Jorge David Cruz Moreno

Departamento de Diseño. Escuela de Ingeniería Mecánica. Facultad de Ingeniería. Universidad Central de Venezuela. Caracas. Venezuela e-mail: jorge.cruz@ucv.ve

RESUMEN

Se presentan los resultados del análisis de estructuras espaciales elásticas modeladas con elementos co-rotacionales vigacolumna. Se toma en cuenta los desplazamientos y rotaciones grandes de las juntas separándolos de las deformaciones de los miembros, en conjunción con el método de la carga incremental y el procedimiento de la matriz de orientación de las juntas. El cual permite distinguir y calcular en cada configuración deformada, la orientación espacial de juntas y miembros. Los valores reportados se comparan con los obtenidos numéricamente con otro tipo de elemento finito y experimentalmente.

Palabras clave: Estructuras espaciales, No lineal, Carga incremental, Matriz orientación, Matriz de rotación.

Co-rotational beam-column non lineal element evaluation for elastic space frames analysis

ABSTRACT

This paper shows the results of the analysis of elastic space structures modelled with co-rotational beam-column elements, that takes into account large displacements and rotations of the joints that separate them, from the deformations of the members. This work combines the incremental load method and the procedure of joint orientation matrix, which allow to distinguish and to calculate, in each deformed configuration, the spatial orientation of joints and members. The reported values obtained numerically here are compared with those calculated via other finite element type and with experimentally data.

Keywords: Space structures, Non lineal, Incremental load, Orientation matrix, Rotation matrix.

INTRODUCCIÓN

En el análisis de los desplazamientos grandes, la diferencia principal entre las estructuras bidimensionales y las tridimensionales, desde el punto de vista teórico, es el hecho de que en las últimas, las rotaciones no pueden tratarse como cantidades vectoriales. Oran (1973) presenta una solución de este problema al introducir el concepto que denomina matriz de orientación de juntas para representar la orientación de cada junta en la condición deformada de la estructura tridimensional. También presenta la relación fuerza-desplazamiento y la matriz de rigidez tangencial para elementos viga-columna elásticos tridimensionales utilizando un sistema de coordenadas local co-rotacional; es decir, un sistema solidario en todo instante con la cuerda del miembro en su condición deformada.

El desarrollo de Oran (1973), aunque teóricamente consistente, supone que los incrementos de desplazamiento y rotación de las juntas son infinitesimales, lo que conduce a matrices de orientación de juntas no ortogonales. Aunque estas matrices son utilizables en conjunción con los procesos de solución incremental, en los que los cambios de configuración del sistema se deben a incrementos pequeños de las cargas, en cada uno pueden acumularse errores.

Kassimali & Abbasnia (1991) desarrollan una metodología que, basándose en la de Oran (1973), adiciona la que denominan matriz de rotación de juntas que es ortogonal y que permite obtener las matrices de orientación de juntas en la condición deformada de la estructura y es válida para rotaciones de cualquier magnitud. Con la ubicación y orientación de dos juntas adyacentes en la condición deformada de la estructura, se determina la orientación del miembro unido a ese par de juntas y sus deformaciones relativas.

Los desarrollos anteriores requieren su evaluación. El objetivo de este trabajo es presentar los resultados que se obtuvieron al analizar dos estructuras espaciales de las cuales se tienen los reportes de sus estudios hechos en forma numérica mediante otro tipo de elemento finito y en forma experimental.

LIMITACIONES

Las siguientes limitaciones se aplicaron en las estructuras evaluadas:

1. Los miembros son prismáticos

2. Los miembros inicialmente son rectos y libres de esfuerzos residuales y de imperfecciones

4. Las deformaciones son pequeñas, pero se admiten desplazamientos y rotaciones grandes

5. Se desprecian las deformaciones por corte

6. El material permanece lineal y elástico durante toda la historia de carga de la estructura

7. Las cargas actúan en los planos de simetría de los miembros

MATRIZ DE ROTACIÓN DE JUNTAS

Como demuestra Oran (1973), la orientación de las juntas de un pórtico espacial en la condición deformada puede representarse por una matriz de orientación de junta, w, cuyas columnas son los cosenos directores, con respectos a un sistema de coordenadas global fijo, de tres líneas ortogonales entre sí que se suponen rígidamente unidas a la junta y se mueven con ella.

Por conveniencia, las líneas de referencia de las juntas en la configuración indeformada de la estructura, pueden suponerse paralelas al sistema de coordenadas global.

En la determinación de la respuesta de una estructura espacial en la metodología incremental, uno de los problemas es cómo obtener la referida matriz de orientación de junta para cada configuración deformada. Para este fin, considérese una junta de la estructura y asígnese a w las componentes de la matriz de orientación de dicha junta en una conocida configuración deformada. Supóngase que la junta seleccionada rota un ángulo finito g alrededor de un eje cuyos cosenos directores son n₁, n₂ y n₃. La matriz de orientación de junta v, en la configuración nueva, viene dada por:

Siendo W la matriz de rotación y puede demostrarse que:

Cuando g es pequeño, puede considerarse como representación vectorial y utilizarse para la rotación con componentes g, g₂ y g₃ respecto a los ejes n₁, n₂ y n₃, anteriormente indicados.

La matriz de rotación, definida en (3), puede utilizarse para interpretar los resultados obtenidos en un procedimiento de carga incremental. Supóngase que en el nivel de carga Pⁱ se conoce la configuración Xⁱ del sistema y se desea determinar la configuración Xⁱ⁺¹ correspondiente al nivel de carga Pⁱ⁺¹ = Pⁱ + DP, donde: DP representa el incremento de carga. Aun en una estructura espacial con rotaciones grandes (donde el vector desplazamiento X no está necesariamente definido), los cambios que ocurren en la configuración del sistema como resultado de DP pueden ser descritos mediante el vector DX cuyos elementos representan los incrementos de los desplazamientos y rotaciones de las juntas de la estructura con respecto a un sistema global de coordenadas.

Denominando Dg₁, Dg₂ y Dg₃ los incrementos de las componentes de la rotación para una junta de la estructura, la matriz de orientación de las juntas wⁱ⁺¹ correspondiente al nivel de carga Pⁱ⁺¹ viene dado por:

wⁱ⁺¹ = Wwⁱ      (4)

En la cual W viene dado por la ecuación (3) reemplazando a g por Dg con:

Kassimali & Abbasnia (1991) indican que aunque las rotaciones sean pequeñas, los valores de sen g y cos g no deben aproximarse a g y a 1, respectivamente en la ecuación (3), porque las columnas de W no serían vectores unitarios y tampoco serían exactamente ortogonales entre sí. En consecuencia, este valor aproximado de W conduce a resultados erróneos.

Para separar los desplazamientos de cuerpo rígido de un miembro de sus deformaciones, las cuales se suponen pequeñas, (Oran 1973; Kassimali & Abbasnia, 1991) se utiliza un sistema de coordenadas local co-rotacional, como se indica en las figuras Nº 1 y 2. El sistema de referencia es dextrógiro, en el cual el eje x’₁ une los centroides de las secciones extremas del miembro y los ejes x’₂ y x’₃ son paralelos a los ejes de inercia principales de la sección transversal. Debido a la deformación del miembro, las orientaciones de los ejes principales de las dos secciones transversales extremas varían ligeramente, por lo que las orientaciones de los ejes x’₂ y x’₃ se obtienen promediando las orientaciones de dichos ejes de las dos secciones extremas.

El sistema de coordenadas local co-rotacional del miembro se define mediante la matriz de orientación del miembro r (Kassimali & Abbasnia, 1991) cuyas columnas son los cosenos directores de los ejes x’₁, x’₂ y x’₃ del miembro respecto a los ejes globales.

Cuando se conoce la configuración deformada de dos juntas adyacentes, la orientación de los ejes del elemento asociado a esas dos juntas se determina de la siguiente forma:

La primera columna, r₁, de la matriz de orientación del miembro en la condición deformada (la cual define la dirección del eje x’₁) se calcula directamente a partir de las coordenadas actuales de las juntas.

Definiendo por p⁽¹⁾ y p⁽²⁾ las matrices de orientación de las secciones extremas del miembro, sus columnas son los cosenos directores de las líneas normal y direcciones principales de dichas secciones extremas. Cuando los extremos del miembro están rígidamente conectados a las juntas, puede escribirse

p⁽¹⁾ = w⁽¹⁾ r⁽⁰⁾ ; p⁽²⁾ = w⁽²⁾r⁽⁰⁾       (7)

en las que w⁽¹⁾ y w⁽²⁾ son las matrices de orientación de las juntas a las cuales las secciones extremas del miembro están conectadas rígidamente, y r⁽⁰⁾ es la matriz de orientación del miembro en la configuración indeformada. La segunda y la tercera columnas, r₂ y r₃ de la matriz de orientación del miembro, r, se determinan mediante la evaluación de las rotaciones q₁ y q₂ de las secciones extremas 1 y 2 del miembro, a partir de los productos vectoriales

En la que r₁ es el vector unitario en la dirección del eje del miembro; p₁⁽ⁱ⁾ es el vector normal unitario perpendicular a la sección i extrema del miembro; y n_l es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a p₁ y r₁. Cada sección extrema rota el correspondiente ángulo q_i alrededor de un eje en dirección n_l. Mediante la matriz de rotación W, reemplazando a g por qi y a n₁, n₂ y n₃ por los cosenos directores de la dirección n_l, se obtiene:

e⁽ⁱ⁾ = W⁽ⁱ⁾p⁽ⁱ⁾  con i = 1, 2     (9)

En la que e⁽ⁱ⁾ representa la matriz orientación de la sección extrema i perpendicular al eje x₁ del miembro. Finalmente las orientaciones de los ejes x₂ y x₃ del miembro se definen como la segunda y tercera columnas de:

Siendo j_t el ángulo de torsión del miembro.

F = RF’   (13)

En la cual R es transformación matricial de 12 x 12 dado por:

Nótese que la matriz de orientación del miembro corresponde a su configuración deformada. De manera análoga, las fuerzas nodales F’ se relacionan con las fuerzas S asociadas con las deformaciones relativas del miembro mediante (figura 3):

F’= BS (15)

y L y L(1+d) corresponden a las longitud de la cuerda del miembro en sus condiciones indeformada y deformada, respectivamente.

3. Con el incremento de carga DP, se obtiene la solución DX del sistema de ecuaciones.

4. A continuación se establece la nueva configuración de la estructura:

a. Se determina la nueva ubicación de las juntas. Nótese que las componentes de traslación son las que indican dicha ubicación. Mientras que las componentes de rotación no tienen necesariamente significado físico y sus valores son sólo utilizados en el establecimiento del criterio de convergencia.

b. Con los valores incrementales de las rotaciones, se calculan las nuevas matrices de orientación de las juntas mediante las ecuaciones (4) – (6).

6. Se calculan las fuerzas en las secciones extremas de cada miembro. Primero el vector S y luego mediante las ecuaciones (13) – (15), las fuerzas en coordenadas globales.

En este trabajo se estableció como criterio de convergencia la norma L₂:

donde: e representa la tolerancia prescrita. En la aplicación de este criterio los desplazamientos y las rotaciones fueron tratados como grupos individuales y la convergencia se consideró lograda cuando se satisfacía en cada grupo de manera individual y simultánea.

Para estudiar problemas con la metodología planteada, al código desarrollado por Crisfield (1996) para el análisis no lineal de sólidos discretizados con elementos finitos unidimensionales de tres grados de libertad por nodo, se le incluyeron las subrutinas necesarias para obtener la matriz de rigidez del elemento co-rotacional viga-columna y su posterior ensamblaje en la matriz de rigidez de la estructura. Adicionalmente se realizaron cambios en la rutina de entrada de datos y en el cálculo de la convergencia para separar los desplazamientos de las rotaciones. Se incluyeron también las subrutinas para el cálculo iterativo de la carga axial en cada elemento como lo indican Kassimali & Abbasnia (1991).

La primera de estas comparaciones con resultados experimentales se realizó utilizando la estructura piramidal mostrada en la figura Nº 4, análisis que fue realizado por See & McConnel (1986). Todos los elementos son de sección circular sólida de diámetro 4,71 mm y módulo elástico 195,4 GPa.

Como segundo caso de comparación se utilizó el pórtico espacial de acero mostrado en la figura Nº 6, el cual fue analizado por Kim et al. (2003) en forma numérica mediante el programa comercial ABAQUS discretizado con elementos tipo cáscara S4R y en forma experimental. La sección transversal de cada columna tiene el eje de inercia mayor paralelo al eje x. En las vigas, las secciones transversales tienen el eje de inercia mayor paralelo el eje x o el eje y dependiendo de su orientación. En el análisis numérico, Kim et al. (2003) modelaron los empotramientos con resortes, cuyas rigidices se determinaron mediante un análisis experimental previo, por la imposibilidad de construir un empotramiento perfecto. En el análisis numérico de este trabajo, se modelaron las bases de las columnas con empotramientos perfectos.

Todos los perfiles utilizados son H-150 x 150 x 7 x 10, cuyas propiedades se muestran en la tabla Nº 2.

Kim et al. (2003), analizaron esta estructura para tres condiciones de carga diferentes las cuales se indican en la tabla 3.

See & McConnel (1986) no reportan el valor de la carga crítica encontrada en sus cálculos, pero en su trabajo también analizan la estructura en forma numérica y la gráfica de ese resultado coincide con la de este trabajo, lo que hace suponer que obtuvieron un valor similar al de este trabajo que es de 430 kN.

En el método numérico se trabajó con empotramientos perfectos, mientras que en la estructura real la vinculación tiene un grado de flexibilidad no cuantificada.

La discrepancia en los resultados experimentales reportados por See & McConnel (1986) demuestra que, como cualquier data experimental, para que sea confiable es necesario realizar el suficiente número de pruebas bajo las mismas condiciones, de manera de obtener estadísticamente valores de comparación que sí puedan considerarse representativos de la realidad.

En el caso de Kim et al. (2003) la información experimental está bien detallada lo que permitió una buena evaluación del elemento co-rotacional viga-columna. La correlación reportada se considera aceptable además de conducir a valores conservadores si se utiliza la metodología para el diseño.

Se logró la codificación de las ecuaciones que permiten la obtención de la orientación de las juntas y de los miembros en estructuras espaciales en las cuales las rotaciones, al no ser vectores, son de difícil tratamiento.

1. Crisfield, M. A. (1996). Non linear finite element analysis of solids and structures. Vol 2. Advance. John Wiley and Sons Ltd. England.        [ Links ]

2. Kassimali, A. & Abbasnia, R. (1991). Large deformation analysis of elastic space frames. Journal of Structural Engineering. 117 (7): 2069 – 2087.        [ Links ]

3. Kim, S., Kang, K., Lee, D. (2003). Full-scale testing of space steel frame subjected to proportional loads. Engineering Structures. 25: 69-79.        [ Links ]

4. Oran, C. (1973). Tangent stiffnessin space frames. Journal Structural Division. ASCE. 99 (6): 987 – 1001.        [ Links ]

5. See, T. & McConnel, R. (1986). Large displacement elastic buckling of space structures. Journal of Structural Engineering. 112 (5): 1052 – 1067.        [ Links ] ]]> 1 1996 2 2 1991 117 7 7 2069 - 2087 3 2003 25 69-79 4 1973 99 6 6 987 - 1001 5 1986 112 5 5 1052 - 1067