Modelo de daño para elementos de concreto armado sometidos a corte y flexión

PERDOMO M. E. ⁽¹⁾, CASTRO L. ⁽¹⁾, PICÓN R. ⁽¹⁾, MARANTE M.E. ⁽¹⁾, FLÓREZ-LÓPEZ J.⁽²⁾

⁽¹⁾ Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado. Departamento de Ingeniería Estructural. Decanato de Ingeniería Civil. Av. La Salle. Zona Industrial I. Barquisimeto, Venezuela.

⁽²⁾ Universidad de los Andes. Departamento de Estructura. Escuela de Ingeniería Civil. Facultad de Ingeniería. Av. Tulio Febres. Mérida, Venezuela.

RESUMEN

En este trabajo se propone un modelo de comportamiento de elementos de concreto armado degradables por corte y flexión. El modelo propuesto está basado en conceptos de la teoría del daño concentrado y describe el comportamiento de elementos de concreto armado bajo carga lateral monotónica. Los elementos de concreto armado se representan mediante el ensamblaje de una viga degradable por corte y dos rótulas inelásticas a flexión en los extremos. La validación del modelo propuesto se realiza comparando los resultados numéricos con resultados experimentales de probetas con degradación a flexión y con degradación a corte sometidas a carga lateral monotónica. Los resultados analíticos muestran una buena correlación con los resultados experimentales.

Palabras clave: análisis no lineal estático y dinámico, modelo de daño concentrado, comportamiento inelástico a corte y flexión, elementos de concreto armado degradables.

Damage model for rc elements subjected to shear and bending

ABSTRACT

This paper proposes a constitutive model of damage in RC members subjected to shear and bending. The constitutive model is based on lumped damage theory and describes the behavior of RC members under monotonic lateral load. The RC members are represented by means of the assembly of a damageable beam subjected to damage due to shear and two inelastic hinges to bending at both ends. Validation of the proposed model is made by comparing correlation of numerical and experimental results on samples subjected to damage by bending and by shear under monotonic lateral load. The analytical results show very good agreement with experimental results.

Keywords: nonlinear static and dynamical analysis, model of lumped damage, inelastic behavior to shear and flexion, reinforced degradable concrete element.

Recibido: junio de 2006 Revisado: diciembre de 2006

INTRODUCCIÓN

En los últimos 40 años, a partir del análisis de resultados experimentales en elementos de concreto armado, se han desarrollado modelos constitutivos o de comportamiento histerético que definen la no linealidad del concreto armado sometido a cargas reversibles, con la finalidad de evaluar estructuras existentes. La eficiencia de estos modelos analíticos depende de la capacidad para representar los principales efectos inducidos por los sismos, tales como: pérdida de rigidez, pérdida de resistencia y el efecto de estrangulamiento. En 1976 Ma et al. conducen un estudio analítico y experimental del comportamiento histerético de vigas rectangulares y de sección Te. En uno de los programas experimentales se evaluó el comportamiento a corte de vigas rectangulares. Se ensayaron dos especimenes de concreto armado con distribución de acero simétrico. Las probetas ensayadas se diseñaron con igual sección transversal y diferentes relaciones a/d, se sometieron a cargas cíclicas reversibles. Las principales conclusiones de este estudio indican que la energía disipada de la viga con mayor relación a/d (más larga) es el doble de la energía disipada por la viga más corta, esto se debe a la degradación de la resistencia al corte en las regiones críticas, observándose un fuerte estrangulamiento en los lazos de histéresis del especimen. Las deformaciones y fuerzas cortantes se incrementan cuando disminuye la relación entre el claro o luz y la altura de la viga. Los registros de diagramas distorsión-fuerza cortante indican que después de la cedencia del refuerzo se degrada la resistencia a corte de los elementos cortos y aumentan las distorsiones por cortante con la magnitud de la carga aplicada, siendo mayor cuando las cargas son cíclicas-reversibles.

En 1999 D’ Ambrisi y Filippou, basados en los estudios experimentales de Çelebi y Penzien, 1973; Atalay y Penzien, 1975; Pinto et al., 1995, en los cuales se evidencian los efectos inelásticos por corte, desarrollan un modelo analítico de comportamiento histerético para análisis no lineal de elementos de concreto armado. Este modelo incluye el estrangulamiento o distorsión angular por corte en la viga elástica, el deslizamiento del refuerzo en las regiones críticas, la interacción de la fuerza axial con la abertura y cierre de grietas por corte (degradación de la rigidez). Para validar el modelo propuesto se hicieron simulaciones numéricas y se correlacionaron con los estudios experimentales antes indicados. En este modelo se usan parámetros para las leyes de carga-recarga-estrangulamiento independientes de las propiedades de las secciones de concreto armado.

En el año 2004, Thomson desarrolla un modelo simplificado de daño por corte para el análisis de elementos tipo muro sujetos a cargas laterales. En las recomendaciones del trabajo propone «desarrollar un modelo simplificado para evaluar el daño en elementos aporticados de concreto armado degradables por corte, ya que en los diseños estructurales su uso es frecuente. En este trabajo se desarrolla un modelo computacional de comportamiento para elementos de concreto armado degradables a corte y flexión. El modelo computacional propuesto para elementos de concreto armado degradable por efectos de corte y flexión, está basado en conceptos de la teoría del daño concentrado, mecánica de los medios continuos y de la fractura, se logra adaptando la formulación del modelo de daño para muros de Thomson (2004) y de daño concentrado para elementos sometidos a flexión propuesto en Flórez-López (1993, 1995).

Para validar la formulación matemática desarrollada del modelo se requiere de un estudio experimental del comportamiento de elementos de concreto armado sometidos a flexión y corte. Se realizan ensayos en elementos sometidos a cargas laterales con control de desplazamiento, los ensayos se simulan numéricamente con el elemento para pórticos elastoplásticos degradables a corte y flexión implementado en el programa comercial de elementos finitos ABAQUS con la finalidad de validar el modelo computacional propuesto.

ELEMENTO FINITO PARA PÓRTICOS DEGRADABLES A CORTE Y FLEXIÓN

En los modelos que incluyen efectos inelásticos, la relación entre esfuerzos generalizados y deformaciones generalizadas no es lineal. En estos casos la ley de comportamiento queda plenamente definida por la ley de estado y las leyes de evolución de las variables internas incluidas en el modelo. En el caso de miembros que sufren daño por efectos de flexión, se usa típicamente un modelo de disipación concentrada (Flórez-López, 1993), en el cual cada miembro se representa mediante un ensamblaje de un miembro elástico y dos rótulas inelásticas en los extremos, en las cuales se consideran concentrados todos los efectos inelásticos. En la teoría del daño para medios continuos se usa el concepto de variable de daño para medir la intensidad de microfisuras y microgrietas en un miembro. Esta variable puede tomar valores en el intervalo [0,1]. El valor cero corresponde a un material intacto y el valor uno a un material completamente dañado. En este trabajo los elementos de pórticos se representan mediante el ensamblaje de una viga degradable por corte (Thomson, 2004) y dos rótulas inelásticas a flexión en los extremos (Flórez-López, 1993), (figura 1).

Figura 1. Modelo elastoplástico degradable por flexión y corte.

Para el elemento finito propuesto se define la matriz de flexibilidad del elemento elastoplástico degradable por flexión y corte para pórticos como:

donde:

[Fa] = flexibilidad debida a fuerzas axiales.

[F (d_f)] = flexibilidad de un elemento degradado por flexión.

[F (d_s)] = flexibilidad de un elemento degradado por flexión.

Estas matrices tienen las expresiones que se indican a continuación, considerando las deformaciones generalizadas de los miembros , donde φ_i y φ_j representan las rotaciones de los extremos «i» y «j» respecto de la cuerda «ij» y δ representa la deformación axial del elemento.

di y dj son variables internas correspondientes a los daños por flexión en las rótulas i y j,

ds es una variable interna correspondiente al daño por corte de la viga.

La ley de estado o relación entre esfuerzos y deformaciones queda definida como:

son variables internas correspondientes a las deformaciones plásticas por flexión y corte respectivamente. Las variables internas (deformaciones plásticas y daño) son determinadas a partir de leyes de evolución.

El criterio de Griffith, que es la base de la Mecánica de la Fractura, establece que solo puede haber propagación de una grieta si la tasa de restitución de energía es igual a la resistencia al agrietamiento del elemento. La energía de deformación complementaria de un elemento «dañado» viene dada por la expresión:

donde

W* = energía de deformación complementaria.

d = variable de daño.

[F(d)] = matriz de flexibilidad degradable.

{m}^t = (mi,mj,n) denota los esfuerzos generalizados; donde: m_i y m_j son los momentos flectores en los extremos «i» y «j» del elemento respectivamente, y n es la fuerza axial.

Es importante subrayar que la ausencia de las fuerzas cortantes en la matriz {m} no significa que estas fuerzas no estén siendo consideradas. Las fuerzas cortantes pueden ser determinadas por medio del equilibrio estático del sistema de fuerzas actuantes sobre el elemento, ver desarrollo en el anexo A.

La tasa de restitución de energía del elemento se define como:

Para daño por flexión se tiene que la tasa de restitución de energía de un elemento es igual a:

donde

M = momento flector.

L = longitud del elemento.

V = fuerza cortante.

E = módulo de elasticidad.

I = inercia de la sección.

G = módulo de corte.

Av = área resistente a corte.

La función de resistencia al agrietamiento debe ser identificada con la ayuda de resultados experimentales, en el modelo viene dada por la expresión (Flórez-López, 1995):

donde

Gcr = tasa de restitución de energía del elemento cuando se produce la primera grieta a corte o a flexión. q = parámetro de identificación del modelo.

En elementos dañados por flexión la tasa de restitución de energía del elemento cuando se produce la primera grieta se
expresa como:

y para elementos dañados por corte la tasa de restitución de energía del elemento cuando se produce la primera grieta se expresa como:

donde:

Vcr = corte de agrietamiento del elemento.

Mcr = momento de agrietamiento.

El valor del parámetro (q) de identificación del modelo, para daño por flexión se obtiene a partir de la resolución del sistema de ecuaciones que se indica a continuación:

Para daño por corte (qs) se obtiene a partir de la resolución del sistema de ecuaciones que se indica a continuación:

Mu = momento de agotamiento resistente de la sección.

Vu = corte de agotamiento resistente de la sección.

du = daño para los valores de agotamiento resistente de la sección.

qf = parámetro de identificación del modelo para flexión.

qs = parámetro de identificación del modelo para corte.

El daño durante toda la historia de carga, para elementos degradables, se obtiene a partir de la ley de evolución siguiente:

donde:

Δd = incremento del daño.

G = tasa de restitución de energía del elemento.

R(d) = resistencia al agrietamiento.

Las funciones de fluencia permiten el cálculo de las rotaciones plásticas de un miembro elastoplástico degradable, en el modelo para elementos elastoplásticos degradables por flexión se definen como:

y para elementos elastoplásticos degradables por corte se define como:

En las funciones de fluencia el término X representa el endurecimiento cinemático y el término R el endurecimiento isótropo. Para elementos degradables por flexión los términos de endurecimiento vienen dados por las expresiones:

Para elementos degradadles por corte los términos de endurecimiento vienen dados por las expresiones:

donde:

c, My, Vy, p, α son parámetros de identificación del modelo. Los valores de los parámetros identificación del modelo c, My, Vy dp, se obtienen a partir de la resolución del sistema de ecuaciones que se indica a continuación. Para elementos elastoplásticos degradables por flexión se tiene:

Mp = momento resistente de la sección cuando se produce la primera cedencia del refuerzo longitudinal a tracción.

Mu = momento de agotamiento resistente de la sección.

du = daño para los valores de agotamiento resistente de la sección.

dp = daño para los valores de momento resistente de la sección cuando se produce la primera cedencia del refuerzo longitudinal a tracción. P

φ^p_uf = rotación plástica última en las rótulas inelásticas a flexión.

Para elementos elastoplásticos degradables por corte se tiene:

donde:

Vp = cortante resistente de la sección cuando se produce la cedencia del refuerzo transversal en las zonas críticas a corte.

Vu = corte de agotamiento resistente de la sección. 27

du = daño para los valores de agotamiento resistente de la sección.

dp = daño para los valores de corte resistente de la sección cuando se produce la cedencia del refuerzo transversal en las zonas críticas a corte.P

φ^p_us = rotación plástica última de la sección en las regiones críticas a corte.

La variable (p) representa la rotación plástica máxima acumulada durante toda la historia de carga. El parámetro α es una constante que toma valores entre cero y uno, se interpreta como el porcentaje de endurecimiento plástico que corresponde a endurecimiento cinemático.

Las rotaciones plásticas durante toda la historia de carga, para elementos degradables, se obtiene a partir de la ley de evolución siguiente:

donde:

Δ_φ^P = incremento de las rotaciones plásticas.

f = función de fluencia de las deformaciones plásticas.

Los valores de Mcr, Vcr, Mp, Vp, Mu, Vu, P φuf y son obtenidos de la teoría de concreto armado.

PROGRAMA EXPERIMENTAL

Con la finalidad de validar las ecuaciones de resistencia al agrietamiento propuestas para flexión y para corte, se ensayaron dos probetas, de las cuales una corresponde a un elemento muro con falla predominante a corte, designada como MC-M01 y la otra probeta correspondiente a un elemento columna con falla predominante a flexión designada como CF-M01.

Los dos especimenes se someten a carga lateral monosigno, es decir a carga en una dirección con descarga elástica, con control de desplazamiento en el tope de las probetas, sin fuerza axial aplicada.

Los resultados de los ensayos se presentan gráficamente a través de curvas carga-desplazamiento. Los ensayos se realizaron en el Banco de Ensayos del Laboratorio de Mecánica Estructural del Decanato de Ingeniería Civil de la UCLA. El equipo de aplicación de carga consiste en dos actuadotes hidráulicos de 50 toneladas de capacidad y de una unidad de adquisición de datos «Testar II» de MTS, acoplado a un sistema computarizado de procesamiento de datos (Textware-SX) que permite obtener las curvas carga-desplazamientos en los puntos donde se acoplan los actuadores.

Para la probeta MC-M01 (figura 2), se utiliza una relación a/ d menor a 1.5 con la finalidad de validar el modelo analítico de elementos degradables a corte.

Figura 2. Detalle de la probeta MC-M01.

Para la probeta CF-M01 (figura 3), se utiliza una relación a/ d mayor a 7 con la finalidad de validar el modelo analítico de elementos degradables a flexión.

Figura 3. Detalle de la probeta CF-M01.

La probeta NPF-01 (figura 4), fue diseñada y ensayada para identificar los valores de Mcr, Mp, Mu y  φ^P_uf y compararlos con los valores analíticos propuestos en la teoría de concreto armado, con la finalidad de validar los resultados analíticos obtenidos con el modelo computacional para elementos elastoplásticos degradables por corte y flexión.

Figura 4. Detalle de la probeta NPF-01.

Actualmente se está trabajando en el diseño y ensayo de probetas para identificar los valores de Vcr, Vp, Vu,  φ^P_us y compararlos con los valores analíticos propuestos en la teoría de concreto armado con la finalidad de validar los resultados analíticos obtenidos con el modelo computacional para pórticos elastoplásticos degradables por corte y flexión.

Características de las probetas

Las características geométricas de las probetas de ensayo se indican en la tabla N º 1, las cuales se diseñan de acuerdo a las especificaciones del ACI-318R-2005.

Tabla 1. Características geométricas de los especímenes.

t = ancho de la sección transversal en columnas o espesor en muros,

b = altura de la sección transversal,

a = punto de aplicación de la fuerza lateral,

Rcr = resistencia del concreto para la edad del ensayo.

El acero de refuerzo utilizado tiene una resistencia cedente fy = 4200 kgf/cm². El recubrimiento del refuerzo longitudinal es de 2.5 cm y el recubrimiento del refuerzo transversal de 1.2 cm. Las probetas se conectan a la fundación del banco de ensayo a través de elementos rígidos de concreto armado mediante 10 pernos de 1" de diámetro.

En la tabla 2 se muestran los detalles del refuerzo de los tres especimenes ensayados para validación del modelo. El refuerzo se calcula de acuerdo a las especificaciones del ACI-318R-2005.

Tabla 2. Características del refuerzo de los especímenes.

As = área de acero longitudinal.

Ash = área de acero transversal.

En las figuras 5 y 6 se muestran los resultados experimentales (curvas carga-desplazamiento) de la probeta MC-M01 (muro a corte) de la probeta CF-M01 (columna a flexión) respectivamente.

Figura 5. Resultados probeta MC-M01.

Figura 6. Resultados probeta CF-M01.

Para cada ensayo se determinan las pendientes en la descarga elástica de las curvas carga-desplazamiento. Con las pendientes en la descarga elástica se obtienen los valores de daños por corte para la probeta MC-M01 y de daños por flexión para la probeta CF-M01.

El daño (d) experimentalmente se expresa como:

donde:

d = daño,

z = descarga elástica en cada ciclo,

zo = descarga elástica inicial.

En las figuras 7 y 8 se muestran las curvas experimentales correspondientes a la tasa de restitución de energía (G) vs daño para los ensayos realizados a las probetas MC-M01 y CF-M01, respectivamente.

Figura 7. Tasa de restitución de energía y resistencia al agrietamiento para MC-M01.

Figura 8. Tasa de restitución de energía y resistencia al agrietamiento para CF-M01.

Para cada valor de daño se obtiene el valor de resistencia al agrietamiento R(d) a partir de las expresiones de resistencia al agrietamiento propuesta para corte y flexión respectivamente. Los valores de resistencia al agrietamiento obtenidos para las probetas MC-M01 y CF-M01 se grafican en la curva tasa de restitución de energía vs daño indicadas como figuras 7 y 8, respectivamente.

Se observa en las figuras 7 y 8 una excelente correlación entre la tasa de restitución de energía y la resistencia al agrietamiento propuesta para ambos modelos.

Patrón de agrietamiento de las probetas

En las figuras 9a y 9b se muestra el patrón de agrietamiento correspondiente al ciclo donde se presenta la primera grieta y el estado de agrietamiento al final del ensayo para la probeta designada como MC-M01 (con comportamiento predominante a corte).

Figura 9a. Patrón de agrietamiento de la probeta MC-M01 (ciclo 6).

Figura 9b Patrón de agrietamiento de la probeta MC-M01 (ciclo 14)..

En el especimen MC-M01 al tercer ciclo de carga se origina la primera grieta por corte. Al final del ensayo para 14 ciclos de desplazamientos impuestos se observa la falla característica a corte bajo carga lateral monosigno. El daño obtenido para la primera grieta es de 0.13 y para el último ciclo de 0.87. La carga máxima es de 16375 kgf y un desplazamiento máximo de 27 mm.

En las figuras 10a y 10b se muestra el patrón de agrietamiento correspondiente al ciclo donde se presenta la primera grieta y el estado de agrietamiento al final del ensayo para la probeta designada como CF-M01 (con comportamiento predominante a flexión).

Figura 10a. Patrón de agrietamiento de la probeta CF-M01 (ciclo 6).

Figura 10b. Patrón de agrietamiento de la probeta CF-M01 (ciclo 20).

En el especimen CF-M01 al segundo ciclo de carga se origina la primera grieta por flexión. Al final del ensayo para 23 ciclos se observa la falla característica a flexión en la cara a tracción y aplastamiento del concreto en la cara a compresión bajo carga lateral monosigno. El daño obtenido para la mprimera grieta es de 0.29 y para el último ciclo de 0.76. La carga máxima de 2128 kgf y desplazamiento máximo de 200 mm.

Correlación con resultados experimentales

El modelo de daño propuesto se implementa en un programa de elementos finitos (ABAQUS versión 6.6). Se realizaron simulaciones numéricas bajo carga lateral monosigno, con el modelo de daño para elementos de concreto armado a corte y flexión, de los especimenes MC-M01 (comportamiento predominante a corte) y CF-M01 (comportamiento predominante a flexión).

Adicionalmente se simularon numéricamente, con el modelo propuesto, la envolvente carga-desplazamiento experimental de la probeta a flexión NPF-01 ensayada en el Banco de Ensayos del Laboratorio de Mecánica Estructural del Decanato de Ingeniería Civil de la UCLA bajo carga lateral monosigno y del muro de corte MC-01 ensayado por Thomson (2004).

En la figura 11 se muestra la curva experimental para carga lateral monosigno y la curva analítica obtenida con el modelo propuesto para la probeta CF-M01 considerando la historia de carga-desplazamiento del ensayo realizado.

Figura 11. Simulación numérica de la probeta de ensayo CF-M01.

En la figura 12 se muestra la envolvente de la curva cargadesplazamiento experimental para carga lateral monosigno y la envolvente de la curva carga-desplazamiento analítica obtenida con el modelo propuesto para la probeta NPF-01. El daño por flexión (di) es igual a 0.73 para desplazamiento en el tope de 22 cm, no se obtienen valores de daño por corte.

Figura 12. Simulación numérica de la probeta de ensayo NPF-01.

En la figura 13 se muestra la curva experimental para carga lateral monosigno y la curva analítica obtenida con el modelo propuesto para la probeta MC-M01 considerando la historia de carga-desplazamiento del ensayo realizado. El daño por corte (ds) es igual a 0.65 para desplazamiento en el tope de 15 cm, no se obtienen valores de daño por flexión.

Figura 13. Simulación numérica de la probeta de ensayo MC-M01 (muro a corte).

En la figura 14 se muestra la curva experimental para carga lateral monosigno de Thomson (2004) y la curva analítica obtenida con el modelo propuesto para la probeta MC-01 considerando la historia de carga-desplazamiento del ensayo realizado por Thomson (2004).

Figura 14. Simulación numérica de la probeta de ensayo MC-01 (muro a corte).

CONCLUSIONES

Las curvas de tasa de restitución vs daño indican una excelente correlación entre los resultados experimentales y la resistencia al agrietamiento de los modelos analíticos propuestos para corte y flexión.

La curva carga-desplazamiento analítica, del especimen NPF-  01 de identificación de las propiedades mecánicas de las secciones de concreto armado a flexión, permite validar los valores analíticos de la teoría de concreto armado usados en el modelo computacional.

Los resultados experimentales que se muestran en la curva carga-desplazamiento del elemento de concreto armado sometido a altas fuerzas cortantes, ponen en evidencia su baja capacidad de restitución de energía y pérdida de rigidez. Después de la cedencia del refuerzo longitudinal el agrietamiento por corte (pérdida de rigidez) aumenta con los ciclos de carga.

El modelo computacional propuesto para pórticos elastoplásticos degradables por flexión y corte, usado para simular la respuesta inelástica de elementos de concreto armado sometidos a carga lateral monosigno, permite obtener resultados analíticos similares a los resultados experimentales.

AGRADECIMIENTOS

Los resultados presentados en este trabajo se obtienen como producto de un proyecto de investigación financiado por el CDCHT-UCLA y el FONACIT.

REFERENCIAS

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ANEXO A

MÉTODO DE RIGIDEZ DIRECTA CON VIGAS DE TIMOSHENKO

Consideremos una estructura formada por «m» miembros deformables conectados entre sí por «n» nodos (ver figura 1-A) sometida a un sistema de cargas cualquiera.

Figura 1-A. Desplazamientos generalizados del nodo «i».

Los desplazamientos generalizados del nodo «i» se representan mediante el vector: {U}^t_i (u_i, v_i, θ_i)

donde

u_i es el desplazamiento horizontal del nodo «i», v_i es el desplazamiento vertical del mismo nodo y θ_i es la rotación del nodo «i» con respecto a la posición inicial como se muestra en la figura 1-A.

Los desplazamientos de cualquier miembro «b» que une los nodos «i» y «j», ver figura 2-A, vienen definidos por el vector {q}_b :

Figura 2-A. Elemento de pórtico «b».

donde:

Los desplazamientos nodales de toda la estructura se agrupan en el vector de desplazamientos generalizados:

{U}^t ₌ (u₁, v_1, θ₁ ...................................... u_n, v_n, θ₁)

Las deformaciones generalizadas mostradas en la figura 3- A, de cualquier miembro «b» entre los nodos «i» y «j» que caracterizan el cambio de forma del elemento, en el caso general de pórticos planos con miembros rectos, independientemente si se consideran o no las fuerzas cortantes se expresan en forma matricial, siguiendo la notación propuesta por Powell (1969), como:

Figura 3-A. Deformaciones generalizadas del elemento «b».

Las expresiones de las deformaciones generalizadas son obtenidas imponiendo desplazamientos de los extremos i-j del elemento de pórtico «b»(figura 4-A).

Figura 4-A. Desplazamientos del nodo «i» del elemento «b».

Para desplazamientos u_i, v_i, θ_i en el extremo i del elemento de pórtico se tienen que los incrementos deformaciones, obtenidos por relaciones geométricas, resultan iguales a:

Para desplazamientos u_j, v_j, θ_j en el extremo j del elemento de pórtico se tienen que los incrementos deformaciones, obtenidos por relaciones geométricas, resultan iguales a:

Para pequeños desplazamientos la expresión de las deformaciones generalizadas para los desplazamientos en los extremos i y j viene dada por la ecuación matricial:

donde:

representa la matriz de transformación del elemento.

El teorema del trabajo virtual para el caso particular de cargas estáticas se expresa como:

El trabajo virtual realizado por las fuerzas nodales externas durante un desplazamiento virtual se expresa en forma matricial como:

donde:

{U*}^t =vector de desplazamientos virtuales,

{P}= vector de fuerzas externas nodales

El trabajo virtual realizado por las fuerzas internas de todos los miembros de la estructura durante un desplazamiento virtual se expresa en forma matricial como:

donde:

{φ*}^t_b = deformaciones producidas por los desplazamientos virtuales,

{m}_b = esfuerzos generalizados conjugados con las defrmaciones generalizadas, ver figura 5-A.

Figura 5-A. Esfuerzos generalizados del elemento «b».

Considerando la ecuación cinemática que relaciona desplazamientos con deformaciones:

y sustituyendo la ecuación cinemática en la expresión de trabajo interno se obtiene:

La ecuación de equilibrio para el caso estático es obtenida del teorema del trabajo virtual:

por lo tanto esta ecuación de equilibrio queda expresada como:

A partir de la ley de comportamiento o relación entre esfuerzos y deformaciones, para el caso de pórticos anteriormente definido, si se utiliza la teoría de Euler Bernoulli (se desprecian las deformaciones por cortante) (figura 6) se obtienen las siguientes expresiones de las deformaciones generalizadas en función de los esfuerzos generalizados:

Figura 6-A. Viga de Euler Bernoulli.

En notación matricial la ley de comportamiento o de estado para vigas de Euler Bernoulli se expresa como:

donde:

representa la matriz de flexibilidad para el caso de flexión y fuerza axial.

Si hay fuerzas aplicadas a lo largo del elemento entre los nodos i y j, como se indica en la figura 7-A, la ley de comportamiento se define como:

donde:

{φ₀}  es un vector de deformaciones que depende de las cargas aplicadas.

Figura 7-A. Viga de Euler Bernoulli con cargas aplicadas entre los nodos.

Si se utiliza la teoría de Timoshenko (se consideran las deformaciones por cortante) (figura 8-A), se obtienen las siguientes expresiones de las deformaciones generalizadas en función de los esfuerzos generalizados:

Figura 8-A. Viga de Timoshenko.

En notación matricial la ley de comportamiento o de estado para vigas de Timoshenko se expresa como:

donde:

[F_f] = matriz de flexibilidad para el caso de flexión y fuerza axial, que para el caso de vigas de Timoshenko tiene las mismas componentes que para vigas de Euler Bernoulli (ecuación 2-A).

[F_s]  Representa la matriz de flexibilidad para el caso de corte.

Puede constatarse que aunque en la matriz de esfuerzos generalizados {m}b no están explícitamente definidas las fuerzas cortantes, las deformaciones por cortante si están consideradas al emplear la teoría de Timoshenko en la resolución del problema de la figura 8-A.

Si hay fuerzas aplicadas a lo largo del elemento entre los nodos i y j como se indica en la figura 9-A, la ley de comportamiento se define como:

Figura 9-A. Viga de Timoshenko con cargas aplicadas entre los nodos.

Los esfuerzos en función de las deformaciones se expresan como:

donde:

representa la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales.

define los momentos de empotramiento perfecto.

La sustitución de la ecuación cinemática (1-A) y la ley de comportamiento (3-A) se obtiene la ecuación de equilibrio estático:

donde:

{K} representa la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales.

Si sustituimos la matriz de transformación para un elemento (horizontal) de pórtico con coordenadas locales iguales a las coordenadas globales y se realizan las operaciones matemáticas de la ecuación 4-A, se obtiene la matriz de rigidez de un elemento horizontal de pórtico en coordenadas globales con viga de Timoshenko. Los términos de la matriz se muestran en la expresión (5-A).