Sara Hernandez ¹, Claudio Rocco ^1*, Jose Ramirez-Marquez ², Belzyt Gonzalez ¹

¹ Universidad Central de Venezuela, Facultad de Ingenieria, Ciclo Basico.

² Stevens Institute of Technology, NJ, USA e-mail: croccoucv@gmail.com

RESUMEN

Este articulo presenta un nuevo enfoque heuristico aplicable a la resolucion de problemas de interdiccion deterministica en redes (PIDR). El problema de interdiccion analizado considera la minimizacion del maximo flujo que puede ser transmitido entre un nodo fuente y un nodo sumidero de una red dada, cuando existe una cantidad limitada de recursos disponibles para intervenir los arcos de la red. Para ilustrar este enfoque, se usan ejemplos de redes de distintos tamanos y topologias. En terminos de esfuerzo computacional, los resultados obtenidos evidencian que la heuristica es capaz de obtener excelentes soluciones mediante la exploracion de un espacio de busqueda de solucion significativamente reducido.

Palabras clave: Heuristica, Interdiccion deterministica, Redes, Algoritmo, Espacio de busqueda, Flujo maximo.

A heuristic for the deterministic interdiction problem

ABSTRACT

This paper introduces a new heuristic approach that can be readily applied to solve deterministic network interdiction problems (DNIP). The network interdiction problem solved considers the minimization of the maximum flow that can be transmitted between a source node and a sink node for a fixed network design when there is a limited amount of resources available to interdict network links. Examples for different network topologies are used throughout the paper to illustrate the approach. In terms of computational effort, the results illustrate that excellent solutions are obtained from a significantly reduced solution search space.

Recibido: marzo de 2009  Recibido: julio de 2009

INTRODUCCION

El actual proceso de globalizacion ha agudizado la ocurrencia de fenomenos sociales, tales como el terrorismo, la delincuencia organizada transnacional, el problema mundial de las drogas, la corrupcion, el lavado de activos, el trafico ilicito de armas y las conexiones entre ellos, que afectan la estabilidad y democracia, erosionan la cohesion social y vulneran la seguridad de los Estados. Estos fenomenos constituyen factores de consecuencias daninas, por lo que en la Declaracion de Seguridad de las Americas correspondiente al 2003, la OEA adopto un nuevo concepto de seguridad hemisferica, segun el cual las amenazas, preocupaciones y otros desafios a la seguridad en el Hemisferio son de naturaleza diversa y alcance multidimensional, por lo que el concepto y los enfoques tradicionales deben ampliarse para abarcar amenazas nuevas y no tradicionales, que incluyan aspectos politicos, economicos, sociales, de salud y ambientales (Chillier & Freeman, 2005).

En tal sentido, los investigadores se han dado a la tarea de proponer modelos orientados a establecer relaciones funcionales matematicas entre eventos, para predecir el comportamiento de los sistemas y proponer alternativas de solucion. Entre estas, figura la interdiccion de redes, la cual segun Pan (2005), es el acto de confrontar y detener una actividad. De acuerdo con este autor, los modelos matematicos que representan la interdiccion de redes pueden proporcionar tacticas y estrategias para atenuar las actividades de un adversario que este operando en un sistema modelado a traves de una red, con nodos y arcos.

Las estrategias de interdiccion de redes se refieren a la interrupcion total o parcial de sus arcos, para asi detener o atenuar el logro de las metas propuestas por el adversario. Esta interrupcion acarrea la asignacion de recursos por parte del ente que propone la interdiccion o interventor, por lo cual este debe decidir selectivamente cual arco debe ser intervenido.

El estudio de los modelos de interdiccion de redes en Investigacion de Operaciones comenzo en la decada de los 70, durante la guerra de Vietnam. En 1970, McMasters, Mustin y Ghare; y en 1971, Montgomery y Turner (todos referidos por Pan (2005)), desarrollaron modelos matematicos deterministicos para interrumpir el flujo de materiales y tropas enemigas. A partir de alli, se derivo una gama de nuevos modelos que no solo han permitido ampliar su espectro de aplicabilidad, sino que, de acuerdo con Evans & Minieka (1992), tambien ha planteado el reto de disenar metodos efectivos para su resolucion. A tal efecto, Wood (1993) formulo el problema de la interdiccion en redes, mediante la programacion entera, incorporandole variantes y generalizaciones; Israeli & Wood (2002) enfocaron el problema desde la optica de la programacion entera mixta; y Dai & Poh (2002) propusieron una heuristica basada en un algoritmo genetico, para analizar el problema de la interdiccion en redes.

De acuerdo con Taha (2004) y Hillier & Lieberman (2006), los metodos que se han desarrollado para resolver los modelos matematicos se clasifican en exactos y heuristicos. Segun los referidos autores, los enfoques de resolucion enumerativos resultan adecuados para redes pequenas, pero presentan la desventaja de que no son aplicables en redes que modelen situaciones de la vida real, debido al tamano de los espacios de busqueda asociados a ellos. Los enfoques heuristicos, por su parte, ofrecen la posibilidad de resolver problemas mas grandes y de encontrar cierto nivel de calidad en la solucion hallada, pero sacrifican la garantia de encontrar una solucion optima.

En concordancia con lo antes expuesto, esta investigacion usa como base la heuristica Busqueda Probabilistica de Soluciones (o "Probabilistic Solution Discovery" PSDA), para resolver el problema de interdiccion deterministica, en el cual se supone que se tiene conocimiento preciso sobre cuales son los nodos origen y destino en la red y sobre las capacidades de los arcos. Esta heuristica ha sido usada exitosamente para resolver problemas combinatorios (Ramirez- Marquez & Rocco, 2008), tales como el que se analiza en este trabajo. Asimismo, esta tecnica resulta atractiva debido a que su adaptacion al problema de interdiccion es intuitiva.

Un estudio detallado de la heuristica PSDA condujo a identificar las modificaciones necesarias para generar PSDAINT, una version adaptada al problema de interdiccion deterministica. PSDA-INT fue aplicada a tres tipos de redes: a) problemas de redes ilustrativas, b) problemas de redes cuyo optimo se conoce y que han sido resueltos previamente en la literatura desde la optica de interdiccion, y c) problemas de redes con solucion desconocida y espacios de solucion grandes. Los resultados obtenidos mediante la aplicacion de la heuristica PSDA-INT se compararon con los reportados en la literatura para las redes que han sido estudiadas desde la optica de la interdiccion. Tal comparacion se efectuo en terminos de calidad de la solucion (valores extremos y promedio), y eficiencia en el espacio de busqueda.

EL PROBLEMA DE INTERDICCION DETERMINISTICA

En este estudio se plantea una situacion modelada a traves de una red dirigida, en la cual un adversario pretende trasladar mercancia desde el nodo origen de dicha red hasta su nodo destino. Los nodos en la red estan interconectados mediante arcos, cada uno de los cuales permite el paso de cierta cantidad de unidades de mercancia. Asimismo, existe un interdictor que debe asignar unidades de recursos para interrumpir cada arco y al mismo tiempo, desea minimizar la cantidad maxima de flujo que el adversario puede hacer pasar por la red, a traves de los arcos que no haya interrumpido el interdictor. Se supone que el flujo es de tipo divisible y que la interdiccion en los arcos es infalible. La capacidad de transporte del adversario esta limitada por las restricciones fisicas de capacidad de los arcos, mientras que el interdictor esta condicionado al uso de las unidades de recurso de las cuales dispone.

Desde el punto de vista matematico, esta situacion puede plantearse como sigue:

Sea G=(N, A) una red dirigida con una sola fuente s y un solo destino t, en donde N es un conjunto de nodos y A es un conjunto de arcos dirigidos, tales que (i,j) Î A, si y solo si hay un arco dirigido desde el nodo i al nodo j. Cada arco (i,j) tiene una capacidad de u_ij unidades y requiere de c_ij unidades de recurso para ser destruido. Ademas, sea F_ij el flujo del nodo i al nodo j y C la cantidad total de recursos de las que dispone el interdictor.

Se define la variable de decision x_ij = 0 si el arco (i,j) es inutilizado por el interdictor y x_ij = 1 en el caso contrario. El problema matematico se formula entonces como:

La funcion objetivo (ecuacion (1)) minimiza el flujo maximo que atraviesa la red. Las ecuaciones (2-4) son restricciones referidas a los balances de conservacion de flujo en el nodo origen, en los nodos de transbordo y en el nodo destino, respectivamente. La ecuacion (5), por su parte, restringe el flujo a traves de cada arco a su capacidad maxima, si el interventor no lo interrumpe. Caso contrario, esta restriccion limitara el flujo a cero. La ecuacion (6) limita el uso de recursos a la maxima cantidad disponible. Finalmente, la ecuacion (7) define las variables de decision como binarias.

LA HEURISTICA PROPUESTA PSDA-INT

A continuacion se presenta la propuesta de adaptacion del PSDA al problema de interdiccion (PSDA-INT).

- Parametros conocidos derivados de las caracteristicas de la red en estudio y del problema en si:

n Numero de nodos.

l Numero de arcos.

c_ij Unidades de recurso (costo) requeridas para inhabilitar el arco entre los nodos i y j.

C Total de recursos de que dispone el interdictor .

- Parametros auxiliares:

U Contador que identifica un ciclo en la secuencia de calculos del algoritmo.

H Contador que identifica una estrategia de interdiccion generada en un ciclo.

K Conjunto donde se almacenan las mejores soluciones generadas en cada ciclo.

g1 Vector inicial de probabilidades de existencia de cada arco en la red (ciclo 1).

a Factor de penalizacion.

SAMPLE Numero de estrategias de interdiccion construidas en cada ciclo.

S Numero de mejores soluciones extraidas del conjunto de estrategias de interdiccion construidas en cada ciclo (TOP).

U Numero maximo de ciclos (actualizaciones del vector gu).

- Variables de decision:

x_ij Variable de decision binaria que indica si el arco entre los nodos i y j esta habilitado (x_ij = 1) o inhabilitado (x_ij = 0) en la configuracion de red.

x Vector de configuracion de red asociada a una estrategia de interdiccion:

x = (x₁₂,..., x_1n, x₂₃,..., x_2n,..., x_ij,..., x_n-1n)

x_u^h = (x^h_12u,..., x^h_1nu, x^h₂₃,..., x^h_2nu,..., x^h_iju,..., x^h_n-1nu) .

- Otras variables calculadas:

C(x) Costo en que se incurre al implementar la estrategia de interdiccion segun lo indicado por el vector de configuracion de red

C(x ^hu) Costo en que se incurre al implementar la h-esima estrategia de interdiccion potencial

F(1) Flujo maximo antes de interdiccion. El argumento de F supone que todos los enlaces estan operativos.

F(x ^hu) Flujo maximo bajo la estrategia de interdiccion h-esima del ciclo u.

F' (x ^hu) Flujo maximo penalizado.

g_u Vector de probabilidades de existencia de cada arco en la red en el ciclo:

g_iju = (g_12u,..., g_1nu, g₂₃,..., g_2nu,..., g_iju,..., g_n-1)

x* Vector de configuracion de red asociada a la estrategia de interdiccion optima.

Ú Operador logico "OR".

Parametros requeridos por la heuristica PSDA-INT

Antes de proceder con la formulacion de la heuristica PSDA- INT, conviene ahondar en el conocimiento de los parametros requeridos por ella. .

• Vector inicial de probabilidades de existencia de cada arco en la red (g1): este parametro se construye sobre la base de que la probabilidad de existencia de cada arco en la red es un valor que puede variar en el rango [0,1]. Si bien es cierto que hasta tanto se resuelva el problema de interdiccion, no se tendra conocimiento sobre cuales arcos conformaran la configuracion de red optima, Ramirez-Marquez & Rocco (2008) proponen trasladar el principio de Indiferencia o el principio de la razon insuficiente de Laplace a esta situacion, y fijar en 0.5 cada elemento de g1. La escogencia de este valor permite que la existencia o no de cada arco en la configuracion final sea igualmente probable.

• Factor de penalizacion (a): el factor de penalizacion a permite reflejar en el valor del flujo maximo de una configuracion de red infactible, el empleo de una cantidad de recursos mayor a la total disponible. Este parametro se fija por tanteo, pero los experimentos realizados sugieren valores entre 1 y 2.

• ]]> Numero de estrategias de interdiccion construidas en cada ciclo (SAMPLE): dado que la estrategia de busqueda de soluciones empleada por la heuristica esta basada en la generacion aleatoria de muestras, resulta necesario indicar a traves de SAMPLE el numero de soluciones que se generaran por ciclo.

• Numero de mejores soluciones extraidas del conjunto de estrategias de interdiccion construidas en cada ciclo (S): este parametro se emplea para la actualizacion de las probabilidades de existencia, indicadas en el vector g_u en cada ciclo. Ramirez-Marquez & Rocco (2008) sugieren emplear la relacion SAMPLE/S » 7.

• Numero maximo de ciclos (U) o actualizaciones del vector g_u. Se fija para definir una condicion de parada para el algoritmo.

Es importante tener presente que para que la heuristica PSDA- INT resulte atractiva con respecto a otros metodos de solucion, la escogencia del valor de SAMPLE debe permitir reducir significativamente el espacio de busqueda. Es decir, el conjunto total de soluciones a explorar (U x SAMPLE) debe ser mucho menor al numero maximo de combinaciones que pudiesen derivarse de la red (2^l).

Los pasos secuenciales que usa la heurística PSDA-INT, para resolver el problema de interdicción determinística, se describen a continuación (ver pseudo código en la figura 1):

Paso 1. Desarrollo de la estrategia de interdiccion

Se genera aleatoriamente un numero determinado (SAMPLE) de estrategias de interdiccion, que son las configuraciones de red que reflejan cuales arcos son seleccionados por el interdictor y cuales permanecen intactos. Cada una de estas estrategias es considerada como solucion potencial al problema de optimizacion a resolver. La manera de obtener las estrategias de interdiccion es generando un numero uniformemente distribuido en [0,1] para cada arco y comparandolo con la probabilidad de existencia de dicho arco en la red. Si el numero aleatorio es mayor o igual que la probabilidad de existencia del arco, se indica que este pertenece a la estrategia de interdiccion. Caso contrario, el arco no esta incluido en dicha estrategia.

1. Las probabilidades de aparicion de los arcos en la red convergieron a 0 o 1, o;

2. Se alcanza el numero maximo de ciclos (actualizaciones del vector de probabilidad de existencia), indicado por el usuario.

Paso 2. Analisis de la estrategia de interdiccion.

- Determinacion del flujo maximo:

Se determina el flujo maximo de la red G(N,A) entre los nodos fuente y sumidero para cada una de las estrategias generadas previamente. Para ello puede emplearse el metodo de Ford-Fulkerson (Evans & Minieka, 1992), por ser este uno de los procedimientos genericos mas divulgados para resolver el problema de flujo maximo. Sin embargo, es valido usar cualquier otro metodo que maximice flujo en redes, o cualquier tecnica que permita modelar el flujo en una red, por ejemplo, en un sistema hidraulico o en un sistema electrico. En todo caso, lo relevante aqui es reconocer la pertinencia de este paso.

- Calculo del costo asociado a la estrategia de interdiccion:

La contabilizacion de los recursos requeridos para implementar una estrategia de interdiccion se realiza a traves de:

]]>

- Penalizacion del flujo maximo:

La penalizacion del flujo asociado a cada estrategia de interdiccion se realiza cuando esta involucra el uso de mayor cantidad de recursos que el total del que dispone el interdictor C. Basado en la expresion usada en Ramirez- Marquez & Rocco (2008), se plantea la siguiente forma de calcular el flujo penalizado:

- Jerarquizacion del flujo maximo penalizado

Se jerarquizan las soluciones en orden de magnitud decreciente a traves del flujo penalizado, F (x ^h_u).

Paso 3. Busqueda exploratoria de soluciones

De todas las soluciones construidas en el Paso 2, se considera solo el conjunto de mejores soluciones (TOP) para actualizar las probabilidades de existencia de cado arco (elementos del vector gu). Esto se logra promediando las apariciones de cada arco en el conjunto de mejores soluciones. Los conjuntos de mejores soluciones obtenidos en cada ciclo se van almacenando en el conjunto K y de aqui se seleccionara la mejor solucion.

Con el nuevo vector g_u, se reinicia el ciclo de pasos 1-2-3 hasta que se cumpla una de las dos condiciones establecidas por las reglas de parada. Cuando esto ocurre, se procede a identificar la mejor solucion, para lo cual se analiza el conjunto de soluciones almacenadas en K y de ellas, se selecciona como solucion optima (x*) aquella que minimice el flujo maximo y que cumpla con la restriccion de disponibilidad de recursos. Es importante enfatizar que el proceso de seleccion que define el conjunto de mejores soluciones es por ranking del flujo penalizado, de las cuales se eligen las mejores del grupo sin imponer condiciones al costo de interdiccion asociado a la configuracion de red.

En esta seccion se describen y analizan los resultados de la aplicacion de la heuristica PSDA-INT a los tres tipos de redes considerados en esta investigacion: 1) problemas de redes ilustrativas, 2) problemas de redes cuyo optimo se conoce y 3) problemas de redes con solucion desconocida y espacios de solucion grandes.

Problemas de redes ilustrativas

El primer problema de red ilustrativa seleccionado es el ejemplo prototipo planteado por Hillier & Lieberman (2006) para explicar el problema de flujo maximo. Aunque la situacion descrita originalmente por los autores no aborda de manera explicita el fenomeno de interdiccion, se considero que la red puede ser adaptada para ilustrar el proceso de interdiccion. En este ejemplo, los autores proponen el problema de red presentado en la figura 2 en la cual se muestra, junto a cada arco, un numero para indicar su capacidad. En la tabla 1 se presentan los datos de la red.

Figura 2. Red dirigida de 7 nodos y 12 enlaces (Hillier &Lieberman, 2006).

Tabla 1. Datos de la red dirigida de 7 nodos y 12 enlaces (Adaptacion de Hillier & Lieberman, 2006).

Para esta red, el flujo maximo obtenido a traves de la aplicacion del metodo de Ford-Fulkerson es 14. De las 2¹² (4096) soluciones potenciales que podrian originarse de esta red, se analizaron solo 2500 soluciones distribuidas en un maximo de 5 ciclos, es decir, se fijo SAMPLE=500 y U=5.

Esta combinacion de parametros permite reducir el espacio de busqueda en 38.96%. Asimismo, de las 500 redes generadas en cada ciclo, se emplearon 70 para actualizar el vector de probabilidades de aparicion de los arcos en la red (S=70), en correspondencia con el cociente sugerido de SAMPLE/S »7. El factor de penalizacion se fijo en 1 y se considera C =1. De la aplicacion del PSDA-INT a esta red se obtiene la evolucion del vector de probabilidades de aparicion de los arcos que se muestran en la tabla 2. En ella puede apreciarse que en el ciclo 5 se alcanzaron las dos condiciones de parada contempladas en el algoritmo.

Por una parte, todas las probabilidades de aparicion de los arcos convergieron a 0 o 1, y por la otra, se alcanzo el maximo numero de ciclos establecidos originalmente (5). El ultimo vector de probabilidades apunta a que la configuracion final de la red luego de la interdiccion tiene el arco (E,t) inhabilitado. La tabla 3 muestra las 5 mejores soluciones para cada ciclo del PSDA-INT.

Tabla 3. Las 5 mejores soluciones obtenidas por PSDA-INT en 4 ciclos para la red dirigida de 7 nodos y 12 enlaces.

En la tabla 3 se puede apreciar como PSDA-INT hallo la mejor solucion por primera vez en el segundo ciclo, cuando solo se habian evaluado 103 redes (24.24% del espacio de soluciones completo). Esta solucion se refiere a inhabilitar el arco 12 (enlace E-t), con lo cual podria lograrse una reduccion en el flujo maximo de 14 a 8 unidades. En esta tabla se observa tambien que solo en el primer ciclo se produjo penalizacion del flujo maximo, puesto que del ciclo 2 en adelante, el costo total de las estrategias de interdiccion evaluadas fue justamente la unidad de recurso disponible para tal fin.

Dado que el problema de red ilustrativa seleccionado es un ejemplo prototipo academico orientado al problema de flujo maximo, no existe optimo reportado para esta red como problema de interdiccion deterministica. Sin embargo, el optimo fue hallado empleando el modelo analitico para resolver el problema de interdiccion deterministica desarrollado por Wood (1993). La solucion optima corresponde a intervenir el arco E-t para reducir el flujo maximo en la red de 14 a 8 unidades.

Problemas de redes con solucion optima conocida

En esta seccion se muestran los resultados de la aplicacion de la heuristica PSDA-INT a dos problemas de interdiccion de redes, cuya solucion optima se conoce y que han sido resueltos previamente en la literatura. En el contexto del problema en cuestion, el optimo se refiere al valor minimo que puede tomar el flujo maximo que atraviesa la red, luego de la inhabilitacion de uno o mas de sus arcos.

- Red de Dai & Poh (2002)

Figura 3. Red dirigida de 20 nodos y 30 enlaces (Dai & Poh, 2002).

Tabla 4. Datos de la red dirigida de 20 nodos y 30 enlaces (Dai & Poh, 2002).

El flujo maximo entre la fuente y el sumidero en esta red antes de la interdiccion es de 44 unidades. Los autores plantean entonces evaluar a cuanto puede reducirse esta cifra si se dispone de un total de 9 recursos para interdiccion.

De las 2³⁰ soluciones potenciales que se derivan de esta red, se analizaron 10⁴ soluciones distribuidas en un maximo de 10 ciclos (con SAMPLE=1000 y U=10). Con estos parametros se redujo el espacio de busqueda en 99.999%.

Asimismo, de las 1000 redes generadas en cada ciclo, se emplearon 140 para actualizar el vector de probabilidades de aparicion de los arcos en la red (S=140).

La tabla 5 presenta la evolucion del vector de probabilidades de aparicion de los arcos a medida que avanzan los primeros 5 ciclos del PSDA-INT. Aunque no se muestra el ciclo 1, no debe perderse de vista que, segun fue explicado anteriormente, todas las probabilidades de existencia iniciales de cada arco en la red son 0.5.

Tabla 5. Evolucion del vector de probabilidades de aparicion en la red dirigida de 20 nodos y 30 enlaces.

La solucion optima de este problema es un flujo maximo despues de interdiccion de 29 unidades (Dai & Poh, 2002). En la tabla 6 se muestra como el PSDA-INT consiguio dicha solucion optima en el cuarto ciclo, luego de evaluar menos de 4000 redes (0.0004% del espacio de soluciones completo). Tambien puede apreciarse en los ciclos 1 y 2, como actua la penalizacion sobre el flujo cuando el costo de interdiccion excede la cantidad total de recursos disponibles. Asimismo, el extracto de resultados presentados en la tabla 6 refleja la naturaleza de la busqueda efectuada por el PSDA-INT, segun la cual los ciclos no se detienen al encontrar la solucion optima. Esto debido a que el algoritmo realiza la escogencia de la mejor solucion factible hallada (menor flujo maximo penalizado y costo de interdiccion menor al total de recursos disponible) luego de que se cumple una de las condiciones de parada del algoritmo.

Tabla 6. Las 5 mejores soluciones obtenidas por PSDA-INT en los 5 primeros ciclos para la red dirigida de 20 nodos y 30 enlaces.

Dai & Poh (2002), reportan los resultados de 10 corridas independientes para un flujo maximo promedio despues de interdiccion de 30.3 unidades, con una varianza asociada de 2.2 unidades, logrando obtener la solucion optima en solo 4 casos. En cambio, PSDA-INT produjo un flujo maximo promedio despues de interdiccion de 29.9 unidades, con una varianza asociada de 0.05 unidades y alcanzo la solucion optima en el 98 % de las corridas efectuadas.

- Red de Wood (1993)

La segunda red considerada (figura 4) fue empleada por Wood (1993) como ejemplo numerico para ilustrar la aplicacion de un modelo propuesto por el para resolver el problema de interdiccion deterministica. Los datos de la red se muestran en la tabla 7.

Figura 4. Red no dirigida de 14 nodos y 25 enlaces (Wood, 1993).

Tabla 7. Datos de la red dirigida de 14 nodos y 25 enlaces (Wood, 1993).

La relevancia de estudiar esta red reside en el hecho de que tiene dos caracteristicas que la diferencian de las anteriormente analizadas en este trabajo: 1) Es no dirigida y 2) Tiene multiples nodos fuente y nodos sumidero.

La primera condicion se aborda sustituyendo cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en direcciones opuestas. Este reemplazo se haria para los arcos que conectan los nodos 5 y 8, 5 y 9, 6 y 9, 6 y 10, 7 y 10 y 7 y 11. Con respecto a la segunda condicion, se requiere convertir la red en una que tenga una sola fuente y un solo sumidero. Para ello, se agrega un super nodo fuente s que alimente a todas las fuentes de la red original mediante arcos unidireccionales artificiales de capacidad infinita, dirigidos a los nodos 1, 2, 3 y 4. Luego se efectua un procedimiento analogo agregando un super nodo sumidero t. Con estas dos transformaciones, la red pasa de tener 14 nodos y 25 enlaces a tener 16 nodos y 57 enlaces. Con estas modificaciones, el flujo maximo entre la fuente y el sumidero antes de interdiccion es de 720 unidades (Wood, 1993). La disponibilidad de recursos para interdiccion considerada por Wood fue de 15 unidades. De las 257 soluciones que resultarian de la enumeracion explicita de las posibles configuraciones de red, se analizaron 104 soluciones distribuidas en un maximo de 10 ciclos (aproximadamente 7.0x10-7 % del espacio de busqueda). Se tomo la misma combinacion de parametros empleada en la red de Dai & Poh (2002) (SAMPLE=1000 y U=10). El tamano de la muestra escogido para actualizar el vector de probabilidades de aparicion de los arcos en la red en cada ciclo fue de 140 (S=140).

Al aplicar el PSDA-INT a la red de la figura 4 se obtiene la evolucion del vector de probabilidades de aparicion de los arcos mostrada en la tabla 8.

Tabla 8. Evolucion del vector de probabilidades de aparicion de los arcos en la red dirigida de 16 nodos y 57 enlaces.

La solucion optima del problema viene dada por la estrategia de interdiccion de los arcos 14, 22 y 23 (que corresponde a los arcos (6,9), (10,13) y (10,14)), con la que se reduce el flujo maximo de la red de 720 a 340 unidades, incurriendo en un costo de interdiccion de 14 unidades de recurso (Wood, 2002). El PSDA-INT produjo esta solucion en el ciclo 8, tras evaluar 8x103 redes. En la tabla 9 se muestran los primeros 5 ciclos de la corrida del PSDA-INT. Como puede apreciarse en la tabla 9, el PSDA-INT produce en estos primeros ciclos soluciones que tienen asociados costos de interdiccion muy superiores a la cantidad de recursos disponibles.

Tabla 9. Las cinco mejores soluciones obtenidas por PSDA-INT en los 5 primeros ciclos para la red dirigida de 16 nodos y 57 enlaces.

Por definicion, el PSDA-INT permite la supervivencia de soluciones infactibles de un ciclo a otro. Pero, estas soluciones son penalizadas de acuerdo con el grado de desviacion que presenten con respecto al costo de interdiccion objetivo. Esta forma de exploracion de las vecindades del espacio de solucion permite evitar que la busqueda se oriente exclusivamente hacia las soluciones con costos de interdiccion inferiores al presupuesto de interdiccion.

Problemas de redes con solucion optima desconocida

En esta seccion se muestran los resultados de la aplicacion de la heuristica PSDA-INT a un problema de redes con espacio de solucion grande que no ha sido resuelto desde la optica de la interdiccion deterministica. Siendo asi, no existe optimo reportado para esta red como problema de este tipo.

La red considerada fue empleada por Gebre & Ramirez- Marquez (2007), para efectuar analisis de confiabilidad en redes. Se trata de una red dirigida de 36 nodos y 60 enlaces, con un unico nodo fuente (nodo 1) y un unico nodo sumidero (nodo 36). Los datos de esta red se muestran en la tabla 10. Note que del nodo fuente solo salen dos arcos, mientras que al nodo sumidero solo llegan dos enlaces. El flujo maximo entre la fuente y el sumidero de esta red antes de interdiccion es 76 unidades.

Tabla 10. Datos de la red dirigida de 36 nodos y 60 enlaces (Gebre & Ramirez-Marquez, 2007).

De las 2⁶⁰ soluciones que resultarian de la enumeracion explicita de las posibles configuraciones de red, se analizaron 104 soluciones distribuidas en un maximo de 10 ciclos. Se tomo la misma combinacion de parametros empleada para las redes estudiadas en la seccion anterior (SAMPLE=1000 y U=10). Se escogio el mismo tamano de la muestra seleccionada para actualizar el vector de probabilidades de aparicion de los arcos en la red (S=140). Dado que no existe una limitacion especifica de recursos disponibles para interdiccion de la red, el analisis del problema se enfoco a traves de un analisis de sensibilidad. Para ello, se varia la cantidad de recursos disponibles para interdiccion, desde 1 unidad disponible hasta alcanzar la cantidad minima requerida para anular el flujo a traves de la red. Cada flujo maximo se obtuvo realizando 10 replicaciones independientes del algoritmo PSDA-INT, considerando semillas distintas. Los resultados promedios obtenidos se muestran en la figura 5.

Figura 5. Analisis de sensibilidad sobre la cantidad de recursos disponibles para interdiccion en la red dirigida de 36 nodos y 60 enlaces.

En la figura 5 puede apreciarse el impacto que tiene la variacion en la cantidad de recursos disponibles para la interdiccion de la red sobre el flujo maximo que atraviesa la red. El comportamiento del flujo puede resumirse de la siguiente manera: primer lugar, dado que el minimo costo de interdiccion de cualquiera de los arcos de la red es 3 unidades (arco entre los nodos 30 y 36), PSDA-INT produjo el flujo maximo 76 unidades para los casos en que el presupuesto de interdiccion es inferior a esta cantidad. Luego, con 3 unidades de recursos disponibles para interdiccion, el flujo maximo pudo reducirse a 34 unidades a traves de la inhabilitacion del arco (30,36). Ese mismo flujo maximo se obtiene con 4, 5, 6 y 7 unidades de recurso. El incremento de disponibilidad de recursos de 7 a 8 unidades, permite disminuir el flujo maximo a 33 unidades a traves de un cambio de la estrategia de interdiccion: dejar todos los arcos de la red intactos excepto el (1,7), cuya inhabilitacion tiene un costo de 8 unidades de recurso. De la figura 5 puede observarse que con una disponibilidad de recursos de 9, 10 y 11 unidades se mantiene el flujo maximo de 33 unidades.

CONCLUSIONES

En el presente trabajo se desarrollo una heuristica para resolver el problema de interdiccion deterministica, con el objeto de identificar la mejor estrategia para atenuar las actividades de un adversario que este operando en un sistema modelable a traves de una red.

El estudio detallado de la heuristica PSDA original condujo a identificar las modificaciones necesarias para adaptarla al problema de interdiccion deterministica. La heuristica modificada, PSDA-INT, requiere solamente 3 parametros para su ejecucion. Su aplicacion a distintos tipos de redes permitio ilustrar la capacidad del algoritmo para obtener soluciones optimas.

Los resultados obtenidos por el PSDA-INT permitieron verificar que la heuristica produce soluciones que coinciden con el valor optimo en un alto porcentaje de las corridas efectuadas. Adicionalmente, desde el punto de vista de esfuerzo computacional, el PSDA-INT es eficiente debido a que produce excelentes soluciones al analizar espacios de busqueda significativamente reducidos con respecto a los que resultarian de la enumeracion explicita de las posibles configuraciones de redes.

Cabe acotar que el uso de un algoritmo de flujo maximo para determinar el flujo en la red obedece a que se supuso que este algoritmo modela adecuadamente el fenomeno que esta ocurriendo en la red. Sin embargo, no debe perderse de vista que la heuristica propuesta emplea el flujo maximo como una "caja negra" que pudiera ser sustituida por un modelo mas real del fenomeno en estudio.

Finalmente, el problema de interdiccion deterministica fue abordado en esta investigacion suponiendo que la interdiccion de los arcos es infalible. De alli, se desprende la siguiente incognita: ¿Como afectaria el hecho que exista una probabilidad de exito en la interdiccion de los arcos de la red? Se plantea entonces calcular la confiabilidad de la interdiccion, esto es, determinar una estrategia de interdiccion que permita minimizar el costo de interdiccion y lograr que la probabilidad de reducir el flujo maximo a cierta cantidad, cumpla con una probabilidad minima especificada.

AGRADECIMIENTO

Parte de este trabajo ha sido financiado por el Consejo de Desarrollo Cientifico y Humanistico de la Universidad Central de Venezuela, a traves del Proyecto PG-08-7309-2008.

REFERENCIAS

1. Chillier, G., Freeman, L. (2005). El nuevo concepto de seguridad hemisferica de la OEA: Una amenaza en potencia. Informe especial Programa WOLA.        [ Links ]

2. Dai, Y., Poh, K. (2002). Solving the Network Interdiction Problem with Genetic Algorithms. Proceedings on the Fourth Asia-Pacific Conference on Industrial Engineering and Management System, pages 18-20.        [ Links ]

3. Evans, J., Minieka, E. (1992). Optimization Algorithms for Networks and Graphs. Marcel Dekker.        [ Links ]

4. Gebre, B., Ramirez-Marquez, J. (2007). Element Substitution Algorithm for General Two-Terminal Network 19 Reliability Analyses. IIE Transactions, Vol. 39, No. 3, pages 265-275.        [ Links ]

5. Hillier, F., Lieberman, G. (2006). Introduccion a la Investigacion de Operaciones. McGraw Hill.        [ Links ]

6. Israeli, E., Wood, R. (2002). Shortest-path Network Interdiction. NETWORKS, Vol. 40, 2, pages 97-111.        [ Links ]

7. Pan, F. (2005). Stochastic Network Interdiction: Models and Methods. Austin, USA: University of Texas.        [ Links ]

8. Ramirez-Marquez, J., Rocco, C. (2008). All-terminal network reliability optimization via probabilistic solution discovery. Reliability Engineering and System Safety, Vol. 93, No. 11, pages 1689-1697.        [ Links ]

9. Taha, H. (2004). Investigacion de Operaciones. Prentice Hall.        [ Links ]

10. Wood, R. (1993). Deterministic Network Interdiction. Mathematical Computing Modeling, Vol. 17, No. 2, pages 1-18.        [ Links ] ]]> 1 2005 2 2002 18-20 3 1992 4 2007 39 3 3 265-275 5 2006 6 2002 40 2 2 97-111 7 2005 8 2008 93 11 11 1689-1697 9 2004 10 1993 17 2 2 1-18