Behaviour of the exponent of the richardson and zaki sedimentation velocity correction function for the case of microparticles

G. Salinas-Salas¹ y F. Babick²

¹ Universidad de Talca. Facultad de Ingeniería. Departamento de Tecnologias Industriales. Camino Los Niches km. 1–Curicó. Chile. gsalinas@utalca.cl.

² Technische Universität Dresden. Fakultät Maschinenwesen. Institüt für Verfahrenstechnik und Umwelttechnik. Georg-Schumann-Bau, Münchner Platz 3. 01062 - Dresden. Bundesrepublik Deutschland. mechanvt@rcs.urz.tu-dresden.de

Abstract 

Richardson and Zaki (1954) formulated a correction function for determining the sedimentation velocity of a suspension of particles on the basis of the velocity of a single particle not subject to hydrodynamic and electrostatic forces. The Reynolds number for microparticles is less than 0.25, so the Stokes equation can be used to calculate their terminal velocity. The exponent in the Richardson and Zaki correction function is n= 4.65, independent of particle size. This paper describes experimental research with calibrated silicon oxide (SiO₂) particles in which the value of the exponent of the Richardson and Zaki correction function was found to be inversely dependent on the size of the microparticles. 

Key words: Correction function, sedimentation velocity, microparticles. 

Comportamiento del exponente de la función de corrección de la velocidad de sedimentación de richardson y zaki para el caso de micropartículas

Resumen 

La función de corrección desarrollada por Richardson y Zaki en 1954, se usa para determinar mediante un factor, la velocidad de sedimentación de un colectivo de partículas a partir de la velocidad que tendría una partícula que no se encuentra sujeta al campo de fuerzas hidrodinámicas y electroquímicas que existen entre partículas en una suspensión. Dado el tamaño de las partículas es micrométrico el valor del número de Reynolds del escurrimiento del fluido por sobre las partículas es menor a 0,25, se emplea la solución de Stokes para evaluar la velocidad terminal de ésta. El valor del exponente de la función de corrección de Richardson y Zaki empleado para este caso es n= 4,65, independientemente del tamaño éstas. El presente trabajo muestra los resultados alcanzados a partir de un trabajo experimental con micropartículas calibradas de óxido de silicio (SiO₂), los que indicaron que el valor del exponente de la función de corrección de Richardson y Zaki depende del tamaño de las micro partículas que sedimentan, de manera que mientras menor es el tamaño de la micropartícula mayor es el valor que adopta el exponente de la función. 

Palabras clave:  Función de corrección, velocidad de sedimentación, micropartículas.

Recibido el 28 de Octubre de 2007 En forma revisada el 12 de Enero de 2009

La función de corrección propuesta por Richardson y Zaki [1], es utilizada para corregir la evaluación de la velocidad de sedimentación de un colectivo de partículas en un fluido viscoso, a partir del cálculo de la velocidad de sumergimiento que tendría una partícula única cuyo diámetro es el valor medio del colectivo en el mismo fluido, a fin de considerar los efectos de las fuerzas hidrodinámicas y electroquímicas que existen por la interacción que de las distintas partículas que se sumergen simultáneamente en el fluido. Las que generan una reducción de la velocidad de sedimentación. Esto es especialmente relevante para el caso de partículas de orden micrométrico [2]. Actualmente, la modelación semi empírica propuesta por Richardson y Zaki en 1954, es más utilizada, en términos prácticos, para el diseño de sistemas de sedimentación, de sistemas de medición de distribución de tamaño de partículas y otras aplicaciones [2], [3] y [4]. 

La forma de la función de corrección de Richardson y Zaki se presenta en la ecuación (1). 

Los trabajos de Richardson y Zaki, mostraron que el valor del exponente de la función de corrección dependía del número de Reynolds alcanzado por el escurrimiento de fluido sobre la partícula, lo que permitió elaborar la Tabla 1. 

A su vez, la velocidad terminal de sedimentación de la partícula o velocidad de Stokes se calcularse de la siguiente manera para una sedimentación en un campo centrífugo: 

De la Tabla 1, se desprende que el valor del exponente de la función de corrección de Richardson y Zaki para partículas que sedimentan en regímenes de escurrimiento cuyos números de Reynolds sean menores a 0,25 es constante e igual a 4,65, lo que significa que es independiente del tamaño relativo de éstas para el caso de partículas micrométricas. 

El objeto del trabajo realizado fue determinar la exactitud de este valor, para el caso de micro partículas, para lo cual se realizó un conjunto de ensayos empleando micropartículas que se emplean como estándares calibrados de tipo comercial, proveídas por la empresa Geltech Inc. Químicamente estas micropartículas son dióxido de silicio amorfo (SiO₂), esféricas y rígidas. Su densidad media es 2.135 kg/m³ y sus diámetros nominales son 1.500 nm y 1.000 nm. La Figura 1 muestra fotografías obtenidas durante los ensayos a través de un microscopio electrónico Zeiss Gemini 942, donde se aprecia la forma y tamaño de las micropartículas utilizadas.

Las suspensiones se prepararon según la Norma DIN 66111 [4], cuidando evitar la contaminación por micro partículas extrañas a las que conforman la suspensión de trabajo, empleándose como fase continua de la suspensión agua tridestilada, desionizada y filtrada. A ésta, se le adicionó hidróxido de potasio (KOH) a fin que la suspensión se alcanzara un índice de acidez (pH) del orden de 9,2, lo que se tradujo en un potencial Zeta entre – 40 a – 60 mV. Lo anterior aseguró la estabilidad de la suspensión al impedir la formación de flóculos y aglomerados. El procedimiento de dispersión empleado fue agitación mecánica de alta velocidad y ultrasonido. Se emplearon como equipos de control un microscopio electrónico Zeiss Gemini 942 y un espectrómetro láser Helos Fa. Sympatec. 

Respecto de la centrífuga analítica utilizada en los ensayos, ésta fue una máquina LUMiFuge 114, fabricada por L.U.M. GmbH, cuyos datos técnicos se pueden encontrar detalladamente en [5]. El análisis de imágenes y la determinación de la velocidad de sedimentación se realizó mediante el software LUM View v. 2.0, provisto por la misma firma. Cabe indicar que este equipo permite realizar ocho (8) ensayos simultáneos, lo que se tradujo en una gran cantidad de ensayos desarrollados, los que mostraron un muy buen nivel reproducibilidad, lo que permite tener confianza en los valores experimentales alcanzados. 

La Figura 2 muestra las graficas de distribución de tamaño de partículas para las diversas suspensiones analizadas, donde se aprecia la estabilidad de las suspensiones.

Los ensayos se realizaron en el Laboratorio de Partículas y Granumetria del Grupo de Trabajo de Técnicas de Procedimientos Mecánicos de la Universidad Técnica de Dresden (Arbeitgruppe für mechanische Verfahrenstechnik an der Technische Universität Dresden). 

Estos ensayos se realizaron sometiendo a las micropartículas a un campo de aceleración centrífugo, el que dio lugar a regímenes de escurrimiento para el fluido con números de Reynolds menores a 0,001. 

Los resultados alcanzados de la velocidad de sedimentación siguieron la tendencia de la forma genérica de la función de Richardson y Zaki, pero generaron nuevos valores para el exponente de la función de corrección. Como lo muestra la Figura 3, donde se contrastan los valores experimentales obtenidos con la función de corrección que utiliza el exponente convencional (n= 4,65), para escurrimientos con número de Reynolds menores a 0,25 y por ende aplicables a micropartículas menores a un tamaño medio de 1.500 nm.

Realizando un análisis de los datos experimentales obtenidos, es posible determinar cuales son los valores que adopta el exponente n, de la función de corrección, los cuales fueron para Geltech S1501 (x= 1.500 nm), de 9,6 y para Geltech S1001 (x= 1.000 nm), de 13,2. 

Esta situación se muestra la Figura 4, donde se presentan tanto los valores experimentales obtenidos, como las funciones de corrección generadas a partir del uso de distintos valores para el exponente n, los que para efectos de este gráfico fueron, n= 8, n= 11 y n=14.

El incremento en la reducción de la velocidad de sedimentación detectado, respecto a los valores predicho por Richardson y Zaki, se debe fundamente al pequeño tamaño de las micropartículas empleadas. Ya que su reducido tamaño genera una considerable disminución en la magnitud de las fuerzas mecánicas que impulsan el proceso de sedimentación. 

Simultáneamente, el que las micropartículas presentes en la suspensión sean de tan reducido tamaño implica que se incremente de una manera muy relevante, a igualdad de concentración volumétrica, la cantidad de superficie de las micropartículas que están en contacto con el fluido, el que se comporta como un electrolito. Esto genera que las fuerzas electroestáticas, de van der Waals y de atracción de Born, que se pueden representar a través del potencial Zeta, aumenten significativamente como lo indica la teoría DLVO [2] y [3]. Este incremento de fuerzas electroquímicas se traducen, en la práctica, como fuerzas de repulsión entre las micropartículas adyacentes, estabilizándolas en su posición, lo que permite la conformación de una suerte de red tridimensional cuasi estática de micropartículas, la que tiende a retardar la sedimentación de estas. A estos fenómenos se les debe sumar, los efectos de la fuerza de difusión osmótica, que afecta a principalmente las micropartículas más pequeñas. Todas estas situaciones descritas le impiden al colectivo de micropartículas alcanzar a las velocidades de sedimentación predichas por el valor del exponente convencional de la función de corrección de Richardson y Zaki. 

El emplear valores de exponentes mayores al convencional conduce a que la función de corrección de cuenta de una mejor manera, de los fenómenos que ocurren en el caso de sedimentación de micropartículas, mostrando que la reducción de la velocidad es mayor mientras menor sea el tamaño de las partículas que conforman la suspensión. Esto se aprecia claramente en la Figura 4, donde se contrastaron los valores experimentales con la función de corrección, utilizando valores mayores para el exponente. De este modo, la función de corrección representa de mejor manera la reducción de velocidad de sedimentación, demostrando la directa relación entre el valor del exponente con el tamaño de las micropartículas que sedimentan. 

Como primera conclusión de este trabajo, es posible indicar que la determinación de la velocidad de sedimentación de colectivos de micropartículas cuyos tamaños medios sean 1.500 nm y 1.000 nm, realizados a partir de la función de corrección de Richardson y Zaki empleando el valor de su exponente convencional (n= 4,65), muestran claras diferencias en la predicción de la velocidad de sedimentación, respecto de los valores experimentales para dichas micropartículas. Esto conduce a que los diseños de equipos de medida, de separación de fase y de material particulado deban considerarlo, con el fin de incrementar su precisión de medida, como su eficiencia de separación.

Una segunda conclusión sería que el emplear un valor medio para el exponente de la función de corrección del orden de 11 (n = 11), para el caso de colectivos de micropartículas del orden de 1.000 nm resulta adecuado, ya que representa de una mejor manera la compleja fenomenología existente en el proceso de sedimentación de conjuntos o colectivos de micropartículas.

Nomenclatura

FcR-Z:  Factor de corrección de Richardson y Zaki. 

v_{real-sedimentación}:  Velocidad real de sedimentación del colectivo de partículas. 

v_Stokes:  Velocidad de Stokes para la sedimentación de la partícula de tamaño medio 

c_v:  Concentración volumétrica del colectivo de partículas. 

n:  Exponente de la función de corrección. 

p_p:  Densidad media de la partícula. 

p_f:  Densidad media del fluido. 

X:  Diámetro medio del colectivo de partículas. 

ω:  Velocidad rotacional. 

R:  Radio de rotación. 

μ:  Viscosidad dinámica del fluido. 

Re:  Número de Reynolds. 

Referencias Bibliográficas 

1.  Richardson J.F and Zaki W.N. “Sedimentation and fluidisation”, Part I. Trans. Inst. Chem. Eng. 32: (1954). 35-53.          [ Links ]

2. Schubert H., Heidenreich E., Liepe F. “Mechanische Verfahrenstechnik”. Deut scher Verlag für Grundstoffindustrie, 2: Auflage (1990).          [ Links ]

3.  Zogg M. “Einführung in die Mechanische Verfahrenstechnik”, B.G. Teuner Stuttgart, 3. Auflage, 1993.        [ Links ]

4.  Norma DIN 66111 sobre Métodos de Sedimentación, DIN Norme 66111 Über Sedimentations method en, 1998.          [ Links ]

5.  www.lum-gmbh.com/pages/products/lumifuge/products_lumifuge_specifications.htm        [ Links ]