2; e_y = 0. Para el primer sistema presentamos la respuesta crítica en ambos extremos (que es una sola, debido a la simetría); para el segundo presentamos la respuesta crítica en los extremos rígido y flexible; y por último para el tercer sistema presentamos la respuesta crítica en el extremo flexible. Este conjunto de respuestas representa bien el conjunto de casos más amplio estudiado y que el espacio no permite presentar. En relación con este examen, es de anotar que los sistemas con grandes excentricidades no son de relevancia, ya que las variaciones accidentales son de poca incidencia frente a aquellas, que dominan los desplazamientos, como es natural esperar. Los sistemas indicados se toman con otras propiedades fijas: planta cuadrada, B_x / B_y = 1 y períodos fundamentales iguales en cada dirección, T_x = T_y =0.5 s.

En primer lugar, los sistemas se someten a la acción de las componentes trasnacionales y una componente rotacional dada por s = 0.25, con variaciones accidentales variables: De / B tomando valores entre 0 (sólo componente rotacional) y 0.10, con el típico valor intermedio igual a 0.05. En la Figura 15 se puede observar la relación entre los desplazamientos accidentales (máximos) para los sistemas aludidos. Se observa un incremento casi lineal (pero no exacto) de los desplazamientos accidentales con el incremento de De / B. El caso intermedio, De / B = 0.05, conduce a resultados muy semejantes a la que presentan De La Llera y Chopra (1994) (aunque sólo lo hacen para W ≥ 0.6) a partir de resultados estadísticos y que es la base de su propuesta. Esta coincidencia, junto con el uso de ese valor por diversas normas antisísmicas, sustenta su caracterización como valor intermedio para las evaluaciones posteriores.

Figura 15. Efecto de la variación de De / B  sobre racc / rnom; plantas cuadradas; Tx = Ty = 0.5 s; componente rotacional: s = 0.25; a) ambos extremos, sistema: ex = ey = 0; b) extremo flexible, sistema: ex = 0.2 ; ey = 0; c) y d): extremos rígido y flexible, respectivamente, sistema: ex = 0.1 ; ey = 0.

De paso, en la Figura 15 puede observarse que la influencia de la componente rotacional, tomada con el valor típico de s = 0.25 (expresada aislada en De / B = 0), tiene muy poca influencia en comparación con la variación accidental de excentricidad De / B. En la Figura 16, se examina más ampliamente la influencia de la componente rotacional variando s entre 0 y 0.5, habiendo fijado la variación de excentricidad accidental en De / B = 0.05. Respecto, a las respuestas para s = 0, el incremento de respuesta al incorporar la componente rotacional no es lineal, sino que sigue una variación de tipo exponencial, aunque solamente es notable para sistemas torsionalmente flexibles. Es decir, pasar de s = 0 a s = 0.25 incrementa poco las respuestas, pero pasando a s = 0.5 los incrementos pueden ser relativamente importantes. Sin embargo, estas conclusiones están determinadas por el parámetro T_y = 0.5 s. En caso de períodos mucho menores, la componente rotacional pasa a ser relativamente influyente, dado que el sistema ingresa en el caso de elevadas aceleraciones angulares, como puede comprobarse en la Figura 19, presentada más adelante.

Es de interés observar que para cocientes de frecuencia W en el entorno de 1, pueden producirse amplificaciones importantes. En términos generales: a) para el extremo flexible de las plantas, a partir de W < 1 crecen las amplificaciones en la medida en que decrece W; b) para el extremo rígido de las plantas se producen una amplificaciones importantes para 1.05 < W < 1.35 aproximadamente, que disminuyen notablemente para W < 1 hasta W = 0.65 aproximadamente, valor a partir del cual vuelven a crecer en la medida en que decrece W.

4. INFLUENCIA DE LAS PROPIEDADES ESTRUCTURALES

Se presentan gráficos que muestran la influencia de la variación de diversas propiedades estructurales de los sistemas asimétricos, en las respuestas accidentales máximas. A fines de comparación, se utilizan sistemas con unas propiedades fijas básicas mientras se varían otras. Como referencias globales se presentan aquí cuatro casos de desplazamientos investigados en tres sistemas fijados en cuanto a la asimetría respecto a la dirección estudiada, a los cuales se les varían otras propiedades. Estos casos representan la generalidad de los fenómenos encontrados entre un conjunto más amplio de casos estudiados.

Los casos presentados son los mismos que se usaron para estudiar las acciones accidentales: a) desplazamientos máximos en ambos extremos de la planta de sistemas simétricos: e_x = e_y = 0; b) desplazamientos máximos en el extremo rígido de la planta de sistemas ligeramente uni-asimétricos en la dirección Y del desplazamiento estudiado: e_x = 0.1 ; e_y = 0; c) desplazamientos máximos en el extremo flexible de la planta de los mismos sistemas del punto anterior; y d) desplazamientos máximos en el extremo flexible de la planta de sistemas moderadamente uni-asimétricos en la dirección Y del desplazamiento estudiado: e_x = 0.2 ; e_y = 0. Para todos estos sistemas se considera el índice de rigidez torsional W variando entre 0.25 y 1.75, que son valores extremos muy infrecuentemente traspasados.

Como parámetros básicos de referencia fijos tenemos: a) excentricidad ortogonal nula: e_y = 0; b) planta cuadrada: B_x / B_y = 1; c) período fundamental en dirección Y de valor intermedio: T_y = 0.5 s;  y d) períodos iguales en ambas direcciones principales: T_x / T_y = 1. Entonces, se estudian los sistemas indicados en el párrafo anterior, manteniendo tres de estas condiciones fijas y efectuando variaciones de los cuatro parámetros: ey, B_x / B_y, T_y y T_x / T_y, sucesivamente. La variable estudiada es la relación r_acc / r_nom  entre la respuesta accidental máxima y la nominal, en cada uno de los sistemas sometidos a las acciones accidentales definidas por la variación de excentricidades acorde con De / B = 0.05 y la componente sísmica rotacional asociada a s = 0.25.

En la Figura 17 se presenta la influencia de la excentricidad ortogonal e_y, para plantas cuadradas con T_x = T_y = 0.5 s. En la Figura 18 se presenta la influencia de la relación de aspecto de la planta B_x / B_y, para plantas con simetría en la dirección ortogonal y T_x = T_y = 0.5 s. En la Figura 19 se presenta la influencia del período en la dirección de estudio T_y, igualando el ortogonal T_x, para plantas cuadradas con simetría en la dirección ortogonal. En la Figura 20 se presenta la influencia de la variación del cociente entre ambos períodos principales desacoplados, T_x / T_y, supuesto que en la dirección de estudio T_y = 0.5 s, para plantas cuadradas con simetría en la dirección ortogonal.

Figura 17. Efecto de la variación de ey sobre racc / rnom, plantas cuadradas, Tx = Ty = 0.5 s; acciones accidentales: De / B = 0.05 , s = 0.25;  a) ambos extremos, ey = 0;  b) extremo flexible, ex = 0.2;  c) y d): extremos rígido y flexible, respectivamente, ex = 0.1.

Figura 19. Efecto del período Ty  (s) sobre racc / rnom, plantas cuadradas, Tx / Ty = 1; acciones accidentales: De / B = 0.05 , s = 0.25;  a) ambos extremos, ex = ey = 0; b) extremo flexible, ex = 0.2 ;ey = 0; c) y d): extremos rígido y flexible, respectivamente, ex = 0.1 ; ey = 0.

Figura 20. Efecto del cociente Tx / Ty sobre racc / rnom, plantas cuadradas, Ty = 0.5 s; acciones accidentales: De / B = 0.05 , s = 0.25 ; a) ambos extremos, ex = ey = 0 ;  b) extremo flexible, ex = 0.2 ; ey = 0; c) y d): extremos rígido y flexible, respectivamente, ex = 0.1 ; ey = 0.

En la Figura 17 podemos observar que la existencia de bi-asimetría inicial no incrementa las respuestas esperadas, respecto al correspondiente caso uni-asimétrico. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que en las respuestas de estos últimos sistemas, se están incorporando las bi-asimetrías accidentales, las cuales en algunos casos tienen consecuencias importantes.

En la Figura 18 se observa la influencia de la relación de aspecto de la planta en los valores de las respuestas en sus extremos. Este resultado es prácticamente obvio: a mayor ancho de la planta, dadas unas determinadas rotaciones que se generen en ella, los desplazamientos de los puntos relativamente más alejados del centro de rotación deben ser mayores. De hecho, este resultado no resulta crítico con respecto a la común implementación de los procedimientos torsionales normativos: al especificar un momento torsor de diseño, en función de él se calculan las rotaciones de la planta, las cuales conducen a respuestas que son múltiplos de la distancia al centro de rotación. Por otro lado, en los procedimientos que amplifican las respuestas intrínsecas, la amplificación se toma en función de este género de distancia, normalmente medida al centro de rigidez.

En la Figura 19 se observa la influencia del período fundamental de la estructura en las respuestas accidentales. Como se comentó antes, para períodos pequeños el sistema ingresa en la zona de grandes aceleraciones angulares de la componente sísmica rotacional, la cual comienza a incidir fuertemente en la respuesta de sistemas torsionalmente flexibles, que son los que tienen un modo de vibración sensible a dicha componente. En sistemas torsionalmente rígidos, la influencia estudiada es de escasa relevancia.

En la Figura 20 se observa la influencia de períodos desacoplados distintos de la planta en direcciones ortogonales, o lo que es lo mismo la existencia de rigideces diferentes de la planta en ambas direcciones. Esta situación no es teórica, pues puede presentarse si por ejemplo en un edificio con estructura de concreto armado se diseñan predominantemente pórticos en una dirección y muros en la dirección perpendicular. O en un edificio con estructura de acero si se tienen pórticos a momento en una dirección y pórticos arriostrados en la otra dirección, lo cual es una situación algo frecuente. Puede observarse que si la dirección ortogonal (X) a la estudiada (Y) dispone de estructura más rígida, T_x < T_y, no se producen amplificaciones adicionales. Sin embargo, en el caso contrario, de estructura más flexible en la dirección ortogonal a la estudiada: T_x > T_y, ocurren amplificaciones considerables en sistemas torsionalmente flexibles con ciertos índices de rigidez torsional W. Una revisión de los casos conduce a concluir que se producen las mayores amplificaciones relativas en los sistemas en que  Ω @ 1 / (T_x / T_y) = T_y / T_x y valores adyacentes. En esta expresión, es importante recordar que W se está  definiendo en función de la relación entre T_θ y T_y; puede razonarse que si se midiera en función de T_θ y T_x, se tendría el parámetro equivalente Ω_x = w_θ / w_x @ 1 en las situaciones críticas observadas, motivo que explica las elevadas amplificaciones, como superposición de efectos modales. En otras palabras, esas amplificaciones ocurren por cercanía entre la frecuencia torsional y la lateral ortogonal.

Las observaciones efectuadas en el último párrafo de la Sección 3.3 respecto a las amplificaciones de las respuestas de los extremos flexible y rígido, en función del valor de W, permanecen válidas al efectuar las variaciones de parámetros de esta Sección. Al revisar críticamente las situaciones examinadas, suponiendo que se analice la estructura con componentes sísmicas en las dos direcciones y accesoriamente se incorporen excentricidades accidentales de diseño en ambas, puede anticiparse que a los procedimientos normativos comunes les falta tomar en cuenta adecuadamente la influencia en los efectos accidentales de las rigideces o períodos estructurales (tanto en la dirección estudiada como en la ortogonal). Igualmente, el procedimiento de De La Llera y Chopra fue actualizado en Lin et al. (2001) para considerar el período en la dirección de análisis, pero no ha tomado en cuenta el período en dirección ortogonal. Estos y otros aspectos de los procedimientos normativos se revisan en la sección siguiente.

Se exponen sucintamente los procedimientos estáticos torsionales especificados en varias normas, para posterior revisión de su relativa adecuación a las respuestas estructurales probables obtenidas. Esta revisión cubre la evaluación de la torsión intrínseca y la torsión accidental incorporada por estos procedimientos. En el caso de que se usen procedimientos dinámicos para calcular la torsión intrínseca, ésta queda calculada exactamente y la evaluación presentada puede tomarse en cuenta en los aspectos de la torsión accidental, la cual se suele añadir estáticamente.

Comúnmente, los procedimientos simplificados (o estáticos) de las normas incorporan los fenómenos torsionales mediante la modificación de las excentricidades nominales, para obtener dos momentos torsores de diseño, uno aplicable a la zona flexible de las plantas y otro a la zona rígida, en cada dirección del análisis. En edificios de varios pisos, para calcular las excentricidades, en lugar del C.M. de la planta se utiliza el centro de cortante (C.C.), centro de aplicación de la fuerza cortante global que pondera las posiciones de los centros de masa de los pisos superiores. Estos momentos torsores derivan de contribuciones separadas de estimados de la torsión intrínseca y de la accidental: a) La torsión intrínseca se incorpora mediante modificaciones de la excentricidad nominal en cada dirección del análisis. Para el diseño de la zona flexible de la planta se establece un factor de amplificación (t) de la excentricidad estática. Para el diseño de la zona rígida de la planta se utiliza un factor de control (t'), que si se omite equivale a t' = 1; b) La torsión accidental se incorpora mediante una excentricidad accidental, con dos signos inversos a fin de incrementar alternativamente las solicitaciones en cada una de las zonas de la planta. Se establece como un porcentaje (b) del ancho de la planta, B (B_x ó B_y), perpendicular a la dirección del análisis, para dos momentos torsores de diseño (M_T,i ; i = 1, 2): M_T,1 = V(te + bB) y M_T,2 = V(t′e - bB), donde e (excentricidad) y V (fuerza cortante de entrepiso) se toman con signo positivo. Las zonas de la planta, flexible o rígida, están gobernadas por i =1 ó 2, respectivamente.

En el Método de la Torsión Estática Equivalente de la actual Norma Venezolana [COVENIN, 2001] se estipulan los siguientes parámetros torsionales de diseño (de acuerdo con las definiciones antedichas), válidos para estructuras que cumplan  en ambas direcciones del análisis:

t = 1 + [4-16e] Ω,   para   0.5 ≤ Ω ≤ 1,

t= 1 + [4-16e (2 - Ω)] (2 - Ω)⁴,  para 1 ≤ Ω ≤ 2,

t= 1,   para   2 ≤ Ω,

t′ = 6 (Ω – 1) – 0.6,   acotando   -1 ≤ t′ ≤ 1;

b = 0.06

La Norma Mexicana [Distrito Federal, 1995] en su anexo “Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo” estableció hace tiempo y mantiene las formulaciones antedichas:

t = 1.5 ;              t ′ = 1 ;             b = 0.10.

Las Normas Norteamericanas [ICC, 2003] utilizan un procedimiento auxiliar para establecer los factores torsionales. Calculan inicialmente los desplazamientos máximo (d_máx) y promedio (d_prom) de los planos resistentes en cada nivel de la edificación y en cada dirección, bajo la aplicación de las fuerzas cortantes de piso más un momento torsor auxiliar definido con t  = 1 y b = 0.05. A partir de ellos infieren el factor de amplificación A de los momentos torsores básicos, en cada nivel estructural:

La estructura se diseña mediante la aplicación momentos torsores de diseño antedichos:

(M_T,i ; i = 1, 2), mediante los factores t  = A , t ′ = 1 y b = 0.05A.

En todos los procedimientos normativos indicados se combinan las respuestas de las dos componentes ortogonales del sismo, o bien añadiendo a cada respuesta ante una componente, el 30% de la respuesta ante la componente ortogonal, o mediante el método de la raíz cuadrada de la suma de cuadrados, o mediante el método CQC3 (en el caso de la norma venezolana).

En el procedimiento de De La Llera y Chopra (1994), con la modificación establecida en  Lin et al. (2001), se calculan primero los efectos de la torsión intrínseca y luego se obtienen en los extremos de la planta amplificando por:

]]> el factor A si  0 ≤ Ω ≤ 1

valor interpolado entre A y 1 si ,

donde A = 1 + 0.0475 (B / r)^a,

siendo a = -0.066 (0.7 / T_y)² + 0.36 (0.7 / T_y) + 1.38  si   T_y < 0.7 s,

pero a = 2  si  T_y ≥ 0.7 s

Para otros planos resistentes, distintos a los extremos, estos autores recomiendan interpolar linealmente usando las distancias al centro de rigidez.

6. REVISIÓN DE PROCEDIMIENTOS TORSIONALES

Como ilustración de las relativas adecuaciones de los procedimientos torsionales citados (Norma venezolana, Norma mexicana, Norma estadounidense y el Procedimiento de De La Llera y Chopra, modificado por Lin et al.), se presentan cocientes r_proc / r_acc, entre las respuestas obtenidas mediante tales procedimientos, r_proc y las respuestas accidentales máximas, r_acc, para  De / B = 0.05 y s = 0.25. En las Figuras 21, 22 y 23 se presentan estos cocientes para varias situaciones de períodos fundamentales, incluyendo períodos ortogonales diferentes, al tiempo que se varían las excentricidades en la dirección normal al desplazamiento estudiado, manteniendo fija la excentricidad ortogonal.

Figura 21. Relaciones entre rproc / racc para los extremos rígido {a); c): e) y g)} y flexible {b); d);   f) y h)}, ey = 0; varias ex, Bx / By = 2 y Tx / Ty = 0.5 s. Acciones accidentales: De / B = 0.05 ;  s = 0.25.  a), b): Norma venezolana;  c), d): Norma mexicana;  e), f): Norma estadounidense; g), h): Procedimiento de De La Llera y Chopra, modificado por Lin et al.

Figura 22. Relaciones entre rproc / racc para los extremos rígido {a); c): e) y g)} y flexible {b); d); f) y h)}, ey = 0.2, varias ex, Bx / By = 2 , Ty = 0.5 s y Tx / Ty = 1.5. Acciones accidentales: De / B = 0.05, s = 0.25.  a), b): Norma venezolana;  c), d): Norma mexicana;  e), f): Norma estadounidense; g), h): Procedimiento de De La Llera y Chopra, modificado por Lin et al.

Figura 23. Relaciones entre rproc / racc para los extremos rígido {a); c): e) y g)} y flexible {b); d); f) y h)}; sistemas con ey = 0 ; varias ex; Bx / By = 2 y Tx = Ty = 0.1 s. Acciones accidentales: De / B = 0.05, s = 0.25. a), b): Norma venezolana; c), d): Norma mexicana; e), f): Norma estadounidense; g), h): Procedimiento de De La Llera y Chopra, modificado por Lin et al.

En estas comparaciones se ha utilizado la relación de aspecto B_x / B_y = 2, sin pérdida de generalidad, pues cualquier otra relación producirá resultados casi proporcionales. Es de advertir que para la Norma venezolana se extrapoló la aplicación del Método Estático Equivalente para la excentricidad e_x = 0.5, utilizando t = 1. Diremos que los resultados son conservadores cuando ocurren errores por exceso (r_proc > r_acc) y liberales cuando ocurren errores por defecto (r_proc < r_acc). Se denominarán errores pequeños a los que estén en aproximadamente 50% o menos por exceso o en 20% o menos por defecto, pues aunque en otro contexto puedan parecer grandes, aquí son de carácter menor en relación con la gran amplitud de resultados presentada.

En la Figura 21 observamos el caso de sistemas uni-asimétricos con iguales períodos fundamentales T_x = T_y = 0.5 s. La respuesta en el extremo flexible de las plantas es cubierta casi con exactitud (errores menores) para sistemas torsionalmente rígidos, por todos los procedimientos, mientras que para sistemas torsionalmente flexibles todos los procedimientos tienden a ser muy conservadores, exceptuando el de De La Llera-Chopra-Lin, que se ajusta razonablemente; ese conservadurismo aumenta con la excentricidad e_x. La respuesta en el extremo rígido de las plantas expone errores relativamente pequeños para los sistemas torsionalmente rígidos, por todos los procedimientos, mientras que para sistemas torsionalmente flexibles la norma venezolana es muy conservadora sólo para excentricidades grandes, las normas mexicana y estadounidense lo son para excentricidades pequeñas pero son liberales para excentricidades grandes; el procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin produce resultados ligeramente conservadores. En la Figura 22 observamos el caso de sistemas bi-asimétricos (e_y = 0.2) con períodos fundamentales diferentes: T_y = 0.5 s ; T_x / T_y = 1.5. Los resultados son muy semejantes a los anteriores. El fenómeno de amplificación de las respuestas para Ω @ 0.67 y valores adyacentes (obtenido al estudiar la influencia de las propiedades estructurales), se manifiesta como una reducción del conservadurismo, tanto para el extremo rígido como para el flexible de las plantas, sin llegar a ser crítico. En la Figura 23 observamos el caso de sistemas uni-asimétricos con iguales períodos fundamentales T_x = T_y = 0.1 s. Contrariamente al asunto de los períodos ortogonales diferentes, la mayor excitación rotacional de los sistemas de corto período afecta sensiblemente las relaciones entre los resultados procedimentales y los teóricos. La norma venezolana aparece en posición ventajosa en este caso, pues se reduce el conservadurismo ocurrente con períodos moderados, sin llegar a ser crítico sino más bien manteniendo un ligero conservadurismo del lado de la seguridad. Por el contrario, los otros procedimientos presentan fuertes errores por defecto en el extremo rígido de los sistemas torsionalmente flexibles. En el extremo flexible las normas mexicana y estadounidense exponen una casi exactitud la primera y conservadurismo la segunda. Sin embargo, el procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin conduce a resultados inseguros en el extremo flexible de sistemas torsionalmente flexibles. La corrección de Lin et al. para períodos cortos no cubre los sistemas torsionalmente más flexibles, aunque produce conservadurismo en sistemas de rigidez torsional moderada, fenómeno ausente cuando se tienen períodos mayores.

Los casos presentados ofrecen un panorama de la relativa exactitud de las normas para cubrir la torsión sísmica en rango elástico; pueden añadirse otros e incluso estudiar combinaciones de las situaciones presentadas, pero las constataciones son semejantes. Los casos de conservadurismo encontrados para la torsión elástica necesitan ser examinados, ante la ocurrencia de torsión inelástica; sin embargo, puede suponerse que las conclusiones serán semejantes [Peruš y Fajfar, 2005].

Una primera observación de carácter general es que los procedimientos normativos no tienen precisión uniforme ante las diversas situaciones. Corresponden a aproximaciones válidas para ciertos sistemas, pero no para todos. El modelo de torsión estática tradicional mediante la especificación de momentos torsores (intrínseco más accidental) conduce generalmente a fuertes inexactitudes para sistemas torsionalmente flexibles. La introducción de factores de control de la zona rígida de la planta (t′), tal como se hace en la norma venezolana, evita la liberalidad, pero no fácilmente el conservadurismo; pero su ausencia, tal como ocurre en las normas mexicana y estadounidense conduce a la inseguridad en varios casos. El modelo de amplificación de la torsión intrínseca (como el del procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin) tiende a producir resultados más uniformes, pero necesita ser ajustado para sistemas torsionalmente muy flexibles y períodos laterales de la estructura muy cortos.

De la comparación entre los cuatro procedimientos examinados, puede observarse que la norma venezolana es la única que no produce fuertes situaciones de inseguridad en ningún caso. Los otros procedimientos, en cambio, están expuestos a inseguridades eventuales. Al parecer, el modelo de incorporación del factor de control de la zona rígida de la planta es exitoso en sus consecuencias generales; este factor tendría que ser incorporado en las normas mexicana y estadounidense para eliminar diversas situaciones de inseguridad. La norma mexicana es la que conduce a las más frecuentes inseguridades en la zona rígida de las plantas torsionalmente flexibles. El procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin es el que ofrece la mayor uniformidad de concordancia en general, pero la pierde en sistemas de período corto.

Ahora bien, la puesta en práctica de un principio básico de la ingeniería en general y de la ingeniería sísmica en particular, cual es la búsqueda del mejor equilibrio entre economía y seguridad, conduce a la conveniencia de que estos procedimientos normativos, incluido el de la norma venezolana, sean modificados y ajustados. En realidad, el modelo de De La Llera-Chopra-Lin es sumamente uniforme para períodos moderados y tiene la perspectiva de lograr ese deseado equilibrio si se modifica apropiadamente para cubrir los casos en que actualmente conduce a fuertes inseguridades o inconvenientes conservadurismos. No debe dejar de tomarse en cuenta que aunque actualmente el caso de períodos ortogonales distintos no presenta peligros fuertes, en caso de que se logre un procedimiento que produzca uniformidad con períodos similares, debe ajustarse para el caso en que no lo sean.

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Para varias propiedades estructurales del sistema se analizó el efecto de las diversas posibilidades de incorporación de las componentes sísmicas traslacionales, incluyendo su direccionalidad; se concluyó que es indispensable incorporar el efecto conjunto de ambas componentes para el análisis de los sistemas torsionalmente flexibles, aunque para sistemas torsionalmente rígidos en la práctica basta una sola componente sísmica paralela al desplazamiento estudiado.

Se examinó la influencia de la variación de las excentricidades accidentales según las diversas direcciones de la planta, encontrándose que para los sistemas torsionalmente flexibles son importantes los casos con excentricidades paralelas a la dirección del desplazamiento analizado. Mientras que para sistemas torsionalmente rígidos bastan las excentricidades con dirección ortogonal al mismo. Se revisó la relativa influencia de las dos clases de acciones accidentales; se encontró que en general es de mayor incidencia la variación accidental de excentricidades, aunque la componente rotacional del sismo es muy influyente para sistemas de período corto.

Se analizó la influencia del cociente de frecuencias torsional a traslacional W en las amplificaciones de las respuestas nominales. Se concluyó que valores de W < 1 producen amplificaciones crecientes de la respuesta del extremo flexible de las plantas con W decreciente, mientras que para el extremo rígido de las plantas las mayores amplificaciones ocurren en los intervalos de valores  y .

Se investigó la influencia de diversas propiedades del sistema en la magnitud de la amplificación de las respuestas accidentales respecto a las nominales. Se encontró que los casos que conducen a valores más elevados corresponden a sistemas torsionalmente flexibles con período corto, o con período lateral ortogonal coincidente con el torsional.

Se examinó la relativa concordancia de las prescripciones torsionales estáticas de las normas venezolana, mexicana y estadounidense y el procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin, respecto a los resultados teóricos previos para De / B = 0.05 y s = 0.25. Se encontró que en sistemas torsionalmente rígidos los diversos métodos conducen a resultados satisfactorios, pero en sistemas torsionalmente flexibles conducen a resultados conservadores o inseguros, según el caso. De mayor incidencia es el caso de períodos cortos del sistema, mientras que el caso de períodos ortogonales diferentes queda relativamente cubierto por el conservadurismo antedicho.

De los cuatro métodos torsionales examinados, se encontró que el de la norma venezolana es el único que no conduce a fuertes situaciones de inseguridad en ningún caso de propiedades del sistema. La norma mexicana es la que ofrece en general las mayores inseguridades en la zona rígida de plantas torsionalmente flexibles. El procedimiento de De La Llera-Chopra-Lin resulta, en general, en la mayor uniformidad de la concordancia deseada, pero la pierde para períodos cortos.

Se observa la conveniencia y necesidad de superar los procedimientos torsionales vigentes, para obtener una concordancia más uniforme en todas las situaciones, que represente un adecuado equilibrio de economía y seguridad. La revisión que se efectúe debe atender al problema de los períodos cortos del sistema y la cercanía de los períodos lateral-ortogonal y torsional, investigando e incorporando las variantes que se presenten en el rango de respuestas inelásticas y en edificios de varios pisos. Para el examen de los casos críticos de dichas variantes, los resultados de este estudio pueden servir de orientación, Se estima que para la respuesta elástica ante sismos moderados de edificios de varios pisos, los resultados tendrán el mismo orden en caso de distribuciones de rigideces semejantes en las diversas plantas y serán indicativos de los casos críticos en una situación más general. Igualmente, se prevé que al evaluar la respuesta inelástica ante sismos severos los casos críticos tendrán patrones semejantes a los aquí encontrados.

8. AGRADECIMIENTOS

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