Dependability assessment by simulation of a dynamic system with different modes of ageing

Gabriel Antonio Pérez Castañeda^1,2, Jean-François Aubry¹, Nicolae Brinzei¹

¹ CRAN CNRS UMR 7039, Nancy – Université, INPL – ENSEM. 2, avenue de la forêt de Haye, 54516 Vandoeuvre-lès-Nancy. +33(0)3 83 59 59 59, +33(0)3 83 59 59 55. perezc76@ensem.inpl-nancy.fr; jean-francois.aubry@isi.u-nancy.fr;  nicolae.brinzei@ensem.inpl-nancy.fr.

² Instituto Tecnológico de Tehuacán. Libramiento Instituto Tecnológico s/n, 75770, Tehuacán, Puebla, México. +52 238 382 24 48, +52 238 382 39 51.

Abstract

The concept of dynamic reliability aims to take into account the interactions between the dynamic and deterministic functional behavior of the system and the stochastic dysfunctional behavior of its components. Some problems must be taken into account in the dynamic reliability: (i) the dynamic interactions between the physical parameters (usually represented by the continuous variables) and the nominal or dysfunctional behavior of the components (usually represented by the occurrence of events), (ii) the instant and the order of the events occurrence, including failures, (iii) the modes of ageing of the multiple components according to the system state. The traditional tools of the reliability can not be applied effectively to solve these problems because they assume an invariant structure in time for the system. This paper presents the reliability assessment of a dynamic system in which there are reconfigurations involving various modes of ageing for some components (changing laws, changing the parameters of laws etc.). The performance indices of the system, such as the reliability, the availability and the maintainability, are determined by Monte Carlo simulation.

Key words: Dynamic reliability, ageing, hybrid stochastic automaton, Monte Carlo simulation.

Evaluación de la fiabilidad de un sistema dinámico con diferentes modos de envejecimiento

Resumen

La fiabilidad dinámica tiene por objeto tomar en cuenta las interacciones entre el comportamiento funcional dinámico y determinista de un sistema y el comportamiento estocástico de sus componentes. Algunos de los problemas que debe tomar en cuenta la fiabilidad dinámica son: (i) las interacciones dinámicas entre los parámetros físicos (representados generalmente por variables continuas) y el comportamiento nominal o disfuncional de los componentes (representado generalmente por la ocurrencia de eventos); (ii) el instante y el orden de ocurrencia de los eventos, notablemente las fallas; (iii) los modos de envejecimiento múltiple de los componentes según el estado del sistema. Las herramientas tradicionales de la fiabilidad previsional no pueden ser aplicadas eficazmente para resolver estos problemas porque ellas suponen una estructura invariante en el tiempo para el sistema. En este artículo se presenta la evaluación de la fiabilidad de un sistema dinámico en el cual existen re-configuraciones implicando diferentes modos de envejecimientos para ciertos componentes (cambios de leyes, cambio de los parámetros de las leyes, etc.). Los índices característicos del sistema, tales como la fiabilidad, la disponibilidad y la mantenibilidad, son determinados a través de una simulación de Monte Carlo.

Palabras clave: Fiabilidad dinámica, envejecimiento, autómata estocástico híbrido, simulación de Monte Carlo.

Recibido el 2 de Noviembre de 2009

En forma revisada el 4 de Octubre de 2010

Introducción

Para evaluar la fiabilidad de un sistema dinámico híbrido, es necesario tomar en cuenta los problemas que plantea la fiabilidad dinámica. En [1] se ha presentado un estado del arte sobre las diferentes aproximaciones que han sido desarrolladas para solucionar esta problemática. Dada la complejidad y los límites matemáticos para evaluar de manera analítica la fiabilidad de un sistema dinámico híbrido, la fiabilidad dinámica es sólo frecuentemente accesible por simulación. Por esta razón, se ha inventado y definido el nuevo concepto de autómata estocástico híbrido (AEH) el cual permite englobar los problemas relativos a la fiabilidad dinámica e integrarlos en el ambiente de simulación [1, 2]. El AEH ha sido implementado en el ambiente de simulación Scicos de Scilab. En esta contribución, el objetivo es presentar la evaluación de la fiabilidad de un sistema dinámico en el cual existen re-configuraciones implicando diferentes modos de envejecimiento para diferentes componentes.

Envejecimiento de los componentes

La ley que representa la duración de vida de un componente, expresada por el índice de falla l(t), evoluciona en el tiempo siguiendo tres periodos. El primero, llamado de “juventud” o “mortalidad infantil” se caracteriza por un l(t) relativamente importante, pero en decrecimiento. El segundo, corresponde a un periodo de “vida útil” en el cual l(t) es constante. En este periodo el equipamiento está en su fase de maduración. El tercero, es un periodo de “envejecimiento” correspondiendo a un l(t) que aumenta rápidamente en función del tiempo. Estos tres periodos o fases son comúnmente representados por la curva de la bañera [3].

La mayor parte de las técnicas utilizadas en la Seguridad de Funcionamiento (SdF) son válidas para la zona útil. La ley exponencial es la ley más utilizada debido a que permite obtener resultados analíticos sencillos y fáciles de interpretar y corresponde a un l(t) constante. La ley que representa las tres fases de la duración de vida de un material es la ley de Weibull. Esta ley tiene tres parámetros: g es el parámetro de localización y corresponde a una simple traslación sobre la escala del tiempo. h es el parámetro de escala relacionado al tiempo de buen funcionamiento y b es el parámetro de forma. Este parámetro es el más importante de la ley de Weibull ya que interviene directamente sobre la variación del porcentaje de falla y permite de esta manera modelizar alternativamente las tres fases de la curva de la bañera. Un valor de b<1, corresponde al periodo de juventud; para b=1 se tiene el periodo de madurez, en donde encontramos la ley exponencial; y b>1 corresponde al periodo de vejez o de desgaste de los materiales. Así pues, la ley de repartición F(t) y el índice de falla l(t) correspondientes a la ley de Weibull están dadas por:

Métodos

En la literatura se encuentran diferentes formas de abordar el fenómeno del envejecimiento de los componentes. Se tienen aproximaciones basadas en la experiencia y en el conocimiento del fenómeno. Grellier, Oddi y Simon [4] presentan acciones para dominar el envejecimiento y la obsolescencia de materiales electrónicos. También existen aproximaciones que utilizan la ley de Weibull con el fin de dar una estimación del envejecimiento de uno o varios componentes. En [5] el objetivo es la construcción de un modelo que utiliza dos informaciones (distancia y tiempo) transformadas en una sola variable permitiendo modelizar de la mejor manera la solicitación sufrida por un componente. La aproximación presentada en [6] permite distinguir entre una falla debida a la mala concepción de una pieza de un equipo o si la falla es debida al envejecimiento del componente en cuestión. El indicador utilizado para vigilar el comportamiento de un componente es el índice de falla. Así, el envejecimiento de un componente está representado por la acumulación de sus fallas. Por otro lado, Soro, Nourelfath y Aït-Kadi [7] proponen una estrategia de mejoramiento del rendimiento de un sistema multi-estados. El método considera que el estado del sistema se degrada con el uso. Los niveles de degradación no pueden exceder un cierto umbral límite que puede ser considerado como una falla completa. El sistema puede fallar de manera aleatoria en cualquier estado operacional y ser objeto de una reparación mínima. Esta acción de reparación lleva al sistema a su estado operacional precedente sin afectar su índice de falla. Para evaluar las estrategias de mantenimiento de un sistema bajo aspectos económicos, Borgonovo, Marseguerra y Zio [8] proponen tomar en cuenta la duración de vida pasada de un componente así como la previsión de su duración de vida restante. Con el fin de caracterizar el envejecimiento, se tienen dos parámetros importantes: el momento en el cual inicia el envejecimiento y la rapidez con la cual aumenta el índice de falla. 

Para ilustrar el método que se propone, se ha considerado el caso de un sistema dinámico híbrido constituido de un horno y de su sistema de control de temperatura (Figura 1). El sistema está constituido por dos lazos de regulación. El primero, contiene un controlador Proporcional-Integral (PI) el cual tiene como función controlar la temperatura del horno en términos de la temperatura de referencia. El segundo, es del tipo Todo o Nada (TON) el cual permite mantener la temperatura del horno alrededor de la temperatura de referencia (+/– DT). Los dos lazos no pueden funcionar al mismo tiempo. Para esto, un relevador o relé acciona sus dos contactos permitiendo activar el PI o el TON. La orden de pasar de un lazo al otro es dada por el sistema de detección de cruce de umbrales. A cada reparación del PI y del TON, el componente considerado es degradado, es decir, que corre el riesgo de descomponerse mucho más rápido que antes (disminución de la esperanza del tiempo de buen funcionamiento t_bf ). Se puede entonces considerar que si el t_bf alcanza un valor promedio muy débil, esto implica que el componente falla casi inmediatamente después de su reparación, lo que significa que el componente ya no es funcional o está “muerto” y se tiene que reemplazar.

Método propuesto 

Se ha modelado el envejecimiento de los controladores y la falla del horno. Con respecto a los controladores, se ha utilizado la ley de Weibull. El parámetro de escala del tiempo h (llamado también duración de vida característica) ha permitido definir el t_bf y la degradación de los componentes hasta su falla total. En lo que concierne al horno, dos modos distintos de funcionamiento le afectan: cuando su temperatura es controlada por el PI, el horno tiene un comportamiento continuo, su falla sigue una ley en función del tiempo. Por otro lado, cuando su temperatura es controlada por el TON funciona de manera discontinua: se enciende o apaga en función de los umbrales impuestos por el TON. Su probabilidad de falla depende entonces del número de conmutaciones. Al principio de la simulación, se efectúa el tiraje aleatorio para determinar el t_bf de los controladores (t_bfPI y t_bfTON), el tiempo crítico t_crit de funcionamiento en modo PI soportado por el horno y el número crítico de conmutaciones n_crit provocadas por el funcionamiento en modo TON soportadas por el horno. Los parámetros b y g de la ley de Weibull son fijos. A cada falla constatada del controlador respectivo, se disminuye el parámetro h a través de un factor real a como lo indica la ecuación siguiente: 

h = ah,   donde 0<a<1.        (3)

Cuando el t_bf del controlador correspondiente es inferior a un valor predefinido t_minBF (t_minBFPI y t_minBFTON), se remplaza el controlador y se reinicia el valor de h. Se procede de la misma manera para los dos controladores. Con respecto al horno, por un lado se compara el tiempo de utilización t_c del horno en modo PI con el t_crit y por el otro se compara también el número de conmutaciones n_cc sufridas por el horno en modo TON con el número de conmutaciones n_crit autorizadas. Cuando una de estas dos condiciones es verificada el horno ya no es más funcional: 

Estas dos condiciones son sin dimensiones y representan un porcentaje de utilización. La reparación del horno es también tomada en cuenta (m_F ).

Autómata estocástico híbrido

Definición 

Un autómata estocástico híbrido es una 11-tupla 

(X,E, A, X, A, H,F, p, x₀, x₀, p₀)   (6)

en donde

- X es un conjunto finito de estados discretos {x¹, x², …, x^m}, 

- E es un conjunto finito de eventos {e₁,…,e_r } deterministas o estocásticos, 

- X es un conjunto finito de variables reales que evolucionan en el tiempo {x₁,…,x_n}, 

- A es un conjunto finito de arcos de la forma (x,e,G,R,x’ ) donde: x  y x’ son los estados discretos origen y final del arco k, e_j es el evento asociado al arco, G_k la condición de guarda sobre X en el estado discreto x  y R_k es la función de reinicio de X en el estado x’, 

- A: X ´ X ® (Rⁿ⁺ ® R) es una función de “actividades” o “dinámicas” de cada estado discreto, que asocia a un elemento de X ´ X una función definida sobre Rⁿ⁺ y a valores en R,

- H es un conjunto finito de relojes sobre sur R,

- F: H ´ (R ´ [0,1]) es una aplicación que asocia a cada reloj una función de repartición,

- p_i^l es una distribución de probabilidades de transición de estado p(xⁱ | x^l,e) sobre la ocurrencia de un mismo evento hacia dos estados discretos diferentes.

- x⁰, X₀ y p_i⁰ corresponden respectivamente al estado discreto inicial, al valor inicial del vector de estado continuo en el estado inicial discreto y a la distribución inicial de probabilidades de transición en el estado inicial discreto.

Las duraciones de buen funcionamiento y de reparaciones de los componentes son materializadas por los relojes H. Estas duraciones son obtenidas por tiros aleatorios a partir de las funciones de repartición de probabilidad F. Los elementos X, E et A del AEH corresponden al autómata a estados finitos que definen su parte discreta. Por otro lado, X, A, R y G definen su parte continua. H  corresponde a su aspecto temporal y, finalmente F  y p expresan su aspecto estocástico.

Caso test

Comportamiento del sistema

El AEH del sistema dinámico híbrido propuesto (Figura 2) funciona de la siguiente forma: al inicio del funcionamiento del sistema, la temperatura x del horno es controlada por el controlador PI (estado discreto 1). Al cabo de cierto tiempo aleatorio, el controlador falla con un l_PI determinado por h_PI de la ley de Weibull. Como consecuencia, la temperatura del horno aumenta rápidamente (estado discreto 2). El sistema de detección de cruce de umbrales verifica que la temperatura del horno ha alcanzado un valor riesgoso (x ³ x_smax) deduciendo que la temperatura del horno está fuera de control. El sistema de detección da entonces la orden al relevador de cambiar hacia el lazo del TON (estado discreto 3). El lazo del controlador PI está ahora abierto y el lazo del TON cerrado. La temperatura del horno es ahora controlada por el TON (x_infTON £ x £ x_supTON, estado discreto 3 y 4). El proceso de reparación del controlador PI es iniciado con un índice m_PI y un factor de degradación debido a su falla, ecuación (3). Sin embargo, existe la posibilidad de que el controlador TON venga inoperante después de una duración igualmente aleatoria (l_TON) determinada por la ley de Weibull (estados discretos 5, 6 y 7). Una vez que el controlador PI es reparado, el sistema de detección cambia el relé hacia el lazo de éste y abre el lazo del TON. La temperatura del horno es de nuevo regulada por el controlador PI (estado discreto 1). Se incluye igualmente el proceso de reparación del TON (m_TON) y su respectiva degradación si llega a descomponerse. Después de la reparación de los controladores PI y TON, ellos vuelven a ser operacionales pero con una degradación en su funcionamiento debida a las reparaciones que han tenido. En lo que concierne al horno, éste envejece hasta que deja de ser operante a causa de las fuertes solicitaciones: por un lado, debido al funcionamiento continuo cuando está acoplado al controlador PI, y por otro, debido a su funcionamiento discontinuo, cuando está acoplado al TON (estado discreto 10). La muerte de los controladores corresponde a los estados discretos 12 y 13 respectivamente.

Parámetros del AEH correspondientes al caso test

Partiendo de la definición (6) tenemos las siguientes expresiones del AEH del caso test (Figura 2):

- X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, los estados discretos del sistema.

- E = {l_PI, l_TON, l_H, m_PI, m_TON, m_H, d_smin, d_smax, d_infTON, d_supTON, d_infH, r_PI, r_TON, m_PI, m_TON}, los índices de falla y de reparación del PI, del TON y del horno, los índices de reemplazo de los controladores, los umbrales de la temperatura mínima o máxima correspondientes a los controladores y al horno, la muerte de los controladores.