CONVECCIÓN DE CALOR TRANSITORIA EN EL FLUJO DE FLUIDOS A TRAVES DE LECHOS EMPACADOS.

Patiño, Luís A., Espinoza, Henry J., Suárez, Diogenes

Manuscrito finalizado en Puerto La Cruz, Venezuela, el 2004/12/15, recibido el 2005/02/03, en su forma final (aceptado) el 2005/04/02.

El Dr. Henry Espinoza, el Ing. Luis Patiño y el MSc. Diógenes Suárez son Profesores e Investigadores de la Escuela de ingeniería y Ciencias Aplicadas de la Universidad de Oriente, Dpto. de Mecánica, Vía alterna Barcelona-Puerto La Cruz, Puerto La Cruz, Edo. Anzoátegui, Venezuela, telef. 0281-2676885, correos electrónicos hespinoza@cantv.net y lpatiñoc@cantv.net.

Resumen: Se presenta una metodología teórica - experimental para determinar los coeficientes intersticiales de transferencia de calor promedio en el flujo de fluidos a través de lechos empacados donde el fluido no está en equilibrio térmico con la fase sólida. Los coeficientes de convección de calor se obtienen a través del “single-blow transient methods” combinando los resultados experimentales obtenidos en un banco de ensayo con las soluciones numéricas del modelo matemático propuesto y constituido por la ecuación de continuidad, las ecuaciones de movimiento, la ecuación de la energía para la fase fluida, la ecuación de la energía para la fase sólida y las respectivas condiciones iniciales y de contorno. El sistema de ecuaciones diferenciales parciales generado en el modelo matemático es resuelto a través de una metodología analítica - numérica, iniciándose con la obtención de la distribución de temperatura en la matriz sólida en forma analítica e introduciéndola como un término fuente transitorio en la ecuación de la energía del fluido. Para la solución numérica se utilizó un código de Volúmenes Finitos (CFX 4.3TM) en coordenadas cilíndricas axisimétricas. Los pruebas experimentales y las soluciones numéricas se realizaron para diferentes valores de velocidad superficial del fluido a la entrada del lecho y para diferentes valores de porosidad del medio, obteniéndose que los números de Nusselt dependen en gran escala de los números de Peclet y la porosidad del medio.

Palabras Claves: Convección/ Flujo de Fluidos/ Lecho empacado/ Simulación/ Transferencia de Calor.

TRANSIENT CONVECTIVE HEAT TRANSFER FOR FLUID FLOW THROUGH PACKED BEDS

Abstract: A theoretical-experimental methodology is presented herein to determine the interstitial coefficients of an average heat transfer in the flow of fluids through packed beds where the fluid is not in thermal balance with the solid phase. The heat convection coefficients are obtained through “single-blow transient methods” combining the experimental results obtained in a test bank with the numerical solutions of the mathematical model proposed and constituted by the equation of continuity, the momentum equations, the energy equation for the fluid phase, the energy equation for the solid phase, and the respective initial and boundary conditions. The partial-differentialequations system generated in the mathematical model is solved through an analytical-numerical methodology, beginning with obtaining the temperature distribution in the solid matrix in an analytical way and introducing it as a transitory source term in the fluid energy equation. For the numerical solution a code of Finite Volumes (CFX 4,3TM) in axisimetrical cylindrical coordinates was used. The experimental tests and the numerical solutions were conducted for different values of superficial speed of the fluid at the entrance of the bed and for different porosity values which proved that the Nusselt numbers greatly depend on the Peclet numbers and the porosity of the media.

Key Words: Convection/ Fluids Flow/ Heat Transfer/ Packed bed/ Simulation/.

I. INTRODUCCIÓN

Un lecho empacado provee una gran dispersión térmica y un área de contacto fluido – sólido mucho más grande que el área de transferencia de calor de un fluido en un conducto continuo, lo que trae como consecuencia que la transferencia de calor sea también más elevada. Durante muchos años se han desarrollado investigaciones en esta área, en vista de las innumerables aplicaciones industriales que tiene. Entre éstas se pueden citar la ingeniería de yacimientos de agua (acuíferos), de petróleo y de gas, los procesos de separación (como por ejemplo la adsorción), diseño de reactores químicos, sistemas geofísicos y geotérmicos, ingeniería de polímeros, enfriamientos de equipos electrónicos, diseño y análisis de intercambiadores de calor tipo regeneradores, entre otros.

En este trabajo se presenta una metodología teórica - experimental para determinar los coeficientes fílmicos de transferencia de calor promedio en el flujo de fluidos (agua) a través de lechos empacados, donde el fluido no está en equilibrio térmico con la fase sólida. Los coeficientes de convección de calor se obtienen a través del método transitorio de golpe simple (Single-Blow Transient Method), utilizado en Liang y Yang (1975), combinando los resultados experimentales que se obtienen en un banco de ensayo con las soluciones numéricas del modelo matemático propuesto.

En la siguiente sección se presenta el desarrollo del trabajo, estructurado por una revisión bibliográfica del problema en estudio, el programa experimental, el modelo matemático del proceso, la solución numérica, el procedimiento para la determinación de los coeficientes de transferencia de calor y por último se presentan los resultados de la investigación con su respectiva discusión.

II. DESARROLLO

1. Antecedentes

Desde el trabajo pionero desarrollado por Henry Darcy, en el siglo XIX, muchas investigaciones se han realizado sobre el flujo de fluidos y transporte de energía térmica a través de lechos empacados, cubriendo un gran rango de diferentes campos y aplicaciones tales como sistemas acuíferos, yacimientos petrolíferos y operaciones geotérmicas, reactores químicos de lechos de empaque, aislamientos térmicos en materiales de construcción, intercambiadores de calor de lechos de empaque, sistema de enfriamiento de equipos electrónicos, entre otros. Inicialmente muchos estudios analíticos han realizado sus formulaciones matemáticas basados en la Ley de Darcy que desprecia los efectos de las fuerzas inerciales sobre el fluido debido a la interacción con el sólido. Tratamientos como el anterior nombrado pueden apreciarse en los trabajos desarrollados por Palm et al (1972), Chandrasekhara et al (1979), Cheng (1979), Christopher y Middleman (1965), entre otros investigadores.

Los efectos inerciales se hacen importantes cuando se están analizando flujos cerca de las fronteras del dominio, cuando se tienen medios con porosidades elevadas y cuando se presentan flujos elevados. En estos casos la Ley de Darcy tiende a ser inaplicable. Trabajos posteriores toman en cuentas los efectos inerciales cuando se presentan porosidades altas y altos tasa de flujo, tal es el caso de la investigaciones desarrolladas por Brinkman (1947) y Muskat (1946). El primero de ellos cuantificó esta fuerza inercial mientras que el segundo adicionó a la Ley de Darcy un término de velocidad al cuadrado. Adicionalmente, hay innumerables trabajos que no realizan las modelaciones a través de la Ley de Darcy, sino que incluyen los efectos inerciales debido a las altas velocidades. Tal es el caso de Vafai y Tien (1981), que presentaron y caracterizaron las fronteras y los efectos inerciales en flujos forzados convectivos en lechos empacados. Luego también Vafai y Tien (1982) realizaron un trabajo similar al anterior, sólo que en este caso tomaron en consideración la transferencia de masa en el medio poroso. Vafai y Kim (1989) usaron un modelo Brinkman – Forcheimer extendido, para determinar una solución analítica en flujo de fluidos completamente desarrollado en lechos empacados sometidos a flujo de calor constante en sus fronteras. Kaviany (1985) estudió el flujo en lechos empacados con porosidad constante utilizando un modelo de Brinkman extendido. En el flujo de fluidos no isotérmicos a través de lechos empacados se tiene un número importante de publicaciones recientes tanto en el área de modelado teórico como trabajos experimentales, entre estas se pueden citar las siguientes:

En el modelado teórico de fenómenos de transporte en medios porosos se presenta el trabajo de Vafai y Tien (1981). Ellos usaron un modelo no Darciano para estudiar los efectos inerciales y de las fronteras en medios porosos. El estudio de la convección forzada en lechos empacados con los efectos de flujo inercial, dispersión térmica, porosidad variable y fricción de Brinkman se presenta en los trabajos de Vafai et al (1985), Berkerman y Viskanta (1987), Cheng y Zhu (1987) y Renken y Poulikakos (1987, 1988). Koch y Brady (1985) y Koch et al (1989). En éstos se observa el estudio de la dispersión térmica en medios porosos obteniendo expresiones matemáticas del tensor de dispersión. En el trabajo de Nakayama y Koyama (1991), se observa la introducción del concepto de permeabilidad modificada para unificar las expresiones propuestas por Christopher y Middleman (1965). Kuwahara et al. (1996) usaron la aproximación numérica propuesta por Arquis et al. (1991) para determinar el coeficiente de dispersión transversal estrictamente mediante bases teóricas.

Shenoy (1993) introdujo una versión no – newtoniana de extensión de la Ley de Darcy propuesta por Forchheimer para investigar varios aspectos relacionados con el flujo convectivo a través de lechos empacados donde el fluido saturado tiene un comportamiento que se rige por la ley de la potencia. Todos los estudios arriba mencionados adoptan la hipótesis de equilibrio térmico local (las temperaturas del sólido y del fluido son iguales) para la formulación de la ecuación de la energía, a pesar de que generalmente los valores de la conductividad térmica de los sólidos y los fluidos no son del mismo orden de magnitud. Vafai y Sozen (1990) presentaron un análisis del flujo de gas forzado a través de un lecho estático constituido de partículas esféricas. Chen y Yue (1991) estudiaron teórica y experimentalmente el rendimiento térmico de cápsulas de empaque de sistemas de acondicionamiento de aire por agua helada. Hwang et al (1994, 1995) encontraron que los valores de los coeficientes fílmicos de transferencia de calor entre el sólido y la fase fluida puede afectar en gran proporción la transferencia de calor en canales porosos de alta conductividad. Wu y Hwang (1998) estudiaron la transferencia de calor en canales porosos usando un método simple transitorio combinado con un modelo térmico no equilibrado de dos ecuaciones y concluyeron que los parámetros que más afectan a la transferencia de calor son el número de Reynolds y la porosidad del medio.

Alazmi y Vafai (2000) desarrollaron una investigación en la que se presenta un estudio del transporte de energía térmica a través de varios modelos de transporte y estudiaron el efecto que tienen la porosidad, la dispersión térmica y el régimen en desequilibrio térmico sobre la transferencia de calor en lechos empacados. En el trabajo de Fu et al. (2001) se presenta un estudio experimental de la transferencia de calor en canales porosos sujetos a oscilaciones en el flujo y se muestran los perfiles de transitorios de temperaturas para diversas posiciones del lecho y los coeficientes fílmicos de transferencia de calor locales, observándose que la temperatura superficial local se incrementa monótonamente al incrementarse la dirección axial y se presenta como una forma compleja con un valor máximo en la mitad de la sección de prueba.

Recientemente, en un trabajo publicado por Hwang et al. (2002) se presenta una metodología numérica experimental para determinar los coeficientes intersticiales de transferencia de calor de un sistema poroso, constituido por aire como fluido y una esponja de aluminio como medio poroso, donde la fase fluida no está en equilibrio térmico con la fase sólida y adicionalmente el sistema está en régimen transitorio. En este trabajo los autores determinan estos coeficientes de transferencia de calor con ayuda del “Single Blow Transient Method” combinando los resultados experimentales provenientes de un banco de ensayo con la solución numérica de un modelo matemático, constituido por dos ecuaciones diferenciales parciales, la de la energía de la fase fluida y la de la energía de la fase sólida. También en este año, en Patiño et al. (2002), se realiza el cálculo de los coeficientes de convección de calor en el flujo de fluidos a través de medios porosos, en el que la ecuación de la energía contiene los términos difusivo y transitorio y se estudian tres porosidades de elevadas magnitudes. Una técnica utilizada en la presente investigación es el “Single Blow Transient Method”. Este método ha sido utilizado en diferentes problemas de transferencia de calor. Howard (1964) lo presentó inicialmente y estudió el efecto de la transferencia de calor longitudinal por conducción en aletas de enfriamiento. Liang y Yang (1975) usaron el método para caracterizar la transferencia de calor en superficies perforadas de intercambiadores de calor. Recientemente y específicamente en el área de la convección transitoria de calor a través de medios porosos, Wu y Hwang (1998) y Hwang et al (2002), usaron el “Single Blow Transient Method” con el objetivo de determinar los coeficientes intersticiales de transferencia de calor entre el fluido y la matriz sólida.

2. Programa experimental

2.1. Equipo experimental

La Figura 1 muestra una representación esquemática del equipo utilizado para realizar las pruebas experimentales que permiten calcular los coeficientes de transferencia de calor referenciados. Consta fundamentalmente de cuatro partes principales que se describen a continuación:

Fig. 1 Esquema del banco experimental

Sistema de bombeo y transporte de líquido: Está constituido por una bomba centrífuga de _ HP que transporta el agua por medio de un sistema de tuberías de acero de _“ de diámetro desde un tanque de almacenamiento hasta otro receptor, pasando a través de la sección de pruebas. El fluido en el tanque de almacenamiento es calentado hasta la temperatura deseada por medio de un par de resistencias eléctricas de 1200 vatios.

Sección de pruebas: Está constituida por un conducto de acero de sección transversal constante y circular de 2” de diámetro y una longitud de 22,5 cm, conectada al sistema de tuberías por intermedio de bridas. Esta sección se encuentra aislada térmicamente. Es importante destacar que en el interior de esta sección se encuentra colocado el lecho empacado.

Medio poroso: Se utilizaron para modelar el lecho empacado esferas de acero al carbono de densidad 7840 kg/m3, conductividad térmica 50 W/mK y calor específicico 460 J/kgK. La porosidad del medio fue evaluada utilizando la expresión f = (vt –vs)/vt. En esta expresión vt representa el volumen total de la sección de pruebas, vs el volumen ocupado por el sólido. En la Tabla I se observan los diámetros de las esferas usadas y los valores de porosidad generados con dichas esferas.

Sistema de adquisición de datos: Está constituido por dos sensores diferenciales de presión y dos sensores de temperatura. Los sensores de presión están ubicados en la placa orificio (cuya función es determinar el flujo másico) y en la entrada y salida de la sección de pruebas. Los sensores de temperatura están ubicados justamente en la entrada y la salida de la sección de pruebas. Todos estos medidores son de la marca Armfield y están interconectados a una unidad de adquisición de datos (HP3852A). Los datos adquiridos son configurados y leídos por un computador PC gracias a un programa computacional de adquisición elaborado en el lenguaje de programación HP-Basic. Las diferentes mediciones tomadas por los sensores fueron realizadas con una frecuencia de 20 muestras por segundo por cada sensor.

2.2. Procedimiento Experimental

Se encienden las resistencias eléctricas en el tanque de almacenamiento de agua y se lleva el agua hasta la temperatura deseada. Luego se enciende el sistema de bombeo y con la válvula de compuerta se regula el caudal al valor deseado. El flujo se monitorea por la pantalla del microcomputador gracias al sistema de adquisición de datos. Una vez colocado el material poroso en la sección de pruebas (ver Fig. 1) se hace pasar el flujo a través de ella y se sensan los valores de temperatura del fluido antes y después. La prueba termina cuando el sistema llegue al estado estacionario, es decir, cuando la temperatura de entrada de fluido sea igual a la temperatura de salida del fluido. De esta manera se obtienen los perfiles transitorio experimentales de temperaturas en el fluido. Los experimentos se realizaron tomando variaciones de la velocidad del fluido a la entrada de la sección de pruebas y variando también la porosidad del medio.

3. Modelado matemático

El estudio consiste en el flujo de un líquido a través de un conducto cilíndrico que contiene una matriz sólida porosa constituida por partículas esféricas.

3.1. Ecuaciones Gobernantes

El modelo sobre el cual se aplican las ecuaciones abajo indicadas está representado en la Figura 2.

Fig. 2 Datos geométricos del modelo simulado

Se toma como fluido en estudio agua en estado líquido transportándose a través de la sección de pruebas (lecho empacado), suponiendo que el líquido es incompresible y newtoniano cuyas propiedades tales como densidad (r), viscosidad absoluta (m), conductividad térmica (k) y calor específico (Cp) solo varían con la temperatura. Considerando que la matriz sólida está constituida por esferas de acero y que es isotrópica, homogénea e indeformable, cuyas propiedades tales como porosidad (f), permeabilidad (K), densidad (rs), calor específico (Cs) y difusividad térmica (a) son constantes, las ecuaciones de variación en coordenadas cilíndricas y estado transitorio, pueden expresarse como:

Ecuación de Continuidad:

Ecuación de Cantidad de Movimiento en la dirección axial:

Ecuación de Cantidad de movimiento en la dirección radial:

  (3)

Ecuación de la Energía de la fase líquida:

  (4)

Ecuación de la energía de la fase sólida:

donde:

u es la velocidad del fluido en la dirección axial (x); v es la velocidad del fluido en la dirección radial (r); T es la temperatura en la fase líquida; Ts es la temperatura en la fase sólida; t es el tiempo; p es la presión del fluido; V es volumen de la matriz sólida; Ps es la densidad del sólido; Cs es el calor específico del sólido; A es el área de convección de calor; g es la aceleración de la gravedad y h es el coeficiente intersticial de transferencia de calor entre el fluido y el lecho empacado.

3.2. Condiciones del Problema

Las condiciones iniciales son velocidades radiales y axiales nulas y temperaturas homogéneas para las fases líquidas y sólidas (Ti). Las condiciones de borde asociadas al problema son: Las velocidades u y v en las paredes son nulas. La velocidad u es máxima y la velocidad v es nula en el eje de simetría. La velocidad axial (u0) en la entrada (superficie superior) es uniforme y la velocidad v en la superficie superior es nula. La Temperatura del líquido en el eje de simetría es mínima. En la salida se tienen condiciones localmente parabólicas. En la entrada la temperatura (T0) en el líquido es prescrita, uniforme y variable.

4. Solución del modelo matemático

Para la resolución de este modelo se desarrolló una metodología analítica-numérica, iniciándose con la obtención de la temperatura de sólido (Ts) a través de la solución analítica de la ecuación 5 con sus respectivas condiciones, mediante el método de separación de variables. De esta manera se tiene que:

Combinando las ecuaciones 5 y 6 e introduciéndolas en la ecuación 4, la ecuación de transferencia de calor en la fase fluida se expresa como:

     ( 7 )

donde:

4.1. Solución numérica.

Las ecuaciones diferenciales con sus respectivas condiciones de borde e iniciales descritas en el modelo matemático fueron resueltas a través de un código comercial del área de la Dinámica de los Fluidos Computacional (CFD). El Software utilizado fue el CFX versión 4.3, que basa la solución en el método de los Volúmenes Finitos utilizando una discretización estructurada coincidente con las fronteras. Los flujos convectivos y difusivos en las interfaces de los volúmenes se calculan a través del esquema de interpolación Híbrido y el procedimiento de acoplamiento Presión – Velocidad utilizado en las ecuaciones de movimiento, fue el SIMPLE. El régimen transitorio fue implementado a través de un esquema totalmente implícito y el criterio de convergencia fue establecido tomando el máximo residuo en la ecuación de continuidad. Se desarrollaron dos subrutinas en el lenguaje de programación Fortran, una para incluir las condiciones iniciales variables en el tiempo y la otra para anexar el término fuente en la ecuación de la energía en la fase fluida. Las condiciones iniciales térmicas fueron dadas de acuerdo a los resultados experimentales, en un rango entre 25 ºC y 30 ºC, suponiendo en todas las simulaciones una distribución uniforme en todo el dominio estudiado. Como condición inicial fluidodinámica se fijaron velocidades axiales y radiales nulas. El dominio simulado fue la sección de prueba y para ello fue dividido con una malla de 120 volúmenes en la dirección axial y 30 volúmenes en la dirección radial, lo cual generó una discretización de 3600 volúmenes finitos. El período de tiempo máximo en las simulaciones fue de 70 segundos y el intervalo de tiempo utilizado fue 0,1 segundos.

5. Determinación de los coeficientes de convección de calor.

Para determinar los h para cada una de las corridas experimentales se utilizó el “Single Blow Method” desarrollado por Liang y Yang (1975). Este método necesita únicamente los perfiles transitorios promedio de temperatura del fluido a la entrada y a la salida de la sección de pruebas, y consiste en suponer un valor de prueba para h, calculando seguidamente, a través del código CFX, el perfil transitorio de temperatura y verificando que la temperatura a la salida calculada coincida, con un error menor a 10-3 con la temperatura a la salida experimental. Este proceso se repite hasta obtener seis casos en que se cumpla el error. El coeficiente h, será el promedio aritmético de los coeficientes h para los seis casos.

6. Análisis de incertidumbre.

Los errores en el cálculo de los coeficientes intersticiales de transferencia de calor son producidos fundamentalmente por las desviaciones en las mediciones de los flujos volumétricos, las mediciones de las temperaturas y la raíz cuadrada de las diferencias medias de temperatura entre los valores experimentales y los calculados numéricamente. En esta investigación se utilizó el método de incertidumbre desarrollado por Kline y McClintock (1953) y se obtuvo un valor de incertidumbre para el flujo másico de 0.6 %, para las mediciones de temperatura de 3.5 %, y para la raíz cuadrada de las diferencias medias de temperatura de 6.5 %. Como resultado de esto se obtuvo una incertidumbre global del coeficiente de convección de calor de 6.5 %.

7. Resultados

La Figura 3 muestra algunos de los perfiles transitorios de temperaturas obtenidos en las pruebas experimentales y en las simulaciones numéricas para una matriz sólida con porosidad igual a 0.37, generada con esferas de acero al carbono de _”. En esta figura se presenta el comportamiento térmico del fluido en estudio (agua) a la salida de la sección de pruebas para un valor de número de Reynolds de 1595 y para un valor de número de Peclet de 5345. Esta figura muestra un ejemplo típico de la aplicación del “Single Blow Transient Method”. Se observan las mediciones experimentales de temperaturas del agua tanto a la entrada como a la salida de la sección de prueba. Adicionalmente se presentan tres perfiles transitorios de temperaturas a la salida de la sección de pruebas. Estas tres curvas se determinaron con las simulaciones numéricas, para tres valores de coeficientes intersticiales de transferencia de calor ( 3400, 3500 y 4100 W/m2K).

Fig. 3 Temperatura del fluido a la salida de la sección de pruebas para diferentes valores de h

En la Figura 4 se presentan los valores de los números de Nusselt Vs el número de Peclet para lo tres valores de porosidad estudiadas en este artículo. Es importante destacar que el número de Nusselt se define como Nu =hdp/kf, y el número de Peclet como Pe=Re*Pr, donde h es el coeficiente fílmico de transferencia de calor, Re es el número de Reynold, Pr es el número de Prandtl definido como y dp es el diámetro de las partículas que constituyen el lecho empacado.

Fig. 4 Número de Nusselt vs Pe, para diferentes porosidades

8. Discusión

En la Figura 3, si se comparan estas tres distribuciones con la distribución real determinada experimentalmente, se aprecia que para el caso mostrado, el coeficiente de transferencia de calor tiene un valor de 3400 W/m2K. Para los otros dos casos (3500w/m2K y 4100w/m2K) los perfiles transitorios de temperaturas del fluido no coinciden con la curva experimental. En la Figura 4 se aprecia claramente que el coeficiente de transferencia de calor h es una variable dependiente tanto de la porosidad del medio, como del número de Peclet. A medida que aumenta la porosidad del medio, el número de Nusselt disminuye, y a medida que aumenta el numero de Peclet, entonces, el numero de Nusselt también lo hace. Al aumentar el número de Reynolds (manteniendo constante el número de Prandtl) el número de Peclet aumentará. En este sentido, la transmisión de calor será mas elevada, debido al aumento, en magnitud, de los términos convectivos presentes en el modelo matemático del proceso. A medida que la porosidad del medio disminuye, la superficie específica del medio poroso (área de transferencia de calor) aumenta, generando un aumento en la transferencia de calor entre las dos fases.

III. CONCLUSIONES

1. Al aplicar el “Single Blow Transient Methods”, se aprecia que el perfil transitorio de temperaturas a la salida de la sección, simulado numéricamente, coincide con el perfil experimental si y solo si el coeficiente intersticial de transferencia de calor es el verdadero.

2. Los resultados muestran que en el transporte de energía térmica en el flujo de fluidos incompresibles a través de lechos empacados los coeficientes fílmicos de transferencia de calor son variables dependientes tanto del número de Peclet, como de la porosidad del medio.

3. Al aumentar el número de Peclet, el número de Nusselt también aumenta.

4. Al aumentar la porosidad del medio, manteniendo constante el número de Peclet, el número de Nusselt disminuye.

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