Modelo geoidal combinado para Venezuela (MGCV04)
Melvin Hoyer, Eugen Wildermann, Hermógenes Suárez y José Hernández
Melvin Hoyer. Ingeniero Geodesta, La Universidad del Zulia (LUZ), Venezuela. Doctor en Ingeniería, Universidad de Hannover, Alemania. Profesor, Escuela de Ingeniería Geodésica, LUZ. Dirección: Departamento de Geodesia Superior, Facultad de Ingeniería, LUZ. Apartado Postal 4011, Maracaibo, Venezuela. e-mail: mhoyer@luz.edu.ve
Eugen Wildermann. Ingeniero Geodesta y Doctor en Ingeniería, Universidad de Hannover, Alemania. Profesor, Escuela de Ingeniería Geodésica, LUZ, Venezuela. e-mail: ewilderm@luz.edu.ve
Hermógenes Suárez. Ingeniero Geodesta, LUZ, Venezuela. Adscrito al Laboratorio de Geodesia Física y Satelital, LUZ, Venezuela. e-mail: hsuarez@luz.edu.ve
José Hernández. Ingeniero Geodesta, LUZ, Venezuela. Cordinador, Oficina Técnica de Geodesia, Instituto Geográfico de Venezuela Simón Bolívar. e-mail: jhernandez@igvsb.gov.ve
Resumen
El Modelo Geoidal Combinado para Venezuela 2004 (MGCV04) fue determinado mediante la técnica de colocación por cuadrados mínimos aplicando la metodología Remove-Restore. Se utilizó data gravimétrica proveniente de diferentes fuentes, ondulaciones geoidales derivadas de mediciones GPS, el EGM96 como modelo geopotencial de referencia y para la corrección topográfica se desarrolló un modelo digital de elevaciones derivado del GTOPO30 y el ETOPO5. Considerando la densidad de la data, la resolución del modelo MGCV04 fue fijada en 30''. La cobertura del modelo se extiende desde los 3º hasta los 13ºN y desde los 286º hasta 299ºE. El MGCV04 se comparó con los modelos EGM96, GEOIDVEN, VGM03 y con puntos de ondulación geoidal conocida, y su exactitud se estimó en el orden de ±0,2m. El MGCV04 es el modelo de mayor resolución, calidad y que mejor se adapta a las características geoidales del país en la actualidad.
]]> SummaryThe Combined Geoid Model MGCV04 for Venezuela has been determined by least squares collocation using the remove-restore technique. Terrestrial and marine gravity measurements, geoid undulations from GPS and the EGM96 geopotencial model have been used, including a digital terrain model derived from GTOPO30 and ETOPO5 for topographic reduction process. Considering the data density, the resolution of the model MGCV04 was fixed in 30''. The cover of the model extends from 3º to 13ºN and 286º to 299ºE. MGCV04 was compared with the models EGM96, GEOIDVEN, VGM03 and GPS derived undulations, and its accuracy has been determined in the order of ±0,2m. Nowadays, the MGCV04 is the model with best quality, resolution, and the best approximation of Venezuelan geoid characteristics.
Resumo
O Modelo Geoidal Combinado para Venezuela 2004 (MGCV04) foi determinado mediante a técnica de colocação por quadrados mínimos aplicando a metodologia Remove-Restore. Utilizou-se informação gravimétrica proveniente de diferentes fontes, ondulações geoidais derivadas de medições GPS, o EGM96 como modelo geo-potencial de referência e para a correção topográfica se desenvolveu um modelo digital de elevações derivado do GTOPO30 e o ETOPO5. Considerando a densidade da informação, a resolução do modelo MGCV04 foi fixada em 30''. A cobertura do modelo se estende desde os 3º até os 13ºN e desde os 286º até 299ºE. O MGCV04 se comparou com os modelos EGM96, GEOIDVEN, VGM03 e com pontos de ondulação geoidal conhecida, e sua exatidão estimou-se em torno de ±0,2m. O MGCV04 é o modelo de maior resolução, qualidade e que melhor se adapta às características geoidais do país na atualidade.
PALABRAS CLAVE / Colocación por Cuadrados Mínimos / Geoide / GPS / Venezuela /
Recibido: 13/05/2004. Modificado: 11/11/2004. Aceptado: 16/11/2004
El geoide puede ser definido como la superficie equipotencial que mejor se adapta al nivel medio del mar en una época dada, basándose en el principio de que las desviaciones entre ambas superficies de referencias son mínimas (Mather, 1978; Rapp, 1995). Para aplicaciones geodésicas y oceanográficas, la determinación del geoide es de fundamental importancia, ya que sirve como una superficie de referencia vertical que permite describir las áreas continentales y la superficie de la topografía del mar (Torge, 2001). En la actualidad, en todos los países del mundo los modelos geoidales permiten corregir las alturas elipsoidales derivadas de GPS para ser transformadas en alturas ortométricas, lo cual convierte al geoide en una necesidad práctica para la gran cantidad de usuarios del GPS. En Suramérica, por ejemplo, ha logrado importantes avances en el conocimiento de superficies de referencia, tal es el caso de los modelos geoidales regionales desarrollados por países como Argentina (Pacino et al., 2001), Brasil (Blitzkow y Lobianco, 2001) y Colombia (Sánchez, 2002), entre otros.
Desde 1993 el Laboratorio de Geodesia Física y Satelital de la Universidad del Zulia junto con el Instituto Geográfico de Venezuela Simón Bolívar han desarrollado un modelo geoidal para Venezuela. Se han generado diversas versiones que han permitido de manera progresiva ir conformando cada día un modelo geoidal acorde a las exigencias del país. Debido a la falta de información básica, los primeros años del proyecto estuvieron destinados a la conformación de un banco de datos gravimétricos depurado, diseño de campañas de mediciones GPS a lo largo del territorio nacional y al desarrollo de modelos digitales de elevación.
La primera versión completa consistió en un geoide gravimétrico presentado en el año 2001 (Hoyer et al., 2001a). Luego fue sustancialmente mejorado al combinarlo con mediciones satelitales GPS y se denominó GEOIDVEN (Hoyer et al., 2002). La actual versión del geoide venezolano denominado Modelo Geoidal Combinado para Venezuela 2004 (MGCV04) resultó de la combinación del modelo geopotencial EGM96 (Earth Geopotential Model, 1996; Lemoine et al., 1998), diferentes modelos digitales de elevación, diversas fuentes de data gravimétrica (terrestre y marina) y mediciones satelitales GPS sobre puntos de la red de nivelación.
En este trabajo se describe la metodología aplicada para el cálculo del MGCV04, las principales características de los softwares y datos utilizados en la etapa de procesamiento. Se muestran los resultados junto con una serie de comparaciones que permitieron determinar la calidad del MGCV04. Adicionalmente se presenta el estado actual del proyecto y hacia donde estarían dirigidas las próximas acciones y estrategias de actualización. Finalmente, se describen las principales características del software GEOIDVEN V.1.4 desarrollado para que el público relacionado a las geociencias pueda aplicar de una forma práctica el MGCV04.
]]> MetodologíaSe aplicó la metodología Remove-Restore para la cual se usó el software GRAVSOFT. Este programa fue desarrollado por el Departamento de Geofísica de la Universidad de Copenhagen y diseñado para el modelado del campo gravitatorio geodésico (Tscherning et al., 1994); permite determinar la función de covarianza empírica y su modelado analítico usando la técnica de colocación por cuadrados mínimos. El mismo está conformado por diferentes aplicaciones: Select, Geocol, TC, Empcov, Covfit y otros.
Se calcularon residuales de anomalías de aire libre y de ondulación geoidal para eliminar el efecto global y el efecto de las masas. Subsecuentemente se aplicó la técnica de colocación por cuadrados mínimos para combinar los diferentes residuales y a partir de sus funciones de covarianza predecir residuales de ondulación geoidal. Luego, a estos residuales se les adicionó la contribución del modelo RTM (Residual Terrain Model; Forsberg, 1997) para finalmente obtener las ondulaciones geoidales que conformarían al MGCV04.
Datos Disponibles
Modelo geopotencial de referencia
Los efectos globales en la conducta del campo gravitatorio pueden estimarse a partir de modelos geopotenciales. Estos efectos se pueden representar en términos de un desarrollo de armónicos esféricos del potencial gravitacional (Torge, 2001; Ec. 1). Para la determinación del MGCV04 se usó el modelo EGM96 (Earth Geopotential Model, 1996; Lemoine et al., 1998).
Modelo digital del terreno
Para la versión anterior del geoide "GEOIDVEN" se utilizó un DTM (Modelo Digital de Elevación) con una resolución de 1'×1' proveniente de la digitalización de cartas 1:100000 proporcionadas por el IGVSB (Instituto Geográfico de Venezuela Simón Bolívar; Hoyer et al., 2001a). Para esta versión, se desarrolló un nuevo DTM con resolución de 30''×30'' el cual resultó de la integración de dos modelos globales de elevación, el GTOPO30 (Bliss y Olsen, 1996) y el ETOPO5 (NGDC, 2003). La información que corresponde a las zonas continentales del país se extrajo del GTOPO30 mientras que las zonas marinas (Mar Caribe) del ETOPO5. El DTM resultante de la combinación (DTMV30) cubre un área de 15º×15º (Figura 1).
Se dispuso de observaciones gravimétricas procedentes de distintas fuentes: NIMA (National Imagery and Mapping Agency), PDVSA (Petróleos de Venezuela S.A.) y el IGAC (Instituto Geográfico Agustín Codazzi). Se analizaron un total de 200723 estaciones gravimétricas extendidas en una zona que va desde los 0º hasta los 20ºN y desde los 285º hasta los 300ºE.
Debido a un alto porcentaje de duplicidad y a la heterogeneidad de los diferentes bancos de datos, estos debieron ser analizados cualitativa y cuantitativamente mediante un proceso de filtrado y depuración, del cual se seleccionaron 38642 estaciones entre observaciones terrestres y marinas con sus respectivos valores de anomalías de aire libre (Hoyer et al., 2001a; Figura 2).
Ondulaciones geoidales (GPS-BM)
Para la presente versión del geoide se utilizó la data GPS descrita en el IAG Symposium Cartagena, Colombia 2001 (Hoyer et al., 2001b). La data consiste en tres campañas de mediciones GPS sobre la mayor cantidad posible de estaciones de nivelación BM. Se midieron un total de 235 puntos a lo largo del territorio nacional (Figura 3), concentrados en su mayoría en la zona norte del país ya que hasta la fecha no se dispone de circuitos de nivelación para el Sur de Venezuela (Amazonas).
El procesamiento y análisis GPS se realizó en el Laboratorio de Geodesia Física y Satelital (LGFS) con el software Bernese (Beutler et al., 2000). El RMS resultante del ajuste de las coordenadas para estos puntos fue de ±0,003m en la componente horizontal y de ±0,03m para la componente vertical (Hoyer et al., 2001b). En general las coordenadas obtenidas poseen un nivel de calidad similar al de la red básica nacional "REGVEN" (Drewes et al., 1998).
Para la determinación de la ondulación (N) a partir de las mediciones GPS sobre puntos de nivelación se aplicó la fórmula N = h-H, donde h representa la altura elipsoidal obtenida por GPS y H la altura ortométrica (Heiskanen y Moritz, 1967). La calidad de estas alturas geoidales está en el orden de ±0,03m producto de un riguroso procesamiento GPS (Hoyer et al., 2001b).
Procesamiento
]]> Para el procesamiento se consideraron todos los datos disponibles dentro de un área de 10×15º (zona efectiva) limitada entre los 03 y 13ºN y los 285 y 300ºE. Para facilitar y darle rapidez al proceso de cálculo, la zona efectiva fue dividida en 6 áreas de 5×5º (bloques) y a cada una se les adicionó 1º más de información (solape) para minimizar los efectos de borde con respecto a los bloques vecinos. Cada bloque de información fue tratado y analizado de forma independiente tal y como se presenta a continuación.Remoción de efectos sistemáticos
La remoción de los efectos sistemáticos (Remove) permite generar una superficie del campo gravitatorio más suavizada, característica que facilita el proceso de predicción de otras cantidades del campo gravitatorio (Zhang, 1997). En nuestro caso se eliminó de la data los componentes de baja frecuencia mediante la sustracción de un modelo global. En éste proceso también se eliminaron los efectos generados por las masas (señales de alta frecuencia) aplicando una corrección topográfica basada en modelos digitales de elevación.
Para el cálculo del MGCV04 se le sustrajo la contribución del modelo geopotencial EGM96 (Dgfa(EGM96), N(EGM96)) a la base gravimétrica de anomalías de aire libre (Dgfa) y a las ondulaciones geoidales (NGPS) aplicando para ello el software Geocol (Tscherning et al., 1994). Luego se eliminó el efecto generado por las masas o corrección topográfica (Dgfa(RTM) , N(RTM)) aplicando el software TC (Forsberg, 1997), basado en el modelo RTM (Residual Terrain Model; Ec. 2) y en el DTMV30.
La sustracción de ambos efectos se le aplicó a la data gravimétrica y a las ondulaciones GPS, generando residuales para los dos grupos de observaciones (Ecs. 3 y 4).
D
gfa(RES) = (Dgfa)–Dgfa(EGM96)– Dgfa(RTM) (3)D
N(RES)=NGPS–N(EGM96)–N(RTM) (4)Una vez generados los residuales de anomalías de aire libre (Dgfa(RES)), éstos fueron sometidos a un nuevo proceso de depuración aplicando un filtro de paso alto para eliminar las estaciones cuyo residual no correspondía con las características topográficas de la zona.
Adicionalmente, considerando que existía una distribución poco uniforme de las estaciones depuradas, se le aplicó un filtro espacial que permitió seleccionar la data cuya distribución obedecía a un arreglo aproximadamente discreto (espaciamiento »30''). Esto implicó la eliminación de un gran volumen de información que se puede considerar como redundante e innecesaria para un proceso de colocación por los cuadrados mínimos.
]]> Las estadísticas de los residuales gravimétricos depurados (de los 6 bloques) registraron un valor medio de 2,43×10-5m·s-2 mientras sus extremos se situaron en -144,77 y 139,14×10-5m·s-2 para el mínimo y máximo respectivamente; la desviación estándar de éstos residuales fue de ±30,27×10-5m·s-2 (Figura 4).
De forma similar se analizaron los residuales de ondulación geoidal (DN(RES)). Se registró un valor medio de -0,33m con una desviación estándar de ±0,73m, el valor máximo registrado fue de 1,65m y el mínimo de -2,92m (Figura 5). Se registraron residuales altos principalmente en zonas de gran altitud, lo que podría estar relacionado con la no existencia de una corrección por gravedad en las estaciones de nivelación.
Modelos de covarianza
Se estimó una función de covarianza empírica a partir de los residuales de anomalías de aire libre para cada uno de los bloques. Para la estimación de las funciones de covarianza se usaron los software Empcov y Covfit (Tscherning et al., 1994), basados en el modelo
donde N: grado de desarrollo del modelo geopotencial usado para la reducción de las anomalías de gravedad, r y r': las distancias del punto P y Q desde el centro de la Tierra, sˆl : varianza de la anomalía por grado de desarrollo (anomaly degree variances) asociado a los coeficientes del EGM96, RB: radio de la esfera de Bjerhammar, Pl: polinomio de Legendre de grado l, yPQ: distancia esférica entre P y Q, y A: un parámetro libre. Para cálculos geoidales locales y regionales es necesario multiplicar la varianza de la anomalía por grado de desarrollo (sˆl ) por un factor de escala (s).
Los parámetros a ser determinados son: A, RB y s. Sin embargo, para su determinación a través de un proceso de ajuste (fitting) se requieren valores aproximados o a priori de los mismos. Estos valores se extrajeron de las curvas isovalor del trabajo de Arabelos y Tscherning (2003), lo cual facilitó que los cálculos iterativos para el ajuste y determinación de los parámetros convergieran rápidamente.
La calidad del ajuste fue expresado en términos del RMS de las diferencias entre las covarianzas empíricas y modeladas, divididas entre el correspondiente error asociado a la estimación del valor de covarianza (DIF/ERR). En la Figura 6 se presentan las curvas de covarianza empírica y modelada (EGM96) para uno de los 6 bloques. Se trata de un área de 7×7º (considerando el área adicional de solapamiento) con los siguientes limites: 07-14ºN y 289-296ºE.
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El RMS (DIF/ERR) de la curva se ubicó en 2,92. El comportamiento de las curvas para el resto de los bloques en general fue similar, excepto en el bloque correspondiente a la zona sureste del país (Amazonas), dada la escasez y mala distribución de información gravimétrica.
Colocación por cuadrados mínimos(CCM)
Para la estimación de las alturas geoidales se aplicó la técnica de colocación por cuadrados mínimos (CCM), la cual permitió determinar una función aproximada del potencial a partir de diferentes observaciones asociadas al campo gravitatorio. La CCM es la técnica adecuada para la representación de esta función, ya que permite el uso de datos heterogéneos distribuidos en forma aleatoria y considera al potencial como un proceso estocástico del cual se puede hacer una interpretación estadística de los diferentes elementos que conforman al campo gravitatorio (Heiskanen y Moritz, 1967).
Se usó el software Geocol para aplicar la CCM. Como información de entrada se utilizó la data residual de ambas observaciones (Dgfa(RES), DN(RES)) junto con la función de covarianza estimada en la sección anterior. Se hizo la predicción de residuales de ondulación incluyendo la restitución de la contribución del modelo global EGM96.
Para controlar la calidad del cálculo se hizo la predicción sobre puntos con ondulación conocida y se analizaron las diferencias entre el valor conocido y el predicho, proceso que permitió depurar iterativamente los residuales de ondulación entrantes y mejorar los resultados de la colocación final. Se generaron 6 mallas de 5×5º (sin considerar la zona de solape) con una resolución de 30×30'' con residuales de ondulación (DN(RES)+N(EGM96)) .
Restitución de la topografía
La restitución (Restore) como paso final consistió en adicionar o restituirle a los residuales calculados en la sección anterior el efecto de las masas (corrección topográfica; Forsberg, 1997). Se utilizó nuevamente el software TC y el modelo RTM, para adicionar el efecto topográfico en términos de ondulación geoidal (N(RTM)) según la ecuación:
N = (DN(RES)+N(EGM96)) +N(RTM) (7)
]]> Se generaron 6 mallas de 5×5º con valores de ondulación geoidal cada 30''. La unión de estas 6 mallas conforman el Modelo Geoidal Combinado para Venezuela 2004 "MGCV04". El modelo definitivo cubre un área que se extiende desde los 3º hasta los 13ºNorte y de los 286º hasta los 289ºE (Figura 7).
Análisis y Evaluación
Para evaluar los resultados del MGCV04 se realizaron diferentes comparaciones. El primer método consistió en comparar el área común del MGCV04 con los modelos EGM96 (Lemoine et al., 1998), GEOIDVEN (Hoyer et al., 2002) y el VGM03 (Acuña y Bosch, 2003).
El VGM03 fue calculado a partir de la combinación de: modelos geopotenciales híbridos, DTM de alta resolución, data altimétrica multimisión, gravimetría terrestre, marina y satelital, datos batimétricos y ondulaciones GPS. Investigaciones y comparaciones recientes demuestran que el VGM03 es un modelo confiable e ideal para utilizarlo como patrón comparativo y evaluar la calidad del MGCV04 (Acuña y Bosch, 2003).
En la Tabla I se presenta un resumen estadístico de las diferencias entre el MGCV04 y el EGM96, GEOIDVEN y VGM03. La última columna de la tabla se refiere a la acumulación porcentual de puntos que se encuentra en un rango de -1 a +1m en diferencia de ondulación.
Del análisis estadístico se pudo observar que, en general, las diferencias van disminuyendo, encontrándose gran similitud entre el MGCV04 y el VGM03. Se observó que las diferencias de ondulación entre estos dos modelos se encuentran en un rango de ±1m el 75% de las veces (Tabla I). El 25% restante está representado por altas diferencias concentradas en áreas donde existe poca información gravimétrica (Amazonas y fuera del territorio nacional; Figura 8) coincidente precisamente con las zonas donde los DTM usados para el MGCV04 (DTMV30) y el VGM03 (SRTM; Shuttle Radar Topography Mission; JPL, 2003) presentan diferencias importantes. Sin embargo, de estos resultados se puede afirmar que, en general, ambos modelos son similares para el área común.
Se calcularon las diferencias de ondulación entre los 235 puntos GPS y el correspondiente valor interpolado con el modelo GEOIDVEN. Los resultados estadísticos muestran (Figura 9a) un valor mínimo de -0,94m; un máximo 0,88m y una diferencia media de -0,18m; con una desviación estándar de ±0,30m. Esta comparación muestra una distribución con elevados niveles de dispersión y con frecuencias bajas incluso en las zonas cercanas al valor medio.
De forma análoga a la comparación anterior se calcularon las diferencias entre los 235 puntos GPS y el correspondiente valor interpolado con el modelo VGM03. Se obtuvo (Figura 9b) una diferencia media de 0,03m y una desviación estándar de ±0,13m. El 87% de la muestra se ubicó dentro de un rango de ±0,20m y la frecuencia máxima alcanzada fue de 32 puntos. Con esta comparación se demuestra la superioridad del modelo VGM03 sobre el GEOIDVEN.
También se calcularon las diferencias de ondulación entre los 235 puntos GPS y el correspondiente valor interpolado con el modelo MGCV04 (Figura 9c). El análisis estadístico registró un promedio de -0,01m con una desviación estándar de ±0,12m. Se trata de un comportamiento de distribución normal (Gaussiano) en el que aproximadamente el 92% de la muestra se encuentra dentro de un rango de ±0,20m con una frecuencia máxima de 45 puntos.
De las tres comparaciones con puntos GPS, el MGCV04 registró las menores diferencias siendo éstas descritas a través de una distribución normal, efecto que no se observó en el resto de las comparaciones (Figura 9). Adicionalmente, el MGCV04 representa una disminución en las diferencias de aproximadamente un 95% con respecto al modelo GEOIDVEN, por lo que la nueva versión se considera de mayor calidad.
A pesar de que el MGCV04 y el VGM03 registraron diferencias similares con respecto a las ondulaciones GPS, estadísticamente el MGCV04 arrojó mejores resultados por lo que se puede considerar como el modelo que mejor se adapta a las características geoidales dentro del margen continental del país, ya que la comparación no consideró las zonas marinas dada la naturaleza de las mediciones GPS. Sin embargo, la Figura 8 revela que ambos modelos en la zona marina común, no presentan diferencias importantes.
Software de Interpolación y Actualización del Modelo
Dada la necesidad de poner a disposición del público vinculado a las geociencias el modelo MGCV04, se desarrolló un software que permite manejar de una forma rápida y sencilla esta información. GEOIDVEN V.1.4 es un software que permite determinar alturas geoidales para cualquier punto dentro del área que cubre el MGCV04. Adicionalmente calcula la altura ortométrica si se conoce la altura elipsoidal. El software aplica un algoritmo de interpolación bilineal, usando como data base el modelo MGCV04.
La calidad del MGCV04 podría ser mejorada con la inclusión de un nuevo modelo geopotencial y con la aplicación de un DTM de mayor resolución. Actualmente el LGFS trabaja en la inclusión de un modelo geopotencial que sustituiría al EGM96. Se trata de un modelo híbrido generado a partir de la fusión del EGM96 y modelos geopotenciales aportados por las misiones satelitales Champ (GFZ, 2003a) y Grace (GFZ, 2003b). Así mismo, se trabaja en el reemplazo del DTMV30 por el SRTM, un modelo digital de elevación de 90m de resolución. La idea es generar una próxima versión con mayor resolución y exactitud.
]]> ConclusionesEl Modelo Geoidal Combinado para Venezuela 2004 (MGCV04), versión mejorada del presentado en el año 2002 (GEOIDVEN), resulta de la combinación del modelo geopotencial EGM96, el modelo digital de elevaciones DTMV30, datos gravimétricos, y mediciones GPS.
Es el modelo de mayor resolución y calidad, y el que mejor se adapta a las características geoidales del país en la actualidad, estimándose su exactitud en el orden de ±0,20m.
La calidad del MGCV04 podría ser mejorada con la inclusión de un modelo geopotencial que sustituya al EGM96 y con la aplicación de un DTM de mayor resolución.
Se desarrolló un software para estimar ondulaciones geoidales a partir del MGCV04. Este software permite calcular alturas geoidales y/o alturas ortométricas basándose en un algoritmo de interpolación bilíneal con una exactitud similar a la del modelo MGCV04, que está disponible para el público en general.
AGRADECIMIENTOS
El Laboratorio de Geodesia Física y Satelital (LGFS) y el Instituto Geográfico de Venezuela Simón Bolívar (IGVSB) agradecen la colaboración de instituciones y personalidades que colaboraron para la ejecución de las mediciones de campo GPS y para la obtención de la información utilizada en los cálculos presentados, a V. Salazar, A. Nahmens y J. Velandia, y a los estudiantes del LGFS, en especial a V. Cioce, H. Codallo, O. Fernández, H. García, D. González, y J. León. Este proyecto ha sido parcialmente financiado por el IGVSB, CONDES.LUZ y FONACIT.
REFERENCIAS
1. Acuña G, Bosch W (2003) Combining terrestrial, marine and satellite gravity for geoid modelling in Venezuela. IUGG2003. Sapporo, Japón. [ Links ]
2. Arabelos D, Tscherning C (2003) Globally covering a-priori regional gravity covariance models. Adv. Geosci. 1: 143-147. [ Links ]
3. Beutler G, Brockmann E, Dach R, Fidez P, Gurtner W, Hugentobler U, Jonson J, Mervart L, Rothacher M, Schacer S, Springer T, Weber R (2000) Documentation of the Bernese GPS software Version 4.2. Part I. Astronomical Institute, University of Berne, Suiza. 98 pp. [ Links ]
4. Bliss N, Olsen L (1996) Development of a 30-arc-second digital elevation model of South America. Pecora Thirteen, Human Interactions with the Environment–Perspectives from Space. Sioux Falls, SD, EEUU. [ Links ]
5. Blitzkow D, Lobianco M (2001) Data collecting and processing for quasi-geoid determination in Brazil. En Vertical Reference Systems. IAG Symposia, Vol. 124. Springer. Berlin, Alemania. pp. 148-151. [ Links ]
6. Drewes H, Tremel H, Hernández J (1998) Adjustment of the new Venezuelan national GPS network within the SIRGAS reference frame. En Brunner FK (Ed.) Advances in Positioning and Reference Frames, Vol. 118. Springer. Berlin, Alemania. pp. 193-198. [ Links ]
7. Forsberg R (1997) Terrain effects in geoid computations. International Geoid School, Rio de Janeiro, Brasil. 33 pp. [ Links ]
8. GFZ GeoForschungsZentrum Potsdam (2003a) Challenging Minisatellite Payload. http://op.gfz-potsdam.de/champ/ [ Links ]
9. GFZ GeoForschungsZentrum Potsdam (2003b) Gravity Recovery and Climate Experiment. http://op.gfz-potsdam.de/grace/ [ Links ]
10. Heiskanen W, Moritz H (1967) Physical Geodesy. Freeman. San Francisco, EEUU. 363 pp. [ Links ]
11. Hoyer M, Wildermann E, Acuña G, Hernández J, Nahmens A, Velandia J (2001a) Current status of geoid calculation in Venezuela. En Vertical Reference Systems, IAG Symposia Vol. 124. Springer. Berlin, Alemania. pp. 182-186. [ Links ]
12. Hoyer M, Wildermann E, Acuña G, Hernández J, López M, Gil C, Forgione M (2001b) Geoidal Undulations from GPS Measurements in Venezuela. En Vertical Reference Systems, IAG Symposia Vol. 124. Springer. Berlin, Alemania. pp. 187-191. [ Links ]
13. Hoyer M, Wildermann E, Acuña G, Hernández J, Nahmens A, Velandia J (2002) Determinación del geoide en Venezuela mediante la colocación de cuadrados mínimos. Memorias del Congreso Internacional de Geodesia y Cartografía. Caracas, Venezuela. [ Links ]
14. JPL (2003) Shuttle Radar Topography Mission home page. www.jpl.nasa.gov/srtm [ Links ]
15. Lemoine F, Kenyon S, Factor J, Trimmer R, Pavlis N, Chinn D, Cox C, Klosko S, Luthcke S, Torrence M, Wang Y, Williamson R, Pavlis E, Rapp R, Olson T (1998) The Development of the Joint NASA GSFC and the Nacional Imagery and Mapping Agency (NIMA) Geopotencial Model EGM96. NASA Technical Paper NASA/TP-1998-206861; Goddard Space Flight Center, Greenbelt. NOAA/NGDC Data Announcement 88-MGG-02. [ Links ]
16. Mather R (1978) The role of the geoid in four-dimensional geodesy. Marine Geodesy 1: 217-252. [ Links ]
17. NGDC (2003) Digital relief of the surface of the earth, 5-min x 5-min gridded data. National Geophysical Data Center, EEUU. www.ngdc. noaa.gov/mgg/global/etopo5.htm [ Links ]
18. Pacino M, Font G, Tocho C, Blitzkow D (2001) New results in the determination of geoid model in Argentina. En Vertical Reference Systems, IAG Symposia Vol. 124. Springer. Berlín, Alemania. pp. 145-147. [ Links ]
19. Rapp R (1995) A World vertical datum proposal. Allg. Verm. Nachr. 102: 297-304. [ Links ]
20. Sánchez L (2002) A Reference Surface for the Unified Height System in the Northern Part of South America. En Vistas for Geodesy in the New Millennium IAG Symposia Vol. 125. Springer. Berlin, Alemania. pp. 84-89. [ Links ]
21. Torge W (2001) Geodesy. 3a ed. De Gruyter. Berlin-New York. 416 pp. [ Links ]
22. Tscherning C, Knudsen P, Forsberg R (1994) Description of the GRAVSOFT package. Geophysical Institute Technical Report. 4a ed. University of Copenhagen, Dinamarca. [ Links ]
23. Zhang K (1997) An Evaluation of FFT Geoid Determination Techniques and Their Application to Height Determination Using GPS in Australia. Thesis. Curtin University of Technology. Perth, Australia. 261 pp. [ Links ] ]]>