Katherina Rojas¹, Lutz Lehmann², Miguel Cerrolaza¹

¹ Instituto Nacional de Bioingeniería, Universidad Central de Venezuela (Venezuela) E-mail: katherina.rojas@inabio.edu.ve, miguel.cerrolaza@inabio.edu.ve

² Institute of Applied Mechanics, Tech. University of Braunschweig (Germany) E-mail: lutz-o.lehmann@tu-bs.de

Resumen

El Método de los Elementos Finitos y el Método de los Elementos de Contorno son las herramientas numéricas más utilizadas para análisis en mecánica de sólidos. Cada uno de estos métodos tiene sus ventajas y desventajas en diferentes casos. El MEF es adecuado para análisis de dominios finitos con materiales no homogeneos y comportamiento no lineal, mientras que MEC ofrece ventajas en el análisis de dominios infinitos con materiales homogéneos y comportamiento lineal. En este trabajo se presenta un acople iterativo del método de los elementos finitos y el método de los elementos de contorno. El dominio del problema es dividido en dos subdominios, donde cada subdominio es analizado por separado y sólo la información en la interfase es comunicada entre los dos subdominios. El ensamble y análisis de un sistema de ecuaciones general es evitado, obteniéndose ventaja de las características de las matrices, ya que el sistema de ecuaciones en el método de los elementos finitos es simétrico.Los resultados numéricos obtenidos concuerdan satisfactoriamente con resultados obtenidos por otros autores.

Palabras Claves: Elementos Finitos, Elementos de Contorno, Acople Iterativo, Elastodinámica

A fem-bem coupling method for soil – structure interaction analysis

ABSTRACT

The Finite Element Method and the Boundary Element Method are the most used numerical tools for solid mechanics analysis. Each one of these methods has advantages and drawbacks in different cases. FEM is well suited for finite domains with inhomogeneous materials and non linear behaviour while BEM offers advantages when dealing with infinite domains displaying homogeneous materials and linear behaviour. An iterative coupling of the Finite Element Method and the Boundary Element Method is presented. The domain of the problem is divided in two subdomains, where each subdomain is analyzed separately and only the interface information is exchanged between both subdomains. The assembly and solution of a general equation system is avoided, thus obtaining full advantage of the matrices characteristics, since the system of equations is symmetric in FEM. Numerical results compare well with other available numerical results.

Recibido: 14/01/08  Revisado: 26/03/08  Aceptado: 23/05/08

1. Introducción

En diferentes campos de la ingeniería, el Método de los Elementos Finitos y el Método de los Elementos de Contorno son utilizados frecuentemente como poderosas herramientas de análisis y su acople ha sido tema de gran interés a lo largo de más de dos décadas. Cada uno de estos métodos tiene su área específica de aplicación. El Método de los Elementos Finitos, por ejemplo, es especialmente utilizado para el análisis de problemas que involucran inhomogeneidad y comportamiento nolineal, mientras que el Método de los Elementos de Contorno presenta ventajas en el manejo de problemas donde se consideran dominios infinitos o semi infinitos, como por ejemplo problemas de interacción suelo – estructura o acústica. Sin embargo, para problemas que involucran subregiones con diferentes características, parece natural emplear la combinación de MEF y de MEC en un solo modelo computacional, el cual usa las ventajas de ambos métodos. Esto se realiza mediante la descomposición del dominio en subdominios, los cuales, dependiendo de las características que cada uno de éstos presente, es modelado con MEF o con MEC.

La diferencia más notable entre MEF y MEC, y una de las ventajas más importantes es la discretización. En el MEF se discretiza todo el dominio, mientras que en el MEC, la discretización se limita al contorno solamente. Dependiendo de la complejidad de la geometría y de los casos de carga a utilizar, esto puede representar un gran ahorro de tiempo en la creación y modificación de una malla. Desafortunadamente, el sistema de ecuaciones producido por MEF y MEC, están expresados en términos diferentes, los cuales no se pueden relacionar entre si, sin ser tratados previamente.

El método de acople iterativo propuesto del método de los elementos finitos y el método de los elementos de contorno, ofrece como principal ventaja que el ensamble y análisis de un sistema de ecuaciones general es evitado, para de esta forma tomar ventaja de las características de las respectivas matrices, permitiendo la utilización de dos códigos especializados para analizar cada uno de los subdominios.

La idea de acoplar FEM y BEM tiene su origen en el trabajo de McDonald y Wexley en los años 70 [17], y la primera formulación organizada para análisis de sólidos fue presentada por Zienkiewicz  et al. en 1977 [Zienkiewicz, 1977 ], y luego en su famoso artículo “Marriage à la mode-the best of two worlds” [Zienkiewicz, 1977]. Desde entonces algunos investigadores han continuado trabajando en diferentes métodos de acople utilizando el Método de los Elementos Finitos y el Método de los Elementos de Contorno, con el objetivo de utilizar las ventajas que cada uno de estos métodos ofrece. Han sido reportados algunos trabajos de métodos acoplados de forma directa, en los cuales se utiliza  el dominio del tiempo para problemas de interacción suelo - estructura y propagación de ondas [Rizos, 2002]. Se pueden mencionar a Karabalis y Beskos [Karabalis, 1985] y Spyrakos y Beskos [Spyrakos, 1986] quienes en sus trabajos presentaron el análisis de fundaciones flexibles modeladas en 2 y 3 dimensiones utilizando un acople MEF - MEC. Luego en 1987, Fukui [Fukui, 1987] presentó un trabajo de aplicación más general de análisis 2D, desarrollado para problemas de propagación de ondas utilizando un acople MEC - MEC. Estorff y Kasel [Estorff, 2006] y Estorff [Estorff, 1990] presentaron trabajos de acoples MEF - MEC con aplicaciones de deformación plana en 2D. En el año 2000, Estorff y Firuziaan [Estorff, 2000] presentan un trabajo más general el cual analiza el dominio de elementos finitos con un comportamiento nolineal. Con el objetivo de evitar algunos de los problemas que se presentan en los acoples convencionales MEF - MEC, se comenzaron a realizar trabajos utilizando acoples iterativos. Entre otros trabajos están el de Feng y Owen [Feng, 1996] quienes muestran un método iterativo MEF - MEC de interacción placa- fundación y en el 2001, Elleithy, Al-Gathani y El-Gebeily [Elleithy, 2001] publicaron su trabajo donde aplican un método iterativo MEF - MEC a problemas en elastostática.

2. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

En el análisis con elementos finitos, se considera un dominio el cual es discretizado con elementos conectados entre si por nodos. Los desplazamientos en sistema de coordenadas locales en cada elemento son asumidos como una función de los desplazamientos en el punto nodal del elemento n. Por lo tanto para el elemento m se tiene

(1)

donde N^m es la matriz de interpolación de desplazamientos del elemento m,  y  el vector de las componentes de desplazamiento en todos los nodos.

Las deformaciones asociadas al campo de los desplazamientos son:

(2)

donde B es la matriz deformación-desplazamiento.

Los esfuerzos en el elemento finito están relacionados a las deformaciones del elemento y a los esfuerzos elementales iniciales

s^m = E^m e^m+ s_i^m  (3)

donde E es la matriz de elasticidad del elemento m y s_i^m son los esfuerzos iniciales.

2.1 Principio de los Desplazamientos Virtuales

La base de la solución de elementos finitos basada en los desplazamientos es el Principio de los Desplazamientos Virtuales, el cual establece que el equilibrio de un cuerpo requiere que, para desplazamientos virtuales pequeños aplicados a un cuerpo en estado de equilibrio, el trabajo total virtual interno es igual al trabajo total virtual externo [Bathe, 1999]:

(4)

Ū son los desplazamientos virtuales,  son las correspondientes deformaciones virtuales y f^b,

La ecuación de equilibrio dinámico lineal en el dominio del tiempo o ecuación de movimiento para un sistema de elementos finitos viene dada por (despreciando las fuerzas viscosas) [Bathe, 1999]:

(5)

siendo f es el vector de fuerzas nodales equivalentes y  y u las aceleraciones y desplazamientos respectivamente.

K la matriz de rigidez:

(6)

y M la matriz de masa:

(7)

donde r^m es la densidad de masa del elemento m.

2.2 Integración en el tiempo

La integración numérica directa se basa en dos ideas. Primero, en vez de tratar satisfacer la ecuación de movimiento en un tiempo t, se satisface en n intervalos de tiempo D^t. Y segundo, se asumen variaciones D^t de los desplazamientos, las velocidades y aceleraciones.

Como método de integración en el tiempo se utiliza el método de Newmark, el cual se resume a continuación:

(8)

(9)

donde ^t+Dtu, ,  son aproximaciones de u, ,  en un tiempo ^t+Dt y a y d son parámetros que pueden ser determinados para precisión y estabilidad en la integración, con valores, utilizados para este trabajo, de 0.25 y 0.50 [Bathe, 1999], respectivamente. Los valores de los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones en el paso de tiempo t deben ser conocidos.

3. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO

A continuación, se proporciona un breve resumen del MEC. El lector interesado en los detalles de la formulación puede consultar las referencias [Beer, 1983] [Beer, 2001] 3, 4, [Gaul, 2003].

La ecuación de equilibrio dinámico en notación indicial, está dada por:

(10)

Despreciando las fuerzas de cuerpo f_i y el amortiguamiento , se tiene la ecuación de equilibrio dinámico simplificado para el problema elastodinámico, siendo  el tiempo:

(11)

En el método directo de los elementos de contorno, la ecuación integral de contorno está dada por:

(12)

Esta ecuación muestra la relación de reciprocidad entre las tracciones t(Q) y los desplazamientos u(Q) en el punto Q que pertenece al contorno G y una solución fundamental definida por un tensor de carga unitaria concentrada aplicada en el punto P que pertenece al contorno G, cuyo estado es reflejado por las traciones T* y los desplazamientos U*. c_ij(P) es la matriz relacionada a las propiedades geométricas locales de la superficie alrededor del punto fuente P.

Las variables u y t sobre el contorno G son representadas usando técnicas de interpolación desarrolladas anteriormente en el método de los elementos de finitos. El contorno es discretizado por E elementos donde N^f_e(h) son las funciones de forma con F nodos, y las aproximaciones de los valores de los desplazamientos y traciones dependientes del tiempo vienen dados por

(13)

(14)

El sistema de ecuaciones obtenido se muestra en la (15), donde H y G son los coeficientes de las matrices de influencia y los vectores u y t son los desplazamientos y las tracciones respectivamente [Gaul, 2003].

Hu = Gt  (15)

Ac = g  (16)

siendo A la matriz de coeficientes, c el vector de incógnitas y g el vector de valores conocidos.

3.1 Elementos de contorno en dominio del tiempo

En el método de los elementos de contorno, el procedimiento con pasos en el tiempo o time step, aproxima el comportamiento espacial con funciones de forma polinomiales [Lehmann, 2007]. Este procedimiento inicialmente fue propuesto por Mansur [Mansur, 1983] y luego Antes [Antes, 1985] introdujo las condiciones iniciales diferentes a cero. El tiempo t es aproximado por polinomios, que generalmente son lineales para los desplazamientos y constantes para las tracciones, al discretizar el dominio del tiempo en N pasos de tiempo iguales Dt [Lehmann, 2007], y al introducirlas en la ecuación de integral, en notación indicial, se obtiene:

(17)

donde U_if^em son valores nodales definidos en el tiempo y en el punto de colocación.

4. ACOPLE MEF-MEC

Existen básicamente dos formas de acoplar el Método de los Elementos Finitos y el Método de los Elementos de Contorno [Beer, 2001]:

]]> 1) La región donde se utilizan elementos de contorno es tratada como un elemento finito muy grande y su rigidez es calculada y ensamblada en una matriz de rigidez global.

2) La región con elementos finitos es tratada como una región equivalente a una región de elementos de contorno y el tratamiento de su matriz de rigidez es equivalente al utilizado en el caso de dominios múltiples en Método de los Elementos de Contorno.

Al acoplar el Método de los Elementos Finitos y el Método de los Elementos de Contorno, se presentan muchas dificultades relacionadas con la teoría de cada uno de los métodos y con su implementación (ver refs. [Beer, 1983] [Zienkiewicz, 1977]). En primer lugar, la combinación de ambos métodos requiere el cumplimiento de las condiciones de compatibilidad y de equilibrio a lo largo de la interfase entre los subdominios de MEF y MEC.  Debido a la diferencia existente entre las formas de las fuerzas desconocidas utilizadas (fuerzas nodales en MEF y tracciones en MEC) (Figura 1) y las situaciones en la interfase, los procedimientos para imponer las condiciones en la interfase a las ecuaciones finales acopladas pueden ser complicados. La segunda dificultad está relacionada a la eficiencia del cálculo computacional. Como los métodos de elementos finitos y elementos de contorno presentan matrices simétricas y asimétricas respectivamente, la unión de las mismas resultará en un sistema de ecuaciones asimétrico, el cual es obviamente más costoso de resolver en términos de tiempo computacional y espacio en memoria en comparación al caso simétrico. Además, debe ser tomado en cuenta el hecho de que ambos programas son diferentes en términos de la estructura de datos, organización de cada programa y las técnicas numéricas implementadas. Los inconvenientes relacionados.

al acople MEF-MEC, mencionados anteriormente, se derivan en parte de las estrategias utilizadas en los procedimientos de acople donde las ecuaciones de elementos finitos y de elementos de contorno son ensambladas de forma explícita. Para evitar estos inconvenientes, que se derivan en parte de las estrategias utilizadas en los procedimientos de acople donde las ecuaciones de elementos finitos y de elementos de contorno son ensambladas de forma explícita, se comenzaron a desarrollar los métodos de descomposición del dominio, en los cuales no es necesario combinar los coeficientes de las matrices de rigidez de los subdominios de elementos finitos y de elementos de contorno, a diferencia de la mayoría de los métodos convencionales.

La idea básica del método acople iterativo está basada en las conclusiones que Cruse y Osias [Cruse, 1991] sacaron de su experiencia con procedimientos de acople, en donde resalta la importancia de preservar la naturaleza del método de los elementos de contorno, en vez de forzarlo a adoptar un formato de elementos finitos.

De esta manera, la formulación de elementos finitos y elementos de contorno puede ser utilizada como programa base para hacer el acople de ambos códigos, en el cual se realizan los cálculos de cada subdominio por separado y sucesivamente se renuevan las variables de la interfase de cada uno de los subdominios hasta alcanzar la convergencia.

4.1 Acople Iterativo MEF-MEC

Considérese un dominio W bidimensional, el cual es descompuesto en dos subdominios W_F y W_C (Figura 2). Cada subdominio puede ser discretizado usando el método de los elementos finitos o el método de los elementos de contorno. Al discretizar se requiere que exista coincidencia de nodos a lo largo de la interfase entre ambos subdominios.

uⁱ_f = uⁱ_c  (18)

fⁱ_f + fⁱ_c = 0 (19)

donde U_fⁱ, Uⁱ_c y f_fⁱ, f_cⁱ son los desplazamientos y las fuerzas en la interfase en el dominio de elementos finitos y en el dominio de elementos de contorno respectivamente.

Para obtener consistencia entre la formulación del método de elementos finitos y el método de elementos de contorno, es necesario transformar las tracciones en el contorno en fuerzas nodales equivalente (20), para lo cual se utiliza una matriz de transformación T.

f = T.t  (20)

Esta matriz T, es creada a partir de la aplicación de desplazamientos virtuales [Beer, 2001].  Para calcular el componente x de la fuerza nodal equivalente en el nodo n, se aplica un desplazamiento virtual unitario en la dirección x, en el nodo n (Figura 4). Para que se pueda satisfacer  el equilibrio, el trabajo realizado por las tracciones debe ser igual al trabajo realizado por las fuerzas nodales en el nodo n.

El trabajo total realizado es

  (21)

Sustituyendo la interpolación de tracciones y desplazamientos en la ec. (22) y (23):

(22)

(23)

en la ec. (21) se obtiene:

(24)

La matriz T en dos dimensiones es un ensamble de todas las matrices de transformación de los elementos en la interfase, que tienen funciones de forma lineales y poseen una longitud L y está dada por:

  (25)

  (26)

4.2 Procedimiento de acople iterativo utilizado

Como se mencionó anteriormente, cada subdominio es analizado independientemente y sólo la información en la interfase es comunicada entre ellos. El dominio es discretizado en el tiempo en t = NDt, donde N = 123,....

En la Figura. 5, se muestra gráficamente el algoritmo que se resuelve para cada paso t del tiempo. Se aplican unas fuerzas nodales iniciales en la interfase del subdominio discretizado con elementos finitos, para luego ser resuelto y obtener de esta forma los desplazamientos en la interfase ^t_ku_f.i. Al conocer los desplazamientos en la interfase del subdominio discretizado con elementos finitos, se les aplica la relajación mediante la utilización del parámetro w_u:

(27)

siendo ^t_ku_c.i los desplazamientos que se aplicaran en la interfase del subdominio discretizado con elementos de contorno en esta iteración k del paso del tiempo t y _k-1^tu_f.i, los desplazaminetos en la interfase en el subdominio discretizado con elementos de contorno, en iteración k-1 del paso del tiempo t. Una vez aplicados los desplazamientos ^t_ku_c.i en la interfase del subdominio discretizado con elementos de contorno, se realiza el análisis con dicho método. Las tracciones obtenidas en la interfase, resultado del análisis realizado con método de elementos de contorno, son transformadas en fuerzas nodales equivalentes, mediante la utilización de la matriz de transformación de la ec. (20).

Luego de obtener las fuerzas nodales equivalentes, se chequea la convergencia del procedimiento. Si se alcanza la convergencia se termina el proceso iterativo. En caso contrario, las nuevas fuerzas nodales equivalentes son actualizadas aplicando el parámetro de relajación wf, usando la ec. (28), y de esta forma serán aplicadas, en la próxima iteración, como condición de contorno sobre la interfase del subdominio discretizado con elementos finitosde contorno.

(28)

Para chequear la convergencia se utilizó un criterio de convergencia de incrementos de desplazamientos y otro basado en el balance de fuerzas, que mostrados a continuación:

(29)

(30)

donde la ec. (29) mide la convergencia en desplazamientos, mientras que la ec. (30), refleja la convergencia de las tensiones.

5. EJEMPLOS NUMÉRICOS

Una de las aplicaciones de los diferentes acoples de elementos finitos y elementos de contorno son los problemas de interación estructura – suelo. En este tipo de problemas se discretiza el campo cercano (near field) utilizando elementos finitos y el dominio semi-infinito (far field) es discretizado con elementos de contorno.

Para ilustrar la aplicabilidad de este acople iterativo MEF-MEC, se presenta un espacio semi-infinito elástico en 2D, sometido a una carga distribuida. Este modelo es utilizado con el objetivo de comparar los resultados obtenidos en este trabajo con resultados obtenidos por otros autores, siendo originalmente usado por Cruse [Cruse, 1991] y luego por von Estorff y Firuziaan [Estorff, 2000], utilizando un acople por el método directo.

La geometría analizada se muestra en la Figura 6.

La carga aplicada es una función con paso en el tiempo P(t) = 68.96H(t-0) [MPa], siendo H es la función de paso en el tiempo. Para ambos subdominios se utilizó un material con un módulo de elasticidad de Young E = 1.77X10⁴MPa, densidad de masa r = 3.15x10⁴ Ns²/ M⁴ y coeficiente de Poisson v = 0.25.

Los valores de los parámetros de relajación utilizados w_u y w_f son 1.0 y 0.75, respectivamente [Estorff y Hagen, 2006], y una tolerancia de convergencia e_u = e_f = 1.0x10^-4.

El subdominio discretizado con elementos finitos, mostrado en la Figura 6 y 7(a), con dimensiones de 190.5 metros de altura por 457.2 metros de ancho y consta de elementos cuadriláteros bilineales. El dominio discretizado con elementos de contorno, mostrado en la Figura 6 y 7(b), consta de elementos de contorno linales de 2 nodos de igual tamaño.

En la Figura 9, se muestran los desplazamientos obtenidos en el Nodo A (Figura 8) durante el lapso de 1 segundo, utilizando un paso en el tiempo Df = 0.01 para ambos subdominios.

Los desplazamientos resultados del Nodo A, fueron comparados con resultados de acoples directos MEF – MEC realizados por Cruse [Cruse, 1968], Mansur [Mansur, 1983] y von Estorff y Firuziaan [Estorff y Firuziaan, 2000] y el método de los elementos finitos y el método de los elementos de contorno sin acoplar [Estorff y Firuziaan, 2000] (Figura 9).

Como se puede observar en esta figura, los resultados obtenidos en este trabajo muestran una buena coincidencia con resultados obtenidos anteriormente por otros autores.

Las mayores diferencias se observan en los instantes t=0.2, t=0.3, t=0.4 y t=0.9. Sin embargo, la mayor diferencia no superó el 10%, lo cual indica que el método propuesto es razonablemente preciso.

En la Figura 10, se muestran resultados de los Nodos B, C, D y E, de la Figura 8, observándose que también hay buena coincidencia en los desplazamientos obtenidos por MEF y por MEC en los nodos de la interface de ambos subdominios.

6. CONCLUSIONES

En orden de mostrar la aplicabilidad de el método de acople iterativo MEF-MEC  desarrollado en este trabajo, se analiza un espacio semi-infinito elástico en el cual, el campo cercano se discretiza con elementos finitos y el campo lejano  o dominio semi-infinito se discretiza con elementos de contorno. Los resultados obtenidos en este trabajo mostraron buena coincidencia con resultados obtenidos por otros autores.

7. AGRADECIMIENTOS

Los autores expresan su agradecimiento al Fondo Nacional de Ciencia y Tecnología (Caracas, Venezuela) y ALFA ELBENet Project (Comunidad Europea-América Latina) por su soporte económico.

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