Centenario de kurt Gödel

Los trabajos publicados por Kurt Gödel durante la década 1929-1939 transformaron la lógica matemática de una manera extraordinaria. Su tesis doctoral Uber die Vollstandigkeit des Logikkalculus, de 1929, muestra que los enunciados demostrables a partir de los axiomas del cálculo de predicados son exactamente aquellos que son verdad en cualquier interpretación, es decir, los lógicamente válidos. Su teorema de incompletitud de 1931 posiblemente compite con el teorema de Pitágoras por ser uno de los resultados matemáticos más conocidos, al menos de nombre, y más comentados, fuera del ámbito de la matemática académica. La demostración de la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo, otra de sus grandes contribuciones, fue anunciada en 1938 en los Proceedings of the National Academy of Sciencies, EEUU, y luego publicada in extenso en 1939.

Gödel publicó algunos otros trabajos durante estos años, pero con estas tres contribuciones al desarrollo de la lógica es suficiente para considerarlo el lógico más destacado del siglo veinte. Gödel publicó poco, pero cada uno de sus artículos es una joya por su precisión y claridad, que pone de manifiesto la profundidad y el alcance del pensamiento de su autor. Es difícil escapar de la tentación de decir que por su número de publicaciones, a Gödel difícilmente se le habría situado mediante los mecanismos de evaluación de la actividad de investigación tan de moda por estos días en una posición destacada, aunque a la larga, claro está, el enorme impacto de sus publicaciones pondría de manifiesto su importancia.

No es éste el lugar apropiado para analizar en detalle el trabajo matemático de Gödel. No obstante, es apropiado hacer un breve comentario sobre el teorema de incompletitud. Uno de los aspectos más sorprendentes de las matemáticas, en particular de la lógica matemática, es que permite demostrar la indemostrabilidad de algunos enunciados. El teorema de incompletitud de Gödel establece que en cualquier sistema axiomático que contenga la aritmética hay enunciados tales que ni el enunciado mismo ni su negación se pueden demostrar a partir de los axiomas del sistema. Un enunciado con estas propiedades se dice indecidible en el sistema en cuestión. Para precisar bien el contexto del teorema, conviene señalar que éste se aplica a sistemas axiomáticos que satisfacen además dos otras condiciones; a saber, el sistema debe ser no contradictorio y algorítmico. Un sistema es contradictorio si a partir de sus axiomas se puede deducir una contradicción. Para las matemáticas, los sistemas contradictorios no son interesantes, ya que por las leyes deductivas de la lógica, de una contradicción se puede deducir cualquier cosa: en un sistema contradictorio todo es demostrable. La segunda de las condiciones adicionales quiere decir que para el sistema en cuestión debe existir un algoritmo para determinar si un enunciado es uno de los axiomas o no lo es. De poco sirve, por ejemplo, un sistema axiomático cuyos axiomas sean todos los enunciados aritméticos verdaderos; ya que, como es bien sabido, hay muchos enunciados aritméticos interesantes cuya veracidad no se ha podido determinar. Más aún, el objetivo de un sistema axiomático para la aritmética es, precisamente, servir de instrumento para determinar la veracidad de enunciados aritméticos. El teorema de incompletitud de Gödel establece, pues, que para cualquier sistema axiomático razonable de la aritmética, hay enunciados aritméticos cuya veracidad no se puede determinar en el sistema.

Se ha argumentado con frecuencia que el teorema de incompletitud pone un límite a las posibilidades del razonamiento. Si bien es cierto que el teorema saca a relucir una cierta limitación del método axiomático, es evidente que su demostración constituye una admirable proeza intelectual que muestra los elevados niveles de refinamiento y sofisticación que puede alcanzar el razonamiento matemático.

En 1940 Gödel ingresó al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue colega y amigo de Einstein y von Neumann. Allí trabajó hasta que murió en enero de 1978, por desnutrición e inanición debidas a su neurosis.

El próximo 26 de abril se cumplirán cien años del nacimiento de Kurt Gödel, ocurrido en Brünn, ciudad de la antigua provincia astro-húngara de Moravia. Esta ocasión es propicia para resaltar la importancia de su obra para el desarrollo de la lógica y los fundamentos de las matemáticas. Recientemente apareció el quinto y último volumen de la edición hecha por Oxford de las obras completas de Gödel, donde se recoge toda la obra escrita -incluso los escritos hasta ahora no publicados y la correspondencia- de este extraordinario y singular personaje que escribió mucho y publicó poco.

Carlos Augusto Di Prisco

Departamento de Matemáticas. Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas