Modelo matemático de la función diastólica

Sánchez De Zambrano, Betsy Mirley Rojas Sulbarán, Rubén Darío

Universidad Nacional Experimental de Tachira. UNET

Resumen:

La función diastólica representa una de las partes fundamentales del ciclo cardiaco. Las patologías causadas por su mal funcionamiento han estado a un lado en el diagnóstico y tratamiento de las enfermedades cardiacas. Estudios sugieren que entre 30 y 50% de pacientes con insuficiencia cardíaca presentan como causa primaria una disfunción diastólica y a largo plazo muestran una mortalidad similar a la insuficiencia cardiaca sistólica. Del mismo modo, investigadores dedicados al modelado matemático de los sistemas fisiológicos, han desarrollado diferentes modelos haciendo hincapié en la función sistólica, obviando detalles de la parte diastólica. Este artículo presenta un modelo matemático para el estudio de la fase diastólica del ciclo cardiaco, definiendo la función de presión auricular dependiente del volumen y de una elastancia variante en el tiempo basada en una señal sinusoidal que considera la duración de las etapas del ciclo y la rigidez del ventrículo. Los resultados indican que el modelo es capaz de simular las diferentes etapas de la diástole en estado normal y/o patológico. Además, la respuesta del modelo muestra un desempeño fisiológicamente realista, logrando un mejor detalle para su estudio.

Palabras claves: diástole, disfunción diastólica, modelo matemático.

Mathematical model of the diastolic function

Abstract:

Diastolic function is one of the fundamental parts of the cardiac cycle; pathologies caused by its bad functioning have been set aside in the diagnosis and treatment of heart disease. Studies suggest that between 30 and 50% of patients with heart failure presents diastolic dysfunction as primary cause and long-term they show mortality similar to the systolic heart failure mortality. In the same way, researchers working on mathematical modelling of the physiological systems have developed different models emphasizing the systolic function, obviating details of the diastolic part. This article presents a mathematical model for the study of the diastolic phase of the cardiac cycle, defining an atrial pressure function dependent of the actual volume and a time-variant elastance, based on a sinusoidal signal that considers the duration of the cardiac cycle phases and ventricle stiffness. The results indicate that the model is capable of simulating the different phases of the diastole in normal and/or pathological state. Also, the model response shows a physiologically realistic performance, achieving a better detail for its study.

Key words: diastole, diastolic dysfunction, mathematical model.

Recibido 15/09/14 - Aceptado 16/10/14

I. INTRODUCCIÓN

En el modelado matemático del corazón se ha considerado la función ventricular como el objeto principal de estudio, es decir, generalmente las ecuaciones que modelan el ventrículo son planteadas en forma dinámica, mientras que la aurícula solo se toma en forma pasiva o constante [1,2,3,4,5,6], dejando a un lado su contribución en el estudio del comportamiento del corazón. El modelo de Grodins, uno de los pioneros en el modelado cardiovascular, está basado en el comportamiento mecánico del sistema, al modelar la actividad cardiaca hace énfasis en el funcionamiento ventricular utilizando una simple ley de llenado, despreciando la contribución auricular y asume que la relajación ventricular ocurre instantáneamente al final de la sístole manejado por un sistema lineal de primer orden, desatendiendo detalles importantes en la fase diastólica [4]. Rothe y Gersting igualmente consideran un corazón derecho e izquierdo pero ambos concentrados en las variables que definen el comportamiento ventricular y la fase de llenado están basados en las presiones ventriculares, retorno venoso y duración del ciclo, relegando los diferentes eventos que ocurren en la fase diastólica [5]. En numerosos trabajos, el corazón se modela para analizar el comportamiento de dispositivos de asistencia cardiaca (denominado como LVAD) [6,7,8,9], estos dispositivos y sus modelos matemáticos están basados primordialmente en el funcionamiento ventricular.

Otros autores, han considerado la función auricular variante en el tiempo, tal es el caso de Vallverdú, quien plantea una sinusoide truncada como función de elastancia auricular para asemejar el flujo auricular de una forma más próxima a su comportamiento fisiológico [10], pero su estudio se concentra sobre la función cardiaca en las presiones intratorácica e intraabdominal.

Para realizar un verdadero análisis de la función diastólica deben tomarse en cuenta las distintas fases que comprende, representando su comportamiento de forma más realista, entendiendo inicialmente su comportamiento fisiológico.

La diástole comienza tan pronto como ha finalizado la sístole y las presiones ventriculares disminuyen de nuevo a sus valores diastólicos bajos, el aumento moderado de presión que se ha generado en las aurículas durante la sístole ventricular inmediatamente abre las válvulas aurículo-ventriculares (AV) y permite que la sangre fluya rápidamente hacia los ventrículos. Este proceso comprende tres fases: llenado ventricular rápido, llenado lento y sístole auricular. El llenado ventricular rápido se produce durante el primer tercio de la diástole (protodiástole). En esta fase la presión auricular es máxima por haberse acumulado el retorno venoso durante las fases anteriores, y la presión ventricular es mínima por la relajación total, se crea un gradiente de presión y hay un paso rápido de sangre que abre las válvulas AV. Durante el tercio medio de la diástole (mesodiástole) el gradiente de presión entre la aurícula y ventrículo se ha reducido y la sangre pasa lentamente a los ventrículos iniciándose la fase de llenado lento o diástasis. En este momento penetra una pequeña cantidad de sangre. Al finalizar, durante el último tercio de la diástole (telediástole) las aurículas se contraen y proporcionan un impulso adicional para penetrar sangre en los ventrículos, en este momento la presiones en las aurículas son superiores a la de los ventrículos por encontrarse éstos relajados y las válvulas AV permanecen abiertas, lo que permite el paso de sangre de las aurículas a los ventrículos. La contracción de la aurícula produce un aumento de la presión en esta cavidad y por tanto aumenta el flujo de sangre para terminar de llenar el ventrículo [11,12]. En la figura 1, se distinguen las fases del ciclo cardiaco, sístole y diástole, además de las etapas dentro de la diástole y los diferenciales de presión que dan lugar a los flujos auriculo-ventricular y ventrículo-aórtico.

Cuando el corazón no se relaja o sufre alguna alteración en este proceso de relajación o diástole, se produce un ciclo anormal de bombeo, esto se conoce como la disfunción diastólica (DD). Si el ventrículo izquierdo no se llena normalmente debido al deterioro de la precarga o la compliance durante la diástole, la sangre regurgita en la aurícula izquierda y, finalmente, crea un gradiente retrogrado hacia los pulmones. Por ejemplo, En la estenosis mitral el flujo sanguíneo que procede de la aurícula izquierda hacia el ventrículo izquierdo esta impedido por la insuficiencia mitral y gran parte de la sangre que ha entrado en el ventrículo izquierdo durante la diástole vuelve hacia la aurícula izquierda durante la sístole y no es bombeada hacia la aorta. Por tanto, en ambas situaciones se reduce el movimiento neto de sangre desde la aurícula izquierda hacia el ventrículo izquierdo. La acumulación de sangre en la aurícula izquierda provoca un aumento progresivo de la presión en la aurícula izquierda, lo que finalmente permite el desarrollo de un edema de pulmón grave [12], una condición caracterizada por la dificultad para respirar, la oxigenación inadecuada de la sangre, y, si es grave y no tratado, lleva a la muerte [13].

El edema pulmonar es causado por la congestión pulmonar, la cual se define como la acumulación de líquido en los pulmones, que da lugar a deterioro del intercambio gaseoso e hipoxemia arterial. Se produce secuencialmente: aparece primero en la región hiliar de los pulmones, luego llena el espacio intersticial y, finalmente, en su forma más grave, inunda los alveolos. La presión de llenado del ventrículo izquierdo (VI) elevada, que conduce a hipertensión venosa pulmonar es el principal mecanismo subyacente en la congestión pulmonar. La elevación de la presión diastólica del ventrículo izquierdo es consecuencia de la sobrecarga de líquidos causada por su retención o su redistribución. Por otro lado, un aumento rápido de la presión arterial (poscarga), en especial en pacientes con disfunción diastólica, puede desencadenar una congestión pulmonar grave [14].

La disfunción diastólica puede deberse a múltiples enfermedades cardíacas o sistémicas. Las causas más frecuentes son la hipertensión arterial, la isquemia miocárdica y la miocardiopatía hipertrófica [15].

La hipertensión arterial es uno de los factores que más influye en la función diastólica y el fallo cardíaco. El aumento de la resistencia vascular sistémica condiciona una dificultad al vaciamiento del VI, lo que provoca un aumento de la rigidez del ventrículo y posteriormente hipertrofia. Se ha descrito que existen alteraciones de la función diastólica hasta en el 25% de los pacientes hipertensos asintomáticos sin hipertrofia ventricular y en el 90% con hipertrofia.

La disfunción diastólica también se observa en pacientes con enfermedad coronaria. En un infarto agudo de miocardio hay alteraciones del metabolismo miocárdico, del consumo de ATP y del transporte del calcio en el miocito que provocan un retraso en la contracción. La influencia de otros factores que pueden estar presentes en estos pacientes, como la asincronía del VI, la disfunción de los músculos papilares o la insuficiencia valvular mitral contribuirán, en gran manera, a una mayor alteración de la función diastólica. De hecho, cerca del 60% de los pacientes con infarto agudo de miocardio tienen una disfunción diastólica. También complicaciones tardías, como ocurre en casos de remodelamiento del VI, conllevan un incremento de la rigidez ventricular y como consecuencia una mayor alteración del llenado ventricular. La miocardiopatía hipertrófica es el prototipo de disfunción diastólica producida por los cambios en las propiedades elásticas del miocardio y en la rigidez ventricular posterior al aumento de la masa miocárdica, a las alteraciones en los miocitos y a la fibrosis intersticial del VI [15]. Las alteraciones valvulares alteran la función diastólica de varias formas. En la insuficiencia valvular aórtica o mitral hay alteraciones de las cavidades cardíacas con dilatación e hipertrofia del VI.

Las enfermedades del pericardio (pericarditis constrictiva) también influyen en la función diastólica, así como las enfermedades sistémicas (amiloidosis, sarcoidosis, enfermedad de Fabry, hemocromatosis, etc.) debido a la infiltración del miocardio y al aumento de la rigidez (miocardiopatías restrictivas) [15].

En promedio, el 40% de los pacientes con cardiopatía poseen función sistólica conservada. La incidencia de la insuficiencia cardíaca diastólica aumenta con la edad, y es más común en mujeres mayores. Las causas más comunes de la insuficiencia cardiaca diastólica incluyen la sobrecarga de volumen; taquicardia, ejercicio, hipertensión; isquemia; factores de estrés sistémicos (por ejemplo, la anemia, fiebre, infección, hipertiroidismo); arritmia (por ejemplo, fibrilación auricular, auriculo-ventricular bloqueo del nodo), aumento de la ingesta de sal, y el uso de los fármacos antiinflamatorios no esteroideos [16].

La insuficiencia cardíaca diastólica, representa entre el 30 % y 50% de todos los casos de insuficiencia cardíaca, y su pronóstico es tan desfavorable como el de la insuficiencia cardíaca con función sistólica deprimida. Hay estudios que indican que 1 de cada 3 pacientes con insuficiencia cardíaca tiene fracción de eyección normal o casi normal. La disfunción diastólica puede definirse como la condición en la cual, para mantener gasto cardíaco normal, la presión de llenado se encuentra aumentada. Por tanto, pacientes con disfunción diastólica pueden manifestar una variedad de síntomas, desde disnea de esfuerzo hasta insuficiencia cardíaca avanzada [17,18].

La mortalidad es de 5 a 8% anual, comparando con 10 a 15 % de pacientes con insuficiencia cardíaca sistólica. En el caso de insuficiencia cardíaca sistólica la mortalidad está en relación con la edad y a la presencia de enfermedad coronaria. La morbilidad es similar para ambos tipos de insuficiencia cardíaca [17].

Generalmente la función diastólica se estudia por medio de ecocardiografía, ecocardiografía doppler, resonancia, entre otros, [18,19,20]. Siendo, la ecografía la técnica más completa para el diagnóstico y el mecanismo de la función diastólica. El ecograma bidimensional permite detectar la dilatación de la aurícula izquierda y la función sistólica ventricular, contribuyendo a establecer la causa y la cronicidad de la disfunción [21]. Adicionalmente, la bioingeniería en el área de modelado matemático ofrece una alternativa para el estudio del comportamiento de los sistemas fisiológicos; en este artículo se propone el análisis en general del proceso diastólico a través de un modelado matemático con el fin de lograr un mejor entendimiento en condiciones normales o patológicas. Se establece una función a partir de la cual se genera el flujo auricular, basado en una elastancia activa que toma en cuenta variables como rigidez ventricular, volumen, presión y duración tanto de las diferentes etapas del ciclo cardiaco completo como de las fases dentro de la diástole. Finalmente se acopla a un modelo general del sistema cardiovascular para analizar su funcionamiento.

2. METODOLOGÍA

En todo proceso de modelado matemático se distinguen cuatro pasos fundamentales: formulación, resolución, interpretación y refinamiento [22]. Estas etapas se complementan en el modelo propuesto con el acoplamiento a un modelo completo del sistema cardiovascular para la fase de simulación y pruebas. La primera etapa en el modelado consistió en la formulación del modelo verbal de la función auricular, basado en las relaciones de presión en las cámaras y el volumen, considerando una elastancia activa para su representación. La figura 2 muestra las relaciones de entradas y salidas supuestas.

Para la etapa de resolución, la función fundamental que describe el comportamiento auricular está basada en una elastancia activa modelada a través de una señal sinusoidal que toma en cuenta la duración de las distintas etapas del ciclo cardiaco y la rigidez del ventrículo. La función de elastancia se define según la ecuación (1):

Donde m, n, p, q: constantes, Emin: elastancia ventricular izquierda mínima, tT: tiempo de duración del ciclo cardiaco, tsis: tiempo de duración de la sístole, t**: corresponde al 85% del valor de la duración total de la diástole, es decir, en el momento en que aproximadamente ocurre la contracción auricular.

Por otra parte, la presión auricular que depende de esta elastancia variable y genera el flujo auricular tiene la siguiente ecuación:

Donde, Eai(t) es la elastancia auricular izquierda activa según la ecuación (1), Vai, Volumen auricular izquierdo y V0,ai volumen a presión cero en la aurícula izquierda (constante).

El flujo auricular está dado por la siguiente ecuación:

Rai y Lai representan las propiedades viscosas y de inercia del flujo sanguíneo, Pai es la presión auricular izquierda y Pvi la presión ventricular izquierda [3].

Una vez establecido el modelo se procedió a su evaluación, simulación e interpretación. Para esta etapa, el modelo propuesto se acopló a un modelo general del sistema cardiovascular [3]. A partir del comportamiento observado, se ajustaron los diferentes parámetros del modelo con la finalidad de refinar las características de funcionamiento y simular diferentes situaciones normales y/o patológicas.

3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se muestran en esta sección algunas de las salidas del modelo propuesto, tanto en condiciones normales como bajo situaciones en donde se alteran alguno de los parámetros para la simulación de alguna patología referente al funcionamiento auricular. En primer lugar, la figura 3, muestra la curva de presión auricular como función de la elastancia, junto con las curvas de presión ventricular y presión aortica del modelo base. Se observa como el modelo genera los valores de presión acordes al comportamiento fisiológico reportado en la literatura. Estos diferenciales de presión entre la presión ventricular y la presión auricular dan lugar al flujo de salida de la aurícula.

A través de las gráficas obtenidas del flujo auricular se puede analizar la función diastólica y sus alteraciones. En la figura 4 se muestra el patrón de funcionamiento en sujetos normales. Este patrón está compuesto por dos ondas características, la onda E correspondiente al llenado rápido y la onda A de la contracción auricular.

En sujetos normales, la gráfica de flujo transmitral muestra una onda E superior a la onda A, debido al flujo de llenado rápido (inmediatamente después de la apertura de la válvula mitral). La onda A es menor porque la contracción auricular contribuye poco al llenado. Si calculamos el cociente de las velocidades, un paciente con función diastólica normal tiene un cociente E/A superior a 1 (E > A) [15].

Cuando existe una disfunción diastólica se produce una alteración en la relajación de las fibras del ventrículo izquierdo que reduce la capacidad de llenado ventricular en la primera fase diastólica (onda E de llenado rápido). Este problema se compensa aumentando el flujo durante la contracción auricular, es decir aumenta la velocidad de la onda A. En este caso, la onda A superaría a la onda E, con un cociente E/A menor de 1 (E < A). Este patrón es frecuente en pacientes de edad mayor de 65 años. Además de observarse en pacientes con hipertrofia ventricular, hipertensos y con enfermedad isquémica miocárdica [15].

Seguidamente se visualiza la variable de flujo de salida del modelo sin ningún tipo de alteración (figura 5). Como se puede notar, es posible distinguir las onda de llenado rápido y la contracción auricular, indicando que el modelo fue capaz de similar el comportamiento mostrando el patrón de flujo correspondiente en estado normal.

Este flujo auricular da lugar al llenado ventricular, que se produce en la fase de relajación. La figura 6 visualiza dicho volumen, en la cual es posible distinguir las tres fases de la diástole, el llenado lento, la diástasis y por último la contracción auricular.

El modelo permite la simulación de condiciones patológicas, por ejemplo, si se produce un enlentecimiento en la fase de relajación isovolumétrica del ventrículo izquierdo, disminuirá el gradiente de presión entre la aurícula izquierda y el ventrículo, que puede conducir a insuficiencia cardíaca por disfunción diastólica [17]. Por medio de la observación de las variaciones en el patrón de flujo auricular es posible detectar esta patología.

En el modelo se simula, como estado patológico, una hipertrofia (aumento de la rigidez ventricular), para observar el flujo de salida auricular (figura 7). Como se puede observar este flujo muestra un patrón anormal en donde se nota la disminución del flujo en la primera fase diastólica (E<A).

4. CONCLUSIONES

El modelo propuesto logró una aproximación más real a la fisiología, considerando las diferentes fases dentro de la diástole, por medio de una elastancia activa que permite un mejor detalle en el estudio de su comportamiento, cumpliendo con el objetivo principal de la investigación.

El estudio de las condiciones patológicas de un sistema fisiológico es uno de los más importantes objetivos del modelado en esta área, por esta razón se incluyeron perturbaciones en los parámetros del modelo para representar disfunción diastólica, logrando obtener salidas que corresponden a la patología simulada, en este caso se mostró como, a través del modelo, fue posible representar un enlentecimiento de la fase de relajación, producto de una hipertrofia ventricular, causa común de DD.

El estudio de la función diastólica representa un factor relevante en el diagnóstico clínico de enfermedades cardiacas, de aquí la importancia de comprender este sistema. El modelado matemático de las características mecánicas de la función auricular ofrece una herramienta tanto para el análisis como de apoyo al diagnóstico.

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