Claudio M. Rocco S.
Universidad Central de Venezuela. Facultad de Ingenieria. Ciclo Basico e-mail: crocco@cantv.net
RESUMEN
En este trabajo se estudia el Sistema Electrico Nacional (SEN) desde la perspectiva de la teoria de grafos y de los desarrollos recientes para comprender la estructura de redes complejas. Entre los resultados preliminares, se muestra que el SEN puede ser considerado, desde el punto de vista topologico, como una red ¡ìsingle-scale¡í. Esto implica que el comportamiento de la distribucion acumulada del numero de conexiones en cada nodo presenta un comportamiento tipo exponencial. Esta caracteristica sugiere que el SEN puede soportar satisfactoriamente la perdida aleatoria de algunos nodos (o subestaciones) pero puede ser vulnerable a la perdida de algunos nodos particulares. Se presentan resultados basado en medidas que evaluan el papel sobresaliente de los nodos de la red, tales como Conectividad e Intermediacion. Se evalua mediante un modelo sencillo el efecto cascada ante la perdida de nodos de la red.
Palabras Clave: Planificacion de Sistemas electricos, Sistemas complejos, Topologia de redes, Vulnerabilidad.
Analysis of the Venezuela electric power grid through complex network concepts
ABSTRACT
In this paper, we study the National Electric Power Systems (NEPS) using a graph-based approach and recent advances in mapping the topology of complex networks. We show that NEPS can be considered as a single-scale network. Indeed, we find that the cumulative degree distribution follows an exponential distribution. This fact means that NEPS can withstand the random loss of several nodes (or substations) but it is vulnerable in case of losing particular nodes. Results based on node importance, such as connectivity and betweenness, are presented. Finally a simple model allows the evaluation of cascading effects due to loss of nodes.
Keywords: Power System planning, Complex systems, Network topology, Vulnerability.
]]> Recibido: diciembre de 2007 Revisado: marzo de 2008INTRODUCCION
A medida que un sistema de potencia evoluciona en el tiempo se hace mas importante conocer el comportamiento emergente que puede surgir. Los analisis tradicionales se basan en modelos tales como flujo de carga y estabilidad que consideran los procesos electromagneticos que ocurren en dichos sistemas. Estas simulaciones requieren mucho tiempo de computo.
En este trabajo se estudia el Sistema Electrico Nacional (SEN) desde la perspectiva de la teoria de grafos y de los desarrollos recientes para comprender la estructura de redes complejas. No se consideran los detalles de los procesos electromagneticos que se desarrollan y solo se toman en cuenta las propiedades topologicas de la red. La idea es demostrar que la estructura de la red asociada al sistema de potencia proporciona informacion sobre la vulnerabilidad de este ante la ocurrencia de fallas o eventos en cascada. Este modelo simplificado representa un escenario optimista de las caracteristicas del SEN (Alber et al., 2004): las consecuencias antes la ocurrencia de fallas seran evidentemente superiores.
Estudios de esta naturaleza se han realizado para diversos sistemas electricos en Europa y Estados Unidos (Albert et al., 2004; Crucitti et al., 2004 y Rosato et al., 2007). Sin embargo, a nuestro mejor entendimiento, este tipo de estudio no ha sido realizado con anterioridad en Venezuela.
El trabajo esta organizado de la siguiente manera: la primera seccion presenta algunas definiciones y una pequena resena cronologica del desarrollo de redes complejas; la segunda seccion muestra los resultados preliminares obtenidos del estudio del SEN; y finalmente la tercera seccion presenta las conclusiones del estudio.
DEFINICIONES Y NOTACION
La teoria de grafos es el marco natural para el analisis de las redes complejas. Un grafo no dirigido (o un grafo dirigido) G=(N,L) esta definido por los dos conjuntos N y L, tales que N ¹ Æ. y L es el conjunto de pares no ordenados (pares ordenados en el caso de grafos dirigidos) de elementos de N. Los elementos de N={n1, n2,, ..., nN} se denominan nodos (o vertices o puntos) mientras que los elementos de L={l1, l2,, ..., lK} se denominan enlaces (o aristas o lineas). La referencia a un nodo se realiza por su posicion i en el conjunto N. En un grafo no dirigido cada uno de los enlaces esta definido mediante un par de nodos i y j y se denotara como (i,j) o lij. En un grafo dirigido el orden del par de nodos es importante ya que en estos grafos el enlace lij se refiere a la conexion que va desde el nodo i hasta el nodo j. En estos grafos lij ¹ lji.
Una forma util de representar un grafo es a traves de la matriz de conectividad A. El elemento aij de esta matriz cuadrada de dimension NxN, toma el valor de 1 si existe el enlace lij y 0 en otro caso. La diagonal principal de esta matriz contiene valores nulos (Boccaletti et al., 2006).
Conectividad
]]> Se denomina a ki el grado o conectividad de un nodo, definido como el numero de enlaces incidentes en el nodo i y calculado, en terminos de la matriz de conectividad como:
(en grafos dirigidos se puede adicionalmente diferenciar entre grado de entrada o salida, al contabilizar los enlaces que llegan o que salen del nodo i).
La caracterizacion mas elemental de un grafo se obtiene analizando la distribucion de la conectividad P(k), definida como la probabilidad que un nodo seleccionado de acuerdo con una distribucion de probabilidad uniforme, tenga conectividad k. Los nodos que presentan valores altos de conectividad constituyen los llamados <<hubs>> (Boccaletti et al., 2006).
Tipos de Redes
Varios estudios de redes reales han sugerido que estas se han generado a partir de procesos de crecimiento no supervisado que poseen caracteristicas topologicas comunes. De hecho, redes en biologia, sociologia, telecomunicaciones y la www, que describen sistemas y fenomenos diferentes, muestran similitudes en sus estructuras topologicas (Rosato et al., 2007).
En 1998 Watts y Strogatz (1998) mostraron que la topologia de ciertas redes no era ni regular ni aleatoria sino mas bien correspondia a una situacion intermedia entre estos dos extremos. Esta clase de redes fue bautizada con el nombre de redes <<small worlds>> en analogia con el fenomeno de pequenos mundos observado en los sistemas sociales. Estas redes estan caracterizadas por una distribucion de conectividad que posee una moda claramente definida (Latorra y Marchiori, 2003).
Sin embargo, Barrabasi et al., (2003) encontraron que muchas redes no siguen las caracteristicas de las redes de Watts y Strogatz. Una de las caracteristicas mas resaltante entre las redes estudiadas por Barrabasi et al., es la presencia de una topologia de red con una distribucion de conectividad que sigue una ley de potencia del tipo k-g, con 2<g<3 (Rosato et al., 2007). Estas redes, denominadas <<scale-free>>, estan caracterizadas por ser redes en las que nodos con alta y baja conectividad coexisten simultaneamente. La existencia de redes <<scale-free>> ha sido justificada porque el crecimiento de la red se realiza incorporando nuevos nodos que se conectan con preferencia a los nodos existentes de mas alta conectividad (Amaral y Ottino, 2004).
Se ha demostrado numerica y analiticamente que estas redes poseen una gran habilidad para recuperarse rapidamente ante la perdida aleatoria de nodos (propiedad de resiliencia o ¡ìvolver al estado inicial¡í, originariamente usado para referirse a la cualidad de elasticidad y plasticidad de una sustancia), pero son vulnerables a la perdida especifica (esto es, no aleatoria) de nodos de alta conectividad (Amaral y Ottino, 2004).
Estudios posteriores han mostrado que redes clasificadas inicialmente como ¡ìscale-free¡í presentan ciertas caracteristicas particulares por lo que se ha generado una clasificacion mas detallada de estas redes. En efecto, el estudio de la distribucion de la conectividad y en particular la forma de las colas de las distribuciones, ha permitido clasificar las redes en <<scale-free>>>, <<broad scale>> y <<single scale>>. Estas ultimas, caracterizadas por una cola con decaimiento exponencial, surgen cuando la inclusion de nuevos nodos en la red se ve afectada, entre otras razones, por alguna restriccion fisica en los nodos de mas alta conectividad ya existentes (por ejemplo la capacidad limitada del nodo existente) (Amaral y Ottino, 2004).
]]> A manera de ejemplo, Watts y Strogatz (1998) encontraron evidencias contundentes del fenomeno de ¡ìsmall worlds¡í en el sistema electrico del Sur de California. Posteriormente Barrabasi et al., (2003) lo clasificaron como una red ¡ìscalefree ¡í y finalmente Amaral y Ottino (2004) lo clasifican como una red <<single scale>>.Camino mas corto, diametro e intermediacion
Los caminos mas cortos entre dos nodos (tambien conocidos como rutas geodesicas) proporcionan informacion valiosa para caracterizar a un grafo. En general todos los caminos mas cortos (obtenidos por ejemplo mediante el algoritmo de Dijkstra o mediante procedimientos de busqueda profunda) se almacenan en la matriz D, cuyos elementos dij representan la longitud de la ruta geodesica entre los nodos i y j. El maximo valor de dij define el diametro del grafo. Cuando se considera exclusivamente la matriz de conectividad, los valores de dij representan el numero de enlaces que existen entre los nodos i y j. Si por ejemplo se utilizan las distancias fisicas entre los nodos i y j, entonces los elementos dij representan la longitud de la ruta mas corta entre los nodos i y j.
La longitud promedio de los caminos mas cortos, denominada Longitud Caracteristica del Camino (LCC) es una medida que representa la separacion promedio entre dos nodos del grafo y esta definida por: (Boccaletti et al., 2006):
En ciertas ocasiones es conveniente trabajar con el concepto de Eficiencia (E) del grafo, definido como la media armonica de las longitudes geodesicas:
donde:
eij es definida como la eficiencia entre los nodos i y j.
La eficiencia es un indicador de la capacidad de trafico de una red (que tan bien se comunican los nodos en la red) y permite considerar aquellos grafos en los que existen nodos que no estan conectados. La eficiencia E esta altamente correlacionada con 1/LCC ya que un valor alto de LCC corresponde a un valor bajo de eficiencia (Porta et al., 2006).
]]> La comunicacion de dos nodos no adyacentes j y k (o sea de dos nodos que no tienen conexion directa) depende del numero de nodos que se encuentran en los caminos que van desde j hasta k. Por tanto, una medida de la importancia de un nodo en particular se puede obtener contando el numero de veces que ese nodo pertenece a las rutas geodesicas. Esta medida se denomina Intermediacion del nodo (¡ìbetweenness¡í) o carga y se calcula para el nodo i como:
donde:
njk(i) es el numero de caminos mas cortos que conectan a los nodos j y k y que pasan por el nodo i, mientras njk es el numero de caminos mas cortos entre los nodos j y k.
En el caso que nos ocupa, se supone que la potencia electrica es enviada a traves de los caminos mas cortos que se originan en los nodos de generacion y llegan a los nodos de distribucion. Por tanto la intermediacion o carga de una subestacion de transmision puede ser considerada como una variable proxy del flujo que circula por la subestacion (Crucitti et al., 2004).
Vulnerabilidad y Efectos Cascada
Los sistemas de potencia se han desarrollado como redes interconectadas que permiten que la potencia pueda ser transferida desde generadores ubicados a gran distancia de las cargas. Esta caracteristica deseable tambien permite la propagacion de eventos locales a traves de toda la red (Kinney et al., 2005).
El primer enfoque para estudiar la vulnerabilidad del sistema de potencia, denominado analisis estatico de fallas, consiste en remover un determinado numero de elementos del sistema y evaluar como se afecta su desempeno. Como resultado de este enfoque, se llego a la conclusion que remover un determinado numero de elementos del sistema produce importantes consecuencias. Por ejemplo, se menciona que el colapso del sistema de potencia analizado en Albert et al., (2004) ocurre si se pierde alrededor del 2 % de las subestaciones.
En muchos sistemas reales, la falla de un solo elemento puede ocasionar el colapso del sistema, debido a la dinamica de redistribucion de flujos y a ciertos eventos de proteccion que se generan en el sistema. Para considerar estos efectos se han propuesto modelos sencillos que permiten evaluar, no solo las consecuencias en la topologia de la red, sino el efecto de sobrecarga que se genera en los elementos del sistema y el posible efecto cascada.
El modelo que se utiliza en este trabajo fue desarrollado por Crucitti et al., (2004). El modelo considera que cada nodo posee una capacidad Ci, definida como la maxima carga que un nodo puede manejar: Ci=¥Li(0), donde ¥ ³ 1 es el factor de tolerancia y Li(0) es la carga del nodo en condiciones normales, esto es, antes de la ocurrencia de cualquier perturbacion en el sistema.
]]> La salida de un nodo marca el inicio de la dinamica de redistribucion de flujos en la red. En efecto, el evento puede ocasionar cambios en las rutas mas cortas (rutas mas eficiente) y por tanto definir nuevos valores de carga en cada nodo y, posiblemente, generar que algunos nodos esten sobrecargados. Para evaluar la eficiencia de la red ante esta redistribucion del flujo a lo largo de un periodo de tiempo, se define la siguiente regla de actualizacion de eij:
donde:
el indice j se refiere a los primeros vecinos de nodo i y Li(t) es la carga del nodo i en el tiempo t. Inicialmente eij(0) = 1si existe un enlace entre los nodos i y j, cero en otro caso (lo que equivale a decir que todos los enlaces funcionan perfectamente). Dependiendo del nodo que se encuentre fuera de servicio en cada t, esta regla ocasiona una reduccion en la eficiencia E y la posible definicion de nuevas rutas eficientes. En general la simulacion se extiende hasta que el comportamiento de la eficiencia E alcance su estado estacionario.
EL SISTEMA ELECTRICO NACIONAL (SEN)
El SEN, analizado en este articulo, esta constituido por 635 nodos (o subestaciones) y 1179 enlaces (entre lineas de transmision y transformadores) y es representado mediante un grafo (figura 1 obtenida mediante el software Pajek (Batagelj y Mrvar, 2007) y su correspondiente matriz de conectividad. Las subestaciones se dividen en tres tipos: Generacion, Transmision y Distribucion. El SEN se considera como un grafo conectado y por tanto, en principio, puede suponerse que la potencia de cualquier generador puede ser llevada a cualquier centro de distribucion. En la figura 1 solo se muestra la topologia sin ninguna referencia geografica. Por razones de seguridad, se omiten los nombres de las subestaciones.
Figura 1. Grafo asociado al SEN.
Para el SEN, la conectividad promedio es de 3.71, con valores entre 1 y 14, mientras que el diametro del SEN es de 33 (maximo numero de enlaces entre dos nodos). La longitud promedio de los caminos mas cortos es 12.17 y la eficiencia resultante es de 0.10156.
La figura 2 muestra la distribucion acumulada de la conectividad de los nodos P(k) = Sk>KP(k). Como se ha visto en otras redes, no existe un nodo o un grupo de nodos especificos que prevalezca sobre el resto y el mejor ajuste corresponde a una ecuacion del tipo exponencial con P(k)~e-0.42k.
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Figura 2. Distribucion acumulada de la conectividad y ajuste a una exponencial.
La figura 3 muestra, en un grafico log-log, que la distribucion acumulada de conectividad no se ajusta tan bien a una ley de potencia, por lo que el SEN puede ser considerada como una red ¡ìsingle scale¡í. Otros sistemas de potencia han sido tambien clasificados de esta forma (Alber et al., 2004; Crucitti et al., 2004; Rosato et al., 2007 y Kiney et al., 2005).
Figura 3. Distribucion acumulada de la conectividad en escala log-log.
Si se supone que cualquier generador puede suministrar potencia a cualquier subestacion de distribucion a traves del camino mas eficiente, se puede calcular la carga (o intermediacion) en cada nodo.
La figura 4 muestra la distribucion de carga para los nodos. Se puede observar que aproximadamente 84 % de las subestaciones participan en hasta 6000 rutas geodesicas pero 2 % de las subestaciones hacen parte de 25000 o mas rutas. Estas subestaciones, que no necesariamente presentan alta conectividad (o sea, no son consideradas como ¡ìhubs¡í), juegan un papel importante en la red.
Figura 4. Histograma de intermediacion (carga) y valores acumulados.
La figura 5 muestra sobre el grafo que representa el SEN, los nodos que presentan mayores valores de intermediacion o carga. El tamano del nodo es proporcional a la carga que este maneja.
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Figura 5. Intermediacion de los nodos.
La figura 6 muestra la distribucion acumulada de carga Pcum(L)= SL,>LP(L¡`). Esta distribucion puede ajustarse a una distribucion de potencia de la forma Pcum(L) ~(2774+L)-1.22. Esto significa que si bien la red es muy homogenea en cuanto a conectividad, la red presenta una alta heterogeneidad en cuanto a la carga de los nodos: la mayoria de los nodos manejan cargas pequenas, pero hay algunos nodos que manejan cargas extremadamente altas. Y son precisamente las fallas en estos nodos que pueden iniciar un efecto cascada. Este comportamiento ha sido observado en otros sistemas de potencia (Alber et al., 2004; Crucitti et al., 2004; Rosato et al., 2007; Kiney et al., 2005).
Figura 6. distribucion acumulada de carga Pcum(L).
Por otra parte, la figura 7 muestra la relacion entre la conectividad y la carga en los nodos. Es interesante notar que si bien uno de los nodos de mayor conectividad posee el mayor grado de intermediacion, estas variables no estan altamente correlacionadas (el coeficiente de correlacion de Pearson es 0.47). De hecho se puede observar que existen nodos con alta conectividad y baja intermediacion, y nodos con relativa baja conectividad y alta intermediacion. Los nodos que aparecen en la parte superior de la figura 7 deben ser considerados como nodos importantes.
Figura 7. Relacion entre conectividad y carga en los nodos.
Por ultimo, la figura 8 muestra los resultados de la simulacion del modelo de eventos en cascada en la topologia del SEN, en funcion del parametro de tolerancia a.
Esta figura muestra el valor final de la Eficiencia (valor en estado estacionario) para dos tipos de fallas: Seleccion aleatoria de nodos y seleccion en funcion de la carga del nodo. Como se esperaba, y debido a la alta heterogeneidad de la carga en los nodos, el comportamiento del sistema ante fallas aleatorias de los nodos es mas estable que ante fallas de nodos especificos.
Un resultado parecido se obtiene cuando la salida de los nodos se realiza en funcion de su conectividad o de su carga. Este hecho recalca que no es solo la conectividad de los nodos la que afecta mayoritariamente el desempeno del SEN, sino la combinacion de conectividad y alta intermediacion o carga.
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha mostrado que la topologia del SEN desempena un papel importante en la capacidad que este tiene de soportar fallas. Los resultados preliminares indican que el SEN es robusto ante fallas aleatorias en los nodos, pero su desempeno se degrada si las fallas ocurren en los nodos de alta intermediacion. El modelo de eventos en cascada utilizado es una simplificacion de lo que realmente sucederia en un sistema de potencia. El objetivo de este trabajo era mostrar que la topologia del SEN juega un papel fundamental en la caracterizacion del mismo y que su analisis debe ser incluido en cualquier tipo de modelo (Crucitti et al., 2004). De hecho, los estudios de la topologia pueden ser utiles para realizar evaluaciones ¡ìrapidas¡í de vulnerabilidad que permitan determinar situaciones de alto riesgo y proponer medidas preventivas de diseno (por ejemplo en la planificacion de expansiones) u operativas (mediante la definicion de esquemas de vigilancia y proteccion de las instalaciones). Sin embargo es conveniente aclarar que la robustez de las redes y como se propagan las fallas no es una consecuencia solo de la topologia de la red sino de una relacion compleja entre la topologia de la red y su dinamica (Simonsen et al., 2007).
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