Marcano, Cosme R ⁽¹⁾

⁽¹⁾ Departamento de Ingeniería Electrónica de la Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre”. Puerto Ordaz – Venezuela. cosmemracano@gmail.com

Resumen

En este trabajo se usan los Modelos Ocultos de Markov, mejor conocidos por sus siglas en inglés, HMM (Hidden Markov Model), para modelar el proceso de supresión de efectos anódicos en celdas de reducción electrolítica de aluminio primario, del tipo P-19S, operando a una corriente promedio de 160 KA y un voltaje de 4.3 VDC. En base a una secuencia de observaciones sobre el comportamiento del voltaje y de la concentración de alúmina (Al₂O₃) en el baño electrolítico, el HMM diseñado determinó la secuencia de estados del puente de ánodos y del sistema de rotura de costra y agregado de alúmina. Además, se calculó la probabilidad de que ocurra tanto la secuencia de observaciones como la secuencia de estados.

Palabras clave: Efecto Anódico/ Modelos de Markov/ Estados Ocultos/ Algoritmo de Viterbi.

Use of hidden markov models for modeling the anode effect process in aluminum electrolytic reduction potcells.

Abstract

Hidden Markov Models (HMM) are used in the current work to model the anode effect process in electrolytic potcells for aluminum reduction of the P-19s type, which operates at an average current of 160KA and a nominal voltage of 4.3VDC. Based on a sequence of observations over the voltage behavior, and the fluctuation of the alumina concentration (Al₂O₃) in the electrolytic bath, the HMM designed here is used to determine the most likely sequence of states of the superstructure that supports the anodes and of the breaking/feeding subsystem which could cause that observations sequence. Furthermore, the probability of occurrence of that states sequence and the most likely next state the system will take are calculated by using the Viterbi’s Algorithm.

Keywords: Anode Effects/ Hidden Markov Model/ State Prediction/ Viterbi’s Algorithm.

Los Modelos Ocultos de Markov HMM, ofrecen una poderosa herramienta matemática para modelar procesos y situaciones generales, basado en las probabilidades de ocurrencia de etapas bien definidas dentro del comportamiento de tales procesos o situaciones y en observaciones indirectas de los mismos. Estas etapas o estados, no son necesariamente visibles o medibles en forma directa, sino a través de sus efectos externos u observaciones. Las transiciones entre estados ocurren con ciertas probabilidades, que son conocidas, ya sea por que se conozca la función de distribución de probabilidades que describe tal proceso, o bien por conteo simple de la ocurrencia de tales observaciones y transiciones de estados.

Una vez definido el HMM, se pueden aplicar diversos algoritmos de acuerdo a la aplicación. En el presente trabajo, se utiliza el algoritmo de Viterbi para determinar la así llamada trayectoria de Viterbi, que no es más que la secuencia de estados que arroja el HMM como más probable que haya ocurrido para obtener una secuencia de observaciones dada.

II. DESARROLLO 1.

Modelos ocultos de Markov Los HMM han demostrado ser un método estadístico muy compacto para resumir tareas relativamente complejas, tales como el reconocimiento de patrones [1], la alineación de cadenas de aminoácidos de las proteínas [2] y del ADN e incluso para modelar etapas dentro de un procedimiento de Cirugía Mínimamente Invasiva (MIS, Minimally Invasive Surgery) [3]. Otras áreas de aplicación incluyen el estudio y pronóstico del tiempo y, en general, cualquier proceso que pueda ser separado en estados finitos, cuyo comportamiento cumpla con las condiciones de un proceso estocástico de Markov, es susceptible de ser modelado con ayuda de los HMM.

Un HMM consiste en una representación abstracta de todas los estados del proceso a modelar y de las probabilidades de que ocurran transiciones entre el i-ésimo y el j-ésimo estado. En términos matemáticos:

Por otra parte, se observa que la transición entre estados es independiente del instante de tiempo actual, según exige Markov. En otras palabras, un HMM se puede suponer estacionario o, en términos matemáticos:

Además, se puede asumir que la ocurrencia de cualquiera de los posibles estados es independiente de la ocurrencia de otro, lo cual se puede expresar como que, dada una secuencia de observaciones:

la probabilidad que el modelo genere esa secuencia de observaciones es:

donde l representa un HMM.

Si se puede asumir por ciertas las tres suposiciones dadas por (1), (2) y (4), las cuales constituyen las condiciones necesarias para poder modelar matemáticamente este sistema como un HMM, entonces se podrían adecuar los detalles formales que permitan implementar dicho modelo.

Formalmente hablando, para definir un HMM es necesario [4]:

• un número N de estados del modelo,

• un número de símbolos de observación, M.

• un conjunto de probabilidades de transición de estados con A= {a_ij}

Las probabilidades de transición deben satisfacer las restricciones estocásticas normales, i.e.,

Por otra parte, la definición de un HMM requiere de:

• una distribución de probabilidades en cada uno de los estados B= {b_j (k)}, donde B también debe satisfacer las restricciones estocásticas antes mencionadas.

• un vector de parámetros inicial p= {p_i}, 1 £ i £ N donde

Dadas estas condiciones, se puede definir un Modelo Oculto de Markov:

Nota: Dadas las características discretas del modelo objeto de este trabajo, no se considera aquí el caso continuo.

En otras palabras, que la transición al siguiente estado j depende única y exclusivamente del estado actual i, lo cual conduce a la definición de un modelo de primer orden. No obstante, puede ocurrir que tal transición dependa de los k estados pasados, por lo que se podría plantear un HMM de késimo orden, definido como:

lo cual, obviamente, plantea un mayor nivel de complejidad desde el punto de vista computacional. Por esta razón, los HMM de primer orden son los más comúnmente utilizados.

A pesar de que en muchos casos se puede asumir esta independencia de eventos, existen situaciones en las cuales no se satisface, por lo que los resultados que arroja un HM, en esos casos, no son confiable.

2. Definición del modelo para el proceso de supresión de efectos anódicos

Los efectos anódicos son fenómenos que se presentan en las celdas de reducción electrolítica de aluminio primario, que se evidencian a través de una elevación sustancial en el nivel de voltaje de operación de la celda (típicamente, unos 4,3V), llegando a alcanzar más de 200V, y que son consecuencia de un desajuste en la concentración de alúmina en el baño electrolítico. De hecho, esta subida de tensión puede ocurrir ya sea por disminución en la concentración Al2O3 (lo cual aumenta la resistencia entre ánodo y cátodo debido a la bolsa de gases que se acumula entre el ánodo y la superficie del metal líquido depositado en el fondo de la celda), o bien por una excesiva concentración de alúmina (lo cual incrementa también la resistencia debido a la presencia del exceso de material en el baño). La curva típica de concentración de Al₂O₃ versus el voltaje de celda se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Voltaje Vs. Concentración de Al₂O₃

Figura 2. Celdas tipo P-19S Alcasa – Puerto Ordaz, Venezuela

Los efectos anódicos deben ser atacados prontamente debido a que, además del desequilibrio termodinámico en la celda, el alto voltaje ocasiona una subida en la temperatura de la misma, lo cual puede traer como consecuencia la perforación del casco de la celda y el consecuente derrame de aluminio líquido. El ataque puede hacerse de manera manual, por parte de un operador de celdas, o en forma automática, cuando el sistema de control de voltaje y alimentación de celdas así lo contemple.

El proceso de supresión de efectos anódicos consiste en una secuencia de fases, que comprenden acciones de subida de puente de ánodos (SP), bajada de puente (BP) y rotura de costra/agregado de alúmina (RA). Estas tres etapas, alternadas de forma adecuada, según la evolución del proceso de supresión, tienen por finalidad reponer la concentración adecuada de alúmina en el baño electrolítico, así como el reestablecimiento del nivel de voltaje de operación adecuado. Los efectos de estas acciones se reflejan en el nivel de voltaje mostrado por un voltímetro ubicado al lado de cada celda y en la concentración de Al₂O₃ en el baño, lo cual amerita la realización de un test de laboratorio (no obstante, se asume aquí, sin pérdida de validez del modelo, que se dispone de esta lectura de concentración en forma inmediata).

Este proceso se puede representar de manera simplificada como se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Modelo de estados.

Del modelo mostrado en la Figura 3, deducimos las matrices de probabilidades de transición de estados A, de emisión de salidas u observaciones B, y el vector de parámetros inicial p, como se muestra a continuación:

Por otro lado, B es 3x4, ya que cualquiera de los tres estados del proceso puede emitir alguna salida observable o medible.

Por ejemplo, si el sistema está en el estado BP es normal que el voltaje ánodo-cátodo disminuya, por cuanto se estaría acortando la distancia entre ánodo y cátodo y es sabido que el voltaje es directamente proporcional a la longitud del elemento resistivo en cuestión (en este caso, el elemento resistivo está conformado por el baño electrolítico más la altura de la capa de aluminio líquido que se haya depositado sobre el cátodo de la celda, cuya altura promedia los 24 cm en celdas P-19S).

El estado marcado en el diagrama como Inicio representa cualquier momento a partir del cual se inicie un Efecto Anódico. En vista de que éste puede iniciar en cualquier momento, es necesario estimar las probabilidades de transición entre ese momento inicial y el siguiente estado del sistema. Es por ello que, en este caso, el vector de probabilidades de inicio,p, es 1x3, y un valor de p₁ se debe interpretar como el inicio del ataque a un Efecto Anódico ordenando Bajar Puente es de 70%, pues lo primero que se busca es romper la bolsa de gases que se genera debajo del ánodo, producidos por la combustión del material que conforma el propio ánodo, debido a la agotamiento del baño electrolítico que originara la subida del voltaje, característica del Efecto Anódico. Es pertinente acotar aquí que es muy poco probable iniciar la supresión de un Efecto Anódico ordenado Subir Puente (SP), habida cuenta de que tal acción aumentaría la distancia entre ánodo y cátodo y, en consecuencia, aumentaría aun más el voltaje de la celda. No obstante esta acotación, se debe prever la posibilidad de iniciar la supresión con una subida de puente debido a alguna eventual circunstancia que así lo amerite. Es por ello que se estimó apenas un p₂=0,05, es decir, un 5% de probabilidad para esta circunstancia. Por último, un 25%, p₃, de iniciar la supresión ordenando Rotura y Agregado (RA) de alúmina se justifica en el hecho cierto que al romper la costra del baño electrolítico también se coadyuva a la evacuación de gases, aunque esto sería poco efectivo en celdas con rompecostras/ alimentadores puntuales, debido al pequeño diámetro del orificio realizado y a que los gases están concentrados principalmente debajo de los ánodos. Este inicio es más propio en celdas de rotura y agregado central, las cuales han caído en desuso debido al gran desbalance térmico que enfrenta la celda cuando se rompe toda la costra del baño electrolítico a lo largo de toda la celda.

Se puede comprobar fácilmente que tanto la matriz A como la B satisfacen las restricciones estocásticas normales establecidas en (7). Estas restricciones pueden ser interpretadas como la garantía de que todas las posibilidades son consideradas en el modelo, pues se exige que la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada posible transición debe ser exactamente igual a 1, esto es, el 100%. En el caso de la matriz B, la suma de las probabilidades de que cualquiera de los estados “emita” cualquiera de las posibles observaciones”, también debe dar el 100%. Nótese que incluso las transiciones más improbables de ocurrir están

siendo consideradas, por cuanto la restricción (6) permite asignar una probabilidad igual a cero en esos casos.

Se trata ahora de verificar si el HMM es capaz de generar una secuencia de estados que a su vez despliegue una determinada secuencia de observaciones. Así, por ejemplo, si se tiene la secuencia de observaciones:

O = ('BV', 'CA','BV', 'CA', ‘SV’)

que correspondería con que un operador observe que el voltaje de celda está bajando ('BV'); un instante después, observa que la concentración de alúmina es alta ('CA'), seguido de una bajada de voltaje ('BV'); a continuación, observa concentración alta ('CA') y, finalmente, una subida de voltaje, ('SV').

Entonces, dadas estas circunstancias, ¿Cuál es la secuencia más probable de estados que conduciría a obtener esta secuencia particular de observaciones?

3. Algoritmo de Viterbi

En este caso, se quiere encontrar la secuencia de estados más probable para que el HMM l = {A, B p} produzca una secuencia de observaciones dada, O=O₁,O₂,....,O_T

La solución de este problema depende en gran medida de cómo se defina la ‘secuencia más probable’. Un enfoque posible sería encontrar, con argumentos probabilísticos, el estado más probable q_t1 en el instante t = t₁ y concatenarlo a otros estados más probables q_t1, 1 £ t £ N. Pero, algunas veces, este método conduce a una secuencia de estados sin sentido físico. Por esta razón, Andrew Viterbi propuso un algoritmo recursivo que ha resultado de mucha utilidad, el cual consiste en encontrar la secuencia de estados como un todo, utilizando un criterio de máxima verosimilitud.

Para facilitar el cálculo, se define la siguiente variable auxiliar:

la cual da la más alta probabilidad que pueda tener la secuencia de observaciones y la secuencia de estados hasta el instante t, cuando el proceso está en el estado i.

Se puede comprobar que se cumple la siguiente relación recursiva:

donde

De esta manera, el procedimiento para encontrar la secuencia más probable de estados comienza con el cálculo de d_t(j), 1 £ t £ N usando la recurrencia mostrada en (13), manteniendo siempre un apuntador al ‘estado que va ‘ganando’, es decir, aquel que posea la probabilidad con valor máximo. Finalmente, se encuentra el estado j* definido como:

y, partiendo de este estado, la secuencia de estados es seguida hacia atrás conforme lo indique el apuntador en cada estado. Esto da el conjunto de estados requerido. El algoritmo completo puede ser interpretado como la búsqueda en un grafo cuyos nodos están formados por los estados del HMM en cada instante de tiempo t, 1 £ t £ T

4. Análisis de resultados

El algoritmo recursivo dado en (13) puede ser codificado fácilmente en algún lenguaje de programación como C, Pascal, Modula-2 o python, entre otros.

Para las matrices derivadas del modelo mostrado en la Figura 3, y para la siguiente secuencia de observaciones:

O = ('BV', 'CA','BV', 'CA', ‘SV’)

debidamente explicada en la Sección 4, el algoritmo arroja como resultado que la probabilidad total que ocurra esa secuencia de observaciones en particular es de 0,0033; en otras palabras unas tres veces en 1000 situaciones consideradas se observará esta secuencia de salida. Por otra parte, según el modelo, la secuencia más probable de estados que genere esta secuencia de observaciones es:

O = ('BV', 'CA','BV', 'CA', ‘SV’)

Figura 4. Secuencia más probable de estados arrojada por el Algoritmo de Viterbi

La probabilidad de que ocurra esta secuencia de estados, según el algoritmo, es de 0,0004, esto es, aproximadamente un 0,04% (o, equivalentemente, 4 de cada 10000 períodos la celda muestra esta secuencia de estados.

La aparente baja frecuencia con que suceden estas secuencias se puede entender fácilmente, considerando que la duración típica de cada fase de movimiento de puente o de rotura y alimentación de alúmina es de unos 10 segundos, por lo que 1000 períodos de tiempo tomarían unas 2 h 46’’. Por otra parte, considerando que los efectos anódicos pueden sucederse a razón de uno cada tres días (dependiendo del esquema de control de voltaje y alimentación de alúmina que gobierna la celda), estas secuencias pueden darse en forma muy esporádica, lo cual estaría de acuerdo con los valores de las probabilidades de ocurrencia que arroja el HMM aquí diseñado. También es de destacar que este número de períodos corresponde a aquellos durante los cuales ocurran efectos anódicos, no en forma consecutiva (ocurran o no tales efectos).

III. CONCLUSIONES.

1. Los Modelos Ocultos de Markov pueden ser utilizados adecuadamente para modelar el proceso de supresión de efectos anódicos en celdas de reducción electrolítica de aluminio primario del tipo P-19S.

2. Los resultados arrojados por el HMM diseñado en este trabajo pudieran ser utilizados para diseñar una rutina de supresión automática de efectos anódicos en este tipo de celdas, previo ajuste fino de los parámetros del modelo.

3. Aplicando técnicas de enseñanza de HMM, como el algoritmo de Baum-Welch [4], el modelo puede ser entrenado automáticamente para anticipar las acciones y evitar que los niveles de voltaje alcancen valores peligrosos, tanto para las condiciones de trabajo de los operadores de celda como para la integridad física del casco y demás componentes de la celda misma.

4. Los esquemas de supresión automática usualmente entran en acción una vez que el efecto anódico está ocurriendo. Modelos probabilísticos, como los HMM, permitirían anticipar tal ocurrencia, por lo que habría una alta probabilidad de evitar esas condiciones anormales de operación, las cuales pueden llegar a ser tan peligrosas que ocasionen la perforación del casco de la celda (y el consecuente derrame de aluminio fundido, a unos 960ºC). Es oportuno mencionar aquí que otros esquemas, como el Control Adaptativo, son usados por Pechiney y ASV/HydroAluminum, para evitar la ocurrencia de los efectos anódicos.

El interés principal de este trabajo se centra en probar la posible aplicación de HMM al modelado de procesos industriales, más que a presentarse como una solución al problema de supresión de efectos anódicos. Si ese fuera el interés, sería necesario afinar mejor los parámetros del modelo obtenido, toda vez que los datos aquí utilizados no corresponden necesariamente con las condiciones y prácticas operativas en celdas de producción y son, en su mayoría, estimaciones realizadas por el autor a partir del trabajo de diseño e implementación de una rutina de supresión automática de efectos anódicos en celdas experimentales similares a las P-19S que desarrollara en las instalaciones de ASV/HydroAluminum, Oslo – Noruega, 1987.

IV. REFERENCIAS.

1. A. Elgammal, V. Shet, Y. Yacoob, and L. S. Davis, “Learning Dynamics for Exemplar-Based Gesture Recognition” in IEEE Conf. on Computer Vision and Pattern Recognition, vol. 1, pp. 571–578, 2003.8, NO. 1, March 2007.        [ Links ]

2. P. Baldi and S. Brunak, Bioinformatics. Cambridge, MA: MIT Press, 1998.        [ Links ]

3. J. Rosen, D. Brown, L. Chang, M. Sinanan, y B. Hannaford. Generalized Approach for Modeling Minimally Invasive Surgery as a Stochastic Process Using a Discrete Markov Model. IEEE Transactions On Biomedical Engineering, Vol. 53, No. 3, March 2006.        [ Links ]

4. N.Warakagoda, A Hybrid ANN-HMM ASR system with NN based adaptive preprocessing. Diploma thesis, disponible en: http://jedlik.phy.bme.hu/~gerjanos/HMM/        [ Links ] ]]> 1 1 1 1 571-578 2 1998 3 Marc h 20 53 3 3 4