Rojas, Rubén
Moreno, Franklin
Los autores son miembros del GIBULA, Grupo de Ingeniería Biomédica de la Universidad de los Andes.
El Dr. Rubén Rojas es Profesor titular del Dpto. de Circuitos y Medidas de la Escuela de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela, telef. 58-274-2402802, telefax 58-274-2402903, correo electrónico rdrojas@ula.ve.
El MSc. Franklin Moreno es Profesor Asistente de la Cátedra de Embriología, Facultad de Medicina, Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela, telef. 58-274-2403130, fax 58-274-2403131, correo electrónico fmoreno@ula.ve.
Resumen:
En el modelado fisiológico, el propósito es comprender las funciones del cuerpo humano. Con este propósito, se abordan problemas del embarazo y el parto para minimizar las cesáreas innecesarias en mujeres propensas a cursar con Sufrimiento Fetal Agudo (SFA). En el presente estudio se realizó: el Modelado Matemático del Sistema Cardiovascular Fetal (SCVF), la Simulación y Validación del SCVF. Se consiguió como resultados la creación de un modelo constituido por ocho compartimientos, asimismo fue implementado en Simulink® y se hicieron simulaciones para verificar su capacidad de replicar situaciones descritas en la literatura, además el modelo resultó válido para simular la respuesta normal de un feto en el útero materno. Se concluyó que el modelo es capaz de reproducir los valores de las presiones de cada compartimiento y de la presión arterial media, permitiendo representar de forma sencilla el sistema cardiovascular fetal y es una valiosa herramienta para el estudio del SFA.
Palabras Clave: Modelo matemático/ Sistema cardiovascular fetal/ Sufrimiento fetal agudo/ Simulación.
MODELING AND SIMULATION OF FETAL CARDIOVASCULAR SYSTEM
]]> Abstract:In physiological modeling, the intention is to understand the human body functions. UIT this propose, pregnancy and delivery problems are approached to minimize unnecessary cesareans in women with some probabilities of Acute Fetal Suffering (SFA). This article presents Mathematical Modeling of Fetal Cardiovascular System (SCVF), Simulation and Validation of the SCVF. Results show a model composed by eight compartments. Simulations were done to verify variability and reproducibility capacity of literature’s situations, resulting in a valid model to simulate the normal response of a fetus in its mother uterus. In conclusion the model is capable to reproduce pressure values of each compartment and the mean arterial pressure, allowing a simple representation of the Fetal Cardiovascular System being a valuable tool for SFA study.
Keywords: Mathematical Modeling/ Fetal Cardiovascular System/ Acute Fetal Suffering.
Manuscrito finalizado en Mérida, Venezuela el 2007/07/04, recibido el 2007/08/08, en su forma final (aceptado) el 2007/10/02.
I. INTRODUCCIÓN
El cuidado del embarazo a término es uno de los momentos culminantes del maravilloso proceso fisiológico que termina con el nacimiento de un nuevo ser. La necesidad en el sector público de minimizar el numero de cesáreas innecesarias y la existencia de casos que involucran mujeres embarazadas propensas a culminar este proceso con el sufrimiento fetal agudo, hace que su estudio sea de gran importancia. Por otra parte, los modelos matemáticos del sistema cardiovascular permiten rápidas modificaciones y evaluar diferentes eventos e interrelaciones entre estructuras.
En el sistema circulatorio fetal la sangre regresa de la placenta por la vena umbilical (VU). Al aproximarse al hígado, alrededor de la mitad de la sangre bajo presión alta pasa directamente al conducto venoso (CV), un vaso fetal que conecta la VU con la vena cava inferior (VCI); en consecuencia, esta sangre drena en el hígado [1]. La otra mitad de la sangre de la VU fluye a los sinusoides hepáticos y penetra en la VCI [2], después se incorpora en la aurícula derecha (AD), de donde pasa directamente a la aurícula izquierda (AI) a través del agujero oval (AO). En este sitio se mezcla con la sangre que regresa de los pulmones a través de las venas pulmonares. De la AI la sangre pasa al VI y sale por la aorta ascendente. En la AD permanece una pequeña cantidad de sangre que provino de la VCI, que se mezcla con sangre de la vena cava superior (VCS) y del seno coronario y pasa al ventrículo derecho (VD). Esta sangre sale a través del tronco pulmonar (Figura 1). Alrededor del 10% de la sangre va a los pulmones, pero la mayor parte pasa a la aorta descendente a través del conducto arterioso (CA) para irrigar la porción caudal del cuerpo fetal y regresar a la placenta a través de las arterias umbilicales [1].
El conocimiento exacto y preciso del sistema cardiovascular fetal permite realizar el modelado matemático y considerar todas las variables que pueden influir en su respuesta, ya sea en condiciones fisiológicas o patológicas. Sin embargo, diferentes aplicaciones requieren de medidas y detalles específicos que crean la necesidad de modificar los modelos existentes, entre estos el del sistema cardiovascular fetal, necesario para estudiar el sufrimiento fetal agudo. Este trabajo presenta el modelado matemático y la simulación del sistema cardiovascular fetal con el fin de que en un futuro sea utilizado para estudiar el sufrimiento fetal agudo.
II. DESARROLLO
]]> 1. MetodologíaEl presente estudio se realizó en tres etapas:
a) Modelado Matemático del Sistema Cardiovascular Fetal (SCVF): En esta etapa se analizaron modelos existentes en la literatura [3,4,5] con el fin de estudiar la posibilidad de adaptarlos al caso de estudio, logrando así generar un modelo matemático basado en la metodología de compartimientos.
b) Simulación del SCVF: En esta etapa se implementó el modelo obtenido usando Matlab/Simulink® y considerando las ecuaciones dinámicas de cada componente del modelo, se variaron los parámetros, para valorar su capacidad de simular la situación en estudio.
c) Validación del modelo del SCVF: Para la validación del modelo además de datos reportados en la literatura, se tomaron a 20 embarazadas al final de su período gestacional y se les realizó el ultrasonido Doppler, tomando en cuenta los sitios anatómicos correspondientes a los compartimientos establecidos en el modelo obtenido. Se colectó la data suministrada por el equipo de ultrasonido Doppler para posterior contraste y comparación con la generada por el modelo.
2. Resultados
Siguiendo la metodología propuesta se consiguieron los siguientes resultados:
Al realizar la revisión bibliográfica de modelos se observa que en los trabajos realizados por: Pennati G. et al (1997) lograron un modelo del sistema circulatorio fetal humano basado en la velocidad de flujo obtenido por el análisis Doppler, enfocándose en dos grandes partes; el corazón y la circulación fetal. El modelo del corazón involucraba contractilidad ventricular y auricular. La circulación fue dividida en 19 compartimientos vasculares para describir los sitios a ser monitorizados. Los parámetros considerados para realizar el modelo fueron las características propias del final de la gestación y estas se revisaron en la literatura sobre el sistema circulatorio fetal. El modelo fue validado por comparación entre varios índices de valores, como las curvas de velocidad obtenidas a través del Doppler. Además se estudiaron la velocidad y las presiones de la circulación fetal, así como el flujo y la distribución regional de la sangre [3].
Ménigault E. et al (1998), elaboraron un modelo de la circulación fetal y útero-placentaria, con la finalidad de que fuese usado para enseñar el desarrollo de los mecanismos regulatorios de la circulación fetal, además de realzar el uso de la Ultrasonografía Doppler para el estudio de la velocidad de flujo de la sangre en la evaluación de algunos órganos y sistemas del feto, como el cerebro y la placenta. La metodología estuvo basada en dos elementos básicos; un segmento arterial y una bifurcación, donde se reprodujeron la mayor parte de las arterias de la circulación materno-fetal. El modelo matemático de este sistema se basó en las ecuaciones de Navier-Stokes. Las áreas periféricas, el cerebro, los riñones y la placenta, fueron modelados a partir del modelo simple de Windkessel y el modelo calculó el flujo instantáneo y la presión en un punto de las arterias fetales y la arteria uterina. Los resultados coincidieron con los mecanismos fisiológicos compensatorios durante el embarazo y se concluyó que el modelo provee una nueva e interesante propuesta dentro de la hemodinámica fetal y podría representar un buen modelo para estudiar los mecanismos de la redistribución sanguínea durante las situaciones de hipoxia [4].
Asímismo Huikeshoven et al (1985), hicieron un modelo matemático dinámico para entender la circulación fetal y el sistema de transporte de oxigeno. Para desarrollar el modelo, el sistema vascular fetal se dividió en dieciséis (16) compartimientos, Figura 2, cada uno de los cuales tenia incorporado las características propias de la circulación fetal, con diferencias en la concentración de oxígeno de la sangre para abastecer el cuerpo fetal en sus regiones craneal y caudal. También estudiaron los efectos de las perturbaciones en el flujo y en las resistencias producidas por cambios provocados en el modelo. Los estudios dinámicos usados en el modelo demostraron las diferencias en las respuestas de la presión parcial de oxígeno arterial fetal por la compresión temporal del cordón umbilical y la disminución en el flujo materno placentario [5].
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Posteriormente se intentó la implementación de estos modelos y se determinó que la base para el modelo en estudio la componía el modelo cardiovascular fetal de 16 comportimientos, elaborado por Huikeshoven et al [5], debido a la especificidad de sus componentes.
En cada compartimiento, las variables P, V, y PO2 representan la presión sanguínea en mmHg, el volumen en ml, y la presión de oxígeno en mmHg. El Flujo entre compartimientos viene dado en ml/min y los compartimientos representan en el esquema: AA, aorta ascendente; BR, cerebro; DA, aorta descendente; FPL, parte fetal de la placenta; HE, hígado; IN, intestinos; IVC, vena cava inferior; LA, aurícula izquierda; LB, parte inferior del cuerpo; MPL, parte materna de la placenta; MY, miocardio; PA, arteria pulmonar; PV, vena pulmonar; RA, aurícula derecha; SVC, vena cava superior; UB, parte superior del cuerpo; UV, vena umbilical. Los valores de los parámetros se presentan en la Tabla I.
Se tomó en cuenta para realizar el modelo, el final del período gestacional, y se consideraron las características anatómicas y fisiológicas del sistema cardiovascular fetal (corazón, arterias, venas y placenta). Manteniendo la idea de poder unir posteriormente el modelo fetal con el materno, es evidente que este modelo presentaba muchos compartimientos, por lo que se juntaron varios de ellos generando otros compactos lográndose la creación del modelo del sistema cardiovascular fetal constituido por 8 compartimientos (Figura 3).
En este modelo los compartimientos 1 y 3 fueron considerados como RA y LA del modelo de Huikeshoven et al. [5], respectivamente; el compartimiento 2, PA y PV; el compartimiento 4, BR, MY, UB, y SVC, el compartimiento 5, AA y DA, el compartimiento 6, IN y LB, el compartimiento 7, FPL y UV y finalmente el compartimiento 8, HE e IVC; cuyos valores paramétricos se calcularon como los promedios de las Pi, Vi, Vi0 para posteriormente hacer los cálculos de la Ci, RAi y RVi.
Físicamente los compartimientos del 1 al 3 representan la parte derecha del corazón, los pulmones y la parte izquierda del corazón fetal respectivamente. El compartimiento 4 corresponde a la cabeza, cuello y miembros superiores, mientras que el compartimiento 5 representa el segmento de la aorta descendente donde desemboca el CA (compartimiento virtual). El compartimiento 6 está compuesto de diversos componentes (miembros inferiores, pelvis y abdomen excepto el hígado). El compartimiento 7 simboliza la placenta, mientras que el compartimiento 8 representa al hígado.
3. Discusión
Las ecuaciones dinámicas que rigen la relación de entradas y salidas de cada compartimiento se obtuvieron mediante la aplicación de la ley de conservación de la masa (asumiendo que no hay pérdidas) con un volumen de sangre constante. Estas además asumen una relación lineal entre el volumen y la presión, expresada mediante la siguiente ecuación:
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donde Pi es la presión, Ci es la compliance, Vi, es el volumen final y Vi.0 es el volumen en reposo, quedando el modelo total representado por el siguiente conjunto de ecuaciones:
En este modelo cardiovascular el flujo sanguíneo de la parte derecha del corazón fue descrito por la curva del mecanismo normal de Frank Starling, que fue aproximada por la siguiente expresión analítica [6]:
donde K1 es una constante que representa la fuerza de bombeo del ventrículo derecho. A1 y B1 son constantes de regresión y PEC es la presión extracardíaca.
En la Ec. 2, F1 y F1’ son las fracciones del flujo Q1 que simulan la cantidad de flujo que va al compartimiento pulmonar y al compartimiento virtual 5, respectivamente. F3 representa la fracción de flujo Q3 que se dirige a la cabeza, cuello y miembros superiores, mientras que F3’ es la fracción de flujo Q3 que se dirige al compartimiento virtual 5. F4 y F5 son las fracciones del flujo Q5 que simulan la cantidad de flujo que va a los compartimientos de: miembros inferiores, pelvis, abdomen y placenta respectivamente. El flujo sanguíneo Q1 es el gasto cardíaco del corazón derecho, mientras que Q3 es el gasto cardíaco del corazón izquierdo. Q5 representa el flujo sanguíneo del compartimiento virtual 5, se expreso como Q5 por considerarlo una sumatoria de F3’Q3 y F1’Q1.
La Frecuencia Cardiaca (FC) y la Presión Arterial Media (PAM) fueron representadas por las siguientes expresiones:
b) y c) El modelo obtenido fue implementado en Simulink® y se realizaron simulaciones para verificar su capacidad de replicar situaciones descritas en la literatura. Los datos utilizados fueron obtenidos de los cálculos realizados debido a la compactación de los compartimientos del modelo original [5], y se resumen en la Tabla II. En la Tabla II, K(i) representa el compartimiento i-ésimo del modelo (i: 1 = Aurícula Derecha, 2 = Pulmones, 3 = Aurícula Izquierda, 4 = Cabeza, Cuello y Miembros superiores, 5 = Segmento de la Aorta Descendente, 6 = Miembros inferiores, Pelvis y Abdomen; 7 = Placenta, 8 = Hígado). Los otros parámetros son: Ci = Distensibilidad, Vi,0 es el Volumen en reposo, RAi es la Resistencia Arterial; RVi es la Resistencia Venosa; Pi es la Presión y Vi es el volumen del i-ésimo compartimiento.
Al realizar la simulación se obtuvieron los siguientes resultados:
En la Figura 4 se presenta el valor de presión pulmonar P2 en función del tiempo, en ella se observa como su valor se estabiliza en 33,25 mmHg, lo que representa un error del 0,6% respecto al valor teórico [5].
La Figura 5 muestra como el flujo saliente de la aorta descendente presenta un valor constante de 860 ml. lo cual concuerda con la literatura [5].
En la Figura 6 se presenta el valor de presión del compartimiento 6 que representa los miembros inferiores junto a la pelvis y el abdomen, P6, en función del tiempo, en ella se observa como su valor se estabiliza en 12,44 mmHg, lo que representa un error del 0,08% respecto al valor teórico [5].
Este tipo de comportamiento se obtuvo en todos los compartimientos del modelo, lográndose en general errores menores del 1%, lo cual no es significativo, por lo que el modelo propuesto se considera valido para simular la respuesta normal de un feto en el útero materno a término, faltando comparar su respuesta con la obtenida experimentalmente.
III. CONCLUSIONES
Se propuso un modelo matemático del sistema cardiovascular fetal basado en ocho compartimientos simples y circulación cerrada. Este modelo fue creado utilizando los conocimientos de la fisiología cardiovascular fetal [7,8,9] y tomando como referencia el modelo de dieciséis compartimientos [3]. Al analizar los resultados se puede concluir que:
1. El modelo cardiovascular fetal realizado es capaz de reproducir los valores de las presiones de cada compartimiento y de la PAM, similares a los reportados en otras investigaciones [3].
2. Los valores de la PAM obtenidos con la simulación del modelo fetal no mostraron variación en comparación con el valor de referencia del modelo original [3], lo que indica que el modelo creado e implementado funciona correctamente.
3. Sólo se observan leve variaciones en las presiones de cada compartimiento, pero con un margen de error no significativo.
4. El modelo elaborado permite representar en forma sencilla el sistema cardiovascular fetal y es una herramienta valiosa para ser utilizada en futuras investigaciones para el estudio del sufrimiento fetal agudo.
IV. REFERENCIAS
]]>1. Moore K. et al. Embriología Clínica. Editorial Mc Graw – Hil. México. 6ª ed. l4: 412-420, 1999. [ Links ]
2. Lagman S. et al. Embriología Médica. Editorial Médica Panamericana. Caracas. 8ª ed. 11: 245- 248, 2001. [ Links ]
3. Pennati G. et al. Mathematical modelling of the human foetal cardiovascular system based on Doppler ultrasound data. Med, Eng. Phys. vol 19. pp. 327-335, 1997. [ Links ]
4. Ménigault E. et al. Feto-maternal circulation: Mathematical model and comparison with Doppler measurements. European Journal of Ultrasound. vol 7. pp. 129-143, 1998 [ Links ]
5. Huikeshoven F. et al. Mathematical model of fetal circulation and oxygen delivery. American Journal of Physiology. vol 249. pp 192-202, 1985. [ Links ]
6. Ghista D. Advances in cardiovascular physics: Cardiovascular Engineering Part I. Modelling. KARGER, Basel. Geneva. pp. 162-183, 1983. [ Links ]
7. Guyton A. Tratado de Fisiología Médica. Editorial Mc Graw – Hil Interamericana. 8ª ed. 82: 973-976, 1992. [ Links ]
8. Ganong W. Fisiología médica. Editorial Manual Moderno, México. 10ª ed. 32: 691-695, 2000. [ Links ]
9. Best y Taylor. Bases Fisiológicas de la Práctica Médica, Buenos Aires, Editorial Panamericana. 11ª ed. 16: 379- 382, 1986. [ Links ] ]]>