Desagregación temporal de lecturas acumuladas de consumo de agua potable por medio de métodos estocásticos

Víctor Hugo Alcocer Yamanaka, Velitchko Tzatchkov y Víctor Bourguett Ortíz

Víctor Hugo Alcocer Yamanaka. Ingeniero Civil, Maestro y Doctor en Ingeniería Hidráulica, Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Especialista en Hidráulica, Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA). Profesor, UNAM, México. Dirección: IMTA, Paseo Cuauhnáhuac #8532, Colonia Progreso, Jiutepec, Morelos, México. e -mail: yamanaka@tlaloc.imta.mx

Velitchko Tzatchkov. Ingeniero Civil, Instituto Superior de Ingeniería Civil y Construcciones, Sofía, Bulgaria. Doctor en Hidráulica Computacional, Instituto de Hidrotecnia, Riego y Drenaje, Sofía, Bulgaria. Especialista, IMTA, México. Profesor, UNAM, México. e-mail: velitchk@tlaloc.imta.mx

Víctor Bourguett Ortíz. Ingeniero Civil, Maestro en Ingeniería Hidráulica y Candidato a Doctor UNAM, México. Subcoordinador de Hidráulica Urbana, IMTA, México. Profesor UNAM, México. e-mail: vbourgue@tlaloc.imta.mx

RESUMEN

El consumo doméstico de agua potable tiene carácter estocástico y puede ser representado como series de pulsos rectangulares de Poisson (PRP). Para generar las series de consumo se requieren parámetros tales como intensidad, duración y frecuencia de los pulsos, representados por su valor medio, varianza y distribución de probabilidad. La obtención de estos parámetros se basa en la medición directa de la demanda instantánea con intervalo de registro de 1s por varios días, lo que genera una enorme cantidad de datos a manejar y es impráctica al requerir de equipos especiales. Aquí se presenta un método para estimar los parámetros necesarios para generar las series de consumo instantáneo, con base en mediciones con intervalos >1s (p.e. 1min). El método considera principios del proceso de Neyman-Scott (N-S) en la desagregación temporal del volumen acumulado. La estimación de los parámetros se fundamenta en la comparación de los momentos observados producto de las mediciones en campo, con los momentos teóricos obtenidos del proceso estocástico. Se plantea una función objetivo que expresa la relación entre ambos momentos, la cual se minimiza obteniéndose los parámetros que caracterizan estadísticamente al consumo instantáneo. Una vez estimados tales parámetros, el modelo estocástico permite abordar el problema de la generación de series sintéticas de consumo, empleando cualquier intervalo de agregación temporal. El método fue validado por medio de una comparación entre series generadas con los parámetros resultantes del método propuesto y series medidas en campo.

Time disaggregation of water consumption readings by means of stochastic methods

SUMMARY

Residential water demand is highly unsteady and stochastic, motivating the development of methods that model it as a series of rectangular pulses following a Poisson process (PRP methods). In order to generate the demand series, these methods require parameters of the instantaneous water demand, such as frequency of water use, and intensity and duration of stochastic demand pulses, each of them defined by its mean, variance and probability distribution. Procedures for obtaining those parameters are generally based on direct observation of instantaneous water demand by registering it every second at selected homes for several days. That direct technique is impractical, because of the enormous amount of data generated and processed, and the need of special equipment. A method for estimating the necessary parameters for simulating the instantaneous water demand from meter readings of >1s (e.g. 1min) is presented. The proposed method considers some principles from the Neyman-Scott (N-S) process, such as the disaggregation of the accumulated water volume, based on a comparison between statistical moments of the observed larger interval demand series and theoretical moments of the instantaneous water demand. An objective function expressing the relation between theoretical and observed moments is formulated and minimized by non linear programming. The intensity, duration and frequency or arrival rate of the instantaneous demand pulses are thus obtained. Using these results, instantaneous water demand series, or demand series with any averaging interval, can be generated. The method is validated by comparing the generated demand series with observed demand series.

Desagregação temporal de leituras acumuladas de consumo de água potável por meio de métodos estocásticos

RESUMO

O consumo doméstico de água potável tem caráter estocástico e pode ser representado como séries de pulsos retangulares de Poisson (PRP). Para gerar as séries de consumo se requerem parâmetros tais como intensidade, duração e freqüência dos pulsos, representados por seu valor médio, variância e distribuição de probabilidade. A obtenção de estes parâmetros se baseia na medição direta da demanda instantânea com intervalo de registro de 1s por vários dias, o que gera uma enorme quantidade de dados a manejar e é nada prática por requerer de equipamentos especiais. Aqui se apresenta um método para estimar os parâmetros necessários para gerar as séries de consumo instantâneo, baseados em medições com intervalos >1s (p.e. 1min). O método considera princípios do processo de Neyman-Scott (N-S) na desagregação temporal do volume acumulado. A estimação dos parâmetros se fundamenta na comparação dos momentos observados, produto das medições em campo, com os momentos teóricos obtidos do processo estocástico. Estabelece-se uma função objetivo que expressa a relação entre ambos os momentos, a qual se minimiza obtendo-se os parâmetros que caracterizam estatisticamente ao consumo instantâneo. Uma vez estimados tais parâmetros, o modelo estocástico permite abordar o problema da geração de séries sintéticas de consumo, empregando qualquer intervalo de agregação temporal. O método foi validado por meio de uma comparação entre séries geradas com os parâmetros resultantes do método proposto e séries medidas em campo.

Palabras clave / Agua Potable / Consumo de Agua Potable / Desagregación Temporal / Modelos Estocásticos / Neyman-Scott /

Recibido:  23/07/2007.  Aceptado:  19/08/2008.

En las últimas décadas se han realizado avances importantes en la modelación matemática de redes de distribución de agua; sin embargo, no es así en cuanto a la modelación del consumo. Existen ahora programas computacionales (software), como Epanet (Rossman, 2000), Scadred (Tzatchkov e Izurieta, 1996) y otros, que permiten introducir la red completa (incluyendo red secundaria) en un ambiente gráfico y modelar su operación en estado permanente (análisis estático) y no permanente (análisis dinámico). Usualmente para representar los consumos de agua potable de los usuarios para los fines de la modelación dinámica se emplean curvas de variación horaria (método tradicional). La modelación de las redes con el uso de ese tipo de curvas resulta aceptable para las tuberías principales donde la variación del caudal conducido es continua, pero es poco realista en las tuberías secundarias que proporcionan el servicio, dado que el consumo real en un domicilio se presenta con pulsos instantáneos, generalmente de poca duración, seguidos de periodos prolongados sin consumo (Figura 1).

Ante esta situación, para modelar con mayor certeza el comportamiento hidráulico y de calidad del agua dentro de las redes de distribución, incluyendo las tuberías secundarias, surge la necesidad de enfoques más realistas, que incluyan una definición temporal más precisa del consumo doméstico con escalas inferiores a la horaria. En general resulta útil con el enorme potencial de beneficios prácticos contar con modelos matemáticos capaces de representar con realismo el proceso de la demanda del consumo doméstico de agua, y a su vez generar series sintéticas temporales y espacio-temporales de consumos de agua instantáneos. Con ello se abre las puertas a un número importante de investigaciones y posibilita incorporar mejoras en el proceso de análisis del comportamiento de redes, simulación de escenarios futuros en diferentes zonas de las ciudades, proyectos de ampliación, gestión de redes existentes, entre otros. Un ejemplo de lo anterior es el "estancamiento" (V= 0) que se presenta con frecuencia dentro de las tuberías en servicio.

Trabajos previos

El reconocimiento de que los consumos se producen aleatoriamente ha motivado a algunos investigadores (Kiya y Murakawa, 1989; Buchberger y Wu, 1995) a formular que la ocurrencia de consumos a lo largo del tiempo sigue un proceso de Poisson, habiendo sido verificada esta hipótesis (Buchberger et al., 2003). Un proceso de Poisson es un proceso aleatorio de sucesos independientes y que basa su ocurrencia en una distribución de probabilidades. Además, dicho proceso es estadísticamente no estacionario, debido a que la frecuencia del consumo doméstico de agua a lo largo del día varía considerablemente de unas horas a otras.

Recientemente se han desarrollado modelos de simulación como el PRP (Poisson rectangular pulses; Buchberger et al., 2003), que permiten generar series de consumos bajo criterios estocásticos. Cada consumo individual de agua se representa como un pulso rectangular con una altura (intensidad) x y un ancho (duración) aleatorios. La generación de las series utiliza los siguientes parámetros básicos: tasa de llegada o frecuencia de los pulsos individuales l, intensidad promedio de los pulsos μ_x, varianza de esa intensidad Var (μ_x), duración promedio de los pulsos h y la varianza de esa duración Var (h). La obtención de estos parámetros se ha realizado generalmente con base en mediciones de consumo con intervalo de registro de 1s, lo que requiere de sofisticados equipos de medición y almacenamiento de datos, y de un elevado esfuerzo computacional en el análisis de los datos generados (Buchberger et al., 2003).

Realizar mediciones con intervalo de 1s tiene la ventaja de obtener directamente la evolución del consumo instantáneo, pero es impráctica dada la enorme cantidad de datos por manejar (del orden de cientos de miles a millones de registros para un solo domicilio, muchos de los cuales son iguales a cero). Por ello, paralelamente se han desarrollado en los últimos años técnicas orientadas a la estimación indirecta de los parámetros l, μ_x, Var(μ_x), h y Var(h) de series observadas de la demanda con intervalos de registro más largos, destacando la desagregación espacial y temporal (Alcocer et al., 2006; Guercio et al., 2001). Métodos de esta naturaleza también han sido desarrollados para la modelación de la lluvia (Rodríguez-Iturbe et al., 1984). En esas técnicas, la estimación de los parámetros se basa en el planteamiento de una función objetivo que expresa la relación entre los momentos estadísticos de la serie observada y los momentos teóricos del modelo estocástico, que se minimiza a través de técnicas de programación no lineal, obteniéndose a partir de ello los parámetros deseados.

Nadimpalli y Buchberger (2003) realizaron una comparación entre esas técnicas, aplicadas al problema de estimación de los parámetros con base en ejemplos. Las técnicas se diferencian entre sí por el tipo de distribución de probabilidad que se asume para gobernar el comportamiento de algunos parámetros tales como por ejemplo la duración e intensidad de los pulsos, y por el proceso estocástico que se emplea como base para formular los momentos teóricos involucrados (Rodríguez-Iturbe et al., 1984). En particular, Nadimpalli y Buchberger (2003) realizaron un análisis para definir la certeza en los valores estimados con cuatro de esas técnicas. Los resultados de su análisis demuestran que el proceso de Guercio et al. (2001) involucrando una distribución de probabilidades normal obtiene un grado de confiabilidad mayor con respecto a los procesos de Poisson y markoviano propuestos por Rodríguez-Iturbe (1986). Sin embargo, ninguna de las técnicas cumple con la condición de poder trabajar con diferentes escalas de tiempo y simultáneamente obtener resultados favorables en cuanto a la estimación de parámetros, por lo que se requiere de métodos que permitan realizar funciones de agregación y desagregación temporal con mayor flexibilidad sin importar el intervalo de registro (h) empleado.

En este trabajo se propone un método para estimar los parámetros básicos necesarios para generar las series de consumo, a partir de la desagregación temporal de mediciones con intervalo de registro >1s. A diferencia de los métodos conocidos mencionados, la estimación se realiza con datos de series de consumo medidos en los propios domicilios, lo que elimina el error debido a la agregación espacial. Parte de la formulación matemática está basada en un tipo de proceso estocástico, conocido como proceso o esquema de Neyman y Scott (N-S). El esquema de N-S fue desarrollado en 1958 y aplicado para describir la distribución de las galaxias en el espacio (Neyman y Scott, 1958). La formulación teórica de este método se ha convertido en la representación de algunos fenómenos en el campo de la física, biología y ciencias sociales (Lewis, 1972). Posteriormente, este esquema fue aplicado por Rodríguez-Iturbe e Eagleson (1987) y Rodríguez-Iturbe et al. (1987) en el campo de hidrología.

El método propuesto fue validado con datos de consumo de agua potable de domicilios ubicados en la ciudad de Culiacán, México.

Formulación del método propuesto

El comportamiento estocástico de la lluvia ha sido un campo de aplicación de esquemas como N-S; sin embargo, en la modelación del consumo doméstico generalmente no se han realizado este tipo de trabajos, por lo que es ilustrativo establecer las analogías que existen entre ambas acciones dentro de la formulación. En términos generales se establece que los eventos incluidos dentro del esquema de N-S, podrán definirse como lluvia o series de pulsos de consumo doméstico, según sea el caso. Básicamente se trata de un proceso de cierta tasa de llegada (frecuencia) de eventos donde el evento por tratar (registros de consumo doméstico o lluvia) se presenta simulando un proceso de Poisson con parámetro l, que representa el número de ocurrencias por unidad de tiempo y donde existe un número aleatorio de celdas (pulsos de demanda) asociadas a cada evento. La unidad dimensional de la tasa de llegada es 1/T, siendo T el tiempo. El tiempo entre el inicio del evento y el origen de cada celda o pulso se distribuye exponencialmente y es representado por el parámetro b. En otras palabras, b representa el tiempo promedio entre el origen del evento y cada una de las celdas. De igual forma que la tasa de llegada, b se expresa dimensionalmente como 1/T.

La función de densidad de la distribución exponencial de probabilidad es

f(u,b)= b e^-bu   (1)

donde u: variable aleatoria (argumento de la función) y b: parámetro, en este caso el tiempo promedio entre el inicio del evento y las celdas.

Por convención dentro del esquema de N-S, el inicio del primer pulso o celda, no obligatoriamente coincide con el origen del evento al que pertenece. Otra consideración del esquema es que el origen de cada celda o pulso rectangular es independiente de la ocurrencia de otra celda dentro del evento, por lo que puede haber superposición de pulsos (Figuras 2 y 3). Un argumento adicional del esquema es que la magnitud de la intensidad (x) y la duración (h) de los pulsos se gobiernan por una distribución exponencial. Dimensionalmente, dentro del esquema de N-S la duración h^-1 se expresa en unidades T y la intensidad x como V/T, donde V: volumen acumulado de lluvia o de consumo.

Propiedades de segundo orden del esquema de N-S

Las expresiones analíticas que describen el esquema se expresan a través de momentos teóricos de segundo orden que involucran la media, varianza y covarianza de los pulsos (Rodríguez-Iturbe et al., 1984, 1987, 1988; Cowpertwait et al., 1996a, b). La derivación de las propiedades de segundo orden del esquema para conocer la altura de precipitación o volumen acumulado parte de la siguiente definición de Y(t) (Rodríguez Iturbe et al., 1987):

    (2)

donde X: Variable independiente aleatoria. N: denota el origen del evento siguiendo un proceso de Poisson. u: variable integración dependiente de X, por tanto, X (t-u) en función de (t), es la intensidad del pulso en tiempo "t", referente a la celda con origen t-u.

De forma particular, la media de la intensidad del proceso puede estar representada como el producto de la tasa de llegada referida al origen de la celda  l, la duración promedio por celda y la intensidad promedio de cada celda, teniendo (Rodríguez-Iturbe et al., 1987)

E((T(t))= l μ_c h^-1 μ_x= rμ_cμ_x   (3)

siendo r= l/h un parámetro adimensional que representa el factor de utilización, y μ_x= E(X) la intensidad promedio de cada pulso (l³/T).

La covarianza con desplazamiento t estará dada por

(4)

donde Cov((dN(t₁),dN(t₂)) podrá ser expresada (Cox e Isham, 1980) en términos de una función condicional de la intensidad h(u) dentro del proceso N-S como

c(u)=Cov((dN(t₁),dN(t+u)) =lµ_c(d(u)+h(u)-lµ_c)dtdu (5)

donde d: función de delta Dirac.

Para el proceso de N-S, la función condicional de la intensidad, h(u), estará dada entonces por (Rodríguez-Iturbe et al., 1987)

  (6)

De acuerdo con Cox e Isham, (1980),

c(u)= lμ_c(d(u)+½μ_c^-1E((C(C-1))be^-bu)  (7)

donde μ_c= E(C), expresa el valor medio del número de celdas o pulsos por evento.

También, siendo X una variable aleatoria, tenemos que X_t-u(u)= X o 0, con probabilidades de e^-hu ó de 1-e^-hu, respectivamente.

Por lo tanto, a partir de la Ec. 4, y señalando que μ_x²= E²(X), se tiene

  (8)

Considerando t= 0 en la Ec. 8, se obtendrá la varianza del volumen del proceso,

Var((T(t))=rμ_cE(X²)+½rμ_x²E(C²-C)b/(b+h) (9)

Expresado lo anterior, podremos ahora emplear la función de covarianza c_Y(t) expresada en la Ec. 8 para deducir las propiedades de segundo orden del proceso agregado Y_i^(h), donde Y_i^(h) representará la intensidad acumulada a través de un intervalo de longitud h. Por lo tanto, el proceso Y_i^(h) se define como (Rodríguez-Iturbe et al., 1987; Enthekhabi et al., 1989).

E(Y_i^(h))= rμ_cμ_xh   (10)

  (11)

  (12)

Recordar que l^-1: tiempo promedio entre dos eventos; b^-1: tiempo promedio entre cada pulso individual y el origen del evento; h^-1: duración promedio de los pulsos; μ_x: intensidad promedio de los pulsos; y h: intervalo agregación/desagregación analizado.

Dado que se consideró una distribución exponencial, se tiene que (Devore, 2000)

E(X2)= 2μ_x= 2E(X)  (13)

Para C³1, la distribución podrá ser geométrica o de Poisson, según sea el caso (Velgue et al., 1994; Cowpertwait et al., 1996a). Dado que E(C)= μ_c, se tiene que

E(C²-C)= 2m_c²-2μ_c  (14)

para el caso de distribución del tipo geométrica) y

E(C²-C)= μ_c²-1  (15)

para el caso de distribución del tipo Poisson.

Esta expresión difiere a la expuesta por Rodríguez-Iturbe et al., (1987) y Entekhabi et al., (1989), donde se expresa que

E(C²-C)= μ_c²+2 μ_c  (16)

En nuestro caso de validación se asume la expresión de la Ec. 15.

Definidas las expresiones del esquema de N-S, se formula la función objetivo

  (17)

donde F’_1, F’_2,… F’_n,: valores de los momentos observados, es decir, la media, varianza y correlación lag-1, entre otros; F₁, F₂, F₃,…F_n,: momentos teóricos (Ecs. 10, 11 y 12); y z(l, μ_x, μ_c, h, b): funciones del vector de parámetros.

Para este caso de aplicación en consumos domésticos, se consideró n= 3, que representa la media, varianza y covarianza en la Ec.17.

Metodología

En la realización del proceso de desagregación se abordan diferentes etapas como el análisis de datos, formulación del modelo propuesto, estimación de parámetros y su validación (Figura 4). Dentro de la estimación de parámetros se considera una técnica de optimización que emplea dos tipos de momentos: teóricos y observados. Los momentos observados se calculan a partir de los registros de consumo en campo. Posteriormente estos momentos se introducen dentro de la función objetivo formulada en el esquema de N-S (Ec. 17).

En la formulación del esquema de N-S se deberá establecer el intervalo de análisis, que para este caso en particular será de 1min, ya que las mediciones en campo se realizaron con ese intervalo de registro. Enseguida, se realiza a través de técnicas de programación no lineal, NLP (método de gradiente conjugado con derivadas centrales y estimación cuadrática), la minimización de la función objetivo.

A partir de la solución del esquema de optimización, se obtienen los parámetros estadísticos necesarios {l, μ_x, μ_c, h, b} para su introducción en un modelo computacional de generación de series de consumo aleatorio, como lo es el modelo Neyman-Scott de pulsos rectangulares de Poisson (NSRPM). Dado que se trata de un evento estocástico, es importante realizar cierto número de simulaciones dentro del NSRPM, considerando una semilla de generación de números aleatorios diferente entre una simulación y otra. Finalmente, con fines de comprobación se comparan las series sintéticas obtenidas a partir del NSRPM con la serie original medida en campo. Es importante señalar que la generación de las series fue realizada con base en el modelo de dominio público contenido en el portal rainfall data modelling (RDMP; www.rdmp.org/).

Validación

El esquema se validó con una base de datos generada a partir de mediciones realizadas en nueve casas de habitación de la zona Humaya en Culiacán, Sinaloa (Alcocer y Tzatchkov, 2004, 2005). El equipo de medición empleado se compone de tres partes: 1) sensor de pulsos magnético, 2) unidad de almacenamiento de registros, y 3) micromedidor nuevo calibrado. Por su parte, las características del micromedidor domiciliario son (Tzatchkov et al, 2005):

Rango de operación típico:

0,5-25 GPM (1,90-95l·min^-1; 100% ±1,5%)

Gasto mínimo:

0,25 GPM (1,0l·min^-1)

Gasto máximo continuo:

15 GPM (57l·min^-1)

Pérdida de presión:

3,5 PSI a 15 GPM (0,24 bar a 57l·min^-1)

Momentos observados

Con el objetivo de demostrar la metodología planteada de forma inicial, se tomaron los registros de cada minuto durante siete días en una casa habitación. Cabe aclarar que el esquema de N-S es estadísticamente estacionario en el tiempo, lo que obliga a aplicar el modelo en lapsos de tiempo concretos y no a lo largo de todo el día. Lo anterior se debe a que el proceso diario de consumo de agua para una vivienda dada, sigue patrones temporales claramente no estacionarios, con probabilidades de eventos distintas entre unas horas y otras. Se seleccionó una casa habitación de la ciudad de Culiacán, zona "Humaya", con domicilio particular calle Seres #2084, en el horario de 7:00 a 8:00, debido a que presenta una actividad elevada en los consumos de las casas monitoreadas (Figura 5).

Esta misma metodología se aplicó luego a las ocho casas restantes, con el fin de realizar un análisis comparativo considerando el mismo horario, de 7:00 a 8:00. Posteriormente se obtienen los momentos observados que se componen de la media, varianza y covarianza de los registros seleccionados en este horario. Los parámetros estadísticos obtenidos se presentan en la Tabla I.

Aplicación del esquema de Neyman-Scott (momentos teóricos)

Considerando las Ecs. 10, 11, 12 y 17 para los parámetros teóricos y tomando los valores calculados en la Tabla II para los parámetros observados, se aplicó programación matemática no lineal (NLP). Los resultados derivados de la optimización aparecen en la Tabla III. Los mismos reflejan que el tiempo promedio entre la ocurrencia de dos eventos entre las 7:00 y 8:00 es de l_l^-1= 19,20min. Asimismo cabe mencionar que, a diferencia de Alvisi et al. (2003), en la solución del problema de optimización no fue necesario introducir pesos a la función objetivo ni establecer valores fijos a ciertos parámetros, para garantizar valores razonables de los parámetros en la solución óptima.

Generación estocástica del consumo

Los valores de los parámetros obtenidos por el esquema de N-S, son introducidos dentro del modelo de generación de consumo, NSRPM. Dado que el esquema de N-S basa la ocurrencia de los eventos siguiendo una distribución de probabilidades de tipo exponencial (Figura 3), por definición el valor de la varianza será igual al cuadrado del valor medio (Devore, 2000). Esta situación se aplicará en el cálculo de las varianzas de la duración e intensidad de los pulsos.

Simulación de series de consumo empleando el modelo NSRPM

Una vez obtenidos los cinco parámetros necesarios (l, μ_x,μ_c, h y b) además del caudal promedio, se realizan las simulaciones para generar series de consumo empleando el modelo NSRPM. Cabe recordar que el intervalo analizado es de 7h (420min), que es equivalente a la medición realizada de una hora en cada uno de los siete días analizados (Figura 5). Se realizaron 50 simulaciones a través del NSRPM considerando diferente semilla de generación de números aleatorios en cada una de ellas (método de Monte-Carlo). En la Figura 6 se muestran las series generadas a partir del modelo NSRPM en el horario de 7:00 a 8:00 y se comparan con la serie original. La Tabla IV muestra los parámetros estadísticos obtenidos a partir de las series generadas por el NSRPM. La comparación entre las Tablas II y IV demuestra que la media y covarianza de la serie original y de las 50 series generadas son similares en orden de magnitud.

Implicaciones en la modelación hidráulica de la red de distribución

En los modelos de simulación de redes de distribución de agua comerciales (Watercad^®, Info^®Works, etc) o de dominio público (EPANET), las demandas se asignan por medio de valores constantes, o por un patrón con la variación horaria durante el día para el caso de simulaciones con periodos extendidos. Esta situación es poco realista a nivel de toma domiciliaria, dado que el consumo se expresa mediante pulsos instantáneos de duración corta. En la Figura 7 se comparan el consumo promediado e introducido posteriormente al programa EPANET (0,572l·min^-1), la variación del consumo doméstico medida en campo, y la serie generada por las simulaciones hechas con NSRPM.

Este procedimiento, que involucra estimación de parámetros y generación de series sintéticas, se repite en cada una de las horas de interés de la casa habitación analizada. Por ello, y con el objetivo de ampliar la validación del método, se consideraron nueve casas habitación y un horario de interés de 7:00 a 8:00. Una vez aplicado el método de NSRPM (Figura 8) se tiene que la periodicidad (inverso de la tasa de llegada) de cada evento en la muestra seleccionada, resultó ser l= 38,83min en promedio. Posteriormente se obtiene el número de pulsos m_c. Para el caso específico de las nueve casas, se obtuvo un promedio en el número de pulsos en el horario de 7:00 a 8:00 de 7,30 pulsos por evento. Por estudios previos (Alcocer et al., 2004; Alcocer y Tzatchkov, 2005) se tiene que el número de pulsos del agua durante el día en la zona de "Humaya" de la ciudad de Culiacán, es de ~87 pulsos. Considerando 18h de actividad se obtiene ~5 pulsos por hora. Así, el número de pulsos obtenido por NSRPM y teniendo en cuenta que es una hora de una actividad elevada, resulta de un orden de magnitud similar (Figura 9).

Finalmente, se tiene la duración h e intensidad m_x de los pulsos de consumo. La duración promedio de los pulsos resultante en las nueve casas habitación es de 35,32s (Figura 10). Los valores de h son del mismo orden de magnitud que los obtenidos por (Feliciano, 2005), quien reporta una duración promedio de los pulsos de 44,61s en una casa habitación con nivel socioeconómico medio y de 54,35s en una vivienda con nivel clasificado como alto o residencial. En el caso de la intensidad m_x, el valor promedio resultó de 6,10 l·min^-1 (Figura 11). Este resultado es del mismo orden de magnitud que el intervalo de valores comprendido entre 5,18 y 7,54 l·min^-1, previamente obtenidos en estudios realizados en la zona "Humaya" (Alcocer et al., 2004; Alcocer y Tzatchkov, 2005). Los valores de los parámetros (l, b, m_x, h, m_c) en las nueve casas, obtenidos a través del esquema de NSRPM, presentan similitudes con respecto a trabajos de caracterización de consumos domésticos previamente realizados. Esto genera confiabilidad al momento de aplicar el método.

Asimismo, el esquema permite representar adecuadamente los consumos en intervalos de registros menores, comparados al originalmente medido. Con el empleo de las técnicas de estimación propuesta en este trabajo será posible 1) medir con intervalos de registro mayores a 1s para obtener los parámetros del consumo instantáneo, 2) ampliar la aplicabilidad de métodos de generación de consumo, 3) reducir considerablemente el esfuerzo asociado a la medición del consumo doméstico instantáneo, y 4) realizar cálculos hidráulicos y de calidad del agua con mayor exactitud a través de la introducción de las series generadas de consumo en los modelos de redes.

Finalmente, con la generación de los parámetros de los pulsos de consumo instantáneos y acumulados se pueden generar las series de consumo que podrán emplearse para diferentes objetivos como 1) integración con un modelo de simulación hidráulica, como EPANET o Watercad, entre otros, 2) obtención de patrones de consumo reales, 3) análisis indirecto del porcentaje de fugas (Alcocer et al., 2004), y 4) comparación entre las series estocásticas y la curva tradicional de la demanda (CNA, 2004).

Comentarios finales

Las técnicas descritas han sido desarrolladas y probadas para redes con servicio continuo. A pesar de que en principio la metodología que se propone es general, su aplicación tendría que validarse aparte en servicios con discontinuidad, dado que los patrones de demanda o consumo serían diferentes a los que presentan continuidad en el servicio de agua. Sin embargo, eso sería motivo de estudio futuro.

Otro punto importante es la relación entre el consumo promedio total (p.ej. mensual) y el tipo de vivienda. Por estudios previos se sabe que el consumo promedio es muy diferente dependiendo si la vivienda es residencial (<62m³/vivienda mes), media (<40m³/vivienda mes) o popular (<12m³/vivienda mes). En la metodología propuesta en este artículo, el consumo total en una vivienda se obtiene por medición, por lo que es independiente del tipo de vivienda. No obstante, en el proceso subsiguiente de agregación de la demanda de un grupo de usuarios (lo que no se trata en este artículo) hay que considerar los tipos de vivienda con su distribución porcentual y demanda promedio.

Conclusiones

El método propuesto basado en el esquema de NSRPM, tuvo resultados satisfactorios comparados con las mediciones realizadas en campo (Tablas II y IV). Esta situación indica que con el método es posible obtener los parámetros del consumo estocástico a partir de medidas con intervalo de registro >1s sin perder exactitud en el cálculo de las series de consumo. Además, se reduce considerablemente el esfuerzo asociado a la medición, recolección y procesamiento de los datos. A través de este tipo de métodos que involucren la desagregación temporal y el NSRPM, se tendrá la oportunidad de acoplarlos con programas de simulación comerciales o de dominio público, y realizar cálculos hidráulicos y de calidad del agua en redes de distribución con mayor certeza.

Finalmente, la desagregación temporal podrá en un futuro ser acoplada a esquemas de agregación espacial (Tzatchkov et al., 2006) y así generar guías que definan el intervalo de medición y el grado de esqueletización más adecuado. Esto dependerá del tipo de estudio, vivienda y simulación que se aborde dentro de las redes de distribución, incluyendo modelos que requieren mayor detalle, hasta el nivel de tuberías y tomas domiciliarias.

Agradecimientos

Los autores reconocen la colaboración de Gayatri Nadimpalli al facilitarnos su informe técnico sobre la estimación de parámetros.

Referencias

1. Alcocer V, Tzatchkov V (2004) Estudio de la variación espacial y temporal de la demanda en redes de agua potable. Informe Técnico. Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. 272 pp.        [ Links ]

2. Alcocer V, Tzatchkov V (2005) Estudio de la variación espacial y temporal del consumo intradomiciliario. Informe técnico. Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. 99 pp.        [ Links ]

3. Alcocer YV, Tzatchkov V, Bourguett V (2004) Variación estocástica de la demanda de agua potable. Memorias del II Simposio Internacional: Gestión del Agua y Medio Ambiente. HIDROLARA / Universidad Centrooccidental Lisandro Alvarado, Venezuela. 10 pp.        [ Links ]

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