Resumen:

Los sistemas eléctricos de generación y transmisión de potencia están sujetos a varios fenómenos transitorios, tal como la incidencia de ondas provenientes de las descargas atmosféricas. Cuando ocurre este fenómeno sobre algunos elementos del sistema eléctrico nacional, produce variaciones relativamente rápidas de voltaje y corriente. En este trabajo se resuelve la ecuación del telegrafista numéricamente, la cual es una ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden, tipo hiperbólica, cuya solución describe el comportamiento de la corriente de descarga atmosférica. Una vez discretizada, usando un esquema de diferencias finitas a segundo orden, la ecuación se implementa en un software para obtener solución numérica. Finalmente, se propone un modelo de sobretensión de la propagación de ondas de origen atmosférico, que puede ser incorporado en los programas de transitorio electromagnético y en la optimización del aislamiento para el diseño y operatividad de equipos de potencia.

Numerical modeling of lightning based on the traveling wave equations

Electrics generation and transmission power system are subjet a various transients, how the incidential of waves outgoing of the lightning. When this phenomenon to ocurr, produce fluctuations relatively rapids of voltage and current. In this work is solve the telegraphist equation. This is diferencial equation in derivatives parcial of second order, hiperbolic, whose solution describe the current conduct of atmospheric dischage. One more discretized with use the scheme of finite diferentias, this equatión is implemented in a software for obtain an numerical solution. Into other resulted is simulated various forms of discharge current with a software desarrollated in Fortran 77. Furthemore, is elaborated an software in Fortran 77 to enable simulating the electric current at moment the atmospheric discharge for a set of initial conditions. Finally, is propuest an overtension model of the propagation of atmosferic waves. This can be incorporated in the transient programs electromagnétic and in the optimization of insulation for the design and working of power equips.

Uno de los fenómenos que más afecta negativamente a los sistemas de distribución son las tensiones inducidas debidas a descargas eléctricas atmosféricas (DEAT) que impactan en las cercanías de las líneas de transmisión aéreas. Aunque los impactos directos son mucho más peligrosos para la integridad de los equipos conectados a estas redes, la mayor frecuencia de los impactos indirectos, junto a las tensiones que se inducen en los conductores, hacen de este fenómeno uno de los principales objetos de estudio por las fallas en los equipos y a la baja de la calidad de la energía eléctrica.

La DEAT es definida como un transitorio, esto es, produce corrientes eléctricas elevadas en muy cortos tiempos. En algunos estudios se ha tratado la naturaleza física del problema proponiendo teorías y modelos sobre la descripción y comportamiento de los parámetros que modelan la DEAT [1, 2]. Además, se ha determinado que la denominada descarga de retorno, se comporta como una onda viajera sobre una línea de transmisión de potencia produciendo elevadas corrientes [3]. Otros estudios postulan que la descarga de retorno es una onda de campo eléctrico que asciende por el canal del líder escalonado, en la mayoría de los casos, entrando a la base de la nube formando un camino nube-tierra totalmente ionizado [4]. Otras investigaciones involucran ecuaciones en derivadas parciales que por su complejidad se resuelven numéricamente [5], simulando la DEAT sobre una línea de transmisión. En otros trabajos se han propuesto modelos de descargas entre nube y tierra obteniendo resultados satisfactorios [3, 6]. Además, se han realizado estudios rigurosos de los parámetros de la corriente de descarga de retorno, que son de gran importancia desde el punto de vista de la ingeniería [7].

En este trabajo se propone un modelo de sobretensión de la propagación de ondas de origen atmosférico resolviendo la ecuación del telegrafista. Los resultados podrían ser aplicados en el aislamiento adecuado de equipos de potencia, sometidos a cambios súbitos en voltaje y corriente en mínimos intervalos de tiempo durante una DEAT.

El trabajo está estructurado de la siguiente manera: en la sección II se muestra el planteamiento del problema y sus motivaciones. Además, se desarrolla el marco teórico que resalta algunas investigaciones relacionadas con el tema. La sección III muestra el desarrollo del trabajo: la implementación numérica, los resultados y la prueba de convergencia. En el capítulo IV se exponen las conclusiones y finaliza el trabajo con las referencias en la sección V.

El fenómeno de las DEAT en el Sistema Eléctrico Nacional, siempre causa problemas en equipos y en la continuidad del suministro eléctrico. La incidencia de las DEAT sobre la red de líneas de transmisión y subestaciones eléctricas pertenecientes a CORPOELEC-EDELCA en todo el territorio nacional, originan interrupciones en la transmisión de energía eléctrica y pérdidas económicas. Muchas veces las magnitudes de corriente y voltaje al momento de una DEAT es impredecible, y en algunos casos superan el aislamiento de los equipos.

Oliver Heaviside desarrolló un modelo matemático de una línea de transmisión basado en las ecuaciones del telégrafo, que describen la variación instantánea de la tensión y corriente eléctricas a lo largo de un conductor [14]. El sistema de ecuaciones del telegrafista consta de dos ecuaciones diferenciales lineales en función de la posición y el tiempo: una para el voltaje V(x,t) y otra para la corriente, I(x, t) [14, 15, 16]

(1)

(2)

Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene la conocida ecuación del telegrafista para la corriente:

(3)

En la ecuación aparece un operador diferencial primera derivada con respecto al tiempo multiplicado por la resistencia (R) y la capacitancia (C). Este representa la disipación de la energía asociada con la propagación de la onda. El segundo término involucra la conductancia (G) e inductancia (L) y representa la disipación de potencia que se produce por la no idealidad del medio dieléctrico. La segunda derivada con respecto al tiempo multiplicado por la inductancia y la capacitancia representa inercia del movimiento de las ondas.

Es fácil demostrar que la ecuación (3) tiene la misma forma para el voltaje de la nube. En este caso se resuelve numéricamente para la determinar la corriente de la descarga de retorno con las condiciones iniciales y de contorno adecuadas. Además, de parámetros reales que permitan describir la DEAT con precisión. Cabe destacar, que esta ecuación se ha resuelto en otras ocasiones y los autores hacen suposiciones que la simplifican enormemente [6].

Como parte de este trabajo, se desarrolló un software en Fortran 77 bajo plataforma LINUX para describir el comportamiento de la DEAT por medio de las funciones Heidler y CIGRE, como una alternativa al software ATPdraw.

Para la reproducción de la función Heidler con este software se consideró el análisis de los parámetros de la corriente del rayo realizados por Heidler, et al [7]. Las Figuras 1 y 2 muestran los resultados de la simulación de estas funciones en Fortran 77.

3. Implementación numérica

Ahora se procede con la implementación numérica de la ecuación del telegrafista (3). La idea básica de las diferencias finitas es sustituir al espacio-tiempo continuo por un conjunto discreto de puntos. Este conjunto se conoce como malla o red computacional y se esquematiza en la Figura 3. El paso de tiempo entre dos niveles consecutivos se denomina Δt, y la distancia entre dos puntos adyacentes en el espacio Δx [5].

El siguiente paso es sustituir las ecuaciones diferenciales por un sistema de ecuaciones discretas. Esto se logra aproximando los operadores diferenciales por su correspondiente en diferencias finitas tomando en cuenta los valores de la función en puntos adyacentes en la malla. De está forma se obtiene una ecuación algebraica en cada punto de la malla para cada término de la ecuación diferencial. Estas ecuaciones involucran los valores de las funciones en el punto considerado y en sus vecinos más cercanos.

Utilizando las aproximaciones obtenidas mediante el desarrollo en serie de Taylor, se sustituye cada operador diferencial en la ecuación (3) por su correspondiente discretización y se obtiene la siguiente expresión:

(4)

Está ecuación tiene la propiedad que involucra solo dos valores de la función de onda en el último nivel de tiempo, el valor I_i,j+1. Entonces se puede despejar este valor en términos de valores en tiempos anteriores para obtener la ecuación del telegrafista discretizada, que posteriormente será implementada en un software.

Para implementar numéricamente esta ecuación falta especificar la condición de frontera e inicial. La corriente en la nube es asume un valor constante que es tomado como cero. Por lo tanto, la condición de frontera es

I (h,t) = 0 (6)

donde h es a altura de la nube de tormenta. En t = 0, la distribución de corriente se asume un valor constante, por lo tanto, la condición inicial es

I (x,0) = I₀ (7)

]]> • Definir la malla o red computacional como muestra la Figura 3.

• Definir el tamaño de paso de tiempo entre niveles consecutivos Δt y el elemento de longitud espacial, es decir, la distancia entre los puntos adyacentes en el espacio Δx.

• Definir las condiciones iniciales y de contorno apropiadas al problema a resolver.

• Garantizar la estabilidad del sistema con la condición

Para la implementación numérica, se consideraron tres alturas de la nube. Las Figura 4 (a), (b) y (c) muestra la corriente de descarga eléctrica versus el tiempo para tres canales de resistencia a una misma altura. Se Observa que la magnitud de la corriente es inversamente proporcional a la resistencia del canal, a mayor resistencia del canal menor es la corriente del rayo. La Figura 5 (a), (b) y (c) muestra la corriente de la DEAT versus tiempo para tres alturas de la nube con igual canal de resistencia. La onda de corriente es inversamente proporcional a la altura de la nube, es decir, a mayor altura de la nube menor es la corriente del rayo. La Figura 6 (a), (b) y (c) muestra la corriente de la DEAT versus tiempo con iguales condiciones que la Figura 5, con una resistencia del canal mucho mayor. Se observa en comparación con la Figura 5 que la onda presenta amplitudes menores, esto debido al aumento de la resistencia del canal. Al momento de la DEAT de la nube, la corriente alcanza un valor máximo repentinamente y luego decae suavemente hasta anularse en tiempos relativamente cortos. En esta simulación, para las alturas de la nube consideradas se tomó un paso de tiempo 0.25 microsegundos.

Como resultado de las simulaciones, y comparando con los valores mostrados en las Tablas I, elaborada en base a una data en la región Guayana en el año 2006 [23], se propone que la corriente de descarga tipo nube-tierra negativa promedio para el diseño de aislamiento y operatividad de equipos de potencia sea 29,07 kA con tiempos de frente de onda y semiamplitud de 1.5 μs ± 35 % y 50 μs ± 35 %, respectivamente. Por otra parte utilizando los valores de la Tabla I en la ecuación

(8)

se obtiene la probabilidad de ocurrencia de corrientes de descargas P_(Irayo), como se muestra la Figura 7. Puede observarse que corrientes de descarga mayores a 90 kA son poco probable y el mayor rango entre 5 y 30 kA.

5. Convergencia

La convergencia consiste en comprobar que tanto se aproxima la solución numérica obtenida a una solución analítica conocida. Debido que el método de aproximación de diferencias finitas usado que se usa en el desarrollo en serie de Taylor es a segundo orden, se postula que el error sea también de segundo orden en Δx:

Error = Dx² ( 9)

(10)

donde fij es la solución analítica y Fij es la solución numérica obtenida.

La Figura 8 muestra los dos modelos de ondas de la corriente utilizados para realizar esta convergencia. Esto es, la solución analítica y la solución numérica obtenida.

En este caso, se seleccionó la onda generada con la función Heidler como solución analítica para comparar la solución numérica de la ecuación del telegrafista y así estimar el error de convergencia. La Figura 9 muestra una recta de pendiente promedio m=1,9, con pasos del diferencial de 3 microsegundos. Se puede concluir que la solución numérica converge a la solución analítica a segundo orden de aproximación

III. CONCLUSIONES

1) Se desarrolló un software en Fortran 77 que permitió simular y generar modelos de la corriente de la descarga atmosférica, que funciona bajo la plataforma LINUX.

2) Los modelos generados en Fortran 77 se validaron en base a una data reportada en [23], en el año 2006. Como resultados en las simulaciones y de comparar con los resultados obtenidos en [23], se propone que la corriente promedio de la descarga para el diseño de aislamiento y operatividad de equipos de potencia es 29,07 kA. Este valor pudiera ser incorporado en los programas de transitorio electromagnético.

]]> 3) Si se contara con una data real de todo el país, (CORPOELEC-EDELCA) se pudiera validar un modelo de sobretensión de la DEAT para el territorio nacional. Hubo limitaciones para consignar esta data. 4) Se demostró que el software desarrollado es estable y convergente a segundo orden de aproximación en las diferencias finitas.

AGRADECIMIENTOS:

Los autores agradecen a la Unidad Regional de Investigación, por el apoyo a los proyectos que permitieron desarrollar esta investigación.

IV. REFERENCIAS

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