Aplicaciones de la función de Lambert en electrónica

García Sánchez, Francisco J. Ortiz-Conde, Adelmo Malobabic, Slavica

Los autores desempeñan sus actividades en el Dpto. de Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Apartado Postal 89000, Caracas 1080, Venezuela, telef-58-212-9064010, fax 58-212-9064025.

Dres. Francisco J. García Sánchez y Adelmo Ortiz-Conde: Profesores Titulares, correos electrónicos fgarcia@ieee.org y ortizc@ieee.org respectivamente.

Ing. Slavica Malobabic: Estudiante de Maestría, correo electrónico smalobabic@gmail.com.

Resumen

Se presenta una revisión del uso de la función de Lambert en aplicaciones de electrónica. Primeramente se describe brevemente su definición y se mencionan algunas de sus propiedades. Seguidamente se ofrecen ejemplos de cómo aplicar esta función en la solución de algunas ecuaciones transcendentales que involucran exponenciales. Las aplicaciones de esta función a la electrónica se ilustran mediante ejemplos relativos a la solución de problemas de dispositivos bipolares de juntura, modelado de celdas solares bajo iluminación, y modelos de dispositivos MOSFET.

Palabras clave: Función de Lambert/ Junturas no ideales/ Celdas solares/ MOSFETs sin dopaje.

Applications of lambert’s function in electronics

Abstract

A revision of the use of Lambert’s function in electronics applications is presented. Firstly, its definition is briefly described and some of its properties are mentioned. Next, examples are worked out of how to apply this function to the solution of some transcendental equations which contain exponentials. Applications of this function to electronics are illustrated through examples dealing with the solution of problems such as bipolar junction devices, modelling of illuminated solar cells, and MOSFET device modelling.

Keywords: Lambert Function/ Non Ideal Junctions/ Solar Cells/ Undoped MOSFETs.

Finalizado: 11/01/2006 Recibido: 23/02/2006 Aceptado: 13/06/2006

I. INTRODUCCIÓN.

Una gran variedad de problemas en la ciencia y la tecnología están descritos por ecuaciones transcendentales que requieren ya sea de soluciones numéricas iterativas o bien de soluciones analíticas aproximadas. La posibilidad de obtener soluciones analíticas exactas de estas ecuaciones ofrece grandes ventajas desde varios puntos de vista. Una solución analítica describe el comportamiento de la variable de forma general, a diferencia de los resultados numéricos que dependen de las condiciones iniciales. La solución analítica ayuda en el entendimiento intuitivo del problema, facilita la deducción de su comportamiento cuando los parámetros del problema varían, y simplifica el estudio de las perturbaciones. También puede contribuir en la unificación de fenómenos diferentes, y hace que el fenómeno en sí sea más manejable y fácil de entender. En general una solución analítica se puede diferenciar e integrar analíticamente, lo que permite estudiar la variabilidad del fenómeno.

Aunque ciertamente las soluciones numéricas iterativas pueden proveer soluciones tan exactas como se requiera, la solución analítica, por no presentar problemas de convergencia, produce resultados exactos de manera computacionalmente eficiente. Al eliminar la necesidad de iteraciones numéricas, la solución analítica posibilita la evaluación rápida de numerosos casos repetitivos, lo que es de fundamental importancia en situaciones de simulación circuital, donde un modelo se ha de utilizar miles, si no millones, de veces. Aún en los casos en que se decida utilizar iteración numérica, las soluciones analíticas pueden ser útiles para proveer valores iniciales de las soluciones, facilitando así los cálculos iterativos complicados, dependientes del tiempo o multidimensionales.

Existe una clase de ecuaciones transcendentales, las del tipo lineal exponencial, que son muy comunes en ciertos circuitos electrónicos y en el modelado de dispositivos semiconductores. La función de Lambert (W) [1] permite obtener soluciones cerradas y explícitas a estas ecuaciones transcendentales [2,3]. En este trabajo se presentará una revisión de la utilidad de la función de Lambert, empezando por una breve descripción de sus propiedades, seguida de algunos ejemplos de soluciones a ecuaciones transcendentales, así como aplicaciones típicas a problemas de electrónica. Las aplicaciones de esta función a la electrónica se ilustran mediante ejemplos relativos a la solución de problemas de junturas no ideales con resistencias parásitas en serie y en shunt, características corriente voltaje de dispositivos fotovoltaicos bajo iluminación, y modelos de dispositivos MOSFET.

I. DESARROLLO

1. La función de Lambert

La función de Lambert tiene sus orígenes en el trabajo de J. Lambert en el año 1758. Más tarde, en 1779, fue considerada por Euler cuando estudió la ecuación trascendental de Lambert. Fue denominada “W” después del trabajo hecho por E. M. Wright en 1959 [4]. Desde entonces ha venido siendo utilizada esporádicamente en algunas aplicaciones, pero en años recientes la cantidad y diversidad de aplicaciones en las que se ha usado esta función ha ido incrementándose considerablemente. Hasta la fecha se ha usado W en aplicaciones generales tales como ciertos problemas de física [5], electromagnetismo [6], mecánica estadística clásica [7], movimiento de proyectiles [8], generación de ruido gausiano [9,10], solución de exponenciales infinitos [11], solución de la ecuación de Schrödinger [12], etc. En el área de la electrónica se ha empleado W en resolver problemas de diodos con resistencias en serie y en paralelo [13,14], circuitos con transistores bipolares [15], celdas solares [16-18], modelado del fenómeno de ruptura en óxidos delgados [19], diseño de consumo mínimo en circuitos [20], y modelado de transistores de efecto de campo metal-óxido-semiconductor (MOSFETs) [21-26].

La función de Lambert es una función elementalmente implícita, es decir, está definida de forma implícita usando funciones elementales. Formalmente W se define para cualquier z compleja como una función (compleja y de valores múltiples) que es la solución a la ecuación trascendental quizás más simple que exista, la ecuación lineal exponencial, representada por:

En la Figura 1.a se muestra z como el producto de W(z) por el exponencial de W(z) en función de W(z). Intercambiando los ejes se obtiene la función de Lambert W(z) en función de z que se muestra en la figura 1.b. Para argumentos reales x, W(x) es real si x≥-e^-1. Usando la definición de la función de Lambert x=W(x)e^W(x) se puede decir que si x=ye^y, entonces W(x)=y, o lo que es lo mismo,

Observando la Figura 1.b se puede ver que para valores del argumento x<0 existen o bien dos soluciones (-e^-1≥x>0) o ninguna (x<-e^-1). Para valores reales de W los valores del argumento están limitados a . W tiene dos ramas reales: la rama principal y la rama negativa [27]. La rama principal W₀ está definida como:

y la rama negativa W-1 está definida como:

Una de las características que hace atractivo el uso de expresiones basadas en la función de Lambert es que es analíticamente diferenciable e integrable. La primera y segunda derivadas están dadas por

Figura 1. (a) z = W exp(W) en función de W (línea continua), mostrando también las funciones exp(W) y W (líneas quebradas), (b) W en función de z, mostrando la rama principal (línea continua) y la rama negativa (línea quebrada).

La integral indefinida de la función de Lambert es

La función de Lambert se puede representar mediante expansiones en series [28]. Por ejemplo la serie alrededor de z=0 es:

Igualmente existen representaciones asintóticas de W. La asíntota para z grande es

Existe disponible software numérico libre bien comprobado, con precisión numérica arbitraria, para las dos ramas reales de W. Por ejemplo, el Algoritmo 443 publicado en 1973 [29]. Más recientemente, en 1995, se publicó también el Algoritmo 743 de la base de datos TOMS de la librería pública Netlib ( software, escrito en FORTRAN, computa ambas ramas reales de W con la precisión disponible en la plataforma utilizada [31]. También existen aproximaciones eficientes [32]. Varios paquetes matemáticos simbólicos tales como: Maple®, Macsyma® y Mathematica® contienen rutinas optimizadas para el cálculo y manipulación de la función de Lambert, incluyendo su integración y diferenciación. En el paquete Mathematica®. la función de Lambert se denomina con el nombre de función “ProdutLog”. Varias aproximaciones incorporan esquemas iterativos para computar W con una precisión predefinida y usan aproximaciones a tramos para generar suposiciones iniciales [33].

2. Ejemplos de soluciones usando W

A continuación se presentaran algunos ejemplos que ilustran el procedimiento para resolver ecuaciones que contienen productos y cocientes de variables y sus exponenciales o logaritmos. No pretende esto ser una descripción exhaustiva de todos los casos en los que es posible usar W, sino que la intención es indicar la mecánica general del procedimiento a seguir.

Ejemplo 1

Ecuación:

Rescribir la ecuación (15) tomado exponenciales:

Multiplicar por x:

Aplicar W a ambos lados:

Usar definición de W en la parte izquierda:

Solución:

Ejemplo 2

Ecuación:

Rescribir la ecuación (16):

Aplicar W a ambos lados:

Usar definición de W en la parte derecha:

Solución:

Ejemplo 3

Ecuación:

Rescribir la ecuación (21):

Aplicar a W a ambos lados:

Usar definición de W en la parte izquierda:

Solución:

La función de Wright

Se define como función de Wright [4,34] la solución a la ecuación (21), que se representa como

donde ω (omega) es la función de Wright. Comparando las ecuaciones (25) y (26) se puede establecer la equivalencia entre la función de Wright y la función de Lambert:

Ejemplo 4

Ecuación:

Primer procedimiento:

Rescribir la ecuación (28):

Aplicar W a ambos lados:

Usar definición de W en la parte izquierda:

Solución:

Segundo procedimiento:

Rescribir la ecuación (28):

Reagrupar:

Aplicar W a ambos lados:

Usar definición de W en la parte derecha:

Solución:

Identidad:

Igualando las dos soluciones del ejemplo 5 se obtiene:

Lo que también se puede expresar en términos de la función de Wrigt:

Por tanto, en general se cumple la identidad:

Ejemplo 5

Ecuación:

Rescribir la ecuación (41):

Aplicar W a ambos lados:

Usar definición de W en la parte izquierda:

Solución:

La función “glog”:

La función glog [35] es la solución a la ecuación (41) que se representa como

Comparando las ecuaciones (60) y (61) se puede establecer la equivalencia entre la función de glog y la función de Lambert:

Ejemplo 6

Ecuación:

Tomar la raíz cuadrada:

Dividir entre 2:

Aplicar a W a ambos lados:

Usar definición de W en la parte izquierda:

Solución:

Otras ecuaciones tales como x=e^y/y², x=y, y=, etc., pueden resolverse  

también usando la función de Lambert.

3. Aplicaciones

Se presentarán ahora varias aplicaciones típicas de la función de Lambert en la solución de diversos problemas de electrónica.

Aunque no se cubrirán todas las posibilidades, se mostrarán algunas que demuestran la solución explícita de circuitos típicos que comúnmente tienen que resolverse mediante aproximaciones o expresiones aproximadas, mientras que otras aplicaciones que se describen pertenecen al ámbito del modelado de dispositivos electrónicos.

3.1 Ruptura irreversible en óxidos de compuerta ultra delgados

La continua miniaturización de los dispositivos MOS (Metal Óxido Semiconductor) implica una disminución del margen de confiabilidad de la capacidad aislante de los óxidos de la compuerta que los componen. Ante la posibilidad de que ocurra ruptura eléctrica en óxidos muy delgados, se plantea la necesidad de modelar la corriente que atraviesa el óxido después de su ruptura irreversible. Una representación compacta de esa corriente post ruptura, que es adecuada para la simulación en circuitos, viene dada por el siguiente modelo [19]:

donde I0, ω y RDB son parámetros que caracterizan el fenómeno de ruptura irreversible en una primera aproximación. Esta ecuación equivale a una juntura PN con una resistencia en serie. Rescribiendo la ecuación anterior,

Multiplicando ambos lados por y agrupando los términos:

Si ahora se aplica W a ambos lados y se usa la definición de W en la parte izquierda de la ecuación, se tiene que

Resolviendo resulta la corriente de post ruptura a través del óxido:

3.2 Juntura no ideal

El caso anterior representa el ejemplo más sencillo de una juntura no ideal. Sin embargo, en muchos casos ese modelo resulta ser insuficiente para caracterizar una juntura real. En la Figura 2 se presenta un modelo circuital genérico de una juntura no ideal, incluyendo sus elementos parásitos más comunes: una conductancia en paralelo que representa la fuga a través de la juntura propiamente dicha (Gp1), una resistencia en serie que da cuenta de la caída de potencial desde la juntura hasta los contactos (Rs), y una segunda conductancia en paralelo que representa la posibilidad de fuga en la periferia del dispositivo (Gp2).

Figura 2. Modelo circuital genérico de una juntura no ideal incluyendo las resistencias en serie y las conductancias en paralelo parásitas.

La ecuación de la corriente que correspondiente a esta configuración es:

donde I₀, es la corriente de saturación inversa del diodo, n es el factor de idealidad que caracteriza la calidad de la juntura, v_th es el voltaje térmico =kT/q, k la constante de Boltzmann, T la temperatura absoluta, y q la carga electrónica. Nótese que esta ecuación no tiene la forma de una función explícita de una variable en función de la otra y la única manera de resolverla exactamente es mediante iteración numérica. Sin embargo, utilizando la función de Lambert es posible hallar soluciones explícitas de esta ecuación. Siguiendo un procedimiento similar al del ejemplo anterior, la solución de la corriente en función del voltaje resulta ser [13]:

También es posible resolver el voltaje en función de la corriente:

donde:

Estas soluciones explícitas permiten el estudio directo de las características corriente voltaje de junturas no ideales (diodos reales) y facilitan la extracción de los parámetros intrínsecos y extrínsecos de sus modelos [17].

3.3 Celdas solares

Un caso ligeramente más complicado ocurre cuando se intenta modelar celdas solares bajo condiciones de iluminación. En la Figura 3 se muestra un modelo circuital de un dispositivo fotovoltaico genérico iluminado (celda solar), que incluye la juntura (n, Io), una fuente de corriente fotogenerada (Iph), y la resistencia en serie (Rs) y conductancia en paralelo (Gp) parásitas. La ecuación que describe esta la corriente de la celda es:

De nuevo esta ecuación es implícita, pero usando W, se puede hallar la solución explícita para la corriente: y para el voltaje es:

y para el voltaje es:

La naturaleza explícita de estas soluciones permite calcular inmediatamente la corriente de cortocircuito y el voltaje a circuito abierto. Así mismo, es posible hallar explícitamente el punto de potencia máxima calculando la derivada del producto IV. Estas soluciones también facilitan la extracción de los parámetros del modelo de la celda solar a partir de datos experimentales, como se verá a continuación.

Figura 3. Modelo circuital genérico de una celda solar iluminada.

3.4 Extracción de parámetros de modelos de celdas solares

Las técnicas comunes de extracción de parámetros del modelo de la celda solar usando los datos I-V medidos bajo iluminación usualmente incluyen la optimización numérica del error cuadrático en el eje vertical (corriente) o en el eje horizontal (voltaje). La utilización de soluciones explícitas de la corriente y el voltaje facilitan enormemente estos cálculos. Otros métodos están basados en el uso de funciones auxiliares y otros operadores. Aquí se presentará otro método basado en integración, por ser más inmune a los errores de medición debido a su naturaleza de filtro pasa bajo y porque produce resultados algebraicos de fácil manejo computacional [18]. El procedimiento ilustra la utilidad que ofrece la posibilidad de integrar la función de Lambert.

Se define primeramente una función llamada Co-Contenido CC (I,V) de la siguiente manera:

donde es la corriente de la celda en condiciones de cortocircuito (V=0). Sustituyendo la solución para la corriente dada por la ecuación (67) en la ecuación de CC e integrando con respecto a V resulta una larga expresión que contiene términos con la función de Lambert y las variables I y V. Reemplazando los términos que contienen la función de Lambert de V, usando la ecuación (68) y después de manipulación y simplificación se obtiene la siguiente ecuación algebraica:

donde los cinco coeficientes son funciones de los parámetros del modelo. La extracción se hace calculando la función CC, definida  por la ecuación (69), a partir de los datos experimentalmentemedidos. Seguidamente se procede a ajustar esta función de CC a los datos experimentales medidos mediante la ecuación algebraica (70). Este proceso de ajuste bidimensional produce los valores de los coeficientes de la ecuación (70), de los que se calculan los parámetros del modelo G_p, R_s, I_ph, n, y I_o de la siguiente manera:

3.5 Fuente de corriente Widlar

La función de Lambert también es útil en la solución de problemas de circuitos electrónicos con transistores bipolares de juntura. Para ilustrar su utilidad se presentará el caso de la fuente de corriente de Widlar [15] cuyo diagrama circuital básico se muestra en la Figura 4.

En esta fuente de corriente el transistor Q₁ está conectado en configuración de diodo. Se pretende establecer I₂ a partir de los valores de I₁ y R₂. La ecuación que describe al circuito es:

Obviamente esta ecuación no expresa a 12 de manera explícita, pues esta corriente aparece también dentro del argumento del logaritmo. La solución habría que hallarla por iteración numérica o usando una aproximación, por ejemplo, los primeros términos de una expansión en serie de Taylor del logaritmo. Se buscará entonces una solución usando la función de Lambert. Tomando exponenciales en ambos lados y multiplicando por 12 R2/vth se obtiene:

Figura 4. La fuente de Widlar

Si ahora se aplica la función de Lambert a ambos lados se tiene:

pero se sabe que

luego, finalmente la corriente I₂ viene dada en forma explícita por

3.6 Modelado de dispositivos MOSFET

La descripción del potencial electrostático en la superficie del canal, en función de los voltajes en los terminales de los transistores de efecto de campo tipo metal óxido semiconductor (MOSFETs), resulta de principal importancia en la elaboración de los modelos matemáticos que deben representar a estos dispositivos en simulaciones circuitales. En dispositivos convencionales, en los que el cuerpo del canal se encuentra significativamente dopado, la naturaleza de la ecuación que relaciona el voltaje de la compuerta con el potencial superficial no permite plantear una solución analítica explícita del potencial superficial, por lo que debe calcularse mediante iteración numérica o usando soluciones analíticas aproximadas o de validez limitada regionalmente. Los MOSFETs modernos son cada día más de cuerpo ultra delgado que no se encuentra significativamente dopado, es decir es intrínseco [21]. En esas condiciones la ecuación que relaciona el voltaje de la compuerta con el potencial superficial se reduce a una ecuación lineal exponencial como las anteriormente descritas.

Considérese un dispositivo de cuerpo intrínseco genérico de espesor t_si. La ecuación para canal n es

donde V_G es el voltaje en la compuerta, V_FB el voltaje de bandaplana, el potencial superficial, k la constante de Boltzmann, T la temperatura absoluta, ni la densidad intrínseca de portadores, ε_s la permitividad del semiconductor, C_o la capacitancia del óxido, β=1/v_th=q/kT el inverso del voltaje térmico, V el voltaje a lo largo del canal (=0 en el surtidor, =V_D en el drenador), y ψ₀ el potencial en el medio trasversal del canal. Considerando valores de potencial superficial ψ_s >> 1 β, la ecuación tiene la siguiente solución explícita en base a la función de Lambert:

donde V_GF=V_G-V_FB y t_ox y ε_ox son el espesor y la permitividad del óxido, respectivamente. Para espesores t_si del cuerpo del semiconductor muy grandes, ψ₀ tiende a cero y el término sin(ζ) tiende a uno, con lo que la ecuación del el potencial superficial se reduce a

Esta forma cerrada y explícita de expresar el potencial superficial facilita enormemente el planteamiento de modelos de MOSFETs modernos tipo SOI (semiconductor-óxido-aislante) de cuerpo ultra delgado, en los que el cuerpo del semiconductor no está dopado, tanto los de una compuerta como los de compuertas múltiples [25]. También permite obtener expresiones analíticas explícitas de la carga, la transconductancia, el voltaje de umbral, etc. [23,26].

4. Comparación de los tiempos de cómputo

Como ya se ha dicho, la utilización de la función de Lambert, además de brindar una alternativa atractiva para la solución explícita exacta de ciertas ecuaciones del tipo lineal exponencial, ofrece la posibilidad de mejorar significativamente la eficiencia computacional, en comparación a las soluciones numéricas iterativas. Para visualizar esta ventaja computacional, es conveniente comparar los tiempos de cálculo requeridos, usando soluciones basadas en la función de Lambert con los de soluciones analíticas aproximadas y soluciones numéricas iterativas. Para esto se usará el caso del modelo de una juntura no ideal con una resistencia en serie y una conductancia en paralelo, calculadas a diez dígitos significativos en una misma plataforma computacional, usando el programa Maple®.

La Figura 5 muestra que la solución explícita exacta, basada en la función de Lambert, requiere tiempos de CPU sólo ligeramente superiores a los de una solución analítica aproximada, que por ende es inexacta y limitada en su alcance. Se ve que la solución basada en la función de Lambert es casi dos órdenes de magnitud más eficiente computacionalmente que la solución exacta mediante iteración numérica.

Figura 5. Comparación de tiempos de cómputo de parámetros del modelo de una juntura no ideal para solución iterativa, exacta y aproximada

III. CONCLUSIONES

1. El uso de la función de Lambert provee soluciones explícitas analíticas y elimina la necesidad de iteraciones numéricas en problemas que incluyan ecuaciones implícitas lineales exponenciales.

2. Las soluciones explícitas basadas en la función de Lambert hacen que el fenómeno que se está describiendo sea más manejable y fácil de entender.

3. Estas soluciones explícitas se pueden evaluar y manipular fácilmente, lo que permite resolver rápidamente numerosos casos repetidos, y facilita el estudio de las perturbaciones.

4. La posibilidad de integración y diferenciación analítica de la función de Lambert abre el camino para elaborar modelos de variabilidad del fenómeno descrito.

5. Adicionalmente, estas expresiones explícitas pueden usarse para obtener suposiciones iniciales para cálculos complicados, iterativos, dependientes del tiempo, o multi dimensionales.

6. Finalmente, la utilidad de la función de Lambert se ve potenciada en la actualidad por la disponibilidad de paquetes computacionales simbólicos de uso común, tales como Macsyma®, Mathematica®, Maple®, etc., que ya contienen rutinas optimizadas para calcular y manipular la función de Lambert.

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