Comparación de técnicas de optimización de multirespuesta en la industria de los alimentos basado en la sensibilidad de la selección de parámetros

José L. Varela ¹, José S. Fermín ² y Yonny J. Albornoz ³

¹ Profesor, Instituto Universitario de Tecnología Cumaná (IUTC), Venezuela. Licenciado en Matemática, Universidad de los Andes (ULA), Venezuela. M. Sc. en Matemática, Universidad de Oriente, Venezuela. Cursante de Doctorado en estadística, ULA, Venezuela. Dirección: La Pedregosa parte baja, Res. Los Trigales, Torre D, Apto. 2-4, Mérida, Estado Mérida, Venezuela. e-mail: leovarela01@gmail.com

² Profesor, IUTC, Venezuela. M.Sc. en Estadística, ULA, Venezuela. Ph.D. en Estadística, Kansas State University, EEUU. e-mail: simon.fermin@gmail.com

³ Licenciado en Matemática, ULA, Venezuela. M.Sc. en Matemática, UDO, Venezuela. Profesor, UDO, Venezuela. e-Mail: yonnalbor@gmail.com

RESUMEN

El objetivo de este trabajo es comparar dos técnicas de optimización de multirespuesta basados en parámetros de selección: valores targets, cotas de aceptabilidad y pesos. Dichas técnicas se basan en una medida cuantitativa, en la cual las diversas variables de respuesta se transforman en una función distancia. Al realizar la comparación de los resultados obtenidos al aplicar las técnicas de optimización de Khuri-Conlon y de Vining a un conjunto de datos reales provenientes de la industria de los alimentos se obtuvo que la técnica de Khuri-Conlon es más robusta respecto al parámetro de valores targets, con valores óptimos obtenidos más cercanamente a sus valores "ideales" que al aplicar la técnica de Vining.

Comparison of food industry multi-response optimization techniques based on the sensitivity of selection parameters

  SUMMARY

The aim of this work is to compare two multi-response optimization techniques based on selection parameters: target values, acceptability margins and weights. The techniques are based on a quantitative measurement, in which the different response variables are transformed into a distance function. When comparing the results obtained upon application of the optimization techniques of Khuri-Conlon and of Vining to a set of real values from the food industry, it was found that the Khuri-Conlon technique is more robust with respect to the target values, with optimal values being closer to their "ideal" values than after applying the Vining technique.

Comparação de técnicas de otimização de multiresposta na indústria dos alimentos baseado na sensibilidade da seleção de parâmetros

RESUMO

O objetivo deste trabalho é comparar duas técnicas de otimização de multiresposta baseados em parâmetros de seleção: valores alvo, quotas de aceitabilidade e pesos. Ditas técnicas se baseiam em uma medida quantitativa, na qual as diversas variáveis de resposta se transformam em uma função distância. Ao realizar a comparação dos resultados obtidos na aplicação das técnicas de otimização de Khuri-Conlon e de Vining a um conjunto de dados reais provenientes da indústria dos alimentos, se obteve que a técnica de Khuri-Conlon é mais robusta em relação ao parâmetro de valores alvo, com valores ótimos obtidos mais próximos aos seus valores "ideais" que ao aplicar a técnica de Vining.

PALABRAS CLAVE / Función de Multiples Respuestas / Optimización Simultánea / Regresión Polinómica /

Recibido: 25/02/2008. Modificado: 16/09/2008. Aceptado: 29/09/2008.

A menudo, tanto en la industria como en muchas áreas científicas, se obtienen datos sobre diversas variables respuestas para un nivel dado de un conjunto de variables controlables. Un experimento en el cual un número de variables respuestas se miden simultáneamente para cada nivel de un conjunto de variables controlables se denomina un experimento de multirespuesta. Son numerosos los ejemplos de experimentos de multirespuesta (Khuri y Cornell, 1996); un ingeniero industrial desea estudiar la influencia de la velocidad y profundidad de corte sobre la vida útil y razón de pérdida de metal, y un tecnólogo de alimentos se interesa en determinar las combinaciones óptimas de los diversos ingredientes de un producto sobre la base de aceptabilidad y valor nutricional. En estos ejemplos es de interés la determinación de las condiciones sobre el conjunto de variables controlables que optimiza una función de multirespuesta.

El análisis de datos provenientes de un experimento de multirespuesta requiere cuidadosa consideración de la naturaleza multivariante de los datos. En otras palabras, las variables respuestas no se deberían investigar individual e independientemente una de otra. Khuri y Cornell (1996) señalan que las interrelaciones que pueden existir entre las respuestas pueden dar como resultados que tales estudios univariantes sean insignificantes. Por ejemplo, si se desea optimizar diversas funciones de respuestas simultáneamente, sería infructuoso obtener óptimos individuales. Las condiciones óptimas para una respuesta pueden estar lejos del óptimo, o aún físicamente impráctico, para otras. También, en el diseño y análisis de experimentos de multirespuesta, un diseño adecuado a una respuesta puede producir resultados insatisfactorios para las restantes respuestas. En este caso la meta de la optimización de multirespuesta es hallar el nivel de las variables de diseño (controlables) para obtener un compromiso óptimo de las variables de respuesta. Por compromiso óptimo se entiende un nivel de operación de las variables de diseño (controlables) tal que cada variable del producto esté tan cerca como sea posible del valor ideal.

Muchos enfoques han sido propuestos para resolver el problema de optimización de multirespuestas. Derringer y Suich (1980) transforman cada función de respuesta en una función de deseabilidad y luego maximizan la media geométrica de las funciones de deseabilidad individuales para obtener una solución compromiso. Lind et al. (1960), Floros y Chinnan (1988), Rustom et al. (1991) y Fermin y Corzo (2005) superponen gráficas de contornos para resolver problemas que involucran optimización de multirespuesta. Este método, aunque simple y directo, tiene sus limitaciones en grandes sistemas que involucren diversas variables independientes y un gran número de variables de respuesta. Khuri y Conlon (1981) presentaron un procedimiento basado en una función distancia que calcula la cercanía global, donde las funciones de respuesta logran sus respectivos óptimos en el mismo conjunto de condiciones y posteriormente se encuentra una solución comprometida minimizando esta función distancia sobre la región experimental. Pignatiello (1993), Ames et al. (1997) y Vining (1998) propusieron minimizar una medida basada en una función de pérdida multivariante que evalúa la pérdida cuando las respuestas se desvían de sus "targets". Chi-Bin (2004) usa un sistema neuro-difuso denominado sistema de inferencia neuro-difuso múltiple adaptable (SNDAM) a fin de modelar un sistema que tenga respuestas múltiples y luego usa un algoritmo genético para optimizar este sistema de respuestas.

El objetivo del presente trabajo es comparar dos técnicas analíticas de optimización de multirespuesta, las de Khuri y Conlon (1981) y de Vining (1998), basado en la sensibilidad de la selección de parámetros, targets, cotas y pesos. Para ello, se examinan dichas técnicas, se aplican a datos experimentales provenientes de la industria de los alimentos (Fermin y Corzo, 2005) y finalmente se discuten las diferencias y similitudes de los resultados.

El Modelo Lineal General Multivariante

Sea N el número de corridas experimentales y r el número de variables de respuestas, las cuales pueden ser medidas para un conjunto de k variables codificadas x₁,x₂,...,x_k. Se asumirá que las variables de respuesta pueden ser representadas por modelos de regresión polinomiales en los valores de x_i, i = 1,2,...,k dentro de cierta región R. Por lo tanto la i-ésima respuesta del modelo puede ser escrita en forma vectorial como

Y_i = Z_ib_i+e_i, i = 1,2,...,r                  (1)

donde Y_i: vector con dimensión N´1 de observaciones sobre la i-ésima respuesta, Z_i: matriz de dimensión N´p_i de rango p_i de funciones conocidas de el conjunto de entradas de las variables codificadas, b_i: vector p_i´1 de parámetros desconocidos, y e_i: vector de errores aleatorios asociados con la i-ésima respuesta (i=1,2,… ,r).

También se asumirá que

E(e_i) = 0

Var(e_i) = s_ijI_N, i = 1,2,...,r  

Cov(e_i, e_i) = s_iiI_N, i,j = 1,2,...,r, i ¹ j                      (2)

La matriz r¹r, cuyo (i,j)-ésima elemento es s_ij (i=1,2,… ,r), será denotada por S. Las ecuaciones en (1) pueden ser representadas como

Y=Zb+e                 (3)

donde y

Z: matriz diagonal por bloques diag(Z₁,Z₂,...,Z_k). Por ejemplo, para r =3 respuestas, la Ec. 3 se convierte en

donde Y_ui y e_ui son, respectivamente, los u-ésimos elementos de Y_i, y e_i (u= 1,2,…,N; i= 1,2,…,r), y b_li es el l-ésimo elemento de b_i(l=1,2,...,p_i; i=1,2,,...r) De la Ec. 2 puede deducirse que e tiene una matriz de varianza covarianza

Var(e)= SÄI_N

donde Ä hace referencia al producto de matrices o producto Kronecker. Por definición, el producto directo de dos matrices, A y B, de ordenes n₁ ´ n₂ y m₁ ´ m₂, respectivamente, es la matriz A´B de orden n₁ m₁ ´ n₂ m₂, la cual es particionada como [a_ijB], donde a_ij es el (i,j)-ésimo elemento de A.

El mejor estimador lineal no sesgado (BLUE, de best linear unbiased estimator) de b es (Zellner, 1962)

                     (4)

donde ∆= ∑ÄI_N, y por lo tanto ∆^-1= ∑^-1ÄI_N. La matriz de varianza covarianza de es

                        (5)

Las Ecs. 4 y 5 requieren que se conozca ∑. Si ∑ es desconocido, como usualmente ocurre, entonces un estimador de β puede obtenerse reemplazando ∑ en la Ec. 4 por su estimador , siempre y cuando el mismo sea una matriz no singular. Tal estimador fue propuesto por Zellner (1962) y está dado por = (_sij), donde

 

                    (6)

En particular, si en la Ec. 1 Z_i= X₀, es decir, todas las variables tienen el mismo modelo, para i=1,…, r, entonces Z=I_rÄX₀. En este caso,

y así, el estimador BLUE de β no depende de ∑. Por lo tanto, el BLUE de β_i es el mismo que se obtiene usualmente mediante mínimos cuadrados para cada respuesta calculado individualmente.

Técnicas de Optimización de Multirespuesta

Khuri-Conlon

Para el desarrollo de esta técnica se asume que cada una de las variables de respuesta es expresada por modelos polinomiales de regresión del mismo grado dentro de una cierta región de interés. Primero los datos serán chequeados para detectar posibles dependencias lineales entre las respuestas. En caso de existir tales dependencias estas respuestas, que son funciones lineales de las otras, serán removidas (Khuri y Conlon, 1981). Más aún, cada fila en la matriz de errores dada en la Ec. 3 se asume que se distribuye normal bivariante con un vector de media cero y una matriz de varianza-covarianza S.

Sea el valor óptimo de Ŷ_i(x) optimizado individualmente sobre la región experimental (i=1,2,….,r) y sea . Si estos óptimos individuales se obtienen en el mismo conjunto, x, de condiciones de operación, entonces se dice que se obtiene un óptimo "ideal". En este caso el problema de optimización de multirespuesta está resuelto y no se necesita realizar trabajo adicional. Tal óptimo ideal raramente existe. En situaciones más generales se considera hallar condiciones de compromiso sobre las variables de entrada que sean algo favorable a todas las respuestas. Por ello, condiciones de compromiso serán aquellas bajo las cuales la función de multirespuesta se desvía tan poco como sea posible del óptimo ideal, eso es, en tales condiciones se tiene un "cerca-óptimo" para cada uno de las r funciones de respuesta predicha en la ecuación i=1,2,…, r. Tal desviación de las condiciones de compromiso del óptimo ideal se puede formular por medio de una función de distancia que mide la distancia de Ŷ(x), considerado como un punto en el espacio euclídeo r-dimensional de f, el vector de óptimos individuales. Esta función distancia se denota por r Ŷ[(x),Ф]. La optimización de multirespuesta involucra el hallazgo de las condiciones sobre x que minimizan esta función de distancia sobre la región experimental.

Antes de definir ρ, nótese que Ф es un vector aleatorio, pero en la minimización de r[ Ŷ(x),Ф], Ф es tratado como un punto fijo en el espacio r-dimensional. Si la aleatoriedad de Ф no es tomada en consideración se puede obtener condiciones óptimas erróneas. Es necesario entonces incorporar la variabilidad de Ф dentro de ρ.

Una variedad de escogencias es posible para esta función de distancia, r. Una escogencia natural, basada en consideraciones estadísticas (Khuri y Conlon, 1981), es

                 (8)

Por otro lado,

donde d_ij es el (i,j)-ésimo elemento de la matriz de varianza covarianza S. Por lo tanto,

                      (9)

donde y z'(x) es un vector fila de dimensión p, donde p es el número de parámetros, cuya primera componente es 1 y las restantes p-1 componentes consisten de potencias y productos cruz de x₁,...,x_k, lo cual dicta la forma del modelo polinomial, y X es la matriz de diseño de cada uno de los modelos considerada individualmente. De las Ecs. 8 y 9 se tiene que

                 (10)

En general, ésta es la escogencia que se hace de la función de distancia. La Ec. 10 claramente requiere que no exista dependencia lineal entre las r respuestas, puesto que si este fuera el caso, la matriz S sería singular y por lo tanto r no estaría definida. Nótese que las Ecs. 8 y 10 fueron desarrolladas sin tomar en cuenta la aleatoriedad de f. Recuérdese que las componentes de Ф son los óptimos individuales de las variables aleatorias . Por lo tanto las componentes de Ф son variables aleatorias en si. Sea z_i el óptimo real de la i-ésima respuesta, optimizado individualmente sobre la región experimental, i=1,…,r, y sea z=[z₁, z₂,..., z_r]. Si la variabilidad asociada con cada una de las componentes de Ф es grande, entonces cualquier métrica que se defina puede que no mida adecuadamente la desviación de Y(x) del óptimo ideal. Como Ф es un vector aleatorio, el verdadero óptimo ideal viene dado por z, no por Ф. Por tal motivo, la variabilidad de Ф debe ser tomada en cuenta en el desarrollo de la distancia métrica y, como consecuencia, se propone el siguiente procedimiento. Sea r la función distancia definida como se hizo en Ec. 10; el objetivo es encontrar un vector x dentro de la región experimental R, tal que r[Y(x),z] tenga un mínimo absoluto sobre R. Sin embargo, como z no es conocido, se minimiza una cota superior de la función distancia respecto a z. Para complementar esto, se introduce una región de confianza sobre z, región que es denotada por D_z. Para un punto fijo x en R claramente se tiene que

(11)

donde h es un punto en D_z, y el máximo obtenido en (11) es obtenido con respecto a h sobre D_z. El lado derecho de (11) sirve como sobreestimado de la distancia r[Y(x),z]. Subsecuentemente, el mínimo de r[Ŷ(x),z] sobre R no puede exceder el mínimo correspondiente de la cota superior mencionada anteriormente, esto es,

entonces el mínimo sobre R de la distancia entre Ŷ(x) y z es ≤d₀. Este último valor proporciona una buena aproximación a la distancia existente entre el compromiso óptimo y el óptimo ideal.

En Khuri y Conlon (1981) se demuestra que las desigualdades

γ_i ≤ z_i ≤ γ_i i=1,2,...,r             (12)

se cumplen simultáneamente con un coeficiente de confianza de al menos 1-a*, donde

(13)

siendo que a*=1-(1-a)^r, MS_i: cuadrado medio del error para la i-ésima respuesta, x_i: punto en R en el cual Ŷ(x), la i-ésima variable de respuesta estimada, alcanza el óptimo individual f_i y

De esta manera la región de confianza, D_z, queda determinada por expresiones 12 y 13.

Vining

La técnica de optimización de Khuri-Conlon considera la correlación entre las respuestas y, de igual manera, considera la calidad de la predicción a través de la varianza de Ŷ(x). Por otro lado, no toma en cuenta la correlación estructural e ignora la economía del proceso, lo cual no le permite al analista crear prioridades apropiadas para cada una de las respuestas separadamente. La técnica de optimización que se presenta a continuación permite considerar tanto la economía del proceso como la correlación estructural. La ventaja primordial de este procedimiento radica en la habilidad de incorporar la calidad de la predicción y el hecho que bajo ciertas condiciones Khuri-Conlon es un caso especial.

Considérese la función de pérdida del error cuadrático en el caso univariante

L=c[Ŷ(x)-f]²

donde Ŷ(x): valor predicho para una respuesta simple en algún x, f: valor objetivo o más óptimo para esta respuesta, y c: costo aproximado. Supóngase que f es conocido. Es importante notar que Ŷ(x) se obtiene a partir de

Ŷ(x) = X'

donde : vector de coeficientes estimados. El principal objetivo es hallar el valor de x₀ que minimice E(L), lo cual depende de la minimización de E([Ŷ(x)-f]²). En este sentido c viene siendo un parámetro de cierta manera nulo, pues no es relevante para la optimización.

El análogo multivariante para la función de pérdida del error cuadrático es

L=[Ŷ(x)-Ф]' C[Ŷ(x)-Ф]

donde C: matriz definida positiva de costos o pesos. Generalmente el proceso económico determina C, sin embargo el analista puede escoger C para crear prioridades apropiadas sobre las respuestas. El objetivo principal, en este caso, es encontrar un vector x₀ que minimice E(L). Ahora,

            (14)

bajo la suposición de que el modelo ajustado es el correcto para cada una de las respuestas, Ŷ(x es un estimador de E[Ŷ(x)], así de la Ec. 14 se tiene que

                    (15)

donde el término [Ŷ(x)-f]' C[Ŷ(x)-f] representa la penalidad impuesta para cualquier valor predicho que no logre simultáneamente todas las condiciones de los valores targets o ideales, y C var[Ŷ(x)] representa la penalidad impuesta por la calidad de predicción. En la Ec. 15 se ve que C, la matriz de costo, es central y no puede ser ignorada en la minimización, como en el caso univariante.

La Ec. 15 es similar a la función de pérdida

 ,

propuesta por Pignatiello (1993). La diferencia está en que este autor considera la matriz de varianza-covarianza estructural de las respuestas en lugar de aquella para las respuestas predichas; su procedimiento considera la correlación estructural sobre las respuestas, pero no toma en cuenta la calidad de la predicción.

El estimador de var[Ŷ(x)] es el mismo que el dado en (9), y para no hacer tan engorrosa la notación

h₀₀ =z'(x)(X'X)^-1z(x), var[Ŷ(x)]= h_{00 ∑},

notación que es mucho más sencilla y donde se puede apreciar mejor el impacto de la matriz de varianza-covarianza de las respuestas sobre la función de pérdida.

Como una alternativa para escoger C se sugiere C=K^∑-1 donde K es una matriz escogida de manera adecuada y determina los contornos definidos por las respuestas. Si se usa el mismo modelo para cada una de las respuestas, entonces de la Ec. 15 se tiene que

Por supuesto, la escogencia de K depende de un proceso de interés particular. En la mayoría de los casos, K es una matriz diagonal, donde los elementos de la diagonal reflejan la importancia económica relativa de cada característica.

Optimización

Una vez que las características del producto son combinadas en una función, el paso final es encontrar el mejor compromiso óptimo, es decir, los niveles de operación de las variables de diseño tales que cada variable del producto esté tan cerca como sea posible de su valor ideal. Se sugiere el uso de cualquier técnica numérica de optimización no lineal. En este caso se usó la herramienta computacional Solver de Excel (Microsoft, 2003), la cual usa el método de gradiente reducido generalizado, tal como está implementado en el código GRC2 (Lasdon et al., 1978). Cabe destacar que se debe tener precaución para asegurar que se ha encontrado el óptimo global.

Caso de Estudio

Para obtener los datos experimentales (Fermín y Corzo, 2005) se cultivaron melones (Cucumis melo L.) en El Salado, estado Nueva Esparta, Venezuela, que fueron cortados en un estado de maduración entre verde y maduro. Los mismos fueron pelados y cortados en una orientación radial. Con la ayuda de un dispositivo especial se obtuvieron cilindros de melón de las piezas radiales seleccionadas de manera que tuviesen dimensiones equivalentes. Los trozos cilíndricos, medidos con un micrómetro, tenían promedios de 2.5cm de diámetro y 3cm de altura. La concentración inicial de soluto (ºBrix) del melón fue determinada usando refactrometria (AOAC 1990). Una solución isotónica de sacarosa fue preparada con una concentración de soluto equivalente al melón. Las piezas cilíndricas de melón fueron colocadas sobre una lámina perforada en un desecador que contenía la solución isotónica.

Se formaron aleatoriamente grupos de cuatro cilindros cada uno. Las variables de respuesta pérdida de peso (Y₁), pérdida de agua (Y₂) e incremento de ºBrix (Y₃) fueron determinados para cada cilindro. Una cesta diseñada con cuatro compartimientos fue usada para reunir los cuatro cilindros en cada grupo y de esta manera prevenir interferencia entre los cilindros. Cada grupo experimental fue inmerso dentro de una concentración específica de la solución a 45ºC y se aplicó vacío por 10min. Se continuó la deshidratación en condiciones de presión atmosférica hasta que se completara un intervalo de tiempo seleccionado. Luego de removidos de la solución, cada grupo de cilindros deshidratados fue drenado por 5min, envuelto con papel absorbente para remover el exceso de solución. La pérdida de peso, pérdida de agua y incremento de ºBrix fueron determinados individualmente y se definen como:

donde m₀ y m_f: pesos inicial y final en un tiempo seleccionado, x_w0₀ y x_wf: fracciones inicial y final de agua en un tiempo seleccionado, y x_s0₀ y x_sf: ºBrix iniciales y finales en un tiempo determinado.

En la Tabla I se muestra el diseño compuesto central rotable con tres factores: presión al vacío (x₁), concentración (x₂) y tiempo de deshidratación (x₃), tanto en su forma original como en su forma codificada y los datos de respuesta observados (Y₁, Y₂, Y₃). Cabe destacar que lo que se quiere es alcanzar el mejor compromiso óptimo involucrando de manera simultánea cada una de las variables de respuesta, siendo deseable que Y₁ alcance un valor mínimo, Y₂ un valor máximo y Y₃ un valor mínimo, todos dentro de la región de interés.

TABLA I

Diseño compuesto central rotable correspondiente a la transferencia de masa en la deshidratación osmótica del melón y valores de las variables de respuesta

 

Aplicación a Datos Reales

En esta sección se aplican las técnicas de optimización de multirespuesta de Khuri-Conlon y Vining al caso de estudio. Es posible obtener resultados muy variados dependiendo tanto de la técnica de optimización que se aplique como del parámetro de selección (cotas, targets y pesos) que se escoja.

Ajuste de los datos

Se usaron las técnicas multivariantes descritas arriba, aplicando la Ec. (7), para ajustar los datos experimentales a modelos polinomiales de segundo orden. Para la determinación de lo coeficientes aplicando dichas técnicas multivariantes se usó el programa de computación S-PLUS 2000 (Mathsoft, 2000). Los coeficientes correspondientes a cada uno de los modelos de segundo orden junto con el análisis de varianza se presentan en la Tabla II. Aunque algunos de los coeficientes resulten no significativos, en este caso son considerados todos, puesto que es necesario para poder aplicar cada una de las técnicas de optimizción. Los valores de R² correspondientes al ajuste de las variables de respuestas Y₁, Y₂ y Y₃ son 97,0; 88,0 y 87,1% respectivamente, indicando esto que Ŷ₁, Ŷ₂ y Ŷ₃ explican el 97,0; 88,0 y 87,1% de la variabilidad del sistema. Por otro lado fueron verificados los supuestos de normalidad para cada una de las variables de respuesta usando la prueba de Anderson-Darling, encontrándose que no existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula de distribución normal de cada una de las variables de respuesta.

TABLA II

Anova de los modelos de regresión para y1, y2 y y3

 

Para determinar la idoneidad del modelo de multirespuesta lineal ajustado en la Ec. (1) se utilizó una prueba de falta de ajuste multivariante propuesto por Khuri (1985) .El modelo posee falta de ajuste si falla en proporcionar una adecuada representación de las medias verdaderas de las respuestas en la región experimental. El modelo se considera inadecuado cuando l_a excede un cierto valor crítico, donde e_máx(G₂^-1G₁) denota el valor propio más grande de la matriz r x r G₂^-1G₁ (Morrison, 1976; Roy et al., 1971). Si l_a denota el 100a% punto superior de la distribución de e_máx(G₂^-1G₁) cuando el modelo es correcto, entonces una falta de ajuste significante se detecta en el nivel a si e_máx(G₂^-1G¹)³l_a. El valor del test estadístico de la raíz más grande de Roy dado en e_máx(G₂^-1G¹)³l_a es e_máx(G₂^-1G¹)=2,8816. El valor crítico l_a para este test se obtiene de la tabla de distribución generalizada beta dado en Foster (1957). Esta tabla da valores de x_a, el 100a% punto superior de la distribución del valor propio más grande de la matriz (G₁+G₂)^-1G₁ cuando el modelo es correcto. La relación entre l_a y x_a, viene dada por .

En el nivel de significancia a =0,10, x_a =0,9615 y de aquí l_a=24,97. Consecuentemente, se concluye que no hay evidencia de falta de ajuste al nivel del 10%, puesto que e_máx(G₂^-1G¹) = 2,8816<l_a= 24,97, de tal modo que el modelo de multirespuesta lineal (1) es correcto.

Condiciones de operación óptimas (Khuri-Conlon)

Para la aplicación de la técnica de optimización de multirespuesta de Khuri-Conlon es necesario estimar la matriz de varianza-covarianza de las respuestas. Dicha matriz fue estimada usando el estimador desarrollado por Zernell (1962), que viene dado en la Ec. (6). Al aplicar dicha ecuación se obtiene que

Los resultados obtenidos al aplicar la técnica de Khuri-Conlon se presentan en la Tabla III.

TABLA III

Resultados obtenidos al aplicar la técnica de khuri-conlon

 

Condiciones de operación óptimas (Vining)

Para aplicar la técnica de Vining es necesario escoger la matriz C, según se explicó en la técnica de optimización correspondiente. En este caso para la matriz C se consideró C=KS^-1, donde

y, por otro lado, es la misma que al aplicar el procedimiento de Khuri-Conlon. Se consideró K igual a la matriz identidad basándose en el supuesto de que cada una de las variables de respuesta tiene la misma importancia. Los resultados obtenidos al aplicar la técnica de Vining se muestran en la Tabla IV.

TABLA IV

Resultados obtenidos al aplicar la técnica de vining

Comparación de Técnicas de Optimización de Multirespuesta

Luego de obtenidos los resultados al aplicar las técnicas de optimización de multirespuesta de Khuri-Conlon y Vining a datos reales, se procedió a comparar dichas técnicas basados en el parámetro de selección (cotas, targets y pesos).

La Tabla V muestra los resultados obtenidos al aplicar las dos técnicas de optimización. Las alternativas 0* y 1* muestran los resultados obtenidos con la técnica de Khuri-Conlon, considerando valores por debajo de T₁=0,01. Específicamente se consideró T₁=0,01 y 0 para las alternativas 0* y 1*, respectivamente, dejándose fijos los valores correspondientes para T₂ y T₃. Puede observarse que los resultados no difieren entre si. Por otro lado, las alternativas 0 y 1 muestran los resultados obtenidos al aplicar la técnica de Vining considerando los mismos targets de 0* y 1*, y puede observarse que no hay diferencia significativa entre ellas. Al comparar los resultados obtenidos en 0* y 1* con los obtenidos en 0 y 1 puede verse que Khuri-Conlon obtiene valores óptimos mas cercanos a los valores targets para Y₂ y Y₃, y por otro lado Vining presenta un mejor resultado en T₁. Bajo estas condiciones se concluye que la técnica de Khuri-Conlon es mejor que la técnica de Vining.

TABLA V

Comparación de los resultados obtenidos al aplicar las técnicas de optimización

Las alternativas 2* y 3* igualmente consideran valores por debajo de T₁=0,01, específicamente T₁=0, pero en este caso se incrementa T₂ a 16,5 permaneciendo fijo T₃=0. Puede observarse que los resultados al aplicar la técnica de Khuri-Conlon no difieren entre si. Análogamente, las alternativas 2 y 3 muestran los resultados al aplicar la técnica de Vining considerando los mismos targets y puede observarse que no hay diferencia significativa entre dichas alternativas. Al comparar los resultados obtenidos en 2* y 3* con los obtenidos en 2 y 3 puede observarse que Khuri-Conlon arroja valores mas cercanos a los valores targets para Y₂ y Y₃, y por otro lado Vining presenta un mejor resultado en Y₁. Bajo estas condiciones se concluye que la técnica de Khuri-Conlon es mejor que la de Vining.

Las alternativas 4* y 5* al igual que en las alternativas anteriores, consideran valores por debajo de T₁=0,01, específicamente T₁=0, pero en este caso se incrementa T₂ a 17 y se deja de igual manera fija T₃=0. Al igual que en los análisis anteriores, al comparar los resultados obtenidos 4* y 5* con los obtenidos en 4 y 5, puede concluirse que bajo estas condiciones la técnica de Khuri-Conlon es mejor que la de Vining.

Por otro lado, la alternativa 6 muestra los resultados obtenidos al aplicar la técnica de Vining considerando T₁=0,01, T₂=15,69 y T₃=0, pero en este caso se considera una matriz de costo que agrega una penalidad adicional a cada una de las variables de respuesta, y puede concluirse que bajo estas condiciones no hay diferencia significativa entre la técnica de Khuri-Conlon y la de Vining.

Al comparar estos resultados obtenidos, con los obtenidos en 0* puede observarse que la técnica de Vining obtiene mejores resultados para Y₁ mientras que Y₂ no muestra una diferencia significativa, pero por otra parte Y₃ muestra un valor que se aleja demasiado del target. Bajo estas condiciones puede concluirse que la técnica de Khuri-Conlon sigue siendo mejor que la de Vining.

Conclusiones

Al comparar los resultados obtenidos al aplicar la técnica de Khuri-Conlon con los obtenidos al aplicar la técnica de Vining, basados en el parámetro de selección (cotas, targets y pesos) se tiene que, para este caso específico, la técnica de Khuri-Conlon es más robusta respecto al parámetro de selección, de valores targets, y los valores óptimos obtenidos se encuentran mas cercanos a sus respectivos valores ideales que al aplicar la técnica de Vining.

Referencias

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