, se utilizó el Método de Newton-Raphson, que conduce a: el cual es un algoritmo para resolver ecuaciones no lineales. Se encontró el error admisible y la matriz Jacobiana con todos sus elementos, se encontraron derivadas discretas de las sub-matrices del transformador. Por tanto, con cada iteración del Método de Newton-Raphson, implica resolver un sistema lineal, como: En conclusión, presenta el sistema no lineal del modelo del transformador estudiado.]]>
was used the Newton-Raphson method that leads to: which is an algorithm to solve nonlinear equations. An admissible error was found and the Jacobian matrix with all its elements, discrete derivatives in the sub-matrices of the transformer, were found. Therefore, in each iteration of the Newton-Raphson Method, it is necessary to solve a linear system, such as In conclusion, it presents the nonlinear system of the transformer model under study.]]>
Resolución del sistema no lineal del modelo de un transformador monofásico con saturación para el análisis de armónicos
Silva M. Darío R.
El MSc. Darío Silva Madriz es Profesor Titular Jubilado del Dpto. de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Nacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre UNEXPO Vicerrectorado Puerto Ordaz, Venezuela. telefax 0286-9623317, y 0414-8756641, correos electrónicos dariosilva.madriz@gmail.com y dariosilvamadriz@hotmail.com.
Resumen: Este trabajo de investigación conduce a los estudios de análisis en sistemas de potencia y ello puede realizarse con programas de computación con los modelos adecuados para obtener el régimen permanente sin calcular todo el transitorio. Usando la discretización del sistema de ecuaciones de un transformador monofásico con saturación para análisis de armónicos, la estructura encontrada tiene la ventaja de que este mismo algoritmo es aprovechado en el modelo del transformador trifásico con saturación, donde sólo se ha de modificar la dimensión de las sub-matrices y sub-vectores. La resolución del sistema no lineal del tipo , se utilizó el Método de Newton-Raphson, que conduce a:
el cual es un algoritmo para resolver ecuaciones no lineales. Se encontró el error admisible y la matriz Jacobiana con todos sus elementos, se encontraron derivadas discretas de las sub-matrices del transformador. Por tanto, con cada iteración del Método de Newton-Raphson, implica resolver un sistema lineal, como:
En conclusión, presenta el sistema no lineal del modelo del transformador estudiado.
Palabras Clave: Sistemas no lineales/ Transformadores monofásicos/ Método de Newton-Raphson/ Análisis de armónicos
RESOLUTION OF THE NON LINEAR SYSTEM OF A MONOPHASE TRANSFORMER MODEL WITH SATURATION FOR THE ANALYSIS OF HARMONICS
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Summary: This research work leads us to study the analysis in power systems and it can be made with suitable models in computer programs to obtain a permanent regime without calculating all the transitory steps. Using the discretation of the equations system of a single-phase transformer with saturation for the analysis of harmonics, the structure found has the advantage that this same algorithm may be used in the model of the three-phase transformer with saturation, where only the dimension of the sub-matrices and sub-vectors has to be modified. In the resolution of the nonlinear system of the type, was used the Newton-Raphson method that leads to:
which is an algorithm to solve nonlinear equations. An admissible error was found and the Jacobian matrix with all its elements, discrete derivatives in the sub-matrices of the transformer, were found. Therefore, in each iteration of the Newton-Raphson Method, it is necessary to solve a linear system, such as
In conclusion, it presents the nonlinear system of the transformer model under study.
Manuscrito finalizado en Ciudad Guayana, Venezuela, el 2007/04/20, recibido el 2007/05/07, en su forma final (aceptado) el 2008/02/01.
I. INTRODUCCIÓN.
El análisis en sistemas de potencia para los dispositivos especiales como los transformadores, suelen realizarse con programas de computación que permiten obtener el régimen permanente sin calcular todo el transitorio. Pero, ello no es tan fácil, ya que es necesario usar la discretización del sistema de ecuaciones, que permite que de un transformador monofásico con saturación del núcleo puedan engendrarse ecuaciones del tipo no lineal. La solución del modelo monofásico en funcionamiento no lineal genera un período de la corriente de magnetización del transformador. Este vector de corriente distorsionada puede ser utilizado directamente en un programa de modelación de armónicos o programa de análisis de armónicos.
El planteamiento de las ecuaciones que se ha desarrollado permite usar el mismo algoritmo de cálculo para ambos modelos, monofásico y trifásico.
[1], [2],[4],[9] El artículo presenta la respuesta a la resolución del sistema no lineal, sistema lineal en todos sus aspectos y finalmente los resultados encontrados.
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II. DESARROLLO
1. El problema.
Consiste en encontrar la resolución del sistema de ecuaciones no lineal de un transformador con saturación para el análisis de armónicos. [2], [9], [3]
• La solución.
• Resolver el sistema de ecuaciones del tipo implícito (corriente de magnetización del transformador)
• Encontrar el algoritmo especial que acelere el tiempo de cálculo.
• Encontrar la característica no lineal del núcleo magnético (matriz en forma estructurada)
2. Desarrollo metodológico.
2.1. Resolución del sistema no lineal.[7], [8], [9]
2.1.1. Resolver el sistema de ecuaciones no lineal del tipo g(χ)=0
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2.1.2. Usar el método interactivo de Newton-Raphson
(Algoritmo adecuado para resolver ecuaciones no lineales)
2.1.3. Encontrar la ecuación de convergencia.
Error admisible impuesto por el usuario.
2.1.4. Encontrar la matriz Jacobiana de g(χ), evaluada para χ=χ(j).
La matriz Jacobiana
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Donde los elementos de la matriz Jacobiana son los siguientes:
2.1.5. Encontrar la matriz Jacobiana dg-1
Se reescribe la ecuación (1).
2.1.6 Encontrar la incógnita buscada.
Por lo tanto, cada iteración del método de Newton-Raphson, implica resolver un sistema lineal como el de la ecuación:
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2.2. Resolución del sistema lineal.[2], [3], [9]
2.2.1. El sistema lineal dado responde a:
2.2.2. Encontrar el sistema de 2n ecuaciones.
2.2.3. Encontrar el vector de incógnitas.
2.2.4. Encontrar los sub-vectores de incógnitas.
Donde cada sub-vector incógnita está formado por;
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La función es también un vector de longitud 2n formado a su vez por sub-vectores de longitud 2,
La ecuación (15), contiene las ecuaciones del transformador.
2.3 Ecuaciones del transformador. [2], [4], [5], [6]
(Para cada instante de tiempo)
y para el k-ésimo instante de tiempo, la función se puede expresar con,
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Y así sucesivamente, hasta la ecuación n-1 del sistema. También puede presentarse como:
2.4. Cálculo de los elementos de la matriz dg(χ)
2.4.1. Cálculo de los elementos de la matriz. [6], [2], [3], [9]
Los elementos de la matriz dg(χ) serán las derivadas de las funciones g1,k y g2,k con respecto a las variables
y del sistema de ecuaciones no lineal del transformador en vacío, reescrito nuevamente a continuación,
Los términos z1,k y z1,k+1 que aparecen señalizados con “llaves” en la función gi,k de la ecuación anterior, son las expresiones que introducen el efecto no lineal del núcleo magnético, y que por su característica más adelante serán nombradas nuevamente.
2.4.2. Cálculo de las derivadas parciales asociadas a las estructura de las sub-matrices ck y dk.
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y
2.4.3. Cálculo de las derivadas parciales, que corresponden a la sub-matriz ck.
(g1,k y g2,k; respecto a: ).
2.4.4. Cálculo de las derivadas parciales, que corresponden a la sub-matriz dk.
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En las derivadas parciales anteriores se puede ver que la mayoría de los términos son iguales a los elementos de las submatrices ak y bk de la matriz m, excepto los términos c12 y d12.
En estos términos está contenida la característica magnética del transformador, es decir, las características no lineal del material del núcleo magnético. Dada la complejidad de estos términos, se describe con más detalle el desarrollo de cada una de ellas.
Primeramente, para calcular el elemento el único término función de es z1,k , señalizado en la ecuación (17), se puede escribir de la siguiente forma,
Por lo tanto, la derivada parcial de g1,k respecto a será la derivada de la expresión anterior, es decir,
2.4.5. Cálculo del elemento c12.
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(Se calcula la derivada en forma numérica)
2.4.6. Cálculo de la sub-matrices ck.
(Se calcula con las ecuaciones (3) y (30))
2.4.7. Cálculo de la sub-matriz ak.
Y el segundo término de la ecuación (31), numéricamente expresado es,
De la misma forma, para calcular el elemento el único término función dees z1,k+1
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señalizado en la ecuación (17) puede escribirse de la siguiente forma,
2.4.8. Cálculo de la derivada parcial de g1 respecto a
El elemento d12 de la sub-matriz dk es,
2.4.9. Cálculo de la matriz dk.
2.4.10. Cálculo de la matriz bk.
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y el segundo término de la ecuación (37) numéricamente expresado es,
El incremento,
es un valor elegido por el usuario.
2.4.11. Cálculo de la matriz dg(χ) en forma estructurada. (Característica no lineal del núcleo magnético).
2.4.12. Cálculo del vector error. (Diferencia entre el valor especificado de la función y su valor calculado en cada iteración).
La estructura final del sistema de ecuaciones lineal
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(Sistema de 2n ecuaciones, dado en la ecuación (11)).
2.5. Resultados.
2.5.1. La matriz dg(χ) es muy dispersa, hay que resolver un sistema de ecuaciones lineales
2.5.2. Hay que usar algoritmos especiales para su solución, depende de la opción de las condiciones de periodicidad elegida, la fila n de la matriz M de dimensiones (n x n).
2.5.3. Dada la estructura de doble diagonal de matriz dg, la solución del sistema puede acelerarse y ahorrar cálculos y espacio de memoria de computador.
(Es mucho más rápido resolver el sistema en forma de tres vectores [c, d, g] de dimensiones 2n en lugar de un sistema con una matriz (2n × 2n)).
2.5.4. Finalmente, un sistema equivalente con una matriz triangular de coeficientes es lo más indicado para eliminar las sub-matrices de la última fila de la matriz dg.
III. CONCLUSIONES.
1. Las caras polares producen formas de ondas periódicas si la densidad de flujo en el entrehierro no es constante, la velocidad de corte de flujo se puede regular de modo que la fuerza contraelectromotriz (f.e.m) engendrada en cada conductor varíe según una ley senoidal que deberá ser analizada por sus armónicos.
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2. El vector de corriente distorsionada puede ser utilizado directamente en un programa de análisis de armónicos.
3. La formulación del modelo monofásico con saturación ha servido como base para el desarrollo matemático del modelo trifásico, ya que sólo se ha de modificar la dimensión de las sub-matrices y sub-vectores.
IV. REFERENCIAS
1. Brandwanj, V; Dommel H. W., Matrix Representation of Three-Phase N-Winding Transformers for Steady-State and Transient Studies, IEEE Transactions on Power Apparatus and System, vol. pas-101, no 6, June 1982, pp- 1369-1378. [ Links ]
2. López García, R., Desarrollo y Validación de Modelos de Transformadores Bifásicos y Trifásicos con Saturación, para el Análisis de Armónicos en Sistemas de Potencia. Tesis Doctoral de la UPC Barcelona ( Universidad Politécnica de Cataluña), 2003., pp: 5-8, 5-10 pp: 5-8, 5-10 [ Links ]
3. Pérez, R., et al., Sistema de Diagnósticos de Transformadores de Potencia a Distancia. Ponencia en el VII Congreso Latinoamericano y IV Congreso Iberoamericano de Alta Tensión, ALTAE 2005, Panamá 28 al 30 de Julio; pp. 3-5. [ Links ]
4. Mcnutt, W. J; Blalock, T. J., and Hilton, R. A. Response of transformers Winding to System Voltages, IEEE Transactions on Power Apparatus and System, vol. pas- 93, no 2, March-April 1974, pp. 457-467. [ Links ]
5. Neves, W. L. A., and Dommel, H. W. Saturation Curves of Delta-connected Transformers from Measurements IEEE Transaction on Power Delivery, vol. 10, no 3, July 1995, pp. 1432-1437. [ Links ]
6. Neves, W. L. A., and Dommel, H. W. On Modelling Iron Core Nonlinearities, IEEE Transaction on Power System, vol. 8, pas-93, May 1993, pp. 417-425. [ Links ]
7. Silva Madriz, D.R., Técnica de Medición en Alta Tensión. Ponencia,Taller Latinoamericano Aislamiento Eléctrico y Técnicas de Alta Tensión. CIPEL. 21 al 23 de 98 Volumen 12, Nº 47, junio 2008. pp 93-98 Noviembre, La Habana, 1995.,pp: 3-8 [ Links ]
8. Silva Madriz, D.R., Procedimiento para el Manejo de Mediciones de Incertidumbre en Pruebas y Reportes. Ponencia, I Jornadas Científicas de Alta Tensión y Aislamiento Eléctrico- UNEXPO, 28 al 30 de Junio, Barquisimeto, 1995., pp: 4-6. [ Links ]
9. Silva Madriz, D.R., Proyecto de Tesis Doctoral: Contribución al Perfeccionamiento del Sistema de Gestión de Mantenimiento de la Industria Ferrominera. Aplicación: Mantenimiento de Transformadores Eléctricos, Trifásicos y Monofásicos, para el Instituto Superior Politécnico, José Antonio Echeverría (ISPJAE). La Habana, 18 de Enero 2002, pp. 40-52. [ Links ] ]]>
June 198101661369-1378pp: 5-8, 5-102005Panamá 3-5March-Ap932457-467July 19910331432-1437May 199389393417-425junio 2012474793-983-819954-618 de En40-52
el cual es un algoritmo para resolver ecuaciones no lineales. Se encontró el error admisible y la matriz Jacobiana con todos sus elementos, se encontraron derivadas discretas de las sub-matrices del transformador. Por tanto, con cada iteración del Método de Newton-Raphson, implica resolver un sistema lineal, como: 
En conclusión, presenta el sistema no lineal del modelo del transformador estudiado.]]>
which is an algorithm to solve nonlinear equations. An admissible error was found and the Jacobian matrix with all its elements, discrete derivatives in the sub-matrices of the transformer, were found. Therefore, in each iteration of the Newton-Raphson Method, it is necessary to solve a linear system, such as 
, se utilizó el Método de Newton-Raphson, que conduce a:
Error admisible impuesto por el usuario. 
y 
del sistema de ecuaciones no lineal del transformador en vacío, reescrito nuevamente a continuación, 
). 
el único término función 
de es z1,k , señalizado en la ecuación (17), se puede escribir de la siguiente forma, 
el único término función de
es z1,k+1 
