Dos tópicos de lógica matemática y sus fundamentos

Franklin Galindo Marchenes¹

¹Instituto de Filosofía.Universidad Central de Venezuela. E-mail del autor: franklingalindo178@gmail.com

Resumen: El objetivo de este artículo es presentar dos tópicos de Lógica ma­temática y sus fundamentos: El primer tópico es una actualización de la de­mostración de Church del Teorema de completitud de Gödel para la Lógica de primer orden, la cual aparece en su texto “Introduction to Mathematical Logic” (1956) y usa el procedimiento efectivo de Forma normal de Skolem; el segundo tópico es una demostración de que la propiedad de partición (tipo Ramsey) del espacio de Baire llamada “Propiedad de partición polari­zada” es falsa en el Modelo básico de Cohen.

Palabras claves:Church, completitud, propiedad-partición-polarizada.

Two topics of mathematical logic and foundations

Abstract: The aim of this paper is to present two topics of mathematical logic and foundations: The first topic is an update of the Church’s dem­onstration of the Gödel’s completeness Theorem for First-Order Logic, which appears in his text “Introduction to Mathematical Logic” (1956) and uses the effective procedure of Skolem normal form; the second topic is a demonstration that the partition property (Ramsey type) of the Baire space called “polarized partition property” is false in the basic Cohen model.

Keywords: Church, completeness, polarized-partition-property.

1. Introducción

El objetivo de este artículo es presentar dos tópicos de Lógica matemática y sus fundamentos: (1) El primer tópico es una actuali­zación de la demostración de Church del Teorema de completitud de Gödel para la Lógica de primer orden, la cual aparece en su texto “Introduction to MathematicalLogic” (1956) y usa los procedimien­tos efectivos de Forma normal prenexa y Forma normal de Skolem.¹La ]]> Church se parece a la prueba original de Gödel²y es distinta en varios aspectos a la de Henkin (que usa la técnica de construcción de modelos a partir de nuevos símbolos constantes),³y a la que se hace usando Tablas (árboles) semánticas,⁴por ejemplo es menos general que ambas, y además la prueba Henkin se puede generalizar para lenguajes de cualquier cardinalidadℵ_αy permite de­mostrar el Teorema de Löwenheim-Skolem-Tarski ]]> ⁵lo cual no se puede hacer con la de Church; sin embargo, la técnica de Forma normal prenexa que utiliza Church ha sido y continua sien­do de gran utilidad en la investigación de problemas abiertos sobre fragmentos decidibles o indecidibles de la Lógica de primer orden,⁶y adicionalmente, desde un punto de vista pedagógico, estudiar la prue­ba de Church puede ayudar a interiorizar sobresalientes leyes de la Lógica de primer orden y el Principio de inducción matemática para los números naturales. También es importante destacar que el Teore­ma de completitud de Gödel sigue siendo fundamental en Filosofía de la lógica y Filosofía de la matemática ]]> ⁷Vale la pena resaltar que en la prueba de Church se usa una “asignación maestra”la cual juega un papel equivalente al “conjunto máximal consisten­te” y al “camino no contradictorio” de las demostraciones de Hen­kin y por Tablas semánticas, respectivamente. La actualización de la prueba de Church fue realizada por el autor de este artículo y no ha sido publicada anteriormente. (2) El segundo tópico es una demos­tración de que la propiedad de partición (tipo Ramsey) del espacio de Baire llamada “Propiedad de partición polarizada” (PPP) es falsa en el Modelo básico de Cohen (MBC), es ]]> forcing y automorfismos, 1963-64) para probar que el Axioma de elección (AE) es independiente del resto de los axiomas estándar de la Teoría de conjuntos (ZF),⁸y el mismo ha sido y continua siendo muy va­lioso en la investigación de problemas abiertos de independencia o consistencia relativa en la Teoría de conjuntos,⁹por eso es relevante para la Filosofía de la matemática. También vale la pena resaltar que el método de forcing es importante para realizar pruebas de teore­mas de la Teoría de conjuntos. La PPP es una propiedad del espacio topológico de Baire que es una consecuencia estricta de la Propiedad de Ramsey, es incompatible con el AE,¹⁰pero es compatible con ZF si existe un cardinal inaccesible.¹¹Es un problema abierto de ]]> Zermelo-Fraenkel (ZFC)? todavía no ha sido respondida. Un tratamiento más completo sobre propiedades de partición del espacio de Baire y modelos de ZF puede encontrarse en el artículo “Perfect set properties in models of ZF”,¹²entre otros. Una de las im­portancias de la PPP es que su negación es una consecuencia estrictadel AE, y el estudio del AE y sus versiones débiles representa uno de los mayores focos de investigación (y ]]> ¹³Otra importancia de la PPP es que ella es una propiedad de partición tipo Ramsey, y la Teoría de Ramsey tiene muchas aplicaciones en diversas ramas de las matemáticas¹⁴y es muy estudiada en la Teoría de conjuntos, uno de sus resultados clásicos es el famoso Teorema de Ramsey.¹⁵La de­mostración de que la PPP es falsa en el MBC ha sido realizada por el autor de este artículo con la ayuda del Profesor Carlos Di Prisco y la misma no ha sido publicada anteriormente.

El orden de la exposición es el siguiente: En la segunda sección se presenta la actualización de la demostración de Church del Teorema de Completitud de Gödel ]]> Skolem), y para dicha presentación se suponen conceptos básicos de la Teoría de Modelos, por ejemplo la definición de la sintaxis y la semántica de la Lógica de primer orden y el Principio de inducción matemática, tal como aparecen en los textos citados,¹⁶entre otros. Esta segunda sección se divide en cuatro subsecciones: En la subsección 2.1. se presenta el Sistema axiomático para la Lógica de primer orden con identidad que se encuentra en el texto de Enderton,¹⁷también se presenta en dicha subsección algunosde los metateoremas principales de dicho Sistema axiomático. En la subsección 2.2. se formula el concepto de Forma normal prenexa ]]> ψ en una formula ψ′, en Forma normal prenexa, tal que ├ψ ↔ψ′. Tal prueba se realiza siguiendo (principalmente) la prueba que se encuentra en el texto de Mendelson.¹⁸En la subsección 2.3. se formula el concepto de Forma normal de Skolem y se demuestra que existe un procedimiento efectivo para asignar a cada fórmula φ otra fórmula φ′, en Forma normal de Skolem, tal que ├φ si y sólo si ├φ′. Tal prueba se hace siguiendo (principalmente) las demostraciones que se ]]> ¹⁹En la subsección 2.4. se realiza la demostración de Church del Teorema de Completitud de Gödel para la Lógica de primer orden, la cual usa Forma normal de Skolem, dicha prueba se encuentra en Introduction to mathematical logic,²⁰y la misma se hace siguiendo (principalmente) a dicho libro, aunque en algunos casos se reescribe para adaptarla al sistema axiomático del texto de Enderton²¹y a la notación semántica contemporánea. Vale la pena resaltar que esta prueba de completitud es para el Sistema axiomático de la Lógica de primer orden sin identidad (pero se puede extender al Sistema axiomático de la Lógica de primer ]]> ²²). En la tercera sección se presenta una demostración de que la PPP es falsa en el MBC. Tal demostración se realiza suponiendo los conceptos básicos de Teoría de Modelos, ZFC, el método de forcing, la clase de los conjuntos constructibles de Gödel y la técnica de constructibilidad relativizada, tal como aparecen en los textos citados,²³entre otros. Esta sección se divide en cuatro subsecciones: En la subsección 3.1.se ofreceuna definición informal del MBC usando la clase de los conjuntos constructibles de Gödel, el forcing de Cohen que agrega una cantidad infinita numerable de reales genéricos (ℵ₀ nuevos números reales) y la técnica de constructibilidad ]]> se presentan algunas propiedades del MBC relevantes para este trabajo, en la subsección 3.3. se ofrece una definición de la PPP, y en la subsección 3.4. se realiza la demostración de que PPP es falsa en el MBC.

2. La demostración de Church del Teorema de Completitud de Gödel para la Lógica de primer orden que usa el procedimiento efectivo de Forma normal de Skolem

2.1. Un Sistema axiomático correcto y completo para la Lógica de pri­mer orden

¿La Lógica de primer orden es axiomatizable? La respuesta es que sí, al igual (por ejemplo) que la Lógica proposicional²⁴y algunos sis­temas de la Lógica modal (proposicional y de primer orden),²⁵pero diferente (por ejemplo) a la Aritmética,²⁶a la Teoría de Conjuntos, a la Lógica de Segundo orden, a las Lógicas con cuantificadores generali­zados y a las Lógicas infinitarias, las cuales no son axiomatizables.²⁷Y existen varios sistemas axiomáticos completos y correctos para la Ló­gica de primer orden, a continuación se presenta uno ellos, el estudiado en el texto de Enderton.²⁸

AXIOMAS LÓGICOS (ESQUEMAS DE AXIOMAS)

Los Axiomas lógicos son todas las generalizaciones de fórmulas de las formas siguientes, donde x, son variables y Φ y χ son fórmulas (Definición: Φ es una generalización de χ si Φ es ∀x₁,..., x_nχ, para va­riables x₁, ..., x_n):

(2) ∀x Φ→Φ, donde t es substituible por x en Φ.

(3) ∀x(Φ→χ) → (∀xΦ→∀xχ).

(4) Φ→∀x Φ, donde x no ocurre libre en Φ.

(5) y ≡ y.

(6) (x ≡ y) → (Φ→Φ′), donde Φ es una fórmula atómica y Φ′ se obtiene de Φ al reemplazar x por y en cero o más lugares (aun­que no necesariamente en todos).

REGLA DE INFERENCIA

Modus Ponens: A partir de Φ→χy Φ se puede inferir χ.

Definición 2.1.1. Sea Γ un conjunto de fórmulas y Φuna fórmula. Se dice que Φse deduce de Γ o que Φse demuestra a partir de Γ, lo que se denota por,

Γ ├Φ,

SE INTRODUCEN EL RESTO DE LAS CONECTIVAS Y EL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL POR DEFINICIÓN

Φ^χ por ¬ (Φ→¬χ), Φ vχ por ¬Φ→χ, Φ↔χ por (Φ→χ) ^ (χ →Φ), ∃υΦ por ¬∀υ ¬Φ.

2.1.1. Algunos Metateoremas del Sistema Axiomático

A continuación se enuncian algunos teoremas (metateoremas) muy útiles sobre el sistema axiomático que se presentó anteriormente, una prueba de los mismos puede encontrarse en la bibliografía citada²⁹ (en algunos casos hay que hacer las adaptaciones pertinentes para que la demostración se pueda hacer en el sistema presentado en el texto de Enderton³⁰):

 Teorema 2.1.1.1. Σ ├ Φ si y sólo si Σ U {Axiomas} ╞ Φ, donde Σ U {Axiomas} ╞ Φ es la relación de consecuencia lógica de la lógica proposicional.

Teorema 2.1.1.2. (Teorema de Generalización). Si Σ ├ Φ y x no ocurre libre en ninguna fórmula de Σ, entonces Σ ├ χ x Φ.

Teorema 2.1.1.3. (Teorema de la deducción). Si Σ U {χ}├ Φ si y sólo si Σ ├ (χ → Φ).

Teorema 2.1.1.4. (Contraposición). Σ U {χ} ├ ¬Φ si y sólo si Σ U {Φ} ├ ¬ χ.

Para enunciar el siguiente teorema se necesita una definición pre­via. Definición: Sea Σ un conjunto de fórmulas para un lenguaje L. Σ es inconsistente (o contradictorio) si para alguna fórmula Φ se tiene que Σ├ Φ y Σ├ ¬Φ. Σ es consistente si no es inconsistente.

Teorema 2.1.1.6 (Leyes de la relación de identidad ≡ ). (i) ∀y(y ≡ y)

(ii) ∀y∀z(y ≡ z → z ≡ y)

(iii) ∀y∀z∀w((y ≡ z ^ z ≡ w) → y ≡ w)

(iv) ∀y∀z(y ≡ z → (Φ (y) ↔ Φ (z)), para cualquier fórmula .

Teorema 2.1.1.7. (Teorema de existencia de variables alfabéticas (Cambio de variables ligadas)). Sea Φ una fórmula, t un término y x una variable. Entonces se puede encontrar una fórmula Φ′, que difiere de Φ sólo en la elección de las variables cuantificadas, tal que:

(1) ├ Φ ↔ Φ ′

(2) t es sustituible por x en Φ′.

Teorema 2.1.1.8. (Generalización sobre constantes). Si Σ ├ Φ y c es un símbolo constante que no ocurre en Σ, entonces existe una variable y que no ocurre en Φ tal que Σ ├ ∀y Φ^c_y. Además, existe una deducción de ∀y Φ^c_y a partir de Σ en la que no ocurre c.

Teorema 2.1.1.9. (Corolario del Teorema de Generalización de constantes). Si Σ ├ Φ^c_y y c es un símbolo constante que no ocurre en Σ ni en Φ, entonces Σ ├ ∀x Φ, y existe una deducción de ∀x Φ, a partir de Σ en la que no ocurre c.

Teorema 2.1.1.11. (Introducción de existencial). Φ (t)├ {∃xΦx), don­de t es un término sustituible por x en Φ.

Teorema 2.1.1.12. (Regla de reemplazo). Sean Φ y θ dos fórmulas, y supongamos χ′ resulta de χ sustituyendo Φ por θ (en una o más apariciones de Φ en χ). Por lo tanto: Si ├ Φ ↔ θ, entonces, ├ χ ↔ χ′.

2.2. Forma normal prenexa

A continuación se introduce el concepto de forma normal prenexa, un concepto muy importante para estudiar (por ejemplo) problemas de decidibilidad de la Lógica de primer orden (por el Teorema de indeci­bilidad de Church (1936), es conocido que dicha Lógica es indecidible en forma general³¹).

Definición 2.2.1. Una fórmula de la forma Q1 y1 Q2 y2 …. Qn yn φ, donde cada Qi yi es ∀yi o ∃yi , yi ≠ yj si i ≠ j, y φ no contiene cuantificadores, se dice que está en forma normal prenexa. La fórmula φ se llama matriz de la fórmula y la secuencia de cuantificadores Q1 y1 Q2 y2 ... Qn yn se llama el prefijo de la fórmula.

Uno de los resultados principales sobre forma normal prenexa que tiene muchas aplicaciones es el siguiente Teorema:

Teorema 2.2.2. (Teorema de Forma normal prenexa). Existe un procedimiento efectivo para transformar cualquier fórmula ψ en una fórmula ψ′ en forma normal prenexa tal que ├ ψ ↔ ψ′.

La demostración del Teorema se hace por inducción y requiere de un Lema previo cuya prueba se puede hacer sin ninguna dificultad haciendo uso de los axiomas del sistema axiomático, y en especial, uti­lizando los metateoremas del mismo que se presentaron en la sección anterior, una prueba de algunas cláusulas del Lema puede encontrarse en el texto de Mendelson:³²

Lema 2.2.3. (Leyes de negación y distribución de los cuantificadores)

(2) ├ ¬∃xφ(x) ↔ ∀x¬φ(x)

Las siguientes proposiciones valen si la variable x no está libre en :

(3) ├ (φ ^ ∀xχ(x)) ↔ ∀x (φ ^ χ(x))

(4) ├ (φ v ∀xχ(x)) ↔ ∀x (φ v χ(x))

(5) ├ (φ ^ ∃xχ(x)) ↔ ∃x (φ ^ χ(x))

(6) ├ (φ v ∃xχ(x)) ↔ ∃x (φ v χ(x))

(7) ├ (φ → ∀xχ(x)) ↔ ∀x (φ → χ(x))

(8) ├ (φ → ∃xχ(x)) ↔ ∃x (φ → χ(x))

(9) ├ (∀xχ(x) → φ) ↔ ∃x (χ(x) → φ)

Una vez que se cuenta con el Lema se procede a demostrar el teorema por inducción:

Demostración del Teorema:³³ Se realizará la prueba por inducción en el rango = número de conectivas y cuantificadores. Se demostrará que ∀n ∈ ℕ ∀χ ∈ FORM (rango(χ) = n → P(χ)), donde FORM es el conjunto de las fórmulas del lenguaje y P es la propiedad que describe el Teorema. Caso base: n = 0. Se probará que ]]> ∀χ ∈ FORM (rango(χ) = 0 → P(χ)). Sea una fórmula σ tal que rango(σ) = 0. Entonces σ es una fórmula atómica σ′ = σ. Lo que se quería probar. Caso inductivo: Sea m ∈ ]]> ℕ, m > 0, y supóngase que para toda s < m se cumple que ∀χ є FORM (rang(χ) = s → P(χ)). Se debe probar que ∀χ є FORM (rang(χ) = m → P(χ)). Sea σ una fórmula de rango m. Por definición σ =¬α o σ = α → ]]> β o σ = ∀xα. Caso 1: σ = ¬α. Entonces como rango(α) < m, se tiene por Hipótesis inductiva que existe una fórmula en forma normal prenexa α′ tal que ├ α ↔ α′. Entonces ├ ¬α ↔ ]]> α′. Luego, sustitu­yendo se tiene que ├ σ ↔¬α′. Entonces aplicando reiteradamente las leyes de negación de cuantificadores a ¬α′ se tiene una fórmula γ en forma normal prenexa tal que ├ σ ↔ γ. Caso 2: σ = α → β. ]]> rango(α) < m y rango(β) < m, se tiene por Hipótesis inductiva que existen fórmulas en forma normal prenexa α′ y β′ tal que ├ α ↔ α′ y ├ β ↔ β′. Por lo tanto, ├ (α → ]]> β) ↔ (α′ → β′). Entonces├ σ ↔ (α′ → β′). Luego, aplicando reiteradamente las leyes distribu­ción de cuantificadores para la implicación se le exteriorizan todos los cuantificadores de la fórmula α′ → β′ ]]> y queda una fórmula γ en forma normal prenexa tal que ├ σ ↔ γ. Caso 3: σ =  ∀xα. Entonces como rango(α) < m, se tiene por Hipótesis inductiva que existe una fórmula en forma normal prenexa α′ tal que ├ α ↔ α′. ]]> ├  ∀x(α ↔ α′). En consecuencia, por la ley de distribución de cuantificadores, ├  ∀x(λ ↔ η) ↔ (∀xλ ↔  ∀xη), se concluye que ├ ∀xα ↔ ∀xα′. Entonces, sustituyendo se tiene que ├ σ ↔  ∀xα′. Y como  ∀xα′ ]]> está en forma normal prenexa ha finalizado la prueba del Teorema. 

Ejemplos de cálculos de forma normal prenexa pueden en­contrarse en el texto de Nerode.³⁴  ∀u∃v∀w∃z[P(u, v) v ¬Q(w, z) y  ∀u ∀w∃v∃z[P(u, v) v ¬Q(x, z)] es una forma normal prenexa de  ∀x∃yP(x, y) v ¬∃x ∀yQ(x, y).

2.3. Forma normal de Skolem

Definición 2.3.1. Una fórmula en Forma normal prenexa se dice que está en Forma normal de Skolem si todos sus cuantificadores existenciales preceden a todos sus cuantificadores universales, es decir, si ella tiene la siguiente:

∃u₁∃u₂ ... ∃u_m∀w₁∀w₂ ... ∀w_nM(u₁, u₂, ..., u_m, w₁, w₂, ..., w_n), donde m ≥ 0, n ≥ 0.

El siguiente Teorema de Forma normal de Skolem se demuestra para el Cálculo de predicados puro como se hace en el texto de Mendelson,³⁵ es decir, se prueba para lenguajes de primer orden que tienen una cantidad infinita de predicados poliádicos de cualquier aridad, pero no tienen símbolos funcionales, ni constantes, ni la relación de identidad.

Teorema 2.3.2. (Forma normal de Skolem). Existe un procedimiento efectivo para asignar a cada fórmula φ otra fórmula φ′ en Forma normal de Skolem tal que ├ φ si y sólo si ├ φ′.

Demostración:³⁶ Como toda fórmula es demostrable si y sólo si su clausura universal lo es, y ]]> prenexa, en­tonces se puede demostrar el teorema considerando sólo fórmulas ce­rradas en forma normal prenexa. Sea χ una fórmula de dicha clase (χ está en forma normal prenexa y no tiene variables libres), entonces se define el Rango(χ) = número de cuantificadores universales que prece­den cuantificadores existenciales. La prueba se realizará por inducción en el Rango(χ), se demostrará que ∀n ∈ ℕ ∀Φ ∈ FORM(Rango(Φ) = n → P(Φ)), donde P es la propiedad que describe el Teorema. Caso base: n = 0. Se debe demostrar que ∀ Φ ∈ FORM(Rango(Φ) = 0 → P(Φ)). Sea σ tal que Rango(σ) = 0. Entonces σ ya está en Forma normal de Skolem. Caso inductivo: Sea k ∈ ℕ, k > 0, y supongamos que para cada s < k se cumple que ∀ Φ ∈ FORM(Rango(Φ) = s → P(Φ)). Se probará que ∀ Φ ∈ FORM(Rango(Φ) = k → P(Φ)). Sea σ una fórmula de Rango k, σ se puede escribir de la siguiente forma ∃x₁ ... ∃x_m∀yθ(x₁, ..., x_m, y), donde θ(x₁, ..., x_m, y) está en forma normal prenexa, tiene sólo como ]]> x₁, ..., x_m, y, y su prefijo tiene al menos un cuantificador exis­tencial, pues de lo contrario σ tendría Forma normal de Skolem. Sea S una variable de predicado m + 1-ária que no aparezca en θ(x₁, ..., x_m, y). Y sea β la fórmula,

∃x₁ ... ∃x_m {[∃z(θ(x₁, ..., x_m, z) ∧¬S(x₁, ..., x_m, z)] ∨ ∀yS(x₁, ..., x_m, y)}

Se demostrará que ├ β si y sólo si ├ σ: ( ⟹ )Sea ├ β. Entonces sustituyendo S(x₁, ..., x_m, z) por θ(x₁, ..., x_m, z) se tiene una fórmula que se llamará β′:

├ ∃x₁ ... ∃x_m {[∃z(θ(x₁, ..., x_m, z) ∧ ¬θ(x₁, ..., x_m, z)] ∨ ∀yθ(x₁, ..., x_m, y)}

Por otro lado, puede probarse que:

├ {[∃z(Q(z)∧¬Q(z)) ∨ R] ↔ R}

├ {[∃z(θ(x₁, ..., x_m, z) ∧ ¬ θ(x₁, ..., x_m, z)) ∨ ∀yθ (x₁, ..., x_m, y)] ↔ yθ(x₁, ..., x_m, y)}

Entonces aplicando la regla de generalización y distribución del cuantificador universal en bicondicional (∀x[D(x) ↔ A(x)] → [∃xD(x) ↔ ∃xA(x)]) reiteradamente m veces, se obtiene:

├ ∃x₁ ... ∃x_m {[∃z(θ(x₁, …, x_m, z) ∧ ¬ θ(x₁, …, x_m, z)] ∨ ∀yθ (x₁, …, x_m, y)} ↔ {∃x₁ ... ∃x_m∀yθ (x₁, ..., x_m, y)}

Entonces aplicando MP de esta última proposición con β′ se ob­tiene que:

├ ∃x₁ ... ∃x_m ∀yθ (x₁, ..., x_m, y)

Es decir, ├ σ. Por lo tanto: Si ├ β, entonces ├ σ. Lo que se quería demostrar.

Se probará ahora la otra dirección: (⇐) Sea ├ σ. Sean los siguien­tes dos teoremas:

├ ∀y[B(y) → A(y)] → [∀yB(y) → ∀yA(y)]

├ R → (T → S) → [T → (¬R ∨ S)]

├ ∀yB(y) → A(y)] → [∀yB(y) → ∀yA(y)] →

∀yB(y) → [¬∀y(B(y) → A(y)) ∨ ∀yA(y)]

En consecuencia, aplicando MP, se tiene que:

├ ∀yB(y) → [¬ ∀y(B(y) → A(y)) ∨ ∀yA(y)]

Como,

├ ¬ ∀y(B(y) → A(y)) ↔ ¬ ∀y ¬(B(y) ∧ ¬ A(y))

Y,

├ ¬ ∀y ¬ (B(y) ∧ ¬ A(y)) ↔ ∃y(B(y) ∧ ¬ A(y))

Entonces se concluye que:

Entonces sustituyendo las variables de predicados tenemos,

├ ∀yθ(x₁, ..., x_m, y) →[∃y(θ(x₁, ..., x_m, y) ∧ ¬ S(x₁, ..., x_m, y)) ∨ ∀yS(x₁, ..., x_m, y)]

Luego, aplicando la regla de generalización y la ley de distribución del universal en implicación,

├ ∀y[B(y) → A(y)] → [∃yB(y) → ∃yA(y)],

Reiteradamente m veces, se concluye que,

├ ∃x₁, .. ∃x_m∀yθ(x₁, ..., x_m, y) →

∀x₁, ... ∀x_m[∀y(θ(x₁, ..., x_m, y) ∧ ¬ S(x₁, ..., x_m, y)) ∨ ∀yS(x₁, ..., x_m, y)]

En consecuencia, como el antecedente de este condicional es la fórmula σ, usando la hipótesis de que σ es un teorema, se aplica MP y se obtiene,

├ ∃x₁ ... ∃x_m[∃y(θ(x₁, ..., x_m, y)∧¬S(x₁, ..., x_m, y)) ∨ ∀yS(x₁, ..., x_m, y)]

├ ∃x₁ ... ∃x_m[∃z(θ(x₁, ..., x_m, z) ∧ ¬ S(x₁, …, x_m, z)) ∨ ∀yS(x₁, …, x_m, y)]

Por lo tanto, Si ├ σ, entonces ├ β. Lo que se quería demostrar. Se ha demostrado que ├ β si y sólo si ├ σ. La fórmula β obteni­da de última se puede poner en forma normal prenexa utilizando las leyes de distribución de cuantificadores de modo que su prefijo empiece por ∃x₁... ∃x_m, luego venga el cuantificador∃z, después ]]> θ(x₁, ... , x_m, z), y por último el cuantificador ∀y. De modo que esta nueva fórmula tiene Rango exac­tamente un número menor que el Rango(σ) = k, por lo tanto, por Hipótesis inductiva, existe una formula η en Forma norma de Skolen tal que ├ β si y sólo si ├ η. Entonces: ├ σ si y sólo si ├ η. Se ha conseguido la fórmula en Forma normal de Skolen con la propiedad buscada. Fin de la demostración. 

Un ejemplo de cálculo de Forma normal de Skolem puede encon­trarse en el texto [25]. ∃w∃u∃z∀x∀y{{[[ Φ (w, u, z) ∧ ¬ A(w)] ∨ A(x)] ∧ ¬ B(w, y)} ∨ B(y, w)} es una forma normal de Skolem de ∀x∀y∃z Φ (x, y, z).

Corolario 2.3.3. (Corolario). Sea φ una fórmula y φ′ su fórmula en For­ma normal de Skolem correspondiente. Entonces: (1) φ es verdad en una estructura si y sólo si φ′ también es verdad en dicha estructura expandida a los nuevos símbo­los relacionales de φ′. Y (2) φ es válida si y sólo si φ′ es válida.

Demostración: La prueba es el paralelo semántico de la demos­tración que se hizo en el teorema anterior: ├ β si y sólo si ├ σ. En dicha prueba se puede apreciar claramente que se pasaba de teorema a teorema hasta llegar a la conclusión que se quería, y los teoremas son verdad en cualquier estructura y el Modus Ponens transfiera a verdad de las premisas a la conclusión, es decir, si Φ → ψ y Φ son verdad en una estructura 𝕬, entonces ψ es verdad en 𝕬. 

2.4. La demostración de Church del Teorema de Completitud de Gödel para la Lógica de primer orden que usa Forma normal de Skolem

├ φ ⇒ ╞ φ.

Demostración:

Si ├ φ entonces por definición existe una sucesión σ1, ..., σm de fór­mulas tales que σm = φ, y cada σi es un axioma, o se obtiene de dos fór­mulas anteriores en la sucesión por la regla de inferencia Modus Ponens. Sea 𝕬 una estructura para el lenguaje de φ. Hay que probar que 𝕬 es un modelo de φ. Esto se realiza probando que 𝕬 es un modelo de σi , para cada i ∈ m. La prueba se hace fácilmente por inducción en m utilizando dos hechos: (1) Todo axioma es una fórmula Lógicamente válida; y (2) El Modus Ponens transfiere la verdad de las premisas a la conclusión. 

Teorema 2.4.2. (Teorema de Completitud de Gödel, 1930).Toda fórmula válida es un teorema. Es decir, para cada fórmula φ,

╞ φ ⇒├ φ.

Demostración: (Versión de Church³⁷) Sea φ una fórmula válida y φ′ su fórmula correspondiente en Forma normal de Skolem. Por el Corolario del Teorema de Forma normal de Skolem φ′ es válida. Y por el Teorema de Forma normal de Skolem es suficiente con demostrar que φ′ es un teorema. φ′ tiene la siguiente forma:

∃u₁∃u₂ ... ∃u_m∀w₁∀w₂ ... ∀w_nM(u₁, u₂, ..., u_m, w₁, w₂, ..., w_n ), donde m ≥ 0, n ≥ 0, y M es una fórmula sin cuantificadores.

Se probará que: (1) φ′ es un teorema o (2) φ′ no es válida.

Si en el prefijo se tiene que m = 0, entonces φ′ es una fórmu­la universal. Y como se conoce el siguiente hecho; Hecho: ∀w₁∀w₂ ... ∀w_nM(w₁, w₂, ..., w_n ) es válida si y sólo si M(w₁, w₂, ..., w_n ) es válida; se puede decidir qué tipo de fórmula es M(w₁, w₂, ..., w_n ) usando proce­dimientos efectivos de la Lógica proposicional como lo son Tablas de verdad o Forma normal conjuntiva. Si en el análisis resulta que M(w₁, w₂, ..., w_n ) es una tautología, entonces por el Axioma 1, se concluye que ella es un teorema, y por la regla de generalización aplicada reiteradamente se concluye que φ′ es un teorema. Si en el análisis resulta que M(w₁, w₂, ..., w_n ) no es tautología, entonces se puede construir un modelo que tiene exactamente n individuos donde M(w₁, w₂, ..., w_n ) no es verdadera, usando la información que brinda su tabla de verdad (por ejemplo). Por lo tanto, M(w₁, w₂, ..., w_u ) no es válida. En consecuencia, φ′ no es válida. Para continuar con la demostración del Teorema se asumirá que m ≥ 1. Considérese el buen orden del conjunto de las m-tuplas de {ℕ \ {0}}m definido así: (i₁, i₂, ..., i_m ) < (j₁, j₂, ..., i_m ) si i₁+i₂+...+i_m<j₁+j₂+...+i_m o si i₁+i₂+...+i_m= j₁+j₂+...+i_m, entonces i₁= j₁, i₂= j₂, ..., i_k= j_k, i_k+1<j_k+1, es decir, cuando la suma de las coordenadas de dos m-tuplas dan el mismo número, se decide cuál es menor entre ellas usando el orden lexicográfico de izquierda a derecha. Según el buen orden anterior la primera m-tupla es (1, 1, 1, ..., 1, 1, 1), la segunda es (1, 1, 1, ..., 1, 1, 2), la tercera es (1, 1, 1, ..., 1, 2, 1), la cuarta es (1, 1, 1, ..., 2, 1, 1), y así suce­sivamente. Notar que si k ≥ 1, entonces no ocurren en la k-ésima tupla coordenadas (números naturales) mayores que k. La k-ésima tupla se expresa así ([k₁], [k₂], ..., [k_m]) y se dice que la coordenada (el número natural) [k_l] es la l-ésima coordenada de dicha k-tupla. Ahora se define a B_k(k ∈ ℕ \ {0}) como sigue:

Es decir, B_k es la fórmula que resulta de sustituir las variables libres de la matriz M, correspondientes a los cuantificadores existenciales, por variables indizadas con los valores de la k-tupla del buen orden que se ha definido anteriormente, y las variables libres de M corres­pondientes a los cuantificadores universales se sustituyen por variables cuyos subíndices son de la forma (k − 1)n + i, donde siempre se co­mienza con i ≥ 2. Con Bk definido ahora se define C_k (k ∈ ℕ \ {0}) como sigue: C_k es la siguiente disyunción:

B₁ ∨ B₂ ∨ ... ∨ B_k

Es decir, C_k es la disyunción de los k primeros B_k. Ahora con C_k definido, se define D_k(k ∈ ℕ \ {0})como sigue: D_k es la siguiente fór­mula universal:

∀x₁∀x₂ ... ∀x_kn+1C_k

Notar que las variables x_(k−1)n+2 , x_(k−1)n+3 , ..., x_kn+1sustituidaspor las variables w₁, w₂, ..., w_n son todas distintas a las variables x_[k1], x_[k2], ..., x_[km] sustituidas por las variables u₁, u₂, ..., u_m. Además las variables x_{(k−1) n+2}, x_(k−1)n+3, ..., x_{kn + 1} son distintas (dos a dos) entre ellas mismas, y difieren de todas las variables que ocurren en B₁, B₂, ..., B_k−1. Pero to­das las variables x₁, x₂, ..., x_kn+1 ocurren libres en C_k. Notar que por la definición de Forma normal de Skolem es posible que n = 0, pero este caso especial no se genera ninguna dificultad, lo que podrían es quedar algunas variables libres en D_k. En el caso de m, se está considerando que siempre m ≥ 1. Dado que la matriz M no tiene cuantificadores, se infiere que B_k y C_k tampoco tienen cuantificadores. Y, excepto en el caso de n = 0, la lista completa de variables libres de C_k es exactamente x₁, x₂, ..., x_kn+1, en consecuencia, si n > 0, entonces D_k es la clausura universal de C_k.

Lema 2.4.3. Para cualquier k : D_k ├ φ′.

Demostración: (Por inducción en k)

Se asume que ninguna de las variables x₁, x₂, ..., x_kn+1 es igual a al­guna de las variables u₁, u₂, ..., u_m w₁, w₂, ..., w_m, esto es posible asumirlo porque se puede aplicar un cambio de variable (Teorema de cambio de variable ligada 2.1.1.7.) en la Forma normal de Skolem φ′ si fuera necesario.

Por el Teorema de cambio de variable ligada (2.1.1.7.) se tiene que:

Entonces por Descenso cuantificacional (├ ∀xψ(x) → ∃xψ(x)) y la regla Modus Ponens se tiene que:

Paso inductivo: Sea k ∈ ℕ, k > 1; y supóngase que D_k−1 ├ φ′. Se debe probar que D_k ├ φ′. Por las leyes de distribución de cuantificadores (Lema 2.2.3. (4)) reiterada n-veces se tiene que:

∀x_(k−1)n+2 ∀x_(k−1)n+3 ... ∀x_kn+1[C_k−1∨ B_k ] ├

C_k−1 ∨ ∀x_(k−1)n+2 ∀x_(k−1)n+3 ... ∀x_kn+1Bk

En consecuencia, como C_k−1 ∨ B_k es la fórmula C_k, se concluye, aplicando el Axioma 2 (eliminación del generalizador) (k−1)n + 1 ve­ces y la regla Modus Ponens, que

 D_k ├

C_k−1 ∨ ∀x_(k−1)n+2 ∀x_(k−1)n+3 ... ∀x_kn+1Bk

Se tiene también que por la regla de Introducción del cuantificador existencial (Teorema 2.1.1.11.) m veces, se concluye que:

En consecuencia:

D_k ├ C_k−1 ∨ φ′

Entonces, aplicando la regla de Introducción del generalizador para todas las variables libres de C_k−1, es decir, hasta la variable x_(k−1)n+1, y usando la ley de distribución de cuantificadores (en disyunción), se obtiene que:

D_k ├ D_k−1 ∨ φ′ (∗)

Para continuar con la prueba del teorema se considerarán dos ca­sos (se usa aquí el Principio del tercero excluido, Church resalta este hecho en un pie de página de su prueba,³⁸ esto significa que dicha de­mostración no es totalmente constructiva.):

Caso 1: Para algún k, C_k es un teorema. Caso 2: Para cualquier k, C_k no es un teorema. Caso 1: Para algún k, C_k es un teorema. Entonces por generalización reiterada (kn+1 veces), D_k es un teorema. En conse­cuencia, por el Lema anterior φ′ es un teorema. Caso 2: Para cualquier k, C_k no es un teorema. Entonces, C_k no ]]> C_k como una fórmula de la Lógica proposicional donde sus fórmulas atómicas son letras proposicionales se tiene que existen asignaciones de valores de verdad para sus fórmulas atómicas tal que toda valuación que se construya respetando dichos valores hace falsa a C_k. Dichas asignaciones de valores de verdad para las fórmulas atómicas de C_k que hacen falsa a C_k siempre son finitas, pues no exceden en número a la cantidad de filas de su tabla de verdad. Sea E₁, E₂, E₃, ... ]]> una lista de las subfórmulas atómicas de los C_k, k ∈ ℕ \ {0} (C₁, C₂, C₃, ...) definida de la siguiente manera: Primero van todas las diferentes subfórmulas atómicas de C₁ en el orden de su primera ocurrencia(de izquierda a derecha) en C₁. Después van todas las subfórmulas atómicas de C₂ que no aparecen en C₁ ordenadas según su orden de primera ocurrencia en C₂. Luego van todas las subfórmulas atómicas de C₃ que no ocurren en C₁ y C₂ordenadas según su primera ocurrencia. Y así sucesivamente. Ahora se define una asignación maestra h: {Ei}_{i ∈ ℕ \{0}} → {V, F}como sigue: Si E₁ recibe ]]> Ci que falsean a C_i, entonces se define h(E₁)= V; en caso contrario (si es finito), entonces E1 debe tomar el valor F en una cantidad infinita de asignaciones de valores de verdad para las fórmulas atómicas de los C_i que falsean a C_i, en este caso se define h(E₁) = F. Ahora para definir h(E₂) se considera la cantidad infinita de asignaciones de valores de verdad para las fórmulas atómicas de los C_i que permitieron definir a h(E₁). Si en dichas asignaciones de valores de verdad para las fórmulas atómicas de ]]> C_i que falsean a C_i E₂toma el valor V en una cantidad infinita de veces, entonces se define h(E₂) = V; en caso contrario se define h(E₂) = F. Para definir h(E₃) se considera la cantidad infinita de asignaciones de valores de verdad para las fórmulas atómicas de los C_i que falsean a C_i donde E₁ y E₂ toman el mismo valor que h(E₁) y h(E₂) (tal cantidades infinita porque contiene al conjunto de todas las que permitieron definir a h(E₂)). Si E₃toma el valor V en una cantidad infinita de ellas, entonces se define h(E₃) = V, ]]> h(E₃) = F. Así sucesivamente.

Proposición: Para cada k ∈ ℕ \ {0}: h(C_k) = F.

Demostración: Por reducción al absurdo. Supóngase que es falsa la proposición. Es decir, supóngase que existe un k ∈ ℕ\{0}tal que h(C_k) = V. Sean E₁, E₂, E₃, ..., E_m todas las subfórmulas atómicas de C_k. Y sean h(E₁), h(E₂), h(E₃), ..., h(E_m ) sus valores respectivos por la asig­nación maestra. Entonces tomando en cuenta que las C_i son disyun­ciones, y también a la tabla de verdad de la disyunción, se concluye que para todo j > k, no existen asignaciones de valores de verdad para las fórmulas atómicas de los C_j que falsen a C_j y preserven los valores h(E₁), h(E₂), h(E₃), ..., h(E_m ). Esto contradice la definición de la asigna­ción maestra h. Por lo tanto, para cada k ∈ ℕ \{0}: h(C_k ) = F. Fin de la prueba de la Proposición.

Ahora, con la ayuda de la asignación maestra, definimos una es­tructura 𝕬 donde φ′ será falsa, el universo de 𝕬 es ℕ \ {0} y tendrá un relación i-aria por cada símbolo relacional i-ario de φ′. Supóngase que φ′ tiene n símbolos relacionales:

𝕬 = ⟨ℕ \ {0}, R₁^𝕬, R₂^𝕬, R₃^𝕬, ..., R_n^𝕬⟩

Si R_j es un símbolo relacional i−ario de φ′ entonces definimos:

(u₁, u₂, ..., u_i ) ∈ R_j^𝕬 si y sólo si h(R_j(x_u1, x_u2, ..., x_ui )) = V. Y si h(R_j (x_u1, x_u2 , ..., x_ui )) no está definida, es decir, R_j(x_u1, x_u2, ..., x_ui ) no es ninguna E_t , entonces (u₁, u₂, ..., u_i) ∈ R_j^𝕬.

Ahora se define una asignación s: VAR → ℕ \ {0} de la siguiente manera: s(_xu )= ]]> u, para todo u ∈ ℕ \{0}. Se cumple que para todo k ∈ ℕ \ {0}, 𝕬 ⊭ C_k[s]. Porque por la Proposición anterior se tiene que h(C_k)= F, para todo k ∈ ℕ \{0}. Notar que "s y h le asignan el mismo valor a todas las subfórmulas atómicas de C_k": 𝕬 ╞ R_j(x_u1, x_u2, ..., x_ui ) [s] si y sólo si(s(x_u1), s(x_u2), ..., s(x_ui )) ∈ R_j^𝕬 si y sólo si (u1, u2, ..., ui ) ∈ R_j^𝕬 si y sólo si h(R_j(x_u1, ]]> u₂, ..., x_ui)) = V. Por lo tanto, "s y h le asignan el mismo valor a C_k". En consecuencia, como C_k = C_k−1 ∨ B_k, se concluye que 𝕬 ⊭ B_k[s], para todo k ∈ ℕ \ {0}. Por lo tanto, por definición de satifacibilidad, se tiene que:

Es decir, reescribiendo la expresión anterior:

Como esto ocurre para todo k ∈ ℕ \ {0}, todas la m-tuplas de va­riables (x_[k1], x_[k2], ..., x_[km]) son consideradas, entonces, por definición de s, (s(x_[k1]), s(x_[k2]), ..., s(x_[km])) = ([k₁], [k₂], ..., [k_m ]), es decir, con s quedan consideradas todas las m-tuplas de naturales.

Por lo tanto:

𝕬 ⊭ ∃_u1∃_u2 ... ∃u_m∀w₁∀w₂ ... ∀w_nM(u₁, u₂, ..., u_m, w₁, w₂, ..., w_n )[s]

Lo que se quería demostrar. Con esto termina la demostración del teorema. 

El siguiente corolario es relevante porque conecta la “validez” de la Lógica de primer orden con la “tautologicidad” de la Lógica propo­sicional, en cierta medida se puede afirmar que “reduce el problema de la validez a un problema de tautologicidad”³⁹:

Corolario 2.4.4. Si φ′ es una fórmula en Forma normal de Skolem:

φ′ = ∃_u1∃_u2 ... ∃u_m∀w₁∀w₂... ∀w_nM(u₁, u₂, ..., u_m, w₁, w₂, ..., w_n),

donde M es una fórmula sin cuantificadores. Si B_k es la siguiente fórmula sin cuantificadores:

y si C_k es la siguiente fórmula disyuntiva B₁ ∨ B₂ ∨ ... ∨ B_k, entonces φ′ es un teorema (y es válida) si y sólo si existe algún entero positivo k tal que C_k es una instancia de sustitución de una tautología.

Demostración: 

Nota sobre la demostración del Teorema de Completitud: Aunque la prueba anterior se realizó para un Sistema axiomático de la Lógica de primer orden sin identidad, la misma se puede extender para un Siste­ma axiomático de la Lógica de Primer orden con identidad.⁴⁰

3. La Propiedad de Partición Polarizada es falsa en el Modelo Básico de Cohen

En esta sección se ofrece una demostración de que la PPP es falsa en el MBC. En la demostración se usa un resultado que probó Jech:⁴¹ La versión débil del Axioma de elección “Cualquier familia de conjuntos no vacíos y bien ordenables tiene una función de elección” es verdad en el MBC.

3.1. Definición del Modelo básico de Cohen como un L(A)

A continuación se define informalmente el MBC utilizando la clase de los conjuntos constructibles de Gödel, el forcing de Cohen que agre­ga una cantidad infinita numerable de reales genéricos, y la técnica de constructibilidad relativizada, definiciones formales del mismo (en ZF) pueden encontrarse en los textos de Jech:⁴²

(1.1) Constructibilidad relativizada: Sea A un conjunto cualquiera. Se define el modelo L(A) por inducción transfinita sobre los ordinales de la siguiente manera:⁴³

L0(A) = Cl ({A})

Lα + 1 (A) = {X ⊆ Lα(A): X es definible en la estructura

(Lα (A), ∈, ⟨d: d ∈ Lα (A)⟩)}

Lema 3.1.1. L(A) es el menor modelo transitivo de ZF que contiene los ordi­nales y A ∈ L(A).

Una prueba de este resultado puede encontrarse en los textos men­cionados.⁴⁴

(1.2.) Sea L [{a_n: n < ω}] el modelo genérico de Cohen que se ob­tiene agregando ℵ₀ reales genéricos con el método de forcing al modelo base L (la clase de los conjuntos constructibles de Gödel [15]). Sea A = {an : n < ω}. Entonces el MBC es L(A) en L [{an : n < ω}].

3.2. Algunas propiedades del Modelo básico de Cohen

Lema 3.2.1. (i) MBC es un modelo transitivo de ZF que contiene los ordinales.

(iii) MBC ⊭ AE.

(v) En el M BC vale que: (C (∞, WO)) Cualquier familia de conjuntos no vacíos y bien ordenables tiene una función de elección.

Una prueba de este resultado puede encontrarse en los textos citados.⁴⁵

3.3. Definición de la Propiedad de Partición Polarizada

El Espacio topológico de Baire es el par (ℕ^∞, t), donde ℕ^∞ = { f : f : ℕ → ℕ} y t es la topología generada por los abiertos básicos Us= { f ∈ ℕ^∞ : s ⊆ f }, donde s es una sucesión finita de naturales. En otras palabras, t es la topología producto de ℕ∞ que resulta de dotar a ℕ con la topología discre­ta. Es conocido que el espacio de Baire es homeomorfo a los irracionales considerados como un subespacio del conjunto de los números reales ℝ.⁴⁶

Propiedad de Partición Polarizada (PPP): La expresión

significa que para toda (partición) F : ℕ^∞ → 2 existe una sucesión de con­juntos {H_i}_{i ∈ ω} tal que:

• H_i ⊆ ω, |H_i| = n_i, y

3.4. Prueba de que la Propiedad de Partición Polarizada es falsa en el Mo­delo Básico de Cohen

Teniendo presente las secciones anteriores para probar que la PPP es falsa en el MBC es suficiente con demostrar el siguiente teorema:

Teorema 3.4.1 (F. Galindo - C. Di Prisco). Si C(∞, WO), entonces

es falsa.

Demostración: Se usa C(∞, WO) para definir una partición de ℕ^∞ en dos pedazos que no admite homogéneo de la forma П_i∈ω H_i , donde H_i ⊆ ω y |H_i| = 2, para todo i ∈ ω.

En ℕ^∞ se define la siguiente relación de equivalencia:

x ∼y ↔∃n < ω∀m ≥ n[x(m) = y(m)].

Para cada х ∈ ℕ^∞ su clase de equivalencia х̄ es numerable, pues el con­junto de las sucesiones finitas de números naturales es numerable. Enton­ces para cada х ∈ ℕ∞ su clase de equivalencia х̄ es un conjunto bien ordena­ble. En consecuencia, por C(∞, WO), existe una función de elección f para la familia {х̄ : x ∈ N^∞}.

Con la función f se define la partición G: ℕ^∞ → 2 de la siguiente manera: G(x) = 0 si el menor natural n tal que ∀m ≥ n[х(m) = f(х̄)(m)] es par. Y G(х)= 1 si el menor natural n tal que ∀m ≥ n[х(m) = f(х̄)(m)] es impar. G no admite homogéneo de la forma П_i∈ω H_i, pues para cada x ∈ П_i∈ω H_i ]]> definimos x′ ∈ Пi∈ω Hi , así: x′ (m) = x(m), si m ≠ n y n es el menor natural tal que ∀m ≥ n[x(m)= f(х̄)(m)]. Y x′ (n) = k, donde k ∈ Hn \ {x(n)}. Es claro que х′ ∈ х̄ y que G(x)=0 si sólo si G(x′) = 1. 