El significado de objetos en el aula de matemáticas

Wladimir Serrano Gómez¹

¹Instituto Pedagógico de Miranda. Universidad Pedagógica Experimental Libertador, wserrano@cantv.net

RESUMEN

    Este trabajo discute una cuestión central: ¿qué es el significado en educación matemática? Parte de la consideración de algunas definiciones analíticas y operacionales  de significado y caracteriza al significado de un objeto (para alguien) a través del uso que de ese objeto se haga y, por otra parte, por la explicación que se dé del objeto; destacando así los componentes uso y explicación en la definición de significado. Se destaca también el papel de las situaciones de producción (Alson, 2000) y de las concepciones de los estudiantes en la construcción de significados en el aula para los objetos matemáticos y para los objetos asociados a la actividad matemática (demostrar, explicar, ejemplificar, etc.). A través de un estudio de caso en un grupo de alumnos de 7º grado se muestra: a) la diversidad de significados construidos para los objetos punto, recta, segmento, circunferencia, círculo, triángulo y cuadrilátero; en esta diversidad se encontraron significados alejados de la manera como se entienden estos objetos en la matemática escolar, así como significados apropiados y de un alto grado de abstracción, y b) inconsistencias entre las definiciones correctas que reportaron algunos alumnos y las dudas que manifestaron al representar los objetos que habían definido correctamente.

Palabras clave: Objetos matemáticos, educación matemática, significado de los objetos, enseñanzas de la ciencia.

The meaning of objects in the mathematics classroom

ABSTRACT

    This article addresses the central issue of what is «meaning» in math education.

It begins by considering some analytic and operational definitions of objects, taking into account the use made of such objects and the explanation given for these, emphasizing the role of these two components in the definition of object meaning. Also, the role of the context of production (Alson, 2000), student conceptions in the assigning of meaning to mathematical objects in the classroom and to objects related to mathematical activity like demonstrating, explaining, and exemplifying are emphasized. By means of a case study with a group of seventh graders, the diversity of meanings given to objects such as point, straight line, segment, circumference, circle, triangle, and quadrangle is shown. Meanings removed from the ones usually assigned to these objects in the classroom were found, some of which were both appropriate and abstract. Additionally, some inconsistencies between the correct definitions provided by some students and the doubts they showed in representing objects they had correctly defined were found.

Key Words: mathematical objects, math education, object meanings, science teaching

1. INTRODUCCIÓN

    El significado es un término que ha tomado diversas acepciones no sólo en educación matemática (o didáctica de la matemática) sino también en teorías sobre el lenguaje, filosofía del lenguaje, psicología y pedagogía. Son también muy diversas las maneras como los profesores de matemática entienden este término, en particular en las discusiones sobre el aprendizaje, enseñanza, evaluación o currículo.

    La noción de significado, así como la de aprendizaje de la matemática, entre otras, son consideradas fundamentales a cada desarrollo teórico de la Educación Matemática y sin embargo pueden no ser representativas de estos desarrollos ¹; y en algunos casos permanecen como objetos «transparentes» a la construcción y propuestas teóricas, en el sentido de que no se desarrollan con cierta profundidad en determinado marco o se toman «textualmente» de otras disciplinas, como la psicología –por ejemplo ²–. Esta «transparencia» es entendida por Gascón (1998) a través de «objetos paradidácticos» y por Chevallard (1985) a través de «objetos paramatemáticos»; tal puede ser el caso de términos como demostrar, sustituir, número, etc., usados con frecuencia en el trabajo matemático escolar.

    En este estudio se espera dar respuesta a cuestiones como ¿qué es el significado de objetos matemáticos?, e incluso de objetos que se encuentran relacionados con la actividad matemática en el contexto del aula, tal es el caso de «sustituir», «demostrar», «graficar», entre otros; ¿desde qué dimensiones se puede abordar el estudio del significado?, ¿en qué consiste significar?, ¿existe un significado apropiado para los objetos de que trata la didáctica? y, ¿qué aspectos influyen en la significación (en el contexto del aula)?

Finalmente, se describe una actividad desarrollada con alumnos de tres cursos de 7º grado y se exponen algunas de las observaciones sobre el significado que le otorgan a ciertos objetos geométricos como punto, recta, segmento, circunferencia, círculo, triángulo y cuadrilátero, con la intención de ilustrar la diversidad de significados construidos sobre los mismos objetos en alumnos de un mismo nivel.

2. HACIA UNA IDEA DE SIGNIFICADO

    2.1 ¿Qué es el significado? Una aproximación analítica

    Es preciso aclarar que el término significado ha sido objeto de controversias en las teorías del lenguaje, en semiótica (o semiología) y en la filosofía. Aunque la intención de este estudio es, por una parte, aproximarse a una idea de significado de objetos matemáticos, se estudiarán antes algunas posiciones sobre el significado de formas lingüísticas, como la palabra –por ejemplo–.

    Una pregunta que puede ayudar en esta tarea es: ¿cuál es la unidad (lingüística) más pequeña que tiene significado? Ya Aristóteles consideraba a la palabra como la mínima entidad que posee significado en un idioma, o más precisamente en el habla, una idea que aún hoy está presente en buena parte de la lingüística. Otros, como Hockett ³ (citado por Ullmann, 1967: 30-31) responden a esta pregunta señalando a los morfemas, entendidos como unidades significativas bajo el nivel de las palabras, esto es, que pueden no ser palabras en sí; tal es el caso de los morfemas «tri», «ángulo» y «s» en la palabra «triángulos», y sin embargo pueden (así se espera) «significar» algo a alguien. Aristóteles distinguió dos tipos de significado en las palabras: hay palabras que por sí solas tienen un significado y otras que lo tienen sólo en relación con otras palabras, como en una oración; éstas son instrumentos gramaticales, tal es el caso de «lo», «a», etc.  

    Pero, ¿qué es el significado? Saussure en su Curso de lingüística general (1945) ⁴ se acerca a esta noción desde la de signo (lingüístico). Cita dos ideas que desde esta investigación se consideran importantes para el análisis ulterior:

    1. El vínculo que une un nombre con una cosa no es una operación simple.

    2. Lo que une un signo no es una cosa y un nombre, sino un concepto con una imagen acústica (pp. 127-128).

    En el punto (1) coinciden tanto los lingüistas (y semiólogos) como los profesores de matemática. En el punto (2) Saussure parece evitar que el signo asocie una cosa con su nombre (o etiqueta) a través de una relación «no explicada», y recurre a los términos «concepto» e «imagen acústica» para salvar esto. El concepto no es la cosa en sí sino lo que entiende un sujeto por la cosa. Y a la palabra se asocia –o se la reconoce– por su imagen acústica (Figura 1). Más adelante propone conservar el término signo para designar al conjunto descrito antes y reemplazar concepto por «significado» e imagen acústica por «significante» (p. 129) [Figura 2].Es en este sentido que Saussure entiende significado. El significado de una cosa es el concepto que alguien tiene sobre esa cosa.

    Explica además dos principios básicos del signo: su arbitrariedad y el carácter lineal del significante. La arbitrariedad del signo la entiende como la arbitrariedad de la asociación entre significado y significante, pero la explica en el sentido de que entre ellos no existe ningún lazo natural. La arbitrariedad, según Saussure (pp. 130-131), no quiere decir que el significante dependa de la libre elección del hablante.

    Si bien el concepto que una persona construye sobre una cosa puede ser distinto u opuesto al concepto que tiene de la misma cosa otra persona, y en eso coincidimos con Saussure, parece que para ciertas cosas la comunidad de hablantes se orienta a buscar un significado (concepto) compartido por cada uno de ellos, y así, este proceso de «significación» en esa comunidad es algo natural al grupo (que desde cierta perspectiva se le puede ver como el «lazo natural» a que alude Saussure). El otro principio, el carácter lineal del significante, tiene que ver con la dimensión temporal en que se da (expresa) el significante –esto se relaciona con la naturaleza sonora que tiene el significante–. En este punto se encontrarán diferencias (e incluso, «más arriba», con la misma idea de signo) cuando se trate el significado de objetos matemáticos, puesto que existen objetos de este tipo que en ciertos contextos de uso carecen de representación acústica, por ejemplo, algunos elementos que forman parte de un gráfico.

    No obstante, se han desarrollado desde Saussure hasta nuestros días otras concepciones de significado en la misma «dirección» que la citada antes, es decir, concepciones que Ullmann (1967: 64-73) clasifica como definiciones analíticas o referenciales del significado.

    Con respecto a las definiciones analíticas, muchas guardan relación con el conocido triángulo básico de Ogden y Richards, en el que se relacionan tres componentes del significado: referente, símbolo y pensamiento o referencia (Figura 3). El segmento punteado entre el símbolo y el referente indica que la asociación entre ellos pasa a través del pensamiento, por ejemplo: una palabra simboliza un pensamiento que a su vez se refiere a una cosa o suceso.

    Triángulo básico (o semiótico) de Ogden y Richards. Adaptado de Ogden y Richards (1946: 36). Estos autores exponen además una relación atribuida entre símbolo y referente, una relación causal entre símbolo y pensamiento y, otras relaciones causales entre pensamiento y referente.

    Los componentes del significado, de acuerdo con Ogden y Richards, pueden aportar mucho a la interpretación de este término siempre que se tenga en cuenta hasta dónde se puede llegar con ella. En Saussure el significado es parte del signo; en cambio, en el triángulo básico una etiqueta, un símbolo, un sonido o un signo ⁵ pueden ser parte del significado, uno de sus componentes.

    En otros desarrollos de esta idea se ha cambiado cada uno de los vértices etiquetados con símbolo, pensamiento y referente por: a) signo, significante, vehículo sígnico, etc.; b) interpretante, referencia, sentido, concepto, contenido, etc., y c) objeto, significado, denotación, entre otros, respectivamente.

    Preservando en todos ellos la relación símbolo-referente vía el pensamiento sobre el referente (o sobre la cosa o hecho). Lo que en muchos casos coincide con la idea de concebir la relación símbolo-objeto como atribuida (en términos de Ogden y Richards) o arbitraria.

    Barthes (1974: 35) resume estas ideas así: el significado no es ni la «representación psíquica» ni «la cosa real» sino «lo decible». «[No es] ni acto de conciencia ni realidad, el significado no puede ser definido más que dentro del proceso de significación, de un modo casi tautológico: es ese "algo" que quien emplea el signo entiende precisamente por tal [negrillas añadidas]». En este sentido Barthes se aproxima a lo que se denomina definiciones operacionales del significado (Ullmann, ob. cit.: 73-77), en las cuales el uso de una palabra por alguien en situaciones específicas juega un papel destacado en lo que se entiende por significado (de una palabra).

2.2 Uso de una palabra. Una aproximación del significado a través del uso

    Las Investigaciones filosóficas de Wittgenstein⁶ han sido de gran influencia en la concepción del significado en otras disciplinas más allá de la filosofía del lenguaje, fundamentalmente en la lingüística y la semiótica, e incluso, aunque con menor fulgor, en las ciencias de la educación. En esta importante obra abandona la posición del primer Wittgenstein, el del Tractatus Logico-Philosophicus, en el que basa en las funciones representativa y descriptiva del lenguaje para relacionar la realidad, la lógica y el lenguaje a través de tres conceptos: hecho atómico, figura lógica y proposición.

    El primer Wittgenstein opone 1) a los objetos, nombres o etiquetas; 2) a los hechos atómicos, proposiciones simples y, 3) a los hechos, proposiciones compuestas. El lenguaje sería entonces una imagen del mundo: «El mundo está completamente descrito por la especificación de todas las proposiciones elementales más la indicación de cuáles son verdaderas y cuáles falsas» (Wittgenstein, 1973: 101).

    Si el lenguaje es imagen del mundo, ¿es esta imagen del mundo igual para todos los que utilizan el mismo lenguaje? Se pueden hacer planteamientos similares si nos ocupamos sólo del lenguaje matemático en contextos educativos: aun cuando el lenguaje matemático goce de ciertas reglas sintácticas (relativas a la formación de enunciados), pragmáticas (sobre el uso), semánticas, entre otras, y de un cuerpo de símbolos (para ciertos objetos) asumido por convenciones, ¿es la imagen de la matemática, por ejemplo, que se forman los usuarios de este lenguaje igual para todos? ¿Es igual para un objeto matemático en particular? ¿Es igual para un procedimiento específico (para un algoritmo, por ejemplo)?

    Las reglas del lenguaje matemático (o para el habla matemática) se orientan a formalizar este lenguaje, en el sentido de evitar malentendidos entre sus usuarios o inconsistencias en el mismo lenguaje. Desde este punto de vista una formalización es necesaria. Sin embargo, algunas formas de pensamiento asociadas a algunos usos de un lenguaje pueden quedar fuera de las asociadas al uso que sigue las reglas del lenguaje formalizado ⁷; Skovsmose (1999: 2), al hablar de la influencia del lenguaje natural en los malentendidos filosóficos a que se refiere Wittgenstein en el Tractatus, advierte que «un lenguaje formal excluye algunos modos de pensamiento».  

    Aun cuando se emplee un lenguaje formalizado como el de la matemática para comunicarse en el aula y/o acceder al significado de objetos matemáticos, se asume como [una de las] hipótesis en este trabajo que la «imagen» que se forma de un objeto es distinta entre alumnos incluso de un mismo grupo de estudio, como el aula de matemática. Y más generalmente, la idea que se forman los alumnos y profesores de la matemática, de sus fundamentos, aplicaciones, impacto (potencial) en sistemas sociales [económico, cultural, político, tecnológico, entre otros], etc. es notablemente distinto. Esto requiere una explicación. En realidad, el autor no pretende que en un mismo grupo en el cual se estudie matemática se construyan las mismas interpretaciones de los aspectos antes señalados; pues esto podría llevar a discusiones sobre los distintos desarrollos de la matemática a partir de la crisis de los fundamentos; más bien se quiere hacer énfasis en los significados que construyen alumnos y profesores sobre un mismo objeto en una misma situación.

    En esta posición juega un papel importante la interpretación del significado que da Wittgenstein en Investigaciones filosóficas. Aquí Wittgenstein abandona el énfasis que hizo en las funciones representativa y descriptiva del lenguaje a partir de la cual explica la relación lenguaje-mundo, y otorga al uso del lenguaje o de una palabra una posición especial en la interpretación que da de significado.

    Dentro de la categoría denominada por Ullmann «definiciones operacionales del significado» se encuentran interpretaciones que dan un papel especial al contexto en el proceso de construir significado a una palabra –proceso de significación–. Así, el significado de algo depende en gran medida del contexto en que se enuncian las palabras o en el contexto en que se da la comunicación. Ese algo puede significar algo distinto en otro contexto, incluso en la misma expresión en la que hace referencia él.

    No obstante, Wittgenstein va más allá:

    Para una gran clase de casos de utilización de la palabra «significado» –aunque no para todos los casos de su utilización– puede explicarse esta palabra así: El significado de una palabra es su uso en el lenguaje [negrillas añadidas]. Y el significado de un nombre se explica a veces señalando a su portador (Wittgenstein, 1988: 61).

    Este uso de una palabra evoca expresiones que realiza alguien en referencia a esa palabra. Pero este uso, además de tocar terrenos propios al lenguaje puede trascender al terreno de las acciones, Wittgenstein parece dar cuenta de ello al decir que «el uso de la palabra en la práctica es su significado [negrillas añadidas]» (Wittgenstein, 1998: 103). Y agrega que:

    El significado de una palabra es lo que la explicación del significado explica [negrillas añadidas]. Es decir: si quieres entender el uso de la palabra «significado», averigua lo que se llama «explicación del significado» (Wittgenstein, 1988: 357).

    La «explicación del significado» de algo puede apoyarse tanto en el mismo lenguaje (natural) como en acciones del sujeto o en herramientas de otros lenguajes. Un alumno puede apoyarse en un gráfico, un gesto o en un «ejemplo» para explicar lo que entiende por determinado objeto.

    Estas ideas sobre el significado, basadas en el uso de las palabras y del lenguaje, serán fundamentales para las secciones siguientes, donde se aborda el término en el marco de la didáctica de la matemática.

3. OBJETOS MATEMÁTICOS Y OBJETOS DE LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA

    Es preciso exponer lo que en los términos de este trabajo se asume por objeto matemático y por objeto de la actividad matemática. En realidad no existe consenso ni entre los profesores de matemática ni entre los matemáticos acerca de los entes que deben considerarse como objetos matemáticos. Algunos consideran que los objetos matemáticos se pueden clasificar en dos tipos: conjuntos y funciones, así cualquier objeto puede ser descrito en términos de ellos. En este punto no hay tanta controversia, en cambio, si se consideran las distintas escuelas de la matemática (por ejemplo: logicismo, formalismo e intuicionismo) no habrá consenso en lo que se concibe como objeto, en su naturaleza y en la discusión de si es posible o no construirlo. Algunos entes serán considerados objetos en cierta escuela pero no en otra; y un mismo objeto adquiere una naturaleza distinta entre las escuelas citadas.

    Esta discusión no parece ser relevante entre los profesores de matemáticas, no sólo en los niveles básicos de la educación matemática sino incluso en los niveles superiores. Lo que se concibe como objeto matemático (para los profesores de matemática) puede estar influenciado, entre otros factores que no estudiaremos aquí, por la descripción y tratamiento que de ellos se hace durante sus estudios superiores. Un papel similar ejercen los libros de texto en el profesor ante la actividad de aula con sus alumnos.

    Otra clasificación de los objetos consiste en distinguir entre a) los objetos que son descritos a través de definiciones, y b) los que se dan en términos de proposiciones (lemas, teoremas o corolarios) o conjeturas.

    El autor de este estudio concuerda con la distinción de objetos en conjuntos o funciones, aunque aclara que ello no implica que coincida con el tratamiento conjuntista de la matemática en la Escuela Básica, hecho con el cual se pudiera asociar la clasificación descrita. Sin embargo, se deben hacer algunas explicaciones. En la actividad matemática escolar desarrollada en la Escuela Básica y en el nivel superior, no se trata exclusivamente con objetos matemáticos; otros tipos de objetos son estudiados y adquieren significado al tratar con objetos matemáticos. Tal es el caso, por ejemplo, de ciertos algoritmos (como el utilizado para obtener las raíces de ecuaciones de primer o segundo grado), ciertas nociones (como «despejar», «sustituir», «demostrar», etc.), objetos que son utilizados como herramientas por la didáctica (en todos sus niveles) para construir significados a los objetos matemáticos (ver la Figura 4).

    En este trabajo se denominará a los «otros tipos de objetos», objetos de la actividad matemática o también objetos asociados. Se diferencian de los objetos matemáticos por su papel en la significación de estos últimos.

4. EL SIGNIFICADO DE OBJETOS

    4.1 Noción de significado de un objeto

    La existencia ideal de los objetos matemáticos es un hecho que motiva esta sección por cuanto imprime ciertas complicaciones a la significación. ¿Qué se entenderá, a los efectos de este trabajo, como significado de un objeto matemático (Om)? Es válido replantear aquí esta pregunta ya que un Om existe en el marco de una teoría matemática, no podemos verlo, ni tocarlo; escapa a nuestros sentidos. En las definiciones analíticas del significado, en particular las basadas en el triángulo básico, un objeto es susceptible de ser captado por los sentidos; incluso en Saussure se habla de una «imagen acústica» de la palabra, y detrás queda la asociación imagen acústica-objeto (este objeto es real o del mismo lenguaje).

    Lo anterior no es visto por el autor como una limitación de las definiciones analíticas del significado, por cuanto han sido desarrolladas en otros contextos distintos a la matemática o la didáctica de la matemática. Se entienden más bien como una aproximación a la idea de significado que se asumirá aquí. De hecho se seguirá la idea de la relación indirecta entre el símbolo y el objeto, y su relación por vía de los conceptos.

    Coincidimos más bien con el carácter operacional o pragmático en las definiciones de significado, en particular con las ideas de Wittgenstein en sus Cuadernos azul y marrón y en Investigaciones filosóficas. ¿Qué presentamos como argumento para ello? Respondemos con una pregunta: es bien conocido por alumnos y profesores que el conocimiento matemático puede organizarse aportando una visión estructural del mismo, presentando definiciones para los objetos matemáticos y proposiciones que tienen que ver con ellos; nuevamente, si es necesario, se introducen nuevas definiciones y nuevas proposiciones; pero si un objeto matemático está dado por su definición, ¿está el significado dado por la definición? La posición que aquí se adopta es que este significado no depende sólo de la definición. Otros factores influyen en ello, como a) la explicación que se puede dar, no de la definición, sino del objeto matemático descrito por ella, y b) el uso que hace de ese objeto en el marco de la actividad matemática escolar.

    Skemp (1999: 23) en su trabajo Psicología del aprendizaje de las matemáticas al hablar de la formación de conceptos sostiene que «una definición directa es la mejor vía para comunicar su significado [negrillas añadidas]». Si una definición de un objeto matemático comunica «su significado» entonces no es necesario más que leerla o escucharla para «adquirir» su significado. No importa si no ha sido escuchada antes (tal como lo hace ver Wittgenstein en su Cuaderno azul), no importa manipular el objeto a que hace referencia la definición, ni el uso que de él se haga. La aseveración de Skemp, desde nuestro punto de vista, se contrapone a la idea de significado mediada o dada por el uso.

    Por otro lado, a los objetos que se denominaron «asociados» (Oa) también se les construye significado en el aula. En ellos incide enormemente el profesor y los libros de texto. Un alumno adquiere una idea de lo que es «despejar», por ejemplo, de los términos que emplee el profesor (o texto) para describir este proceso, del uso que haga el profesor (texto) de éste y fundamentalmente del uso que de él haga el alumno. En los objetos asociados los puntos a) y b) son también factores que inciden en su significado (para alguien). Estas ideas son las que permiten caracterizar al significado como sigue.

   

    Como se advirtió, esta idea de significado no es del todo contraria a las definiciones analíticas, pues la explicación de un objeto puede evocar o expresar el concepto que se tenga del objeto dado.

              

    Entonces, el significado (de un Om u Oa) puede entenderse como constituido por dos dimensiones: uso y explicación del objeto (Figura 5).  Esto merece otro comentario: se pudiera argüir que el uso de un objeto queda implícito en el concepto que se tiene del objeto, sin embargo ello no es así, en especial con los objetos matemáticos. Explicar, por ejemplo, la idea de límite de una función, no significa que pueda ser usada con éxito por esa persona para calcular el límite de ciertas funciones (siempre que exista), o de determinar si existe o no su límite bajo ciertas condiciones.

    No encontramos contraposiciones entre esta idea de significado con la presente en el trabajo de Alson (2000: 7) Elementos para una teoría de la significación en didáctica de la matemática: «cualquier palabra evoca su significado (a quien conoce su significado)». Y más adelante, con la idea: 

    Cuando la palabra es captada, el significado de ella no suele ser construido a través de un proceso del cual el individuo esté consciente hasta el punto de percibir sus diferentes pasos. Sin saber cómo, él logra asociar la palabra con un significado apropiado (Ibid.).

    4.2 Sobre el significado apropiado

    ¿Cómo abordar el problema del significado desde la didáctica de la matemática? Godino y Batanero (1994) toman en cuenta lo que denominan dimensión subjetiva del significado y distinguen entre significado institucional y personal de objetos matemáticos. Definen ambas nociones en función de a) sistemas de prácticas personales (orientadas a resolver cierto campo de problemas) que son consideradas por la institución como adecuadas y correctas [significado institucional] y, b) en función de las prácticas que una una persona para resolver un campo de problemas del que surge el objeto [significado personal]. Además, asocian a: a) un objeto al que llaman institucional, y a b) un objeto personal; lo que se puede entender como la visión que tienen del mismo objeto matemático la institución y la persona.

    El significado apropiado ⁸ de un objeto lo definen como la intersección de los dos sistemas de prácticas; el complemento de esta intersección en el sistema de prácticas de la persona se considera constituido por práctica «erróneas» desde el punto de vista de la institución. Alson (2000), como se vio, sí utiliza el término significado apropiado aunque no lo describe. Vemos entonces cierta relación entre esta noción y las acuñadas por Godino y Batanero (1994). El significado apropiado sería el que corresponde tanto con el que construye el alumno como con el aceptado por convención en el aula, por ejemplo, o por la comunidad de profesores de matemática, entre otras.

 Orton (1996: 170) habla de que «el objetivo de la enseñanza es la transmisión del significado a los alumnos». Encontramos también relación entre «el significado» a que hace referencia Orton y las nociones de «significado apropiado» y «conocer o comprender un objeto» de Alson, y Godino y Batanero, respectivamente.

5. SOBRE LAS SITUACIONES. «SITUACIONES DE PRODUCCIÓN»

    En esta sección se hace énfasis en las situaciones de producción que tipifica Alson (2000) para ilustrar algunas de sus implicaciones en las acciones de los alumnos y en la construcción de significados.

    Alson (2000: 2-10) centra su atención en las situaciones de producción, las cuales tienen que ver con la producción de un objeto a partir de otro objeto utilizando una acción. Y, considerando lo que denomina flecha del saber «A -> B»⁹, relaciona esta flecha con cuatro «maneras consistentes de producción»: a) situación algorítmica; b) situación significante; c) situación de interpretación; y d) situación de formalización. La situación a) tiene que ver con un procedimiento de naturaleza mecánica, definido por una sucesión de pasos (un algoritmo); en b) la asociación del significante con el significado se hace conscientemente de manera no algorítmica; en c) se da respuesta a una pregunta básica: ¿qué puede haber producido el objeto que se está considerando?, además se aclara que un objeto puede tener varias interpretaciones; y d) tiene que ver con «crear un mecanismo» que permita definir un objeto, discriminarlo o distinguirlo de otros objetos. Veamos algunos ejemplos ¹⁰; todos tienen que ver con temas geométricos del 7º grado. Para cada situación se describen algunos aspectos del contexto en que se dan éstas y la flecha de saber asociada.

 

                                 

     

                  

            

    Esta caracterización de las situaciones de producción en el aula permite, por ejemplo, ver el tipo de situaciones a que se enfrentan los estudiantes en determinado nivel educativo. Una hipótesis que resalta en este punto es que en la Escuela Básica [y aquí coincidimos con Alson (2000)], e incluso en ciertos cursos o disciplinas en el nivel superior, las situaciones que se plantean son fundamentalmente algorítmicas y solo en algunos casos significantes. El tipo de situaciones que enfrentan los estudiantes tiene entonces especial énfasis en la construcción de significados en el aula para los objetos matemáticos y asociados a la actividad matemática. Esto es, a objetos como «argumento», «prueba», «sustituir», etcétera, también, como se dijo antes, se le construye significado a través de las situaciones de producción.

6. EL SIGNIFICADO DE ALGUNOS OBJETOS GEOMÉTRICOS EN 7º GRADO

    Esta sección se ocupa de presentar y analizar algunos resultados sobre el significado atribuido por un grupo de alumnos cursantes del 7º grado de Educación Básica a los objetos geométricos punto, recta, segmento, circunferencia, círculo, triángulo y cuadrilátero. El método que orientó el estudio es el estudio de caso referido a un grupo (Anguera, 1992). Este método puede definirse, siguiendo a Pérez (1998: 85), como una descripción de carácter holístico y como un análisis de una unidad social; en nuestro caso, de un grupo de alumnos de 7º grado. La descripción y el análisis constituyen el fundamento para ilustrar los presupuestos teóricos (Merriam, 1990) que se han discutido en las secciones anteriores. Vemos la importancia del estudio en el reporte de la diversidad de significados que construyen los estudiantes, en la distinción teórica que se da entre objetos matemáticos y objetos asociados a la actividad matemática de aula, así como en la caracterización que se da del significado en educación matemática. De seguidas se describen algunas de las características del curso, los alumnos y el contenido matemático, así como de la recolección de datos. Se presentan también los datos recogidos y se finaliza esta sección con el análisis de resultados.

    6.1 Sobre el curso, alumnos y contenido

    El grupo de alumnos lo constituyeron tres secciones de 7º grado de la Unidad Educativa Liceo Agustín Aveledo, ubicado en la parroquia La Pastora, Caracas. En total eran 73 alumnos; 38 niñas y 35 niños. Sus edades oscilaban entre 11 y 15 años. Sólo ocho alumnos eran repitientes del año escolar. En cuanto al rendimiento, sólo dos alumnos de cada curso tenían un promedio final de calificaciones de 16 ó 17 puntos (los más altos por curso) [la calificación máxima es de 20 puntos]; aproximadamente 20 alumnos reprobaron matemática al finalizar el año escolar, el resto oscila mayoritariamente entre 10 y 12 puntos. En el programa de 7º grado se contempla el estudio de ideas geométricas como segmento, semirrecta, ángulo, medida de ángulos; elementos de la circunferencia (radio, diámetro, cuerda, arco); relación entre las longitudes de la circunferencia y el diámetro; figuras planas (polígonos) y sus elementos y propiedades; cuerpos geométricos, así como el estudio de las nociones de área y volumen.

6.2 Recolección de datos

    Para el momento de la recolección de datos estos alumnos no habían iniciado el tema de geometría. De hecho, los primeros objetivos del curso se refieren a operaciones y propiedades con números naturales, enteros y racionales. Es en la primera y segunda etapas de la Educación Básica que los alumnos comienzan a estudiar ideas geométricas. La recolección de datos tuvo dos etapas y se extendió durante cinco sesiones de clase (de 1,5 horas cada una. Y dos sesiones por semana). En la primera, se solicitó a los alumnos que reportaran por escrito la idea que tenían acerca de los objetos geométricos ya señalados. Para este reporte escrito se encomendó lo siguiente: «escribe lo que piensas que es un punto, una recta, un segmento, una circunferencia, un triángulo y un cuadrilátero; y construye representaciones de estos objetos geométricos». Seguimos aquí las ideas de Cornu (1991) y Serrano (2002) sobre la importancia de que en el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas los alumnos manifiesten sus concepciones como una manera de abrir espacios para que éstas evolucionen hacia un significado apropiado; espacios que pasan por la toma de conciencia de los alumnos sobre el significado que tienen de los objetos matemáticos y de los asociados a la actividad matemática.

Justo después de este reporte se inició una discusión de las nociones indicadas (punto, recta, segmento, circunferencia, círculo, triángulo y cuadrilátero) con cada una de las secciones con la intención de propiciar la evolución a que se hizo referencia antes. La discusión fue propuesta por el autor a través de preguntas abiertas al grupo tales como: ¿Es el color una propiedad del punto?, ¿cómo podemos representarlo?, ¿podemos representarlo como sigue?, ¿por qué?, ¿todas las rectas son horizontales?, ¿todos los triángulos tienen tres lados iguales?, ¿qué ejemplos se pueden dar?, ¿puede este triángulo (ver Figura 7) representarse en esta posición?, ¿es la posición una propiedad de los triángulos?, ¿cuál es la diferencia entre una circunferencia y un círculo?, entre otras. Las respuestas aportadas fueron confrontadas entre sí; además se buscó la participación de aquellos alumnos que permanecían callados. La segunda etapa de recolección de datos consistió en la grabación en video de construcciones de polígonos con regla y compás realizadas por algunos alumnos de cada sección. Esta segunda etapa tuvo como propósito estudiar el uso y explicación que hacían o daban los alumnos de algunos objetos geométricos. La grabación en video se realizó en las tres sesiones en las que se estudiaba la construcción de polígonos con regla y compás, en particular la construcción de triángulos y cuadriláteros. Estas grabaciones constituyeron una fuente para enriquecer y revisar las observaciones hechas por el autor en el aula.

    6.3 Presentación de datos

    De seguidas se presentan algunas de las respuestas de los alumnos [se transcriben textualmente, incluyendo errores (ortográficos, de sintaxis, etc.) u omisiones] correspondientes a las «descripciones» que se hicieron de punto, recta y triángulo.

                        

   

    En cuanto a los otros objetos, algunas de las respuestas de los alumnos fueron las siguientes: a) sobre el segmento: «es la que se traslada la mitad de una recta hasta el punto del medio», «es la porción de una recta construida por dos puntos», «es la porción de una recta limitada por dos puntos». b) Sobre la circunferencia: «es una pieza redonda muy circular», «es un objeto redondo», «es algo circular que se puede trasar (sic) con el compaz (sic) y la regla», «es el trazado de un círculo con un compás apoyado de un punto», «una circunferencia es un objeto geométrico redondo y plano», «yo pienso que una circunferencia es una línea muy obalada (sic) tanto que está en forma de círculo», entre otras. c) Sobre el círculo: «un círculo es un redondo», «es algo redondo», «es un conjunto de puntos que lleva la circunferencia», «es una esfera trazada con un compás». Y d) Sobre el cuadrilátero: son cuatro líneas entrecruzadas, «un cuadrado», «es una figura geométrica plana formada por cuatro lados», «es un polígono de cuatro lados iguales», «es un polígono de cuatro lados de cualquier forma».

  Las construcciones con regla y compás se estudiaron durante tres sesiones y en ellas los alumnos debían participar construyendo triángulos y cuadriláteros en la pizarra o en sus cuadernos, manifestando sus dudas o comentarios. En realidad no hubo mayores malentendidos en aplicar la técnica de la construcción de triángulos y cuadriláteros, algunos de los que se encontraron tenían que ver: a) con el uso del transportador (en algunos casos los datos para realizar la construcción incluían la medida de uno de los ángulos internos al triángulo) y b) con dudas sobre la «posición del triángulo», por ejemplo: Varios alumnos en los tres cursos manifestaron dudas sobre si el triángulo «podía quedar» en una posición como la de la Figura 7;refiriéndose a que uno de los lados del triángulo no coincidía con una horizontal imaginaria. Las preguntas que hacían eran «no importa que quede así», «quedó torcido profesor, ¿no importa?». Otros evitaban esto trazando el primero de los segmentos de manera que coincidiera con una horizontal imaginaria.

    6.4 Análisis de resultados

    El reporte escrito de los alumnos muestra la diversidad de significados que tienen de los objetos geométricos punto, recta, segmento, circunferencia, círculo, triángulo y cuadrilátero. Hecho que puede permanecer oculto al profesor si no se estudian las concepciones de los alumnos, tal como señalan Cornu (1991) y Serrano (2002). Caracterizar el significado de un objeto a través del uso que de éste se haga y por la explicación que de él se dé permite explicar algunas de las respuestas. Por ejemplo, con respecto al punto, varias de las respuestas coincidieron en que éste debe colocarse al finalizar un párrafo; a través de entrevistas a estos alumnos se pudo constatar que en el curso castellano y literatura acababan de tratar «los signos de puntuación», idea que transfirieron a la geometría. El uso de la idea de punto en el contexto de la clase de castellano y literatura afectó el significado de punto en el contexto de la geometría.

    Además, las dimensiones uso y explicación contenidas en la definición que se dio de significado en educación matemática pueden hacer ver inconsistencias en el significado para cierto objeto. Consideremos el caso ilustrado en la Figura 7. Aquí, como apuntamos, varios alumnos de los tres cursos manifestaron dudas sobre si el triángulo construido podía quedar en esa posición. Ante esto el autor les preguntó nuevamente qué entendían por triángulo, todos ellos lo definieron como una figura geométrica de tres lados (ya se había dado la discusión en sesiones anteriores), y ante preguntas como ¿es la posición una propiedad de los triángulos?, los alumnos comprendieron que no importaba la posición en que se trazaran los triángulos. Se observa entonces cómo aun cuando daban la definición correcta de triángulo el uso que de este objeto hacían (o bien de su representación) no se correspondía con ésta. Una hipótesis al respecto, a la cual se asocian respuestas empíricas, es que esta no-correspondencia o inconsistencia se da para muchos otros objetos matemáticos, incluso en niveles superiores de la educación (como con el concepto de función, límite, derivada, etc.).

    El uso a que se hizo referencia antes guarda relación con la manera en que muchos profesores en los grados previos trazan los triángulos: lo hacen de manera que uno de los lados del triángulo coincide con la horizontal imaginaria; esta situación está reportada en Beyer (1999). Se preguntó a los alumnos que manifestaron esta duda si sus profesores de primaria siempre trazaban los triángulos de esa manera y algunos de ellos respondieron que sí, el resto no lo recordaba. Los textos tienen también una fuerte incidencia en la duda que manifestaron estos estudiantes. Observe que todos los triángulos de la última tabla (y en general todos los que representaron los estudiantes) tienen un lado paralelo a una horizontal imaginaria. Sólo después de la discusión se representaron triángulos «en cualquier posición». Algo similar sucedió en la representación de cuadriláteros (aquí muchos de los alumnos asumían que los cuadriláteros debían tener sus cuatro lados iguales); en cambio, otros indicaron en su definición que sus lados podían ser de cualquier forma o bien de cualquier longitud. Algunas de las respuestas o explicaciones de los alumnos con respecto a los objetos que hemos destacado en tablas (punto, recta y triángulo) son interesantes y a la vez poseen un alto grado de abstracción. Tal es el caso de: un punto es una «figura geométrica que puede formar una o más líneas», «es la huella de un punto móvil», «es todo principio de una figura geométrica», «es como algo que se puede apartar de las cosas» y «es cuando toca una figura geométrica a otra». En cuanto a la recta y al triángulo destacamos las siguientes: «es una sucesión de punto una a través de otro sin espacio de intermedio (sic)» y, «es una figura que tiene tres ángulos» (ver Figura 8), respectivamente.

    En este sentido, el significado apropiado no lo vemos sólo a través de la explicación que da el alumno sino que consideramos también, como en el caso de la construcción del triángulo de la Figura 7, el uso que del objeto se haga. Desde la posición del autor esta idea enriquece la distinción que hacen Godino y Batanero (1994) entre significado institucional y significado personal. También, la dimensión «uso» ofrece mayores elementos de análisis a la educación matemática en comparación con las definiciones analíticas que comentamos al comienzo del trabajo (por ejemplo, la de Saussure, 1945; y la de Ogden y Richards, 1946). No vemos, como lo hace Skemp (1999), que la mejor vía para comunicar significados es una definición directa. El hecho de que el profesor o un texto defina la circunferencia, por ejemplo, como «el conjunto de aquellos puntos del plano que equidistan de un punto P al cual llamamos centro», no implica que los alumnos construyan el significado de este objeto. La actividad del estudiante, el uso que de este objeto haga le permitirá acercarse al significado apropiado de circunferencia.

    La discusión que se llevó a cabo con los estudiantes y las preguntasencontraron una fuente en las situaciones de producción que describe Alson(2000). Tanto las preguntas, la discusión, y en general, la actividad matemáticaescolar tenían el propósito de ir más allá de lo que Alson denomina situación de producción algorítmica; esto es, con la idea de aplicar un algoritmo que ha expuesto el profesor o que se da en un texto; o bien con, por ejemplo, indicar el radio, diámetro, etcétera, en una circunferencia después de que el profesor ha hecho esto en una exposición. Se intentó a través de preguntas como: ¿es el color una propiedad del punto?, ¿puede un triángulo representarse en tal posición?, ¿qué ejemplos se pueden dar?, ¿cuál es la diferencia entre la circunferencia y el círculo?, ¿cómo podemos construir con regla y compás un cuadrado?, etc., estructurar situaciones significantes y de interpretación (la situación de formalización requiere de mayores grados de abstracción ya que implica crear un mecanismo que permita definir un objeto, no sólo enunciar su definición o un concepto).

    El tipo de preguntas que plantee el profesor tiene entonces una estrecha relación con el tipo de situación que se proponga a los estudiantes (algorítmica, significante, de interpretación y de formalización). Este tipo de preguntas y el intento de pasar a situaciones no algorítmicas encontró cierta resistencia entre los estudiantes. Una posible explicación de ello puede ser el énfasis que se hace en la escuela en las situaciones algorítmicas y en el esquema de trabajo exposición (del profesor)-ejercicios (aplicación de algoritmos). El estudio del concepto en sí y las situaciones no-algorítmicas, de acuerdo con la opinión del autor, son importantes para la educación matemática.

    El hecho de plantear a los estudiantes que reporten la idea que tienen de punto, recta, etcétera, sin que el profesor haya enunciado sus definiciones busca ir más allá de una situación algorítmica, busca que evoquen el concepto que tienen de estos objetos. Por ejemplo, una de las respuestas en relación con el punto fue: «Es cuando toca una figura geométrica a otra» (Figura 9); con ella el alumno dio una respuesta a ¿qué puede haber producido el objeto que se está considerando?, precisamente la pregunta que describe a las situaciones de interpretación. Esta respuesta junto con la abstracta «es algo que se puede apartar de las cosas», son resultado de la manera como se diseñó la actividad. El resto de los alumnos describió al punto o bien como un círculo, redondo o mancha muy pequeña o en relación con otros objetos (como eje de una circunferencia).

 Durante la construcción de triángulos y cuadriláteros se detectaron, como señalamos, dificultades en el uso del transportador. Se pudo constatar que estos alumnos no habían utilizado este instrumento en grados anteriores. He allí la importancia que damos a la dimensión «uso» en la definición de significado.

    La construcción de significados en el aula implica también, como señalamos, la construcción de significados a los objetos asociados a la actividad matemática. Por ejemplo, para procesos como explicar matemáticas, definir, representar, entre otros. Así, la actividad asignada a los estudiantes (la de expresar la idea que tenían de los objetos geométricos referidos), junto con la discusión que le siguió, los involucra en el proceso de definir y explicar. Procesos que comúnmente se reservan al profesor o a los textos. Lo anterior, desde la perspectiva del autor, es esencial a la educación matemática; en particular si se quiere romper con lo que puede denominarse paradigma del ejercicio, o bien con el excesivo énfasis en los algoritmos y en el esquema de trabajo exposición (del profesor)-ejercicios. Con ello, los alumnos se encuentran ante una situación en la que deben reflexionar sobre las propiedades que tiene determinado objeto o sobre su naturaleza. Situación que contrasta con la actividad del alumno bajo el esquema exposición (del profesor)-ejercicios.

Vemos, entonces, una relación entre la situación de producción y de los usos y explicaciones que han hecho profesores, textos y otros alumnos de cierto objeto matemático con el significado que construye un alumno. Esto es, destacamos el papel del contexto en la construcción de significados.

7. A MANERA DE CONCLUSIÓN

    La diversidad de significados que tienen los alumnos de un mismo objeto matemático puede ser explicada atendiendo a los componentes uso y explicación que abarca la definición que se ha dado aquí de significado.

    Definición que, de acuerdo con la posición del autor, aporta mayores elementos de análisis que las definiciones analíticas, en las cuales no se atiende a la dimensión uso en cierto contexto. Este es uno de los principales resultados del trabajo. Se destaca también el importante papel que tienen, a) tanto el estudio de las concepciones de los estudiantes, como b) el énfasis o no que se haga en determinados tipos de situaciones de producción, en la construcción de significados para los objetos matemáticos (punto, recta, etc.) y asociados a la actividad matemática (explicar, ejemplificar, definir, despejar, etc.). También, se entiende al significado apropiado como el que corresponde al construido por el alumno y es aceptado por convención en el aula o por la comunidad de profesores de matemática. El estudio realizado con alumnos de 7º grado reveló la diversidad de significados que los estudiantes tenían de punto, recta, segmento, circunferencia, círculo, triángulo y cuadrilátero. En esta diversidad se encontraron significados alejados de la manera como estos objetos son entendidos en la matemática escolar, así como significados apropiados y con un alto grado de abstracción. La construcción de triángulos y cuadriláteros con regla y compás (y en algunos casos con apoyo en el transportador) permitió contrastar la explicación que los alumnos daban de los objetos con el uso que hacían de algunos de ellos. Destacamos aquí las inconsistencias observadas entre la definición correcta de triángulo que reportaron algunos estudiantes con la duda que presentaron con respecto a la posición del triángulo construido (Figura 7).

8. ALGUNAS PROPUESTAS DIDÁCTICAS

    Reiteramos aquí la importancia de a) abrir espacios en el aula de matemática en los que el alumno pueda manifestar las concepciones que tiene de los objetos geométricos en que se centró este estudio; observación que hacemos extensiva para otros conceptos y niveles de la educación, incluso en la universidad (por ejemplo, para los conceptos de límite, derivada, espacio vectorial, etc.). Ideas interesantes, como la expuesta en la Figura 9, pueden surgir a partir de esta actividad. Lo anterior conlleva, por una parte, a; b) observar la diversidad de significados que tienen los alumnos de un mismo objeto matemático, y por otra, permite c) la discusión en clase (como un medio de construcción de significados). Estas propuestas buscan romper con el denominado esquema exposición (del profesor)- ejercicios, esto es, con el paradigma del ejercicio. También, considerando el hecho de que el significado de un objeto no necesariamente se transmite al alumno a través de una definición, proponemos d) el estudio del concepto en sí, de su naturaleza y propiedades definitorias. Aquí juega un papel destacado la riqueza o variedad de representaciones para los objetos que se manejen en clase. Es importante también, desde la perspectiva del autor, e) contrastar la explicación que dan los alumnos de cierto objeto matemático con el uso que de él hagan. Ello puede hacer ver inconsistencias en el significado que tienen de este objeto.

    Estas ideas se orientan a la construcción de significados apropiados. Buscan salvar la vaguedad e inconsistencias. Pensamos que para ello la enseñanza/aprendizaje de la matemática debe trascender el esquema de trabajo escolar que hemos criticado: exposición-ejercicios, y fundarse en la discusión. Y, por otra parte, no debe entender a la vaguedad y a las inconsistencias, o a los significados alejados, de la manera como se entienden estos objetos en la matemática escolar, como algo que castigar. Su tratamiento no debe ser punitivo. Los significados alejados constituyen más bien, en el marco de esta propuesta, un insumo necesario para la discusión.

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NOTAS:

1 Por ejemplo, en la denominada Didáctica fundamental son representativas las nociones de transposición didáctica, obstáculo, contrato didáctico, institucionalización, etcétera, desarrolladas fundamentalmente en Francia desde finales de los años setenta por Brousseau, Chevallard y Bachelard, entre otros [Ver por ejemplo Brousseau (1986), Chevallard (1985)]. En algunas posturas sobre la Etnomatemática el mismo contenido matemático –y consecuentemente la noción matemática de enseñar– obedecen al contexto sociocultural [Ver D´Ambrosio (1985), Borba (1990), Oliveras (1996)]; en la Educación crítica de la matemática son básicas las ideas de educación crítica, alfabetización matemática, competencia democrática, conocer reflexivo, entre otras [Ver Skovsmose (1999)].

2 El enfoque psicológico en la educación matemática (o de la educación matemática) ha tenido un amplio arraigo en la comunidad de educadores e investigadores en esta materia. Desde el segundo ICME –Congreso Internacional de Educación Matemática– se constituyó el Grupo Psicología de la Educación Matemática (Grupo PME, Psychology of Mathematics Education), el cual ha mantenido una constante actividad de investigación de los procesos de enseñanza y aprendizaje matemáticos desde, naturalmente, perspectivas psicológicas.

3 En particular en su trabajo A course in modern linguistics, de 1958.

4 Trabajo publicado originalmente en 1916.

5 Entendiendo signo en los términos en que lo define Eco (1980: 27): en cualquier clasificaciónque se haga de signo como parte de un proceso de significación, éste siempre aparece como algo que se pone en lugar de otra cosa, o por alguna otra cosa.

6 Publicadas originalmente en 1953.

7 Distinguimos aquí este «uso» del «uso que se puede hacer de un lenguaje no formalizado».

8 Aunque los autores no utilizan este término. Utilizan más bien «conocer» o «comprender» el objeto.

9 La flecha representa cierto procedimiento que permite obtener un objeto a partir de otro.

10 La formalización, al igual que la interpretación, no es única para un determinado objeto.

11 Una aclaratoria: aquí se consideró al diámetro como «el segmento que pasa por el centro de la circunferencia y sus extremos coinciden con ésta»; y no como «la cuerda de mayor longitud quese puede construir en una circunferencia».