Some integrals involving Wright’s hypergeometric function 

Daniel Duque¹ y Leda Galué² 

¹Departamento de Matemáticas. ²Centro de Investigación de Matemática Aplicada (CIMA). Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia. Maracaibo, Venezuela 

Abstract 

In this paper some single and double integrals involving the generalized hypergeometric function of Wright are evaluated. Integrals involving the function as particular cases are obtained. 

Key words: 

Integrals, generalized hypergeometric function of Wright. 

Algunas integrales que involucran la función hipergeométrica de Wright 

Resumen 

En este artículo se evalúan algunas integrales simples y dobles que involucran a la función hipergeométrica generalizada de Wright . Se obtienen como casos particulares integrales que involucran a la función . 

Palabras clave: 

Integrales, función hipergeométrica generalizada de Wright. 

Recibido el 24 de Febrero de 2003 

En forma revisada el 26 de Enero de 2004 

1. Introducción 

En las matemáticas aplicadas tienen gran relevancia las llamadas funciones especiales, ya que éstas aparecen en las soluciones de ecuaciones diferenciales. Entre las funciones especiales más importantes están las funciones hipergeométricas: la función hipergeométrica de Gauss, la función hipergeométrica generalizada , la función de Appell, la función de Humbert, la función de Lauricella y otras. Estas se encuentran en muchas aplicaciones tales como estadística, teoría cuántica, ecuaciones funcionales, vibración de vigas, conducción de calor, elasticidad, radiación, etc. Debido a su importancia se estudian sus propiedades, desarrollos asintóticos, desarrollos en serie, etc. a fin de obtener un estudio detallado del comportamiento analítico de tales funciones el cual permite resolver una amplia variedad de problemas. 

Una generalización de la función hipergeométrica generalizada es la llamada función hipergeométrica generalizada de Wright . Esta función y sus aplicaciones han sido objeto de estudios en la última década [1-3]. En 1994, Alfonso Chirino [1] deduce una representación integral para dicha función, así como también calcula varias integrales que involucran a . Recientemente en 1999, Nina A. Virchenko [2] establece algunas propiedades de la función hipergeométrica generalizada de Wright y utiliza la función hipergeométrica confluente generalizada para definir las funciones de Laguerre y otras funciones. 

En el presente artículo se evalúan algunas integrales simples y dobles que involucran a la función hipergeométrica generalizada de Wright partiendo de su definición, y usando técnicas operacionales conocidas. Además se mencionan varios casos particulares. 

2. La Función Hipergeométrica Generalizada de Wright 

Una interesante generalización de la serie fue introducida por el matemático E.M. Wright quien consideró la siguiente función hipergeométrica generalizada: [4], [5, p. 21, No. (38)] 

            (1) 

donde los coeficientes  son números reales positivos. Esta serie se conoce como la función hipergeométrica generalizada de Wright. 

Muchos investigadores [1, 2, 6-14] han estudiado esta función estableciendo para ella algunas propiedades, casos particulares y aplicaciones. 

Comparando la definición y (1) obtenemos la siguiente relación: [5, p. 21, No. (40)] 

                                                                     (2) 

Un caso especial de es: ([2, p. 234, No. (2.1)], [15]) 

        (3) 

donde son números complejos tales que

  son finitos para  

La serie (3) converge uniformemente para . 

De (3) es obvio que  reduce a la bien conocida función hipergeométrica de Gauss para . 

La representación integral de  viene dada por: ([2, p. 234, No. (2.2)], [15]) 

                                                                        (4) 

3. Integrales que Involucran
a la Función Hipergeométrica Generalizada de Wright 

En esta sección evaluaremos algunas integrales simples y dobles que involucran a la función hipergeométrica generalizada de Wright . Como casos particulares se obtienen las correspondientes integrales con las funciones hipergeométricas   

3.1. Integrales simples 

Sea 

. 

Usando la definición de  dada en (1) tenemos: 

. 

Intercambiando el orden de la integral y la suma en base a la convergencia absoluta [16, p. 430, No. (14-31)], tenemos: 

. 

Sea . 

Haciendo en esta integral el cambio de variable  y de la definición de la función Beta [17]: 

, 

sustituyendo I₁ en I: 

     . 

Usando la representación en serie para  se tiene finalmente: 

De manera análoga se obtienen los resultados dados a continuación. 

Dado que la función es un caso especial de la función H de Fox, los resultados (5)-(8) pueden también obtenerse como casos particulares de ésta [18, p. 61, No. (5.2.2)]. 

3.2. Integrales dobles 

Sea 

De la definición de  tenemos: 

donde hemos intercambiado el orden de la integral y la suma. Evaluando la integral interna mediante la representación integral de  resulta: 

Aplicando el siguiente resultado: [19, p. 849, No. (7.512.4)] 

para evaluar la integral tenemos: 

Mediante un procedimiento análogo se obtienen los siguientes resultados: 

4. Casos Particulares 

En esta sección se obtienen como casos particulares de las integrales generalizadas mencionadas anteriormente las correspondientes integrales con las funciones hipergeométricas. 

4.1. Integrales simples 

i) Haciendo 

y usando (2) tenemos respectivamente de (5)-(8): 

iii) Muchos otros casos particulares pueden obtenerse de los resultados dados en la sección 3, algunos de ellos se indican en la Tabla 1. 

4.2. Integrales dobles 

i) Si en (9) se hace 

y se usa (2) se tiene el resultado dado en la referencia [20, p. 379, No. (4.2.4.2)]. 

ii) Si en (11) y (12) se hace 

usando (2) se obtienen los resultados dados en [20, p. 380, Nos. (4.2.4.5), (4.2.4.7)] respectivamente. 

iii) Si en (9) y (10) se hace 

y usando (1) y (3) se tiene respectivamente: